2023届高三数学一轮复习 等比数列的前n项和公式 高考通关练(含答案)

2025届高三数学等比数列-一轮复习1.等比数列的概念(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比常用字母q 表示(显然q ≠0),定义的表达式为a na n -1=q (n ∈N *,n ≥2)或a n+1a n =q (n ∈N *).(2)等比中项:若三个数a ,G ,b 成等比数列,则G 叫做a 与b 的等比中项,且有 .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:a n = (n ∈N *);(2)前n 项和公式:S n ={na 1,q =1, ,q ≠1或S n ={na 1,q =1, ,q ≠1.3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m (n ,m ∈N *).(2)若数列{a n }为等比数列,且m +n =p +q ,则a m a n =a p a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(3)若数列{a n }是等比数列,公比为q ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公比为q m 的等比数列.(4)如果等比数列{a n }的前n 项和为S n ,那么(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),如果公比q ≠-1或虽q =-1但n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列.不能认为在任何等比数列中,都有S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列（5）当等比数列{a n }的项数为偶数,公比为q 时,S 偶S 奇=q . 4、等比数列的单调性 当q >1,a 1>0或0<q <1,a 1<0时,{a n }是递增数列;当q >1,a 1<0或0<q <1,a 1>0时,{a n }是递减数列;当q =1时,{a n }是常数列;当q <0时,{a n }是摆动数列.常用结论 1.若数列{a n },{b n }为等比数列,则{λa n }(λ≠0),{|a n |},⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1,{a n 2},{a n b n },⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 仍为等比数列.2.若数列{a n }为公比不为1的等比数列,其前n 项和S n =A ·q n +B (A ≠0,B ≠0,q ≠0,q ≠1),则必有A +B =0;反之,若某一非常数列的前n 项和S n =A ·q n -A (A ≠0,q ≠0,q ≠1),则数列{a n }必为等比数列.3.若非零数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =ka n +b (k ≠0,k ≠1),则数列{a n }必为等比数列.题型一等比数列基本量的运算【例1】设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64【对点1】在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.【对点2】已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【对点3】若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+......+ln a20=.【对点4】等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=7,4 ,则a8=.S6=634题型二等比数列的性质【例2】(1)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=()A.120B.85C.-85D.-120(2)已知正项等比数列{a n}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.【对点1】已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=_________. 【对点2】记S n为等比数列{a n}的前n项和,且1Sλ,则=5a=n⋅3-n___________.【对点3】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若6845,,3a a a 成等差数列，则=+6510a a S ___________. 【对点4】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,且436=S S ，则=69S S ___________.题型三等比数列的判定与证明【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4.(1) 证明:{a n +b n }是等比数列【对点1】在数列{a n }中,a 1=1,且a n +1=2a n +n -1.（1）证明:数列{a n +n }为等比数列,并求出a n ;【对点2】已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1.(1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式;。

2024届新高考数学复习：专项（等比数列及其前n 项和）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若S 6＝9S 3，S 5＝62，则a 1＝( ) A ．2 B ．2 C ．5 D ．32．已知等比数列{a n }满足a 1＝18 ，4a 2a 4＝4a 3－1，则a 2＝( )A ．±14B ．14C ．±116 D ．1163．等比数列{a n }中，若a n >0，a 2a 4＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，则公比q ＝( )A ．14B ．12C ．2D ．44．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．165．设{a n }是公比为q ＞1的等比数列，若a 2 010和a 2 011是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 012＋a 2 013＝( )A ．18B ．10C ．25D ．96．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89 ，则当T n 取得最大值时，n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 7．[2022ꞏ全国乙卷(理)，8]已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6＝( ) A ．14 B ．12 C ．6 D. 38．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝－5，S 6＝21S 2，则S 8＝( )A ．120B ．85C ．－85D ．－1209．(多选)已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则下列说法正确的是( )A ．{a n }为单调递增数列B ．S 6S 3＝9C ．S 3，S 6，S 9成等比数列D ．S n ＝2a n －a 1二、填空题10．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74 ，S 6＝634 ，则a 8＝________．11．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知{}a n 为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.12．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________．[强化练习]13．[2023ꞏ全国甲卷(理)]设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4＝( )A ．158 B ．658 C ．15 D ．4014．设首项为1，公比为23 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2 C ．S n ＝4－3a n D ．S n ＝3－2a n15．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13 ，a 24 ＝a 6，则S 5＝________．16．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．参考答案1．B由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 6）1－q ＝9×a 1（1－q 3）1－q，a 1（1－q 5）1－q ＝62，即⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝8，a 1（1－q 5）1－q＝62， 得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，选B. 2．A 因为4a 2a 4＝4a 3－1，所以4a 21 q 4＝4a 1q 2－1，又a 1＝18 ，解得q ＝±2，所以a 2＝a 1ꞏq ＝18 ×(±2)＝±14 .故选A.3．B 由等比数列的性质得a 23 ＝a 2a 4＝1，结合a n >0，得a 3＝1.由a 1＋a 2＋a 3＝7，得a 3q 2 ＋a 3q ＋a 3＝7，则1q 2 ＋1q ＝6，结合q >0，得q ＝12 ，故选B.4．C ∵4a 1，2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3.又{a n }为等比数列，∴4q ＝4＋q 2，∴q ＝2.又a 1＝1，∴S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝1－241－2 ＝15. 5．A 由题意可得：a 2010＝12 ，a 2011＝32 ，又{a n }为等比数列，∴q ＝3.∴a 2012＋a 2013＝92 ＋272 ＝18.6．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝－24q 3＝－89 ，q 3＝127 ，q ＝13 ，此等比数列各项均为负数，当n 为奇数时，T n 为负数，当n 为偶数时，T n 为正数，所以T n 取得最大值时，n 为偶数，排除B ，而T 2＝(－24)2×⎝⎛13 ＝24×8＝192，T 4＝(－24)4×⎝⎛⎭⎫13 6＝84×19 ＝849 ＞192，T 6＝(－24)6×⎝⎛⎭⎫13 15 ＝86×⎝⎛⎭⎫13 9＝8639 ＝19 ×8637 ＜849 ，T 4最大，故选C.7．D 设等比数列{a n}的公比为q .由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2q ＋a 2＋a 2q ＝168，a 2－a 2q 3＝42.两式相除，得1＋q ＋q 2q （1－q 3）＝4，解得q ＝12 .代入a 2－a 2q 3＝42，得a 2＝48，所以a 6＝a 2q 4＝3.故选D. 8．C 方法一 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由题意易知q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 4）1－q ＝－5a 1（1－q 6）1－q ＝21×a 1（1－q 2）1－q ，化简整理得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝4a 11－q ＝13 .所以S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝13 ×(1－44)＝－85.故选C.方法二 易知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6，……为等比数列，所以(S 4－S 2)2＝S 2ꞏ(S 6－S 4)，解得S 2＝－1或S 2＝54 .当S 2＝－1时，由(S 6－S 4)2＝(S 4－S 2)ꞏ(S 8－S 6)，解得S 8＝－85；当S 2＝54 时，结合S 4＝－5得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 4）1－q＝－5a 1（1－q 2）1－q＝54，化简可得q 2＝－5，不成立，舍去．所以S 8＝－85，故选C.9．BD 由a 6＝8a 3，可得q 3a 3＝8a 3，则q ＝2，当首项a 1＜0时，可得{a n }为单调递减数列，故A 错误；由S 6S 3＝1－261－23 ＝9，故B 正确； 假设S 3，S 6，S 9成等比数列，可得S 26 ＝S 3S 9， 即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然不成立， 所以S 3，S 6，S 9不成等比数列，故C 错误；由{a n }是公比q 的等比数列，可得S n ＝a 1－a n q 1－q＝2a n －a 12－1 ＝2a n －a 1，故D 正确． 10．32答案解析：设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝14 ×27＝25＝32. 11．－2 答案解析：方法一 设数列{a n }的公比为q ，则由a 2a 4a 5＝a 3a 6，得a 1q ꞏa 1q 3ꞏa 1q 4＝a 1q 2ꞏa 1q 5.又a 1≠0，且q ≠0，所以可得a 1q ＝1 ①.又a 9a 10＝a 1q 8ꞏa 1q 9＝a 21 q 17＝－8 ②，所以由①②可得q 15＝－8，q 5＝－2，所以a 7＝a 1q 6＝a 1q ꞏq 5＝－2.方法二 设数列{a n }的公比为q .因为a 4a 5＝a 3a 6≠0，所以a 2＝1.又a 9a 10＝a 2q 7ꞏa 2q 8＝q 15＝－8，于是q 5＝－2，所以a 7＝a 2q 5＝－2.12．－8答案解析：由{a n }为等比数列，设公比为q . ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1， ①a 1－a 1q 2＝－3， ② 显然q ≠1，a 1≠0， ②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.13．C 方法一 若该数列的公比q ＝1，代入S 5＝5S 3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q ≠1.由1－q 51－q ＝5×1－q 31－q－4，化简得q 4－5q 2＋4＝0，所以q 2＝1(舍)或q 2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q ＝2，所以S 4＝1－q 41－q＝15.故选C.方法二 由已知得1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＝5(1＋q ＋q 2)－4，整理得(1＋q )(q 3－4q )＝0，由于此数列各项均为正数，所以q ＝2，所以S 4＝1＋q ＋q 2＋q 3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.14．D ∵a 1＝1，q ＝23 ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝3－2ꞏ⎝⎛⎭⎫23 n －1 ＝3－2a n .15.1213答案解析：通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24 ＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13 ，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝13×（1－35）1－3 ＝1213 .优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24 ＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13 ，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝13×（1－35）1－3 ＝1213 .16．64答案解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12 （－3）＋（－2）＋…＋（n －4）＝⎝⎛⎭⎫12 12n （n －7）＝⎝⎛⎭⎫1212⎣⎡⎦⎤()n －722－494 ， 当n ＝3或4时，12 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494 取到最小值－6，此时⎝⎛⎭⎫12 12⎣⎡⎦⎤()n －722－494 取到最大值26，所以a 1a 2…a n 的最大值为64.。

2023高考数学复习专项训练《等比数列》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）等比数列{a n}满足a1+a2+a3=13,a2+a3+a4=133，则a5=()A. 1B. 13C. 427D. 192.（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t(m、n、s、t∈N∗)，则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12−S6，S18−S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零；⑤已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2>c2，则ΔABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.（5分）设T n为等比数列{a n}的前n项之积，且a1=−6，a4=−34，则当T n最大时，n的值为()A. 4B. 6C. 8D. 104.（5分）等比数列{a n}，满足a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52= 15，则a1−a2+a3−a4+a5的值是()A. 3B. √5C. −√5D. 55.（5分）已知在等比数列{a n}中，公比q是整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则此数列的前8项和为()A. 514B. 513C. 512D. 5106.（5分）已知正项数列{a n}，{b n}分别为等差、等比数列，公差、公比分别为d，q(d,q∈N∗)，且d=q，a1+b1=1，a3+b3=3.若a n+b n=2013(n>3)，则n= ()A. 2013B. 2012C. 100D. 997.（5分）若a，b，c成等比数列，则关于x的方程a x2+bx+c=0( )A. 必有两个不等实根B. 必有两个相等实根C. 必无实根D. 以上三种情况均有可能8.（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=()9.（5分）记Sn为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=−6.则{a n}的通项公式为()A. a n=(−2)nB. a n=−2nC. a n=(−3)nD. a n=−3n10.（5分）正项等比数列{a n}中，a3=2，a4.a6=64，则a5+a6a1+a2的值是()A. 4B. 8C. 16D. 6411.（5分）在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2+5x+2=0的二根，则a3.a9.a15a5.a13的值为()A. −2+√22B. −√2C. √2D. −√2或√212.（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，9S3=S6=63，则S10=A. 255B. 511C.1023 D. 2047二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10−a8.若a n=0，则n=__________14.（5分）若等比数列{an}的前n项和Sn满足：an+1=a1Sn+1（n∈N*），则a1=____．15.（5分）在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5n+1+a，则a的值为____________．16.（5分）若等比数列{a n}的首项为23，且a4=∫41(1+2x)dx，则公比q等于______．17.（5分）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.123465812107162420149324840281811…三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3−x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n.19.（12分）如果等比数列{a n}中公比q>1，那么{a n}一定是递增数列吗?为什么?20.（12分）数列{a n}满足a1=1，a n=2a n−1-3n+6（n≥2，n∈N+）．（1）设b n=a n-3n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．21.（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12−4n−1，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2=√4a1+5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2+1a2a3+…+1a n a n+1<12.22.（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若b n=2a n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)设c n=a n+b n，求数列{c n right}的前n项和A n．23.（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n−1．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则下列说法正确的是()A. a1+a5+a9a2+a3的值为3 B. a1+a5+a9a2+a3的值为2C. 数列{a n}的公差和首项相等D. 数列{a n}的公差和首项不相等25.（5分）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列命题正确的是()A. 若a n+1-a n=2(n∈N∗)，则数列{a n}为等差数列B. 若b n+1=2b n(n∈N∗)，则数列{b n}为等比数列C. 若数列{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n⋯⋯(n∈N∗)成等差数列D. 若数列{b n}是等比数列，则T n，T2n-T n，T3n-T2n⋯⋯(n∈N∗)成等比数列26.（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项，若a1+a4= 18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列\left{ lg a n}是公差为2的等差数列27.（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差d=4，前n项和为S n，则下列结论成立的有()A. 数列{S nn}的前10项和为100B. 若a1，a3，a m成等比数列，则m=21C. 若∑n i=11a i a i+1>625，则n的最小值为6D. 若a m+a n=a2+a10，则1m +16n的最小值为251228.（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，若a1+ a6+a11=3π，b1b5b9=8，则()A. S11=11πB. sin a2+a10b4b6=12C. a3+a7+a8=3πD. b3+b7⩾4答案和解析1.【答案】D;【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q ，得133=13q ，解得q =13， 又a 1+a 2+a 3=a 1+13a 1+19a 1=139a 1=13，解得a 1=9，所以a 5=a 1q 4=9×(13)4=19， 故选：D.设等比数列{a n }的公比为q ，通过a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q 可求出q 值，进一步根据a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=13可求出a 1，最后利用a 5=a 1q 4进行求解即可． 此题主要考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】B; 【解析】该题考查命题真假的判断，考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题，属于中档题．利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等比数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n 项的和推出A ，B 判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；解：对于①，实数α=0，β≠0，则sin (α+β)=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②，当公差d =0时，命题显然不正确，例如a 1+a 2=a 3+a 4，1+2≠3+4，故②不正确；对于③，设a n =(−1)n ，则S 6=0，S 12−S 6=0，S 18−S 12=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；对于④，S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n =Aq n +B ；(其中A 、B 是非零常数，n ∈N ∗)，所以此数列为首项是a 1，公比为q ≠1的等比数列， 则S n =a 1(1−q n )1−q ，所以A =−a11−q ，B =a11−q ，∴A +B =0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a =5，b =3，c =4，满足a 2+b 2>c 2，故⑤不正确；故选：B ．3.【答案】A;【解析】解：因为等比数列{a n }中，a 1=−6，a 4=−34，则由a 4=a 1q 3可得q =12． ∵T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，∴T n =(−6)n .(12)n(n−1)2，因为求最大值，故只需考虑n 为偶数的情况， ∵T 2n +2T 2n =36×(12)4n +1，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，∴T 2<T 4>T 6>T 8>⋯．则公比q =12，当T n 最大时，n 的值为4．故选：A ．由已知可得q =12.只需考虑n 为偶数的情况，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，即可求解．该题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D;【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q =3①， a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5.故选：D.先设等比数列{a n }公比为q ，分别用a 1和q 表示出a 12+a 22+a 32+a 42+a 52，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5和a 1−a 2+a 3−a 4+a 5，发现a 12+a 22+a 32+a 42+a 52除以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5正好与a 1−a 2+a 3−a 4+a 5相等，进而得到答案．此题主要考查了等比数列的性质．属基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．5.【答案】D;【解析】由已知得{a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2=12，解得：q =2或q =12.∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.∴S 8=2(1−28)1−2=29−2=510.6.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的应用.计算时要认真仔细.解：∵{_1+b1=1a3+b3=3，∴{_1+b1=1a1+2d+b1q2=3，∵d=q，所以{_1+b1=1a1+2q+b1q2=3，解得d=q=1，∴a n+b n=a1+(n−1)d+b1q n−1=a1+n−1+b1=2013，∴n=2013.故选A.7.【答案】C;【解析】若a，b，c成等比数列，则b²=ac由题意得△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²等比数列中没有为0的项，∴-3b²<0∴△小于0，即方程a x2+bx+c=0必无实根故选C。

等比数列及其前n项和一、选择题1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )A．－24 B．0 C．12 D．24A　[由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x ＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12．故第四项为－24，选A．] 2．已知在等比数列{a n}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )A．1B．－C．1或－D．－1或C　[当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－．综上，q的值是1或－，故选C．]3．等比数列{a n}的前n项和为S n＝32n－1＋r，则r的值为( )A． B．－ C． D．－B　[当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n －1，所以3＋r＝，即r＝－，故选B．]4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A．6里 B．12里 C．24里 D．48里B　[记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B．]5．(2020·全国卷Ⅱ)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k＝( )A．2 B．3 C．4 D．5C　[令m＝1，则由a m＋n＝a m a n，得a n＋1＝a1a n，即＝a1＝2，所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n＝2n，所以a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝a k(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C．]6．(2021·宝山区一模)已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是( )A．若a1＋a2＞0，则a1＋a3＞0B．若a1＋a3＞0，则a1＋a2＞0C．若a1＞0，则S2 021＞0D．若a1＞0，则S2 020＞0C　[A错误，如数列：－1，2，－4，…．BD错误，如数列1，－2，4，…．C正确，当q＜0时，显然S2 021＞0；当0＜q＜1时，及q＞1时“1－q”与“1－q2 021”同号，故S2 021＞0；当q＝1时，显然S2 021＞0，故C正确．]二、填空题7．已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值_______ _．　[由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2．所以＝．]8．(2021·河南六市联考)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________．1　[由题意知q≠1，由，得＝9．解得q＝2，由S3＝＝＝7，解得a1＝1．]9．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n＝________．30　[由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2，14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30．]三、解答题10．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8．(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m＋S m＋1＝S m＋3，求m．[解]　(1)设{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1．由已知得解得a1＝1，q＝3．所以{a n}的通项公式为a n＝3n－1．(2)由(1)知log3a n＝n－1．故S n＝．由S m＋S m＋1＝S m＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0．解得m＝－1(舍去)，m＝6．11．设数列{a n}中，a1＝1，a2＝，a n＋2＝a n＋1－a n，令b n＝a n＋1－a n(n∈N*)(1)证明：数列{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．[解]　(1)证明：∵a n＋2＝a n＋1－a n，∴a n＋2－a n＋1＝(a n＋1－a n)，而b n＝a n＋1－a n，∴b n＋1＝b n，又b1＝a2－a1＝，∴{b n}是首项为，公比为的等比数列．(2)由(1)知b n＝×＝，∴a n－a n－1＝，∴a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋＋…＋＝＝3－3·．1．已知{a n}为等比数列，数列{b n}满足b1＝2，b2＝5，且a n(b n＋1－b n)＝a n＋1，则数列{b n}的前n项和为( )A．3n＋1B．3n－1C．D．C　[∵b1＝2，b2＝5，且a n(b n＋1－b n)＝a n＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，又数列{a n}为等比数列，∴数列{a n}的公比为q＝3，∴b n＋1－b n＝＝3，∴数列{b n}是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{b n}的前n项和为S n＝2n＋×3＝．故选C．]2．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．　[由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×＝．] 3．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1．[解]　(1)∵S1＝a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列，∴S n＝2n－1，又当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－2(2－1)＝2n－2．当n＝1时，a1＝1不适合上式．∴a n＝(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝．∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝．1．将正整数排成如图所示：试问2 020是表中第________行的第________个数．11　997　[由题意得第n行有2n－1个数，20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1 023，20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047，∴2 020是表中第11行的第997个数．]2．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知满足________，求公比q以及a＋a＋…＋a．从①a2a5＝－32且a3＋a4＝－4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3－1且S3＝a4－1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．[解]　若选①，则有a2a5＝a3a4＝－32，故有a3a4＝－32，a3＋a4＝－4，解得a3＝4，a4＝－8，或a3＝－8，a4＝4，即q ＝－2或q＝－．因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，若q＝－2，a1＝1，此时a＋a＋…＋a＝；或q＝－，a1＝－32，此时a＋a＋…＋a＝．若选②，＝8，即q3＝8，故q＝2．因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝．若选③，S2＝a3－1(*)，S3＝a4－1(**)．令(**)式减(*)式，得a3＝a4－a3，即a4＝2a3，故q＝2．则(*)式中，a1＋a2＝a3－1，即a1＋2a1＝4a1－1，即a1＝1．因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝．。

4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ） A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或12．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．314．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ）A ．3B ．2C ．33D ．325（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．91.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ） A ．6B ．9C ．27D ．813．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A ．2-BC ．2D ．2±考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51B ．﹣20C ．27D ．40【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12B ．2C ．172341D ．341172【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．632．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为 A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( )A ．25B ．20C ．15D ．10考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列 【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ）A ．12a a +，23a a +，34a a +，…B ．13a a ，35a a +，57a a +，…C ．2S ，42S S -，64S S -，…D ．3S ，63S S -，96S S -，…2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S .3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}nn b -前n 项和n T ． 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6B ．7C ．8D ．9【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42B ．56C ．63D ．703．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元 B ．40000元C ．42500元D ．50000元4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】(1)C （2）B【解析】（1）因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C （2）设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B. 【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ）A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或1【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q .因为38a =，324S =，所以38a =，1216a a +=，即218a q =，()1116a q +=，所以212q q +=，解得12q =-或1q =.故选：C.2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）1.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由40S >，得1514011a a a a q q q--=>--，因为1q >，所以510a a ->，即51a a >.故必要性满足； 1514411a a a a q S q q--==--.因为1q >，51a a >，所以40S >．故充分性满足.所以“51a a >”是“40S >”的充要条件.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．31【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21213S a a a =+=，则212a a =，所以，212a q a ==， 因为223a a =，即()21124a a =，10a ≠，解得11a =，因此，()441411215112a q S q--===--.故选：C.4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ） ABCD【答案】D【解析】依题意，等比数列{}n a 满足，33S =，69S =，则1q ≠，()()3611113,911a q a q qq--==--，两式相除得()()3363331113,1311q q q q q q-+-==+=--，32,q q ==故选：D 5（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729【答案】C【解析】224381a a a ⋅==，因为0n a >，所以0q >，39a =，又313S =，故124a a +=，设公比是q ，则()121149a q a q ⎧+=⎨=⎩，两式相除得：2149q q +=，解得：3q =或34q =-（舍去），故336393243a a q ==⨯=.故选：C 考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】C【解析】根据等比中项得2546a a a =，所以()2434334353663log log log log log 81log 34a a a a a +=====.故选：C.【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在等比数列中，若5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根，571a a ∴=，5720220a a +=-<，则50a <，70a <，则57661a a a a ==，则61a =或61a =-，即充分性成立，当61a =，或61a =-时，能推出57661a a a a ==，但无法推出572022a a +=-，即必要性不成立， 即“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是“61a =，或61a =-”的充分不必要条件，故选：A ． 【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±【答案】B【解析】因为1a ､13a 是方程21390x x -+=的两根，所以3119=a a ，11313+=a a ，所以10a >，130a >，又{}n a 为等比数列，则6710=>a q a ，所以213212719===a a a a a ，所以73a =或73a =-（舍去），所以212773==a a a a .故选：B. 2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ）A ．6B ．9C ．27D ．81【答案】B【解析】()3239335444,,3327a a a a a =∴==∴=，39a ∴=.故选：B 3．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a b c d ,,,成等比数列可得ad bc =，但当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不是等比数列，所以“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选：A.4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A．2- B C ．2 D ．2±【答案】D【解析】由等比数列284652a a a ==，解得452a =±，所以33522a q a ==±，所以2q =±，故选：D. 考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51 B ．﹣20 C ．27 D ．40【答案】D【解析】由{an }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13 所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列， 即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q ，当1q =时，1n S na =，不合题意； 当1q ≠时，等比数列前n 项和公式()1111111n n n a q a aS q qq q-==-⋅+---， 依题意()111212110,222n nn S t t t t -=⋅-=⋅-⇒+-==.故选：A【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12 B ．2 C ．172341D ．341172【答案】C【解析】当2n ≥时，212n n n n a S S --=-=，又112a S ==，即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256，所以数列}{n a 的前10项中5141023341143S -===-偶，)(421451022172143S -=+=+=-奇，所以172341S S =奇偶， 故选：C ．【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2444,2a a ==，公比432,a q a ==首项114a =， 所以1(1)2114n n n a q S q --==- ，通项11124n n n a a q --==，所以29()2164448242n nn n S a +=++≥=，当且仅当216,342n n n =∴=，所以当3n =时，29()42n nS a+的最小值为8.故选：C.【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．63【答案】D【解析】由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48，12，3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N *∈项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a -=+++=奇，偶数项之和为()2421321170n n S a a a q a a a qS -=+++=+++==奇偶，170285S q S ∴===偶奇， 等比数列{}n a 的所有项之和为()212212211708525512kkk a S -==-=+=-，则22256k=，解得4k =，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-【答案】B【解析】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅ 所以81333r r +=∴=-，故选B. 4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =，故选：B.5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( ) A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【答案】B【解析】因为{}n a 是正项等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -仍然构成等比数列，所以263396()()S S S S S -=-.又5-，3S ，6S 成等差数列，所以6352S S -=，6335S S S -=+，所以()()2263396333352510S S S S S S S S S -+-===++. 又{}n a 是正项等比数列，所以30S >，3325101020S S ++≥=，当且仅当35S =时取等号.故选：B.考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列【答案】C 【解析】∴121n n n a a a +=+，∴111111222n n n n a a a a ++==⋅+，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭既不是等比数列也不是等差数列； ∴1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列．故选：C【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ） A ．12a a +，23a a +，34a a +，… B ．13a a ，35a a +，57a a +，… C ．2S ，42S S -，64S S -，… D ．3S ，63S S -，96S S -，…【答案】BD【解析】设数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，对于A 和C ，都有首项121(1)a a a q +=+，当1q =-时，120a a +=，不满足等比数列，故AC 错误；对于B ，2131(1)0a a a q +=+≠，且2235131313()a a q a a q a a a a ++==++， 同理25735a a q a a +=+，故数列13a a ，35a a +，57a a +，…为等比数列，B 正确； 对于D ，231231(1)0S a a a a q q =++=++≠，且3633S S q S -=，39663S S q S S -=-， 故数列3S ，63S S -，96S S -，…为等比数列，D 正确；故选：BD 2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析(2)()()12133142n nn n n S +-⨯++=-【解析】(1)因为11232n n a a a +==+，，所以1131n n a a ++=+（）. 而113a +=，所以数列{1n a +}是以113a +=为首项，以3为公比的等比数列，所以13nn a +=，即31n n a =-.(2)由（1）可得()3log 1n n b a n =+=∴()31nn n a b n ⋅=-记1213233n n T n =⨯+⨯++⨯……∴所以()23131323133n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯……∴∴-∴得：12123333nn n T n +-=+++-⨯ ()1313313n n n +-=-⨯-∴()121334n nn T +-⨯+=∴()()()1213311242n nn n n n S T n +-⨯++=-+++=-. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}n n b -前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析；2n n na =；(2) 1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++.【解析】(1)因为112n n n a a n ++=，所以1112n n a n a n++=，又因为11112a a ==，所以数列{}n a n是以首项为12，公比为12的等比数列，从而1111()()222n n n a n -=⨯=，故2n n n a =. (2)由(1)中结论可知，2311111112()3()(1)()()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，所以23411111111()2()3()(1)()()222222n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，由∴-∴得，231111111()()()()222222n n n S n +=++++- 111[1()]122()1212n n n +-=-- 化简整理得，222n nn S +=-，所以222n n nn n b n S ()()， 故2232(32)22222()(2)22n n n n n n n n b n n n n n n ++--==-=--+++， 所以324351122222222222[()()()()()]132435112n n n n n T n n n n -++=--+-+-++-+--++，故1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++. 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【答案】D【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为{}n a ，公比q ＝2， 则第1天织布的尺数为1a ，第5天织布的尺数为5a ，前5天共织布为55S =， 则()51112551231a a-=⇒=-，∴445158023131a a q =⋅=⨯=.故选：D.【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】第一次操作去掉13，设为1a ；第二次操作去掉29，设为2a ；第三次操作去掉427，设为3a ， 依次类推，11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.故0111222[()()()]3333n n S -=⨯+++ 2113121412331513n n⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯=-≥ ⎪⎝⎭-， 整理，得12153n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()21lg lg lg2lg3lg15315nn ⎛⎫∴≤∴-≤- ⎪⎝⎭，，()lg3lg5lg3lg5lg31lg211 6.7lg2lg3lg3lg2lg3lg2lg3lg2n -+++-∴≥===+≈----，故n 的最小值为7. 故选：B. 【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ） A ．6小时末 B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末【答案】A【解析】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102n m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭, 由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍, 故选:A.2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42 B ．56 C ．63 D ．70【答案】C【解析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=， 故需要的天数约为9763⨯=. 故选：C3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=）A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元【答案】B 【解析】设010000a =，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为1a ，2a ，…，12a ，()100120%1000 1.21000a a a =⨯+-=-，同理可得1 1.21000n n a a +=-， 所以()15000 1.25000n n a a +-=-， 而050005000a -=，所以数列{}5000n a -是等比数列，公比为1.2，所以50005000 1.2n n a -=⨯，12125000 1.2500050009500050000a =⨯+=⨯+=，∴总利润为500001000040000-=，故选:B ．。

等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n－A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25， ∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25. 又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq ＝13，a ·aq ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于( ) A ．2n－1 B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n－1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n.方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5， 所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( ) A ．－2或32 B ．－2或64 C ．2或－32 D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2， 解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64， 当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n.又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋11－2101－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式； ②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－－22n]1－－22＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )， 因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于( ) A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012答案 C解析 由题意得a 5a 2019＝3， 根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， 即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， ∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8， 所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1， 所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A ．2B ．4C.92D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( ) A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 11－q 31－q ＝a 11－81－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________.答案 3 81解析 由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列． (1)解 S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ， 又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， 所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， 所以q ＝3， 所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝131－3n1－3＝3n－16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－21－261－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋－1n3D ．S 20＝23(410－1)答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)， 所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确； 若a n ＝2n ＋1＋－1n3，则a 2＝23＋－123＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4， 所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝21－4101－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列， ∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015＝T 2021，则log 3a 2019log 3a 2021＝________.答案 15解析 由题意得，T 2015＝T 2021＝T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021， 所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021＝1， 根据等比数列的性质，可得a 2016a 2021＝a 2017a 2020＝a 2018a 2019＝1， 设等比数列的公比为q ，所以a 2016a 2021＝a 20212q 5＝1⇒a 2021＝52,qa 2018a 2019＝a 20192q＝1⇒a 2019＝12,q所以log 3a 2019log 3a 2021＝123523log 1.5log q q14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为2n －1·3n＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1·3n＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2n －3·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立， 所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

数列大题的考法研究题型一：等差数列、等比数列的判定与证明1．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且满足2133(1)022n n nS n S n n +-+--=.证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；2．已知数列{}n a 满足：12a =，()11n n n a a n n++=+. 设nn a b n=，证明：数列{}n b 是等差数列；3．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-. 证明：对任意的正整数n ，集合{}21221,,n n n a a a -+中的三个元素可以排成一个递增的等差数列题型二：分组转化法求和1．已知数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．（1）求2a ，3a ；（2）设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式； （3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,?,?n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ．3．已知数列{}n a 满足11a =，11,,.n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数，为偶数（1）求2a ，3a ，4a ，并求n a ； （2）求{}n a 的前100项和100S ．4．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用,n n a b 分别表示在第n 个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且1600a =． （1）证明：数列{}n a 是常数列；（2）若2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n n b c +的前2n 项和2n S ．题型三：裂项相消法求和1．已知数列{}n a 满足111,2(*,2)n n a a a n N n -==+∈≥ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11()n n n b n N a a +=∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求n S .2．已知数列{}n a 满足()1123123(1)22n n a a a na n n N +*++++=-⋅+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n S .3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22n n S a n =-∈N ；（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =+-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T ； （3）设()()1111n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n ∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值；题型四：错位相减法求和1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n a S -=+（2n ≥，n *∈N ） （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）记2log nn na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)2n n n a a S +=，0n a >． （1）证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）已知2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明2n T <．【课后精练】1．已知函数()21122f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n ∈N 均在函数()f x 的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若函数()442x x g x =+，令()*2021n n a b g n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前2020项和2020T ．2．已知数列{}n a 的前n 项和224()n n S n N ++=-∈，函数()f x 对一切实数x 总有()(1)1f x f x +-=，数列{}n b 满足121(0)()()()(1).n n b f f f f f n n n-=+++++分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式.3．在公差不为0的等差数列{}n a 中，257a a +=，2a ，4a ，8a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n an n b a =+，求{}n b 的前n 项和n S ．4．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且223a =，6542a a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．5．已知数列{}n b 的前n 项和()22n S n n n N +=+∈．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=，求证：1212n c c c +++<．7．已知数列{}n a 满足111,2(1)n n a na n a +==+. （1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n a ；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .8．已知数列{}n a 满足11()n n a a n N *+=+∈，且22a =.（1）若数列{}n b 满足111,21n n n b b b a +==+-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}3n an a ⋅的前n 项和n S .9．已知数列{}n a ，{}n b 满足1118a =，11216n n n n a a a a ++-=，116n n b a =-.（1）证明{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式； （2）求11223377a b a b a b a b ++++.10．已知数列{}n a 的前n 项和为214n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2） 求数列{}n a 的前n 项和n T .数列大题的考法研究【答案解析】题型一：等差数列、等比数列的判定与证明1．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且满足2133(1)022n n nS n S n n +-+--=.证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； 【答案】证明见解析，32n a n =- 证明：因为2133(1)022n n nS n S n n +-+--=， 所以()13(1)12n n nS n S n n +-+=+， 所以1312n n S S n n +-=+，1111S a ==， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，32为公差的等差数列，3122n S n n =-，所以23122n S n n =-， 当2n ≥时， ()()2213131112222n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎢⎥⎣⎦32n =-， 当1n =时，等式也成立， 所以32n a n =-；2．已知数列{}n a 满足：12a =，()11n n n a a n n++=+. 设nn a b n=，证明：数列{}n b 是等差数列； 【答案】证明：由()11n n n a a n n++=+，可得111n n a a n n +=++，所以111n n a a n n +-++，由于nn a b n=，可得11n n b b +-=，又112b a ==， 所以{}n b 为首项为2，公差为1的等差数列. 3．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-. 证明：对任意的正整数n ，集合{}21221,,n n n a a a -+中的三个元素可以排成一个递增的等差数列；【答案】由题意，数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-，当2n ≥时，113223n n a S --=-， 两式相减，可得132n n n a a a --=，即12n n a a -=-，即()12,2n n a n a -=-≥， 令1n =，可得113223a a =-，解得143a =， 所以数列{}n a 是首项为43，公比为2-的等比数列，所以()()1124233n n n a +--=⋅-=，所以()222112233n nn a -=-=，21223n n a +=-，222123n n a ++=，又由21221214nn n n n a a a a -+--=-=，所以2n a ，21n a -，21n a +构成一个递增的等差数列.证明（判断）数列是等差（比）数列的4种基本方法题型二：分组转化法求和1．已知数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．（1）求2a ，3a ；（2）设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式； （3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<．【答案】（1）232a =，352a =-（2）证明见解析，12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析（1）因为数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，所以2113122a a =+=，323522422a a =-⨯=-=-．即232a =，352a =- （2）()()12221211122122122n n n n b a a n a n ++++=-=++-=+-()()()2221111421122222n n n n a n n a a b -+-==-==-． ∵12122b a =-=-，∴数列{}n b 的各项均不为0，∴112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列， ∴1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴()1223111111112231n n c c c c c c n n -+++=+++⨯⨯-1111111112231n n n=-+-++-=-<-． 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,?,?n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ．【答案】（1）1,?2,?n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；（2）60．【详解】解：（1）当1n =时，112a S ==当n 为奇数，且3n ≥时，12(1)1n n n a S S n n n -=-=--=+，显然1n =满足； 当n 为偶数时，12(1)2n n n a S S n n n -=-=--=-所以1,,2,.n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）()()()20122012232021T b b b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++()1220211212a a a a a a =++⋅⋅⋅++--211212S a a =--222122260=⨯⨯--=．3．已知数列{}n a 满足11a =，11,,.n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数，为偶数（1）求2a ，3a ，4a ，并求n a ； （2）求{}n a 的前100项和100S ．【答案】（1）22a =，32a =，43a =，1,22,.2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数；（2）2600.【详解】解：（1）2112a a =+=，322a a ==，4313a a =+=． 当*N k ∈时，由题意，得2211k k a a -=+，212k k a a +=． 于是21211k k a a +-=+，即21211k k a a +--=．所以，{}21k a -是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以()21111k a a k k -=+-⋅=，即n 为奇数时，12n n a +=． 当n 为偶数时，()11121122n n n n a a --++=+=+=．所以，1,22,.2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数；（2）法1：()()100139924100S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()1235023451=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1505025150260022+⨯+⨯=+=法2：由（1），当*N k ∈时，21k a k -=，21k a k =+． 令212k k k b a a -=+，则21k b k =+．()()()1001234991001250S a a a a a a b b b =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+15031015050260022b b ++=⨯=⨯=． 4．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用,n n a b 分别表示在第n 个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且1600a =． （1）证明：数列{}n a 是常数列；（2）若2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n n b c +的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）2248002(41)3n n S n n ++-=. 【详解】解：（1）证明：1600a =，11000600400b ∴=-=，26000.84000.3600a =⨯+⨯=，由题意，可得10.80.31000n n n n n a a b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得113002n n a a +=+，1600a =，600n a ∴=，即数列{}n a 是常数列.（2）由（1）可得，1000400n n b a =-=，2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，213212422400()()n n n S n c c c c c c -∴=⨯+++⋯++++⋯+24224002(13521)(222)n n n =⨯++++⋯+-+++⋯+ 248002(41)3n n n =++-．分组转化法求和的常见类型(1)若n n n a b c =±,且{}n b ,{}n c 为等差或等比数列,可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和 (2)通项公式为n n n b n a c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的数列,其中数列{}n b {}n c 是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和。

课时规范练31等比数列及其前n项和课时规范练第49页一、选择题1.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于( )A.9B.10C.11D.12答案:C解析:a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=a1q10,所以m=11.2.在等比数列{a n}中,a2a6=16,a4+a8=8,则等于( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3答案:A解析:由a2a6=16,得=16⇒a4=±4,又a4+a8=8,可得a4(1+q4)=8,∵q4>0,∴a4=4.∴q2=1,=q10=1.3.等比数列{a n}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有a n+1>a n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:易知,当a1>0且q>1时,a n>0,所以=q>1,表明a n+1>a n;若对任意自然数n,都有a n+1>a n成立,当a n>0时,同除以a n得q>1,但当a n<0时,同除以a n得q<1.4.已知等比数列{a n}满足a n>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2答案:C解析:由a5·a2n-5=22n(n≥3),得=22n,∵a n>0,∴a n=2n.易得结论.5.各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n等于( )A.80B.30C.26D.16答案:B解析:设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去),同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以b=S4n=30.6.在等比数列{a n}中,a1=2,其前n项和为S n,若数列{a n+1}也是等比数列,则S n等于( )A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1答案:C解析:数列{a n}为等比数列,设其公比为q,则a n=2q n-1,∵数列{a n+1}也是等比数列,∴(a n+1+1)2=(a n+1)(a n+2+1).∴+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2.∴a n+a n+2=2a n+1.∴a n(1+q2-2q)=0,得q=1,即a n=2.∴S n=2n.二、填空题7.已知在等差数列{a n}中,n≥1时,都有a n>a n+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的两根,前15项的和S15=m,则数列{a n}的公差为.答案:-2或-3解析:由题意得2a5=a2+a8=12,即a5=6.由S15=m,且S15=15a8,得a8=,将x1=a8=代入方程x2-12x+m=0,解得m=0或m=-45,即a8=0或-3.由3d=a8-a5=-6或-9,均小于0,得d=-2或-3.8.在等比数列{a n}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n=.答案:4n-1解析:由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以通项公式为a n=4n-1.9.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列,三边a,b,c成等比数列,b=,则△ABC的面积是.1 / 2答案:解析:因为△ABC的内角A,B,C成等差数列,所以A+C=2B,B=.又因为三边a,b,c成等比数列,b=,所以ac=b2=3.于是S△ABC=ac sin B=.三、解答题10.在等差数列{a n}中,a1=1,a7=4,数列{b n}是等比数列,已知b2=a3,b3=,求满足b n<的最小自然数n的值.解:∵{a n}为等差数列,a1=1,a7=4,∴6d=3,d=,∴a n=.∵{b n}为等比数列,b2=2,b3=,q=,∴b n=6×.∵b n<,∴81<,即3n-2>81=34.∴n>6,从而可得n min=7.11.已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列{a n}的通项;(2)求数列{}的前n项和S n.解:(1)由题设知公差d≠0.由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,得,解得d=1,或d=0(舍去).所以{a n}的通项a n=1+(n-1)×1=n.(2)由(1)知=2n,由等比数列前n项和公式得S n=2+22+23+…+2n==2n+1-2.12.已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式;(2)若{a n}是等比数列,求{b n}的前n项和S n;(3)当{b n}是公比为q-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.解:(1)∵{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,∴a n=1+(n-1)(a-1).又∵b3=12,∴a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-.∵a>0,∴a=2.∴a n=n.(2)∵数列{a n}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),∴a n=a n-1.∴b n=a n a n+1=a2n-1.∵=a2,∴数列{b n}是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时,S n=n;当a≠1时,S n=.(3)数列{a n}不能为等比数列.∵b n=a n a n+1,∴.则=a-1.∴a3=a-1.假设数列{a n}能为等比数列.由a1=1,a2=a,得a3=a2.∴a2=a-1,此方程无解,故数列{a n}一定不能为等比数列.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

第35讲 等差数列及其前n 项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，547,29,198n n a a S -===，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【答案】B【分析】根据等差数列的通项的性质和前n 项和公式求解. 【详解】因为()()15422n n n n a a n a a S -++==， 又547,29,198n n a a S -===， 所以18198n =， 所以11n =， 故选：B ．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，452a a =，则74S S =（ ）A ．74B ．-1C ．1D ．54【答案】C【分析】利用等差中项5462a a a =+，6572a a a =+及等差数列前n 项和的性质即可求解. 【详解】解：在等差数列{}n a 中，5462a a a =+，452a a =，故60a =， 又6572a a a =+，故75a a =-， 则745674S S a a a S =+++=，故741S S =. 故选：C.3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ） A ．10秒 B ．13秒 C ．15秒 D ．19秒【答案】D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，结合等差数列的前n 项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ， 则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =． 故选：D.4．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若728S =，则237a a a ++的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式，求得44a =，结合等差数列的性质，化简得到27433a a a a =++，即可求解.【详解】因为728S =，由等差数列的性质和求和公式得17747()7282a a S a +===，即44a =， 则112374393(3)312a d a a a a a d =+=+==++. 故选：C.5．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】C【分析】根据等差数列的前n 项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为()9353m S a a a =++，又959S a =，所以()53593m a a a a =++，所以3553m a a a a ++=，即352m a a a +=， 设等差数列{}n a 的公差为d ， 则1112(1)2(4)a d a m d a d +++-=+， 所以(+1)8m d d =，又0d ≠， 所以18m +=， 所以7m =． 故选：C.6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D7．（2022·重庆·二模）等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若5m a =，则m S 的最大值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【答案】C【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前n 项和公式和一元二次函数求其最值. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ， 因为5m a =，且2d =， 所以1+2(1)5a m -=， 解得172a m =-， 则1()(122)=22m m m a a m m S +-= 2(3)99m =--+≤，即3m m S =时取最大值为9. 故选：C.8．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且1n n S nT n =+，那么87a b 的值为（ ） A ．1312B ．1413C ．1514D ．1615【答案】C【分析】设等差数列{}n a 、{}n b 的公差分别为1d 、2d ,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【详解】设等差数列{}{},n n a b 的公差分别为1d 和2.d11111,12n n S S a n T n T b =∴==+,即1112a b = 2112122223S a d T b d +∴==+,即11232b d d =- ① 311312333334S a d T b d +∴==+,即21143d d b =- ①由①①解得1211,.d d b d ==11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C 9．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n项和为n S ，则30S =（ ） A ．351 B ．353 C ．531 D ．533【答案】B【分析】根据题意讨论n 的奇偶，当n 为奇数时，可得23n n a a +-=，按等差数列理解处理，当n 为偶数时，可得23n n a a ++=，按并项求和理解出来，则30S 按奇偶分组求和分别理解处理． 【详解】依题意，()213nn n a a ++-=， 显然，当n 为奇数时有23n n a a +-=，即有313a a -=，533a a -=，…，21213n n a a +--=， 令21n n b a -=，故13n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列， 故32n b n =-；当n 为偶数时有23n n a a ++=，即423a a +=，643a a +=，…，2223n n a a ++=， 于是，()()3013292430S a a a a a a =+++++++()()()12152462830b b b a a a a a =+++++++++⎡⎤⎣⎦14315273330233532+=⨯++⨯=+=， 故选：B ．10．（多选）（2022·河北沧州·二模）已知数列{}n a 满足()1121,(1)n n n a a a n n ++==--+，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．4850100a a += B ．50464a a -= C ．48600S = D ．49601S =【答案】BCD【分析】由条件可得当n 为奇数时，211n n a a a +===；当n 为偶数时，22n n a a n ++=，然后可逐一判断.【详解】因为()1121,(1)n n n a a a n n ++==--+，所以当n 为奇数时，211n n a a a +===；当n 为偶数时，22n n a a n ++=.所以485096a a +=，选项A 错误；又因为464892a a +=，所以50464a a -=，选项B 正确； ()()()481354724684648S a a a a a a a a a a ⎡⎤=+++++++++++⎣⎦()()24612241226462426002+⨯=⨯+⨯+++=+⨯=故C 正确4948496001601S S a =+=+=，选项D 正确.故选：BCD11．（多选）（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）记数列{}n a 是等差数列，下列结论中不恒成立的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则20a <C ．若12a a <，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】ACD【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则对于A ，由数列{}n a 是等差数列及120a a +>，所以可取123101a a a ===-，，，所以230a a +>不成立，故A 正确；对于B ，由数列{}n a 是等差数列，所以13202a a a +<=，所以20a <恒成立，故B 不正确；对于C, 由数列{}n a 是等差数列，12a a <可取123321a a a =-=-=-，，，所以2a C 正确；对于D ，由数列{}n a 是等差数列，得()()221230a a a a d --=-≤，无论1a 为何值，均有()()21230a a a a --≤所以若10a <，则()()21230a a a a -->恒不成立，故D 正确. 故选：ACD.12．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列{}n a 中2341,25a a a =-+=，则20222020a a -=_______． 【答案】4【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.【详解】设公差为d ，则()11112235a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩，解得：132a d =-⎧⎨=⎩，所以2022202024a a d -==故答案为：413．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n 行共有12n -个数，若12a =，且该数阵中第5行第6列的数为42，则n a =___________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ……【答案】2n【分析】利用等比数列前n 项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式.【详解】解：设公差为d ， 因为该数阵第n 行共有12n -个数， 则前4行共有()41121512⨯-=-个数，所以第5行第6列数为2142a =，则2114222211211a a d --===--， 所以2(1)22n a n n =+-⨯=． 故答案为：2n ．14．（2022·辽宁·抚顺一中模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12113S a =，则5a =______，9S =______．【答案】 0 0【分析】根据等差数列的求和公式，化简可得12d a =，代入12113S a =即可求出14a d =-，根据等差数列的通项公式和求和公式，即可求出答案.【详解】等差数列{}n a 中，12111112663330S a d a a d =+==+， 所以111266330a d a d +=+， 即14a d =-，所以5140a a d =+=，9590S a == 故答案为：①0；①0.15．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺【答案】60【分析】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，所以夏至到立冬的日晷长的和可以用等差数列求和公式得到.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列， 设冬至日晷长13.5尺为1a ，则芒种日晷长2.5尺为12a ，所以1211121a a d -==--， 所以夏至日晷长为1.5尺，记夏至日晷长1.5尺为1b ，小暑为2b ，大暑为3b ，……，立冬为10b则121010(101)101.51602b b b ⋅-+++=⋅+⋅=. 故答案为：60.16．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列{}n a 中，261028a a a ++=，则数列{}n a 的前13项和为______． 【答案】26【分析】由等差数列的通项公式得12+6a d =，再代入求和公式()13113+6S a d =可求得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为261028a a a ++=，()()()111+++5+2+98d d a a a d ∴=， 12+6a d ∴=，则()131113(131)13+13+6262S a d a d ⨯-===， 故答案为：26．17．（2022·广东·模拟预测）已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，若12456,9a b a b ==+=，则78a b +的值是__________. 【答案】6【分析】利用等差数列的性质计算即可得解. 【详解】解：因为{}n a 和{}n b 均为等差数列， 所以1742852,2a a a b b b +=+=， 所以()1728452a a b b a b +++=+， 即781229a b ++=⨯，所以786a b +=. 故答案为：6.18．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{n a }的前n 项和是n S ，180S >，190S <，则数列{|n a |}中值最小的项为第___项． 【答案】10【分析】根据题意判断等差数列{n a }的90a >，100a <，9100a a >->，由此可判断数列{||}n a 的项的增减情况，进而确定答案.【详解】由题意得：119191019()1902a a S a +===<，①100a <，()1180990S a a =+>，①90a >，9100a a >->，①910a a >，故等差数列{n a }为递减数列，即公差为负数， 因此{||}n a 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增， 由于910a a >，①{|n a |}最小的项是第10项， 故答案为：1019．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，29a =-，且()11222n n n S S S n +-+=+≥．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解】(1)由题意得：由题意知()()112n n n n S S S S +----=，则()122n n a a n +-=≥又212a a -=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，则()11213n a a n d n =+-=-； (2)由题知()()11112132112213211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭则1111111111211997213211211211n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12122n n =- 20．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在“①1n n a a +>，31044a a =，4915a a +=；①765S a =，23a =；①2(3)n S n n =+”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且__________． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <． 【解】(1)若选择①，因为1n n a a +>，31044a a =，4915a a +=，31049a a a a +=+， 解得34a =，1011a =，设公差为d ，则有1324a a d +==，101911a a d =+=， 解得12a =，1d =， 所以1n a n =+．若选择①，设公差为d ，74675S a a ==， 即()()117355a d a d +=+，结合213a a d =+=，解得12a =，1d =， 所以1n a n =+．若选择①，当1n =时，112a S ==； 当2n ≥时，1(3)(1)(2)122n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+， 当1n =时亦满足上式， 所以1n a n =+． (2)证明：由（1）得11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++， 所以1111111123341222n T n n n =-+-++-=-+++， 因为102n >+，（*N n ∈），所以111222n -<+，所以12n T <． 【素养提升】1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知sin ,sin ,sin x y z 依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误．．的是（ ）A ．tan ,tan ,tan x y z 依次可组成等差数列B ．cos ,cos ,cos x y z 依次可组成等差数列C ．cos ,cos ,cos x z y 依次可组成等差数列D ．cos ,cos ,cos z x y 依次可组成等差数列【答案】B 【分析】取,0,66x y z ππ=-==，即可判断A ；利用反证法，假设cos ,cos ,cos xy z 依次可组成等差数列，则有2cos coscos y x z =+，2sin sin sin y x z =+，两式相加，整理即可判断B ；取sin 0,sin x y z ===CD.【详解】解：对于A ，当,0,66x y z ππ=-==时，此时11sin ,sin 0,sin 22x y z =-==依次组成严格递增的等差数列，则tan tan 0,tan x y z ===依次组成等差数列，故A 正确； 对于B ，假设cos ,cos ,cos x y z 依次可组成等差数列， 则有2cos cos cos y x z =+， 又因2sin sin sin y x z =+，两式平方相加得()422cos cos sin sin x z x z =++， 则()cos 1x z -=，故2x z k π-=，所以2,Z x k z k π=+∈， 所以()sin sin 2sin x k z z π=+=，与题意矛盾，所以cos ,cos ,cos x y z 依次不可能组成等差数列，故B 错误；对于C ，当sin 0,sin 33x y z =-==11cos ,cos ,cos 133x z y =-==，则cos ,cos ,cos x z y 为等差数列，故C 正确；对于D ，当sin 0,sin 33x y z =-==若11cos ,cos ,cos 133z x y =-==，则cos ,cos ,cos z x y 为等差数列，故D 正确.故选：B.2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()552sin 2350a a +--=，()201820182sin 2370a a +--=，则下列结论正确的是（ ）A ．20222022S =，且52018a a >B ．20222022S =-，且52018a a <C ．20224044S =-，且52018a a >D ．20224044S =，且52018a a <【答案】C【分析】根据题意构造函数()2sin 3f x x x =-，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据()()520182,2f a f a ++的关系即可确定答案.【详解】设函数()2sin 3f x x x =-，则()f x 为奇函数，且()2cos 30f x x '=-<，所以()f x 在R 上递减，由已知可得()()552sin 2321a a +-+=-，()()201820182sin 2321a a +-+=，有()521f a +=-，()201821f a +=，所以()()5201822f a f a +<+，且()()5201822f a f a +=-+，所以520185201822a a a a +>+⇒>，且()5201822a a +=-+，所以520184a a +=-， 120222022520182022()1011()40442a a S a a +==+=-.故选：C.3．（多选）（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列说法正确的是（ ）A ．若为等差数列，则112d a =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d【答案】ABD【分析】对于A ，利用 对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案；对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.【详解】对于A ，因为为等差数列，所以即 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =，所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 正确. 故选：ABD4．（多选）（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a =，()30,1A -记为31,a =-⋅⋅⋅，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S .则（ ）A ．202242a =B ．202287S =-C ．82n a n =D ．()245312n n n n S ++=【答案】ABD【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，则2440n n S +=，同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(),n n ，设2022a 在第k 圈，则k 圈共有()41k k +个数，可判断前22圈共有2024个数，2024a 所在点的坐标为()22,22，向前推导，则可判断A ，B 选项；当2n =时，16a 所在点的坐标为()2,2--，即可判断C 选项；借助2440n n S +=与图可知22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S a a a++++++++=-=+++，即n 项之和，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，即可求解判断D 选项. 【详解】由题，第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点，由对称性可知81280S a a a =+++=；第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点，由对称性可知248910240S S a a a -=+++=，即 240S =，以此类推，可得第n圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，即()214482n nn n SS ++⨯==，设2022a 在第k 圈，则()()888168412k k k kk ++++==+，由此可知前22圈共有2024个数，故20240S =，则()2022202420242023S S a a =-+，2024a 所在点的坐标为()22,22，则2024222244a =+=，2023a 所在点的坐标为()21,22，则2023212243a =+=，2022a 所在点的坐标为()20,22，则2022202242a =+=，故A 正确；()()20222024202420230444387S S a a =-+=-+=-，故B 正确；8a 所在点的坐标为()1,1，则8112a =+=，16a 所在点的坐标为()2,2--，则16224a =--=-，故C 错误；22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=-=+++，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，所以()()()()()245111112122n n S n n n n n n n n +=+++++-++++=+++++()()2123122n n n n n ++++==，故D 正确.故选：ABD5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）在数列{}n a 中，11a =，()11nn n a a n ++-=，*N n ∈，则4a =_______；{}n a 的前2022项和为_______．【答案】 3 1023133【分析】求出数列前若干项，根据其特性，分别求和后再可解即可. 【详解】由()11nn n a a n ++-=，得()11nn n a n a +=--，又11a =，所以()21112a a =--=，()232210a a =--=，()343313a a =--=，()454411a a =--=，()565516a a =--=，()676610a a =--=，()787717a a =--=，()898811a a =--=，()91099110a a =--=，()1011101010a a =--=，()11121111111a a =--=，()1213121211a a =--=，()13141313114a a =--=，⋯；因为202250542=⨯+， 所以，明显可见，规律如下： 159132021,,,,,a a a a a ，成各项为1的常数数列，其和为1506506⨯=， 2610142022,,,,,a a a a a ，成首项为2，公差为4的等差数列，其和为25065055062450625120722⨯⨯+⨯=⨯=， 3711152019,,,,,a a a a a ，成各项为0的成常数数列，其和为05050⨯=，4812162020,,,,,a a a a a ，成首项为3，公差为4的等差数列，其和为505504505345105552⨯⨯+⨯=， 故202250651207205105551023133S =+++=. 故答案为：①3；①1023133.6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n an =+（a 为常数），则20222021a a -=________；设函数()8sin()cos()g x x x x ππ=+-且()()()12918g a g a g a +++=，则5a =__________.【答案】 2；14【分析】根据数列前n 项和与第n 项的关系、等差数列的定义、等差数列的性质，结合辅助角公式、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.【详解】当*2,N n n ≥∈时，221(1)(1)21n n n a S S n an n a n n a -=-=+----=+-，当1n =时，显然成立，因为当*2,N n n ≥∈时，12n n a a --=，数列{}n a 为等差数列，且公差2d =，所以202220212a a -=.又因为111()8sin πcos π8π8π2444g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()8πh t t t =，因为()8π)(8π)()h t t t t t h t -=--=-=-， 所以()h t 为奇函数，因为()8cos π0h t t =+>'，所以()h t 在R 上单调递增. 由题意得()()()1292220g a g a g a -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<<，则129111444a a a -<-<<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为1928374651111111112,444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2；14。

高考数学一轮复习《等比数列》综合练习题（含答案）一、单项选择题1．在等比数列{}n a 中，13524610,18a a a a a a -==，则{}n a 的公比q 为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22．等比数列{an }中，若a 5＝9，则log 3a 4+log 3a 6＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．93．数列{}n a 满足()*331log 1log N n n a a n ++=∈，且1359a a a ++=，则()13579log a a a ++=（ ）A ．4B ．14C ．2-D ．12-4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足，24a =，3424a a +=，则12233445910a a a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=（ ）A ．188(21)5+B ．188(21)5-C ．208(21)5+D ．208(21)5-5．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若76103a b π=，则210311sin 1b b a a +=-（ ） AB． C ．12D ．12-6．已知数列满足212323n a a a na n ++++=，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为（ ） A ．40424043B ．20214043C ．40444045D ．202240457．在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ） A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末8．已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈，则{}n a 的前20项和20S =（ ）A ．20215-B ．20225-C ．21215-D ．21225-9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．已知等比数列{}n a 各项均为正数，且满足：101a <<，1718171812a a a a +<+<，记12n n T a a a =，则使得1n T >的最小正数n 为（ ）A ．36B ．35C ．34D ．3311．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．55112．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 满足12a =，26a =，2156n n n a a a +++=，若[]51log n n b a +=，为数列11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则[]2024S =（ ） A ．999B ．749C ．499D ．249二、填空题13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3614,126S S ==，则1a =___．14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．15．已知数列{}n a 的首项为－1，12,nn n a a +=-则数列{}n a 的前10项之和等于________.16．已知数列{}n a 满足：11a =，()*112+1n nn N a a +=∈若()1111n n b n a λ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为______.三、解答题17．在等比数列{}n a 中，已知320a =，6160a =， （1）求5a ； （2）求8S .18．设{}n a 是等差数列，2d =，且312,,4a a a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.（1）求n a ；（2）设4log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知数列{}n a 是等差数列，首项12a =，且3a 是2a 与41a +的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<，求正整数n 的最大值.22．已知正项等比数列{}n a 满足21372,32a a a ==，数列{}n b 的前n 项和2n S n n =-.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}nc 的前2n 项和2n T .23．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足___________.给出下列三个条件： ①48a =，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥；②()1n n S pa p =-∈R ；③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22121log n nb n a =+⋅，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1132n T ≤<参考答案1．D2．C3．C4．A5．A6．D7．A8．D9．D10．B11．C12．A 13．2 14．1215．31 16．4λ<17．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则3638aq a ==，所以2q，所以25320480a a q ==⨯=；（2）由（1）可得3125a a q ==， 所以818(1)5(1256)127511a q S q -⨯-===--. 18．（1）因为132+4a a a ，，成等比数列，所以2312(+4)a a a =，即1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-，所以82(1)210n a n n =-+-=-（2）由（1）知210n a n =-， 所以2282109819()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--； 因为N n +∈所以当4n =或者5n =时，n S 取到最小值20-19．（1）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.则-2和6为21120a x qx --=的两根，所以()126qa -+=，()11226a -⨯=-， 解得11a =，4q =.所以1114n n n a a q --==.（2）由（1）得14log 41n n n n b a a n -=+=+-，所以()1144121n n T n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-，()141412n n n --=+-， 24132n n n--=+. 20．()23241a a a =+,()()()2111231a d a d a d +=+++, ()()()222233d d d +=++,()()()241312d d d +=++,()()144360d d d ++--=, ()()120d d +-=,∴1d =-，此时3220a d =+=, 舍,2d =,∴2n a n =; （2）()()411122111n b n n n n n n ===-⋅+++,11111122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（1）易知{}n a 各项均为正， 对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+， 即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1121a -=，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭，即11123n n a -=+， 所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-， 显然()f n 单调递增，因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>，所以n 的最大值为1010.22．解：（1）由题意，设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则2237532a a a ==，故532a =.∴ 4451162a q a ===.解得2q .∴ 数列{}n a 的通项公式为1*222,n n n a n N -=⨯=∈ .当1n =时，110b S ==，当2n ≥时，()()()2211122n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. ∴ 数列{}n b 的通项公式为*22,n b n n N =-∈（2）由（1）知，,2,,22,n n n n a n n c b n n n ⎧⎧==⎨⎨-⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数.∴21234212n n n T c c c c c c -=++++++()132********n n -=++++++-()()132********n n -=+++++++-⎡⎤⎣⎦=2122222[2(42)]122n n n --⋅⋅+--212122233n n +=⋅+- 23．（1）若选①，因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥，所以()2112n n n a a a n -+=≥，所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ，0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②，因为()1n n S pa p =-∈R ，当1n =时，1111S pa a =-=，所以2p =，即21n n S a =- 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以()122n n a a n -=≥所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③，因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ，当1n =时，11222a k =⋅=，所以1k =，即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时，()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅，所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥，即()122n n a n -=≥，当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=（2） 由（1）得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈，∴()10221n >+，∴()11122212nT n =-<+ 易证*n ∈N 时，()112221n T n =-+是增函数，∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<。

高考数学一轮复习学案：6.3 等比数列及其前n项和（含答案）6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.以考查等比数列的通项.前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题.填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列.数列求和.不等式等问题综合考查.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示q02等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1a10，q03等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，GabG，G2ab，Gab，称G为a，b的等比中项4等比数列的常用性质1通项公式的推广anamqnmn，mN*2若an为等比数列，且klmnk，l，m，nN*，则akalaman.3若an，bn项数相同是等比数列，则an0，1an，a2n，anbn，anbn仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为qq0，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sna11qn1qa1anq1q.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展等比数列an 的单调性1满足a10，q1或a10，0q0，0q1或a11时，an是递减数列3当a10，q1时，an为常数列4当q0，b22，a1a2b2a2a1b212.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则S5S2________.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，S5S2a11q51q1qa11q21q51q21251411.6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB1MB210KB答案48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n64210216，n16.即病毒共复制了16次所需时间为16348分钟.题型一题型一等比数列基本量的运算等比数列基本量的运算1xx开封质检已知等比数列an满足a114，a3a54a41，则a2等于A2B1C.12D.18答案C解析由an为等比数列，得a3a5a24，又a3a54a41，所以a244a41，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得214q3，解得q2，所以a2a1q12.故选C.2xx济宁模拟已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a352，a2a454，则Snan________.答案2n1解析a1a352，a2a454，a1a1q252，a1qa1q354，由除以可得1q2qq32，解得q12，代入得a12，an212n142n，Sn2112n1124112n，Snan4112n42n2n1.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组可迎刃而解题型二题型二等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明典例xx潍坊质检设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.1设bnan12an，证明数列bn是等比数列；2求数列an的通项公式1证明由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又Sn14an2，Sn4an12n2，由，得an14an4an1n2，an12an2an2an1n2bnan12an，bn2bn1n2，故bn是首项b13，公比为2的等比数列2解由1知bnan12an32n1，an12n1an2n34，故an2n 是首项为12，公差为34的等差数列an2n12n1343n14，故an3n12n2.引申探究若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Snn1”，其他不变，求数列an的通项公式解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112an1，n2，*又a11，S2a1a22a12，即a212a11，当n1时*式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题.填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可2利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证跟踪训练xx全国已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.1证明an是等比数列，并求其通项公式；2若S53132，求.1证明由题意得a1S11a1，故1，a111，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an11an，由a10，0得an0，所以an1an1.因此an是首项为11，公比为1的等比数列，于是an111n1.2解由1得Sn11n.由S53132得1153132，即15132.解得1.题型三题型三等比数列性质的应用等比数列性质的应用1xx郑州三模已知等比数列an，且a6a84，则a8a42a6a8的值为A2B4C8D16答案D 解析a6a84，a8a42a6a8a8a42a8a6a28a6a8216.故选D.2xx云南省一校跨区调研已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于A40B60C32D50答案B解析由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260，故选B.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类1通项公式的变形2等比中项的变形3前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口分类讨论思想在等比数列中的应用典例12分已知首项为32的等比数列an的前n项和为SnnN*，且2S2，S3,4S4成等差数列1求数列an的通项公式；2证明Sn1Sn136nN*思想方法指导1利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；2求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答1解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是qa4a312.2分又a132，所以等比数列an的通项公式为an3212n11n132nnN*3分2证明由1知，Sn112n，Sn1Sn112n1112n212n2n1，n为奇数，212n2n1，n为偶数.6分当n 为奇数时，Sn1Sn随n的增大而减小，所以Sn1SnS11S13223136.8分当n为偶数时，Sn1Sn随n的增大而减小，所以Sn1SnS21S234432512.10分故对于nN*，有Sn1Sn136.12分。

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案30 等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an ＝______________.3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质通项公式的推广：an＝am&#8226;________．若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则__________________________．若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an&#8226;bn}，anbn仍是等比数列．单调性：a1&gt;0，q&gt;1或a1&lt;00&lt;q&lt;1&#8660;{an}是________数列；a1&gt;0，0&lt;q&lt;1或a1&lt;0q&gt;1&#8660;{an}是________数列；q＝1&#8660;{an}是____数列；q&lt;0&#8660;{an}是________数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1&#61480;1－qn&#61481;1－q＝a1&#61480;qn－1&#61481;q－1＝a1qnq－1－a1q－1.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是A．3B．1c．0D．－13．设f＝2＋24＋27＋…＋23n＋1，则f等于A.27B.27c.27D.274．已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a ＋8，则an等于A．8&#8226;32nB．8&#8226;23nc．8&#8226;32n－1D．8&#8226;23n－15．设{an}是公比为q的等比数列，|q|&gt;1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.探究点一等比数列的基本量运算例 1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2&#8226;an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2 已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.证明数列{an＋1}是等比数列；求{an}的通项公式以及Sn.变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n．求a2，a3的值；求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三等比数列性质的应用例3 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.变式迁移3 已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]由题意得a1&#61480;1－qn&#61481;1－q＝80，①a1&#61480;1－q2n&#61481;1－q＝6560.②[4分]将①整体代入②得80＝6560，∴qn＝81.[6分]将qn＝81代入①得a1＝80，∴a1＝q－1，由a1&gt;0，得q&gt;1，∴数列{an}为递增数列．[8分]∴an＝a1qn－1＝a1q&#8226;qn＝81&#8226;a1q＝54.∴a1q＝23.[10分]与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1．[12分]【突破思维障碍】分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1&gt;0，q&gt;1或a1&lt;0,0&lt;q&lt;1时为递增数列；当a1&lt;0，q&gt;1或a1&gt;0,0&lt;q&lt;1时为递减数列；当q&lt;0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q&#8226;qn常和指数函数相联系．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a1&#61480;1－qn&#61481;1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn －1，Sn＝na1，q＝1，a1&#61480;1－qn&#61481;1－q，q≠1.2．等比数列的判定方法：定义法：即证明an＋1an＝q．中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝an&#8226;an＋2．3．等比数列的性质：an＝am&#8226;qn－m；若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则ak&#8226;al＝am&#8226;an；设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q ＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若{an}是等比数列，且an&gt;0，则{lgan}构成等差数列．一、选择题．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于A.152B.314c.334D.1722．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于A．－11B．－8c．5D．113．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于A．33B．72c．84D．1894．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是A．T10B．T13c．T17D．T255．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于A．－3B．5c．－31D．33题号2345答案二、填空题6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.三、解答题9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．求数列{an}的通项；求数列{2an}的前n项和Sn.0．已知数列{log2}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.求证：数列{an－1}是等比数列；求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d&gt;0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．求数列{an}与{bn}的通项公式；设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋cXX.答案自主梳理．公比q 2.a1&#8226;qn－1 4.qn－m ak&#8226;al＝am&#8226;an递增递减常摆动 6.qn自我检测．D 2.B 3.B 4.c 5.－9课堂活动区例1 解题导引在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解方法一由已知得：a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①②①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4或q2＝14.又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.当q＝2时，可得a1＝12，∴an＝12×2n－1＝2n－2，Sn＝121－2＝2n－1－12；当q＝12时，可得a1＝32.∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝321－12n1－12＝64－26－n.方法二∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，即2＝100，2＝36.∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8.当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14.∵q&gt;0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n.当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q&gt;0，∴q＝2.由a3＝a1q2，得a1＝24＝12.∴an＝12×2n－1＝2n－2.Sn＝122－1＝2n－1－12.变式迁移1 解由题意得a2&#8226;an－1＝a1&#8226;an＝128，a1＋an＝66，解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64.若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q ＝126，解得q＝12，此时，an＝2＝64&#8226;12n－1，∴n＝6.若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2.∴an＝64＝2&#8226;2n－1.∴n＝6.综上n＝6，q＝2或12.例2 解题导引证明数列是等比数列的两个基本方法：①an＋1an＝q．②a2n＋1＝anan＋2．证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．证明由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2，故总有an＋1＋1＝2，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．解由得an＋1＝6&#8226;2n－1，所以an＝6&#8226;2n－1－1，于是Sn＝6&#8226;1－2－n＝6&#8226;2n－n－6.变式迁移2 解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2＋6，∴a3＝8.证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋an－1＝Sn－1＋2．②①－②得nan＝Sn－Sn－1＋2＝n－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am&#8226;an＝ap&#8226;aq”，可以减少运算量，提高解题速度．解由已知得a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2，∴a23＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，即1q2＋1q＋1＋q＋q2＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4.此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.变式迁移3 解∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.a1a2a3a4＝a1&#8226;a1q&#8226;a1q2&#8226;a1q3＝a41q6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12&#8226;a1q13&#8226;a1q14&#8226;a1q15＝a41&#8226;q54＝8.②②÷①：a41&#8226;q54a41&#8226;q6＝q48＝8&#8658;q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40&#8226;a1q41&#8226;a1q42&#8226;a1q43＝a41&#8226;q166＝a41&#8226;q6&#8226;q160＝&#8226;10＝1&#8226;210＝1024.课后练习区．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q&gt;0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q －1＝0.故q＝12或q＝－13，∴a1＝1q2＝4.∴S5＝41－12＝8＝314.]2．A [由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1a1＝－11.]3．c [由题可设等比数列的公比为q，则31－q＝21&#8658;1＋q＋q2＝7&#8658;q2＋q－6＝0 &#8658;＝0，根据题意可知q&gt;0，故q＝2.所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]4．c [a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．] 5．D [因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，即S6S3＝a11－qa11－q＝1＋q3＝182＝9，故q＝2，从而S10S5＝a11－qa11－q＝1＋q5＝1＋25＝33.]6．127解析∵公比q4＝a5a1＝16，且q&gt;0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127.7.1207解析∵S99＝30，即a1＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a11－8＝4a17＝47×30＝1207.8．4n－1解析∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.9．解由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………解得d＝1或d＝0．故{an}的通项an＝1＋×1＝n.……………………………………………………由知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………0．证明设log2－log2＝d，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2－log2＝log24－log22＝1，…………………………………………………………所以log2＝n，所以an－1＝2n，所以an－1an－1－1＝2，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………解由可得an－1＝&#8226;2n－1，所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n＝12＋122＋…＋12n＝1－12n.………………………………………………………………1．解由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴2＝．解得d＝2．……………………………………………………………………∴an＝1＋&#8226;2＝2n－1.………………………………………………………………又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3&#8226;3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.两式相减得：当n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.……………………………………………∴cn＝2bn＝2&#8226;3n－1．又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.∴cn＝3 2&#8226;3n－1.……………………………………………………………∴c1＋c2＋c3＋…＋cXX＝3＋6－2×3XX1－3＝3＋＝3XX.…………………………………………。

6.3等比数列及其前n 项和（原卷版）一、单项选择题1．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于()A ．2或－2B ．－2C ．2D ．32．已知实数b 为a ，c (a ≥b ≥c >0)的等差中项，若2c ，b ，2a 成等比数列，则此等比数列的公比为()A ．2－3B ．2＋3C ．7－43D ．7＋433．在等比数列{a n }中，若a 2a 5＝－34，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，则1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝()A ．1B ．－34C ．－53D ．434．已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝1－A ·3n ＋1(A ∈R )，数列{b n }是递增数列，且b n ＝An 2＋Bn ，则实数B 的取值范围为()A ．－23，＋B ．[－1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D －13，＋5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且(2－1)S n ＋a n ＝2(n ∈N *).记b n ＝a n a n＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，则使T n >63264成立的最小正整数为()A ．5B ．6C ．7D ．86．已知数列{a n }是等比数列，下列结论正确的是()A ．若a 1a 2>0，则a 2a 3<0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若a 2>a 1>0，则a 1＋a 3>2a 2D ．若a 1a 2<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)<07．公比q≠－1的等比数列的前3项、前6项、前9项的和分别为S3，S6，S9，则下列等式成立的是()A．S3＋S6＝S9B．S26＝S3S9C．S3＋S6－S9＝S26D．S23＋S26＝S3(S6＋S9)8．已知数列{a n}为无穷等比数列，且公比q>1，记S n为数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a2>a1B．a1＋a2>0C．数列{a2n}是递增数列D．S n存在最小值二、多项选择题9．数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝2S n(n∈N*)，则有()A．S n＝3n－1B．{S n}为等比数列C．a n＝2·3n－1D．a n ，n＝1，·3n－2，n≥210．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7－1a8－1则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a7a9<1C．T n的最大值为T7D．S n的最大值为S711．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝p，2S n－S n－1＝2p(n≥2，p为非零常数)，则下列结论正确的是()A．数列{a n}是等比数列B．当p＝1时，S4＝158C．当p＝12时，a m a n＝a m＋nD．|a3|＋|a8|＝|a5|＋|a6|三、填空题12．已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a2＝2，S3＝7，数列{log2(S n＋1)}的前n项和为T n，则T n＝．13．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝13，a24＝a6，则S6＝．14．在正项数列{a n}中，a1＝3，a n＋a n－1a n＋1－a n－1＝a n－1a n－a n－1(n≥2，n∈N*)，若a19＝27，则a10＝．15．已知等比数列{a n}满足a n>0，且a2a6＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a7＝．四、解答题16．设a1＝2，a2＝4，数列{b n}满足：b n＝a n＋1－a n，b n＋1＝2b n＋2.(1)求证：数列{b n＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；(2)求数列{a n}的通项公式．17．已知数列{a n}的前n项和S n满足条件S n＝3a n＋2.(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n＋1＝S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n n项和T n.6.3等比数列及其前n项和（解析版）一、单项选择题1．已知等差数列{a n}中，a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比数列，那么d等于()A．2或－2B．－2C．2D．3答案C解析因为a1，a2，a5成等比数列，所以a22＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，因为a1＝1，所以(1＋d)2＝1(1＋4d)，解得d＝2(d＝0舍去).故选C.2．已知实数b为a，c(a≥b≥c>0)的等差中项，若2c，b，2a成等比数列，则此等比数列的公比为()A．2－3B．2＋3C．7－43D．7＋43答案B解析因为实数b为a，c(a≥b≥c>0)的等差中项，所以2b＝a＋c①，又2c，b，2a成等比数列，所以b2＝2a·2c＝4ac②，联立①②＝4ac，即a2－14ac＋c2＝0－14·ac ＋1＝0，解得ac＝7±43.设等比数列的公比为q，由题意，知q>1，q2＝2a2c ＝ac＝7＋43，所以q＝2＋ 3.故选B.3．在等比数列{a n}中，若a2a5＝－34，a2＋a3＋a4＋a5＝54，则1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝()A．1B．－34C．－53D．43答案C解析因为数列{a n }是等比数列，a 2a 5＝－34＝a 3a 4，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，所以1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 2＋a 5a 2a 5＋a 3＋a 4a 3a 4＝54－34＝－53.故选C.4．已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝1－A ·3n ＋1(A ∈R )，数列{b n }是递增数列，且b n ＝An 2＋Bn ，则实数B 的取值范围为()A ．－23，＋B ．[－1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D －13，＋答案C解析因为等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝1－A ·3n ＋1(A ∈R )，所以a 1＝S 1＝1－9A ，a 2＝S 2－S 1＝(1－27A )－(1－9A )＝－18A ，a 3＝S 3－S 2＝(1－81A )－(1－27A )＝－54A ，在等比数列{a n }中，因为a 22＝a 1a 3，所以(－18A )2＝(1－9A )(－54A ).解得A ＝13或A ＝0(舍去)，所以b n ＝13n 2＋Bn .因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝13(n ＋1)2＋B (n ＋1)－13n 2－Bn >0，所以B >－23n －13.又n ∈N *，所以B >－1.故选C.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且(2－1)S n ＋a n ＝2(n ∈N *).记b n ＝a n a n＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，则使T n >63264成立的最小正整数为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案C 解析由(2－1)S n ＋a n ＝2，可知(2－1)·S n ＋1＋a n ＋1＝2，所以(2－1)(S n＋1－S n )＋a n ＋1－a n ＝0，即2a n ＋1＝a n .当n ＝1时，因为(2－1)a 1＋a 1＝2，所以a 1＝1，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n＝22，所以数列{a n }是以1为首项，22为公比的等比数列，所以b n ＋1b n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝＝12.又b 1＝a 1a 2＝22，所以数列{b n }是以22为首项，12为公比的等比数列，所以T n＝221n1－12＝21n.又T n>63264，所以1>6364，即<164＝，所以n>6.又n∈N*，所以n的最小值为7.故选C.6．已知数列{a n}是等比数列，下列结论正确的是()A．若a1a2>0，则a2a3<0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2D．若a1a2<0，则(a2－a1)(a2－a3)<0答案C解析数列{a n}是等比数列，对于A，a1a2>0，即a21q>0，可得q>0，则a2a3＝a21q3>0，故A不正确；对于B，a1＋a3＝a1(1＋q2)<0，可得a1<0，由于a1＋a2＝a1(1＋q)，当q<－1时，a1＋a2>0，故B不正确；对于C，a2>a1>0，可得q>1，所以a1＋a3－2a2＝a1(1－2q＋q2)＝a1(1－q)2>0，故a1＋a3>2a2，C正确；对于D，由a1a2<0，可得a21q<0，可得q<0，所以(a2－a1)(a2－a3)＝a21(q－1)(q－q2)＝－a21q(q －1)2>0，故D不正确．故选C.7．公比q≠－1的等比数列的前3项、前6项、前9项的和分别为S3，S6，S9，则下列等式成立的是()A．S3＋S6＝S9B．S26＝S3S9C．S3＋S6－S9＝S26D．S23＋S26＝S3(S6＋S9)答案D解析由等比数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，整理，得S23＋S26＝S3(S6＋S9).故选D.8．已知数列{a n}为无穷等比数列，且公比q>1，记S n为数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a2>a1B．a1＋a2>0C．数列{a2n}是递增数列D．S n存在最小值答案C解析因为数列{a n}为无穷等比数列，且公比q>1，但首项的正负不确定，所以a2＝a1q与a1的大小关系不能确定，a1＋a2＝a1(1＋q)也不一定大于0，故A，B错误；对于C，因为a2n＝a21(q2)n－1，所以数列{a2n}是首项为a21>0，公比为q2的等比数列，所以a2n＋1－a2n＝a21·(q2)n－a21(q2)n－1＝a21(q2)n－1(q2－1)>0，所以数列{a2n}是递增数列，C正确；对于D，因为S n为数列{a n}的前n项和，所以S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n，因为首项的正负不确定，所以S n的增减性不确定，故S n不一定存在最小值，故D错误．故选C.二、多项选择题9．数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝2S n(n∈N*)，则有()A．S n＝3n－1B．{S n}为等比数列C．a n＝2·3n－1D．a n ，n＝1，·3n－2，n≥2答案ABD解析由题意，数列{a n}的前n项和满足a n＋1＝2S n(n∈N*)，当n≥2时，a n ＝2S n－1，两式相减，可得a n＋1－a n＝2(S n－S n－1)＝2a n，可得a n＋1＝3a n，即a n＋1a n＝3(n≥2)，又由a1＝1，当n＝1时，a2＝2S1＝2a1＝2，所以a2a1＝2，所以数列的通项公式为a n ，n ＝1，·3n －2，n ≥2；当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又由n ＝1时，S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1；又由S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3，所以数列{S n }为公比为3的等比数列．综上可得，选ABD.10．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，a 7－1a 8－1则下列结论正确的是()A ．0<q <1B ．a 7a 9<1C ．T n 的最大值为T 7D ．S n 的最大值为S 7答案ABC解析因为a 1>1，a 7a 8>1，a 7－1a 8－1<0，所以a 7>1，0<a 8<1，所以0<q <1，故A正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 正确；a 7>1，0<a 8<1，所以T 7是T n 中的最大项，故C 正确；因为a 1>1，0<q <1，所以S n 无最大值，故D 错误．故选ABC.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝p ，2S n －S n －1＝2p (n ≥2，p 为非零常数)，则下列结论正确的是()A ．数列{a n }是等比数列B ．当p ＝1时，S 4＝158C ．当p ＝12时，a m a n ＝a m ＋nD ．|a 3|＋|a 8|＝|a 5|＋|a 6|答案ABC解析对于A ，在数列{a n }中，因为a 1＝p ，2S n －S n －1＝2p (n ≥2，p 为非零常数)①，当n ＝2时，2(a 2＋p )－p ＝2p ，解得a 2＝p2，当n ≥3时，2S n －1－S n －2＝2p ②，由①－②，得2a n －a n －1＝0，即a n a n －1＝12，又因为a 2a 1＝12，所以数列{a n }是首项为p ，公比为12的等比数列，因此A 正确；对于B ，由A 项，得a n ＝p－1，因此当p ＝1时，a n－1，S 4＝121－12＝158，B 正确；对于C ，由A 项，得a n ＝p－1，因此当p ＝12时，a n，a m a n＋n＝a m ＋n ，因此C 正确；对于D ，由A 项，得a n ＝p－1，因此|a 3|＋|a 8|＝|p |＋|p＝|p |·33128，|a 5|＋|a 6|＝|p＋|p＝|p |·12128，所以|a 3|＋|a 8|>|a 5|＋|a 6|，D 不正确．故选ABC.三、填空题12．已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝2，S 3＝7，数列{log 2(S n ＋1)}的前n 项和为T n ，则T n ＝．答案n （n ＋1）2解析设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝7，得2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)，则a 1＝a 2q ＝22＝1，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.令b n ＝log 2(S n ＋1)，则b n ＝log 22n ＝n ，所以T n ＝n （n ＋1）2.13．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 6＝．答案3643解析设等比数列{a n}的公比为q，则由a24＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，即a1q＝1，因为a1＝13，所以q＝3，所以S6＝13×（1－36）1－3＝3643.14．在正项数列{a n}中，a1＝3，a n＋a n－1a n＋1－a n－1＝a n－1a n－a n－1(n≥2，n∈N*)，若a19＝27，则a10＝．答案9解析因为a n＋a n－1a n＋1－a n－1＝a n－1a n－a n－1，所以a2n－a2n－1＝a n＋1a n－1－a2n－1，所以a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2)，故数列{a n}为等比数列，所以a210＝a1a19＝81，又a n>0，所以a10＝9.15．已知等比数列{a n}满足a n>0，且a2a6＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a7＝．答案7解析由已知可得a1a7＝a2a6＝a3a5＝a24＝4，所以a4＝2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a7＝log2(a1a2a3…a7)＝log2(27)＝7.四、解答题16．设a1＝2，a2＝4，数列{b n}满足：b n＝a n＋1－a n，b n＋1＝2b n＋2.(1)求证：数列{b n＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；(2)求数列{a n}的通项公式．解(1)证明：因为b n＋1＝2b n＋2，两边同时加2，得b n＋1＋2＝2(b n＋2)，所以b n＋1＋2b n＋2＝2，又b1＝a2－a1＝2，b1＋2＝4，所以数列{b n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)可知，b n＋2＝4·2n－1＝2n＋1.所以b n＝2n＋1－2.则a n＋1－a n＝2n＋1－2.令n＝1，2，…，n－1，则a2－a1＝22－2，a3－a2＝23－2，…，a n－a n－1＝2n－2，将上式相加，得a n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2(n－1)＝2n＋1－2－2n＋2＝2n＋1－2n，所以a n＝2n＋1－2n.17．已知数列{a n}的前n项和S n满足条件S n＝3a n＋2.(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n.解(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝3a1＋2，解得a1＝－1，当n≥2时，由S n＝3a n＋2，得S n－1＝3a n－1＋2，将上述两式作差，得a n＝3a n－3a n－1，整理得a n＝32a n－1.因为a1＝－1≠0，则对任意的n∈N*，a n≠0，所以a na n－1＝3 2，所以数列{a n}是以－1为首项，32为公比的等比数列．(2)由(1)可知，数列{a n}是以－1为首项，32为公比的等比数列，故a n＝－－1.由等比数列的求和公式可得S n＝－1×1n1－32＝21n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n＋1＝S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a nn项和T n.解(1)因为a n＋1＝S n，所以a n＝S n－1(n≥2)，两式相减，得a n＋1＝2a n(n≥2)，所以数列{a n}是从第2项开始的等比数列，因为a2＝S1＝2，所以a n ，n＝1，n－1，n≥2.(2)因为b n＝log2a n ，n＝1，－1，n≥2，①当n≥2时，T n＝11×1＋11×2＋12×3＋…＋1（n－1）n＝1＋1－12＋12－13＋13－1 4＋…＋1n－1－1n＝2－1n.②当n＝1时，T1＝1，满足T n＝2－1n.综上所述，T n＝2－1n.。

专题7.3 等比数列及其前n 项和（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．92．（2020·山东·高考真题）在等比数列{}n a 中，11a =，22a =-，则9a 等于（ ） A ．256B ．-256C ．512D ．-5123．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（ ） A ．54-或54B ．54-C ．45D ．544．（2017·全国·高考真题（理））等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．85．（2020·全国·高考真题（文））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12B ．24C ．30D ．326．（2023·全国·高三专题练习）若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤7．（2020·全国·高考真题（理））数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2017·全国·高考真题（理））几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440 B ．330C ．220D ．110二、多选题9．（2022·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n 个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为n a ，则（ ）A ．23a =B ．38a =C ．12n n a a n +=+D ．21nn a =-10．（2022·广东茂名·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}1n a +是等比数列 B ．数列{}1n a +是等差数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T >11．（2022·河北保定·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，22a =，1143n n n a a a +-=-，则下面说法正确的是（ ） A ．数列{}1n n a a +-为等比数列 B ．数列{}13n n a a +-为等差数列C ．131n naD ．3142n n nS -=+12．（2022·重庆八中模拟预测）如图，一只蚂蚁从正方形ABCD 的顶点A 出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为13，逆时针的概率为23，设蚂蚁经过n 步到达B ，D 两点的概率分别为(),n n p q n +∈N ．下列说法正确的有（ ）A ．31327p =B ．221n n p q +=C ．121111692n n p --⎛⎫⎛⎫=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．20221505k k p =>∑三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S =________．14．（2019·全国·高考真题（文））记Sn 为等比数列{an }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．15．（2018·全国·高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 16．（2022·上海青浦·二模）已知数列{}n a 的通项公式为2n n a =，数列{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列，若1k k k b a b +<<，其中1,2,,10k =…，则公比q 的取值范围是_________． 四、解答题17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且数列{}1n S +是公比为2的等比数列 (1)求n a ．(2)若数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a +=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，28a =，且2124n n n S S S ++-+=． (1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若m a ，m S ，114m a +成等比数列，求正整数m ．19.（2018·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．20．（2019·全国·高考真题（文））已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.21．（2019·天津·高考真题（理））设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .22．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ； (2)若对于每个n *∈N ，存在实数nc ，使12,4,15n n n n n na c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．专题7.3 等比数列及其前n 项和（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到54681a a a 2＝＝，再利用指数运算法则求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，若59a =，所以54681a a a 2＝＝，所以()23436353log log log log 814a a a +==＝． 故选：C2．（2020·山东·高考真题）在等比数列{}n a 中，11a =，22a =-，则9a 等于（ ） A ．256 B ．-256 C ．512 D ．-512【答案】A 【解析】 【分析】求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为11a =，22a =-，所以212a q a ==-， 所以()198812256a q a ==⨯-=， 故选：A.3．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（ ） A ．54-或54 B ．54- C ．45D ．54【答案】D【解析】 【分析】由等差数列求和公式求出35a =，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出6714b b q ==，从而求出结果. 【详解】 由题意得：()155355252a a S a +===，解得：35a =， 设等比数列{}n b 的公比是q ，因为1132,8b b ==，所以1228q =，解得：124q =，显然60q >，所以62q =，所以6714b b q ==，所以3754a b = 故选：D4．（2017·全国·高考真题（理））等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式，列出关于等差数列公差d 的方程，求出d ，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求出结果. 【详解】因为设等差数列{}n a 的公差d ，且0d ≠，11a = 若2a 、3a 、6a 成等比数列，所以2326a a a =⋅，所以()()()211125a d a a d d +=+⋅+， 所以220d d +=，即2d =-， 所以{}n a 的前6项的和为()16562242a ⨯+⨯-=-. 故选：A.5．（2020·全国·高考真题（文））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤【答案】D 【解析】 【分析】对选项A ，令112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可检验；对选项B ，令2nn b =即可检验；对选项C ，令n a n =即可检验；对选项D ，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可. 【详解】 若112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12341111,,,248b b b b ==-==-可得：14237184b b b b +=>=-+，故选项A 错误； 若2nn b =，则12342,4,8,16b b b b ====可得：4132144b b b b -=>-=，故选项B 错误；若n a n =，则12341,2,3,4a a a a ====可得：124346a a a a =<=，故选项C 错误； 不妨设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有：()112411133a a a a d a a d =+=+()()22311121223a d a d a d a a d a =++=++则有：4223120a a a a d -=≥，故选项D 正确 故选：D7．（2020·全国·高考真题（理））数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】取1m =，可得出数列{}n a 是等比数列，求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k *∈N 可求得k 的值. 【详解】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.8．（2017·全国·高考真题（理））几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220D ．110【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 二、多选题9．（2022·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n 个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为n a ，则（ ）A ．23a =B ．38a =C ．12n n a a n +=+D ．21nn a =-【答案】AD 【解析】 【分析】由题可得121n n a a +=+，进而可得{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，可得21nn a =-，即得.【详解】将圆盘从小到大编为1,2,3,号圆盘，则将第1n +号圆盘移动到3号柱时，需先将第1n 号圆盘移动到2号柱，需n a 次操作；将第1n +号圆盘移动到3号柱需1次操作； 再将1n 号圆需移动到3号柱需n a 次操作， 故121n n a a +=+，()1121n n a a ++=+，又11a =， ∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴11222n n n a -+=⨯=，即21n n a =-，∴233,7a a ==. 故选：AD.10．（2022·广东茂名·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}1n a +是等比数列 B ．数列{}1n a +是等差数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T > 【答案】AC 【解析】【分析】由1121n n n n a S S a ++=-=+可得，1121n n a a ++=+，可判断A,B 的正误，再求出n a ，可判断C 的正误，利用裂项相消法求n T ，可判断D 的正误. 【详解】因为121n n n S S a +=++，所以1121n n n n a S S a ++=-=+，1+122n n a a +=+， 即1121n n a a ++=+，且112a +=， 所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确，B 错误；所以12nn a +=，即21n n a =-，故C 正确；因为()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅， 所以12231121212121111111111212121n n n n T ++-+-+=----+---=--<…， 故D 错误； 故选：AC.11．（2022·河北保定·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，22a =，1143n n n a a a +-=-，则下面说法正确的是（ ） A ．数列{}1n n a a +-为等比数列 B ．数列{}13n n a a +-为等差数列C ．131n naD ．3142n n nS -=+【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知递推式可得()113n n n n a a a a +--=-或1133n n n n a a a a +--=-，从而可得数列{}1n n a a +-为公比为3的等比数列，数列{}13n n a a +-为常数列，从而可求出,n n a S ，进而可分析判断 【详解】根据题意得()()111113434344n n n n n n n n n a a a a ka k a a k a a k +-+--⎛⎫=-⇒+=+-=+-⎪+⎝⎭，令2343014k k k k k =-⇒++=⇒=-+或3k =-，所以可得：()113n n n n a a a a +--=-或1133n n n n a a a a +--=-，所以数列{}1n n a a +-为公比为3的等比数列，故选项A 正确；数列{}13n n a a +-为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B 正确；所以1113n n n a a -+-=⨯，且131n n a a +-=-，解得1312n n a -+=，所以C 错误，所以12n n S a a a =++⋅⋅⋅+011313131222n -+++=++⋅⋅⋅+()011133322n n -=++⋅⋅⋅++1132132n n -=⨯+-3142n n -=+，所以D 正确， 故选：ABD ．12．（2022·重庆八中模拟预测）如图，一只蚂蚁从正方形ABCD 的顶点A 出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为13，逆时针的概率为23，设蚂蚁经过n 步到达B ，D 两点的概率分别为(),n n p q n +∈N ．下列说法正确的有（ ）A ．31327p =B ．221n n p q +=C ．121111692n n p --⎛⎫⎛⎫=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．20221505k k p =>∑【答案】ACD 【解析】【分析】有四种情形：,,,→→→→→→→→→→→→A B C B A D A B A B A B A D C B ，求其概率可判断A ；从顶点A 出发经过2n 步到达B 、D 两点为不可能事件，所以220==n n p q 可判断B ；对于C ，当n 为偶数时0n p =，当n 为奇数时，先计算从B 点或D 点出发经过两步到达B 点的概率，再讨论从顶点A 出发经过n 步到达B 点的两种情形：①从顶点A 出发经过2n -步到达B 点，再经过两步到达B 点的概率为249-n p ，②从顶点A 出发经过2n -步到达D 点，再经过两步到达B 点的概率为259-n q ，可得2191212-⎛⎫ ⎪⎝-⎭-=-n n p p 可判断C ；利用011211111169992=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎢⎥=⎭⎣⎦∑k n n nk p p p np 可判断D ； 【详解】对于A ，有四种情形：,,,→→→→→→→→→→→→A B C B A D A B A B A B A D C B ，其所求的概率为322112211113233333333333213=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=p ，故A 正确；对于B ，当n 为偶数时，从顶点A 出发，只能到达A 点或C 点，此时0,0+===n n n n p q p q ，当n 为奇数时，从顶点A 出发，只能到达B 点或D 点，此时1+=n n p q ，即从顶点A 出发经过2n 步到达B 、D 两点为不可能事件，所以220==n n p q ，故B 错误；对于C ，当n 为偶数时0n p =，当n 为奇数时，先计算从B 点或D 点出发经过两步到达B 点的概率，分别为2113333924→=⨯+⨯=B B p ，1123333925→=⨯+⨯=D B p ，现讨论从顶点A 出发经过n 步到达B 点的两种情形：①从顶点A 出发经过2n -步到达B 点，再经过两步到达B 点的概率为249-n p ，②从顶点A 出发经过2n -步到达D 点，再经过两步到达B 点的概率为259-n q ，故()2222454519999----=+=+-n n n n n p p q p p ，可得2191212-⎛⎫ ⎪⎝-⎭-=-n n p p ，又121361122-=-=p ，所以12219116-⎛⎫⎛⎫=⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n p ，故C 正确； 对于D ，011211111169992=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎢⎥=⎭⎣⎦∑k n n nk p p p n p 1113191162209219⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯+=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭nnn n ，所以 1201201215053110113101112092202=⎡⎤⎛⎫⨯--+>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=>∑k k p ，故D 正确； 故选：ACD.三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S =________． 【答案】64 【解析】 【分析】根据1a ，2a ，5a 成等比数列以及11a =列出关于d 的方程，解出d ，再根据81828S a d =+计算答案即可 【详解】因为1a ，2a ，5a 成等比数列2215a a a ∴= ，即2(1)14d d +=+解得2d = 或0d =（舍）81828828264S a d ∴=+=+⨯=故答案为：6414．（2019·全国·高考真题（文））记Sn 为等比数列{an }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．【答案】58.【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到4S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：设等比数列的公比为q ，由已知 223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++= 解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---．15．（2018·全国·高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63- 【解析】 【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值. 【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-. 16．（2022·上海青浦·二模）已知数列{}n a 的通项公式为2n n a =，数列{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列，若1k k k b a b +<<，其中1,2,,10k =…，则公比q 的取值范围是_________．【答案】1092,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据1k k a b +<，可得2q >，再根据k k b a <结合指数运算可得122k q -⎛⎫< ⎪⎝⎭，利用指数函数单调性求1max2k q -⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，运算整理． 【详解】1,2,,10k =…∵1k k a b +<，即2kkq <，则2q >又∵k k b a <，即12kk q->，则122k q -⎛⎫< ⎪⎝⎭∵2q >，则12q >，∴922q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则1092q <∴10922q <<故答案为：1092,2⎛⎫⎪⎝⎭．四、解答题17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且数列{}1n S +是公比为2的等比数列 (1)求n a ．(2)若数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a +=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T 【答案】(1)12n na(2)1215(2)2n n T -=-【解析】 【分析】（1）根据题意先求出n S 的通项，再根据1n n n a S S -=-，求出n a ；（2）1n n n b b a +=，121n n n b b a +++=，两式相除得：22n nb b +=，再分析求解即可. (1)因为数列{}1n S +是公比为2的等比数列，11a =，所以11=2S +，所以1=2nn S +，所以21n n S =-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，而11a =符合上式，所以12n na(2)因为112n n n n b b a -+==，所以122nn n b b ++=，两式相除，得22n n b b +=，又12b =，所以212b =， 2135212462()()n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()()1112212125212122n nn ---⎛⎫=+=- ⎪--⎝⎭18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，28a =，且2124n n n S S S ++-+=． (1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若m a ，m S ，114m a +成等比数列，求正整数m ． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【解析】 【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-化简整理，解得等差数列定义1n n a a d +-=处理；（2）根据()11n a a n d +-=，()12n n n a a S +=，并代入2114m m m S a a +=运算求解． (1)因为2124n n n S S S ++-+=，所以2114n n n n S S S S +++--+=，即()()2114n n n n S S S S +++---=， 则214n n a a ++-=．又14a =，28a =，满足214a a -=， 所以{}n a 是公差为4的等差数列． (2)由（1）得，()4144n a n n =+-⨯=， 则()244222n n n S n n +==+． 又2114m m m S a a +=，所以()()222214441,N m m m m n ++=⨯⨯+∈， 化简得2560m m +-=，解得m ＝7或8m =-（舍）．所以m 的值为7．19.（2018·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= .（2）6m =. 【解析】 【详解】分析：（1）列出方程，解出q 可得；（2）求出前n 项和，解方程可得m ．详解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123nn S --=．由63m S =得()2188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．20．（2019·全国·高考真题（文））已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）212n n a -=；（2）2n S n =.【分析】(1)本题首先可以根据数列{}n a 是等比数列将3a 转化为21a q ，2a 转化为1a q ，再然后将其带入32216a a 中，并根据数列{}n a 是各项均为正数以及12a =即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列{}n a 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列{}n b 的通项公式，再通过数列{}n b 的通项公式得知数列{}n b 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果． 【详解】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a ，12a =， 所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q ，212a a qq ，所以22416q q =+，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n ，12n nb b ， 所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，21212n nS nn ．21．（2019·天津·高考真题（理））设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列(){}221n n a c -的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n 项和公式可得21ni i i a c =∑的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩，故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32nn b =⨯.(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n n n nn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-.(ii )()22111n n i i i i i i i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n ni i i i i a a c ===+-∑∑()2212432n n n ⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.22．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．【答案】(1)235(N )2n n nS n *-=∈ (2)12d <≤ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S ； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围.(1)因为42312601S a a a -+==-，， 所以()()46211260d d d -+--+-++=， 所以230d d -=，又1d >， 所以3d =， 所以34n a n =-， 所以()213522n n a a n n n S +-==， (2)因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列， 所以()()()212415n n n n n n a c a c a c +++=++，()()()2141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++，22(1488)0n n c d nd c d +-++=，由已知方程22(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，所以()22148840d nd d ∆=-+-≥，所以()()168812880d nd d nd -+-+≥对于任意的n *∈N 恒成立，所以()()212320n d n d ----≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于任意的n *∈N 恒成立，当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 当2n =时，由()()2214320d d d d ----≥，可得2≤d 当3n ≥时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又1d > 所以12d <≤。

第三讲　等比数列及其前n项和一、单选题1．在等比数列{a n}中，a1＝，q＝，a n＝，则项数n为(　C　)A．3　B．4　C．5　D．6[解析]　a n＝＝a1q n－1＝×n－1＝n，∴n＝5，故选C.2．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝，则S5＝(　C　)A．29　B．30　C．31　D．32[解析]　本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a2a6＝a＝4，且a n>0，∴a4＝2.又a4＋2a7＝，∴a7＝.设{a n}的公比为q，则＝q3＝，q＝，∴a n＝a4n－4＝25－n，∴S5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.3．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　B　)A．　B．　C．　D．[解析]　设数列{a n}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.4．(2021·全国甲理)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n.设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则(　B　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]　当q＝1，a1<0时，等比数列{a n}的前n项和S n＝na1<0，可知{S n}是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；若{S n}是递增数列，则当n≥2时，a n＝S n－S n－1>0，即a1q n－1>0恒成立，而只有当a1>0，q>0时，a1q n－1>0恒成立，所以可得q>0，因此甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件．故选B.5．(2021·深圳一模)已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－1＋b，则＝(　A　)A．－3　B．－1　C．1　D．3[解析]　解法一：a1＝a＋b，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a·3n－2，又∵{a n}是等比数列，∴a＋b＝2a·31－2，∴＝－3.故选A.解法二：a1＝a＋b，a2＝2a，a3＝6a.又∵{a n}是等比数列，∴＝，∴＝，∴a＝－3b，∴＝－3，故选A.6．(2022·广东惠州一中月考)已知数列{a n}是等比数列，且a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝(　C　)A．16(1－4－n)　B．16(1－2－n)C．(1－4－n)　D．(1－2－n)[解析]　因为等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，所以＝q3＝，所以q＝.由等比数列的性质，易知数列{a n a n＋1}为等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为q2＝，所以要求的a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1为数列{a n a n＋1}的前n项和．由等比数列的前n项和公式得a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝＝(1－4－n)．故选C.二、多选题7．(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝6，则S4＝(　AC　)A．－10　B．－8　C．8　D．10[解析]　设等比数列的公比为q，因为a1＝2，S3＝6，所以S3＝2＋2q＋2q2＝6，则q2＋q－2＝0，所以q＝1或q＝－2.当q＝1时，S4＝S3＋2＝8；当q＝－2时，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选A、C.8．(2021·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　BD　)A．a＝B．c＝C．a，b，c依次成公比为2的等比数列D．a，b，c依次成公比为的等比数列[解析]　由题意得a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＋2c＋4c＝50，即c＝，故选B、D.三、填空题9．(2021·四川南充一诊)数列{a n}满足：log2a n＋1＝1＋log2a n，若a3＝10，则a8＝320 .[解析]　由题意知log2a n＋1＝log2(2a n)，∴a n＋1＝2a n，∴{a n}是公比为2的等比数列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320.10．(2021·北京东城区期末)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝ ，S4＝ .[解析]　本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式．由题意，数列{a n}是各项均为正数的等比数列，由a1＝6，a2＋2a3＝6，可得a1q＋2a1q2＝6q＋12q2＝6，即2q2＋q －1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．由等比数列的前n项和公式，可得S4＝＝.11．等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n.已知S3＝，S6＝，则a8＝ 32 .[解析]　由题意知S3＝a1＋a2＋a3＝，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝－＝14＝·q3，∴q＝2.又a1＋2a1＋4a1＝，∴a1＝，∴a8＝×27＝32.12．(2021·长春市高三一检)等比数列{a n}的首项为a1＝－1，前n项和为S n，若＝，则公比q＝　－　.[解析]　由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－.四、解答题13．(2021·陕西榆林一模)已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．[解析]　(1)由条件可得a n＋1＝a n，将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){b n}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得＝，即b n＋1＝2b n，又b1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以a n＝n·2n－1.14．(2021·安徽联考)已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4.(1)证明：{S n－n＋2}为等比数列；(2)求数列{S n}的前n项和T n.[解析]　(1)证明：由题意知S n－2(S n－S n－1)＝n－4(n≥2)，即S n＝2S n－1－n＋4，所以S n－n＋2＝2[S n－1－(n－1)＋2]，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{S n－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知S n－n＋2＝2n＋1，所以S n＝2n＋1＋n－2，于是T n＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n＝.B组能力提升1．(2021·安徽六安一中调研)已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值是(　C　)A．或－　B．－C．　D．[解析]　由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.故选C.2．(多选题)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3.若设其公比为q，前n项和为S n，则下面结论不正确的是(　C、D　)A．q＝2　B．a n＝2nC．S10＝2 047　D．a n＋a n＋1>a n＋2[解析]　本题考查等比数列基本量的计算．因为a1＝2，a4＝2a2＋a3，公比为q，所以2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，故A正确；a n＝2×2n－1＝2n，故B正确；S n＝＝2n＋1－2，所以S10＝2 046，故C错误；a n＋a n＋1＝2n＋2×2n＝3a n，而a n＋2＝4a n>3a n，故D错误．故选C、D.3．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为(　B　) A．　B．　C．　D．[解析]　由题意知每日所走的路程成等比数列{a n}，且公比q＝，S7＝700，由等比数列的求和公式得＝700，解得a1＝.故选B.4．(2022·南昌模拟)在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a2a n－1＋a3a n－2＝256，且前n项和S n＝126，则n＝(　C　)A．2　B．4　C．6　D．8[解析]　因为数列{a n}是等比数列，所以a2a n－1＝a3a n－2＝a1a n，又因为a2a n－1＋a3a n－2＝256，所以a1a n＝128，又因为a1＋a n＝66.所以a1＝2，a n＝64或a1＝64，a n ＝2.因为S n＝，且S n＝126，所以若a1＝2，a n＝64，则＝126，得q＝2.此时a n＝2×2n －1＝2n＝64，n＝6；若a1＝64，a n＝2，则＝126，得q＝，此时a n＝64×n－1＝2，得n ＝6.综上知，n＝6.5．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m＋S m＋1＝S m＋3，求m.[解析]　(1)设{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1.由已知得解得a1＝1，q＝3.所以{a n}的通项公式为a n＝3n－1.(2)由(1)知log3a n＝n－1.故S n＝.由S m＋S m＋1＝S m＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)或m＝6.。