高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

向 量

1．向量的概念

(1）向量的基本要素:大小和方向.(2)向量的表示:几何表示法 AB;字母表示：a;

坐标表示法 a＝xi＋yj=（ｘ，y）．

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a|.

(4)特殊的向量：零向量a=O|a｜=O．

单位向量aＯ为单位向量｜aO|＝1.

（５)相等的向量:大小相等，方向相同(ｘ1，y1)=（ｘ2，y2)2121yyxx

（６) 相反向量：a=-ｂb=-ａa＋b=０

（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

2..向量的运算

运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

向量的

加法 1.平行四边形法则

2.三角形法则 1212(,)abxxyy abba

()()abcabc

ACBCAB

向量的

减法 三角形法则 1212(,)abxxyy ()abab

ABBA,ABOAOB

数

乘

向

量 １.a是一个向量,满足:||||||aa

2.>0时, aa与同向；

<０时， aa与异向;

=０时， 0a. (,)axy ()()aa

()aaa

()abab

//abab

向

量

的

数

量

积 ab•是一个数

1.00ab或时,

0ab•.

2.00||||cos(,)abababab且时， 1212abxxyy• abba••

()()()ababab•••

()abcacbc•••

2222||||=aaaxy即

||||||abab• ３.向量加法运算：

⑴三角形法则的特点:首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:ababab．

⑷运算性质:①交换律：abba;

②结合律：abcabc;③00aaa.

⑸坐标运算:设11,axy,22,bxy，则1212,abxxyy.

4.向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设11,axy,22,bxy,则1212,abxxyy.

设、两点的坐标分别为11,xy,22,xy，则1212,xxyy．

5.向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a.

①aa;

②当0时,a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反;当0时，0a．

⑵运算律：①aa;②aaa；③abab.

⑶坐标运算:设,axy,则,,axyxy.

6．向量共线定理：向量0aa与b共线,当且仅当有唯一一个实数，使ba.

设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线．

7．平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底)

8.分点坐标公式:设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,xy,22,xy，当12时,点的坐标是1212,11xxyy.（当时，就为中点公式。）1

9.平面向量的数量积:

⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0． b a

C





abCC ⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0abab．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa.③abab.

⑶运算律：①abba；②ababab;③abcacbc.

⑷坐标运算:设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy.

若,axy，则222axy，或22axy. 设11,axy,22,bxy，则12120abxxyy．

设a、b都是非零向量,11,axy，22,bxy,是a与b的夹角,则121222221122cosxxyyababxyxy.

⑤线段的定比分点公式:(0和1)

设 P1P=PP2（或P2P=1P1P),且21,,PPP的坐标分别是),(),,(,,2211yxyxyx）（，则121211yyyxxx

推广1:当1时，得线段21PP的中点公式：121222yyyxxx

推广２:MBAM则1PBPAPM(对应终点向量)．

三角形重心坐标公式：△ABC的顶点332211,,,,,yxCyxByxA，重心坐标yxG,:12312333xxxxyyyy

注意:在△ＡＢC中,若0为重心，则0OCOBOA,这是充要条件．

⑥平移公式：若点Pyx,按向量a=kh,平移到P‘'',yx,则kyyhxx''

４.（1）正弦定理:设△ＡBC的三边为ａ、b、c，所对的角为A、Ｂ、C,则RCcBbAa2sinsinsin．

(2)余弦定理：CababcBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222 (３)正切定理：2tan2tanBABAbaba

(４)三角形面积计算公式:

设△AＢC的三边为ａ,ｂ，c，其高分别为ha,hｂ,hc,半周长为P,外接圆、内切圆的半径为R,ｒ. ABPM①S△=1/２aｈａ=1/2bhｂ＝1/2ｃｈc

②S△＝Pr

③S△=aｂｃ/4Ｒ

④Ｓ△=1/2sinC·aｂ=１/2ａc·sinB=1／2cｂ·ｓinA

⑤S△＝cPbPaPP [海伦公式]

⑥Ｓ△=1／2(b＋c-ａ)ra[如下图］=１/2(ｂ+ａ－c）rｃ＝1/2(ａ+c-b)rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心,其余３个是旁心.

如图:图1中的I为Ｓ△ABC的内心， Ｓ△=Pr，图２中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1／2（b+ｃ-ａ）rａ

图1 图2 图3 图4

附：三角形的五个“心”;

重心:三角形三条中线交点.

外心:三角形三边垂直平分线相交于一点．

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心:三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

(5）已知⊙Ｏ是△ＡＢC的内切圆,若ＢC＝a，ＡC＝ｂ,AB=c ［注:ｓ为△ＡBC的半周长,即2cba],则:①AE=as=1/２(ｂ+ｃ-a)

②BN＝bs＝1/2(ａ+ｃ-b）

③FC=cs=1/2（ａ＋b－c)

综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4)．

特例:已知在Ｒt△ABC,ｃ为斜边,则内切圆半径r=cbaabcba2(如图3）.

(６)在△ABC中,有下列等式成立CBACBAtantantantantantan．

证明:因为,CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantantan1tantan，结论!

(7）在△ＡBC中,D是BＣ上任意一点,则DCBDBCBCABBDACAD222． ABCOabcIABCDEFIABCDEFrararabcaabcACBNEFDACB图5证明：在△ＡBＣD中,由余弦定理,有BBDABBDABADcos2222①

在△ABＣ中，由余弦定理有BCABACBCABB2cos222②,

②代入①，化简可得,DCBDBCBCABBDACAD222（斯德瓦定理)

①若AD是BC上的中线,2222221acbma；

②若AＤ是∠A的平分线，appbccbta2,其中p为半周长;

③若AＤ是BC上的高,cpbpappaha2,其中p为半周长.

（８）△ABC的判定:

222bac△AＢC为直角△∠Ａ + ∠B ＝2

2c<22ba△ABC为钝角△∠Ａ ＋ ∠B＜2

2c>22ba△ABC为锐角△∠A +

∠Ｂ>2

附：证明：abcbaC2cos222，得在钝角△ABC中，222222,00coscbacbaC

（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

)(22222bababa

09-13高考真题

0９.７. 函数2)62cos(xy的图像F按向量a平移到F／，F/的解析式y=f(x),当ｙ=f(x)为奇函数时，向量ａ可以等于

A.(,2)6 Ｂ．(,2)6 C．(,2)6 D.(,2)6

【答案】D

０9．１． 若向量a=(1,1)，b=(-１,1)，c=(4,2），则c＝

A. 3a+b Ｂ. ３a-b C．-a＋3b Ｄ. ａ+３b

【答案】Ｂ

10.８． 已知ABC和点M满足0MAMBMC．若存在实m使得AMACmAM成立，则m=B

A.2ﻩﻩB.3ﻩﻩﻩC.4 D.５

1１.2. 若向量)2,1(a,)1,1(b，则ba2与ba的夹角等于

Ａ．4 Ｂ.6 C．4 Ｄ．43

【详细解析】 分别求出2ab与ab的坐标，再求出a，b，带入公式求夹角。