高中数学第一章计数原理阶段通关训练新人教A版选修2_3

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第一章 计数原理梯度训练 基础题1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法种数有( ）A 48种B ．24种C 14种D ．12种 答案：A解:从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法，由分步乘法计数原理，不同的选法种数共有8×6=48(种)．2．如果33411n n n C C C --=+,则n 的值为( ）A ． 8B ． 7C ．6D ． 不存在 答案: B解:因为3344411n n n n n nC C C C C ---=+==，所以n=7，故选B 3 ．9(1)x -按x 降幂排列的展开式中，系数最大的项是（ ）A ．第4项和第5项B ．第5项C ．第5项和第6项D ．第6项 答案：B解：9(1)x -的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数最大，但第6项前有一个1-和它相乘,所以只有第5项的系数最大．4．由0，3，5，7，9这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的个数（ ）A ．9B ．21C ．24D ．42答案:B解：分两类，一类0在个位的三位数有24A 个，二类5在个位的三位数有313A 个，所以是5的倍数的共有24A ＋313A ＝21．5．已知0122222729n n nn n n C C C C ++++=，则13n n C C ++的值等于( ）A ． 64B ． 32C ． 63D ． 31 答案：B解：因为0122222(12)729n nn nn n n C C C C ++++=+=，所以n=6所以135666620632C C C ++=++= 6．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( ）A ．96B ．84C ．60D ．48答案：B解法1：分三类:种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法．共有234444284A A A ++=． 解法2：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 7．8(ax 的展开式中5x 的系数为28，则a ＝___________． 答案:1±解：由二项展开式的通项公式38882188(1)()(1)r rrrr r r rr T C ax C a x ---+=-=- 令3852r-=得2r =，所以26828C a =，解得a=1± 8． 设坐标平面内有一个青蛙从原点出发沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位；经过5次跳动后，青蛙落在点（3，0）（允许重复经过此点）；则青蛙不同的运动方式有 种．答案：5解:青蛙5次跳动中，只有一次是向负方向的,另外的4次都是向正方向的，不同的跳动方式数为515=C 种． 9．对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，直到区分出所有次品为止．若所有次品恰好在第5次测试被全部发现，则这样的测试方法有 种．答案：576解：所有次品恰好在第5次测试被全部发现，则第5次检验的必定是次品．第一步：优先排第5次测试有14C 种．第二步：从6件正品中任选一件,有16C 种选法．第三步:由剩下的三件次品和选中的一件正品排前4次确定的位置，有44A 种排法．由分步乘法计数原理,不同的测试方法共有14C 16C 44A =576种． 能力提升11．已知(n展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项？一次项？如果没有，请说明理由;如有，请求出来．解：展开式的通项为91161(2(0,1,2,,)n rr n rr r rr nn T C C x r n --+=⋅=⋅⋅=;∴由题意得：00122222129nn n C C C +⋅++⋅=，∴2122(1)129,64n n n n ++-=∴=， ∴ｎ＝8,故72116182(0,1,2,,8)r r rr T C x r -+=⋅⋅=．若展开式存在常数项，则721106r -=，解之得7211r Z =∉， 所以展开式中没有常数项． 若展开式存在一次项，则721116r-=,即72116r -=，所以ｒ＝6, 所以展开式中存在一次项，它是第7项，667821792T C x x ==．12． 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数有多少种?解:依题意得,这四项工作中必有一项工作有2人参与，根据司机这项工作的实际参与人数进行分类:第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有11213342C C C C =108(种）；第二类，司机这项工作的实际参与人数恰有2人，满足题意的方法有2333C A =18（种）因此，满足题意的方法有108+18=126(种）．提高题1．为了迎接元宵节,某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是A ．1 205秒B ．1 200秒C ．1 195秒D ．1 190秒． 答案：C解：共有55A =120个闪烁，119个间隔，每个闪烁需用时5秒，每个间隔需用时5秒，故共需要至少120×(5+5)-5=1195秒．2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复）表示一个信息,不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1,则与信息O110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A ．10 8．1l C ．12 D ．15 答案:B解：恰有0个，1个，2个对应位置上的数字相同的信息个数分别为1，14C ，24C ，故至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+14C +24C =11，故选B ．3．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 j‘“A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种 答案：B解：先涂A 、D 、E 三个点，共有4×3×2=24种涂法,然后再按B 、C 、F 的顺序涂色，分为两类:一类是B 与E 或D 同色．共有2 ×(2 × 1+1×2)= 8种涂法；另一类是B 与E 或D 不同色，共有l ×(1×l+1×2）=3种涂法．所以涂色方法共有24 ×（8+3）=264种．4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种 答案：B解：由题可知，可以考虑分成两类计算,若甲排在第一位则有44A 种方案，若甲排在第二位则有1333C A 种方案，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有44A +1333C A =42（种），故选B ．5．353(12)(1)x x +的展开式中x 的系数是（ ） A ．- 4 B ．—2 C ．2 D ．4 答案:C解:由题意3(1)x +展开式的通项为2133(2)2r rr rr r T C x C x +==，53(1x -的展开式的通项为'''''33'155()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-,因此，353(1)(1)x x +的通项为32'''635(1)2r r r rr r C C x+-，故当32'6r r +=1时，也即r=0且r '=3或r=2且r '=0两种情况， 则展开式中x 的系数为（-10）+12=2,选C ．6．已知6(2的展开式的第四项是____________ 答案：160x-解：由33343161602(T T C x +===-．7．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是__________ 答案:108解：从2,4，6三个偶数中选一个数放在个位，有13C 种方法，将其余两个偶数全排列,有22A 种排法，当l ，3不相邻且不与5相邻时有33A 种方法，当l ，3相邻且不与5相邻时有22A 33A 种方法，故满足题意的偶数有13C 22A （33A +22A 33A ）=108个． 8． 已知26(1)kx +(k 是正整数）展开式中，x 8的系数小于120，则k=______ 答案：1解：由22166()r r r r r r T C kx k C x +==得x 8的系数为444615k C k =． 由415120k <得48k <,由于k 为正整数，于是k=1．9．(12)n x +的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。

第一章过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题(每小题4分,共40分) 1.若A 3m ＝6C 4m ,则m 等于( )A.9B.8C.7D.62.男、女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人3.若100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( )A.C 16C 294B.C 16C 299C.C 3100－C 394D.C 3100－C 2944.从5位男教师和4名女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班一位班主任),要求这三位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( ) A.210种 B.420种 C.630种 D.840种5.现有6个人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人(不含司机),则不同的乘车方案的种数是( )A.50B.60C.70D.806.在10)3( x 的展开式中,x 6的系数为( )A.－27C 610B.27C 410C.－9C 610D.9C 4107.把1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填入图中的表格,从上到下,从左到右,依次增大.当3、4固定在图中位置,余下的数的填法有( )A.6种B.12种C.18种D.24种8.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子里,使得每个盒子都不空的放法总数是( )A.C 13A 33B.C 34A 22C.C 24A 33D.C 14C 34C 229.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10种 B.20种 C.36种 D.52种10.已知(1－3x)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9,则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|等于( ) A.29 B.49 C.39 D.1 二、填空题(每小题4分,共16分)11. 8次投篮中,投中3次,其中恰有2次连续命中的情形有______种.12.四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_______.13.某药品研究所研制了5种消炎药a 1,a 2,a 3,a 4,a 54种退烧药b 1,b 2,b 3,b 4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知a 1,a 2两种药必须同时使用,且a 3,b 4两种药不能同时使用,则不同的方案有_______种.14.若nx x )(13-+展开式中,第5项是常数,问中间项是第_______项.三、解答题(共44分)15.(10分)如右图,若灯不亮,则元件R 1,R 2,R 3断路的情况共有多少种?16.(10分)解关于n 的不等式:C 4n ＞C 6n .17.(12分)求84)21(xx +展开式中系数最大的项.18.(12分)“十一”国庆期间,公司从网络部抽4名人员、人事部抽3名人员(两个部门的主任都在内),从10月1号至7号,安排每人值班一天,分别回答下列问题: (1)两个部门的主任不能安排在1号和7号;(2)若各部门的人员安排不能连续(即同部门的人员相间安排); (3)若人事部因工作需要,他们的值班必须安排在连续三天; (4)网络部主任比人事部主任先值班.参考答案1解析:由m(m －1)(m －2)＝1234)3)(2)(1(6⨯⨯⨯---•m m m m ,解得m ＝7. 答案:C2解析:设女生有x 人,则30128=•-C C x x ,即302)7)(8(=•--x x x .解得x ＝2或3. 答案:A3 解析:不考虑限制条件,从100件产品中任取3件,有C 3100种取法,然后减去3件全是正品的取法C 394,故有C 3100－C 394种取法. 答案:C4解析:分两类:第一类2男1女,则不同的选派方案有C 25C 14A 33＝240种. 第二类1男2女,则不同的选派方案有C 15C 24A 33＝180种. 由分类加法计数原理得:共有240＋180＝420种不同的选派方案. 答案:B5解析:分三类:第一辆车乘2人,第二辆车乘4人,有C 26种乘法;第一、二辆车各乘3人,有C 36种乘法;第一辆车乘4人,第二辆车乘2人,有C 46种乘法,由分类加法计数原理,共有C 26＋C 36＋C 46＝50种. 答案:A6 解析:T5＝C410x10－4·(－3)4＝9·C410 x6.答案:D7解析:左上角格必须填1,右下角格必须填9,第二行最左端格必须填2,如图.A、B从余下的5,6,7,8四个数中任选两个,从左到右依次增大填入,有C24种.剩余的两个数由上到下,依次增大填入C、D即可.故共有C24＝6种不同的填法.答案:A8解析:选2个小球捆在一起看成1个元素,有C24种选法.把3个元素放入3个不同的盒中,有A33种放法.故共有C24·A33种不同的放法.答案:C9 解析:分两类:第一类2号盒内放2个球,有C24种放法(剩余的球放入1号盒内即可);第二类,2号盒内放3个小球,有C34种放法(剩余的球放入1号盒内即可).由分类加法计数原理,共有C24＋C34＝10种不同的放法.答案:A10解析:由展开式可知a1,a3,a5,a7,a9都小于0,a0,a2,a4,a6,a8都大于0,故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9,只需令x＝－1即可得:(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9＝49.答案:B11解析:将2次连续命中当作一个整体,和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A26种.答案:3012 解析:将其中两名学生视为一个元素,其余二名同学分别视为一个元素,然后将三个元素分配到三所学校,所以不同的保送方案的总数为C 24A 33＝36. 答案:3613解析:分3类:当取a 1,a 2时,再取退烧药有C 14种方案;取a 3时,取另一种消炎药的方法有C 12种,再取退烧药有C 13种,共有C 12C 13种方案;取a 4,a 5时,再取退烧药有C 14种方案.故共有C 14＋C 12C 13＋C 14＝14种不同的实验方案. 答案:1414解析:由通项公式可得第5项3164434414---+==n n n nxx xT C C,即n ＝16,所以中间项是第9项. 答案:915解:每个元件都有通或断两种可能,以m,n,p 表示元件的通断,m,n,p 可取值均为0(表示断),1(表示通),故所有可能情况为(m,n,p)的可能情况共有2×2×2＝8种.因为是串联电路,所以一断则断,只要排除全通的情况(m ＝1,n ＝1,p ＝1)即可,所以若灯不亮,则元件R 1,R 2,R 3断路的情况共有8－1＝7种. 16解:因为C 4n ＞C 6n ,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥->-,6,)!6(!6!)!4(!4!n n n n n即⎩⎨⎧≥<--.6,01092n n n 所以6≤n ＜10. 又因为n ∈N *,所以满足不等式的n 的取值为{6,7,8,9}. 17 解:记第r 项系数为T r ,设第k 项系数最大,则有⎩⎨⎧≥≥+-.,11k k k k T T T T 又1182+--•=r r r C T ,那么有⎪⎩⎪⎨⎧•≥••≥•-+--+--+--,22,228118228118kk k k k k k k C C C C 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-•≥⨯-•-⨯-•-≥-•-,)!8(!!82)!9()!1(!8,2)!10()!2(!8)!9()!1(!8k k k k k k k k所以⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-.192,10211kk k k 解得3≤k≤4.所以系数最大的项为第3项257x 和第4项477x .18解:(1)第一步,在2号至6号五天中安排两名主任,有A 25种排法;第二步,剩下五人安排在剩下的五天有A 55种排法,故共有A 25·A 55＝2 400种排法.(2)两个部门的人员相间安排,先排4名网络部人员,有A 44种;然后在他们的三个空档中插入三名人事部人员,有A 33种,故共有A 44·A 33＝144种排法.(3)把人事部三个人看成一个人,再与网络部4人,有A 55种排法;人事部三个人的内部排列,有A 33种,故共有A 55·A 33＝720种排法.(4)不考虑任何限制的排法有A 77,两人中排谁先值班的可能性相同,故有52022177=A种排法.。

第一章 计数原理(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数a ＝2－2，则a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝( ) A ．32 B ．－32 C ．1 024 D ．512解析：由题意得a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝(a －2)10，又a ＝2－2，所以原式＝(2－2－2)10＝32.答案：A2．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45解析：依题意知，a 8＝C 81022(－1)8＝180，故选A. 答案：A3．(2019·某某省八校高三联考)某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天，若甲、乙两人需安排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有( )A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种解析：因为甲、乙两人都不排在周三，且安排在相邻两天，所以分两类：①甲、乙两人安排在周一，周二，则有A 22·A 44＝48种；②甲、乙两人安排在周四，周五，周六中的相邻两天，则有2A 22·A 44＝96种，则共有48＋96＝144(种)．答案：B4．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种解析：不同的分派方法⎝ ⎛⎭⎪⎫C 25C 23A 22＋C 15C 14A 22A 33＝150种，故选A.答案：A5．(2019·某某市、某某市部分学校联合模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋228的展开式中x 6的系数为562，则⎠⎛1a (x －cos πx )d x ＝( )A ．2B ．1C.32D.12 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫22＋ax 28的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫228－r (ax 2)r ，∵2r ＝6，∴r ＝3.令r ＝3，则C 38×⎝⎛⎭⎪⎫225×a 3＝562，解得a ＝2，所以⎠⎛1a (x －cos πx )dx ＝⎠⎛12(x －cos πx )dx答案：C6．已知6C x －7x －3＝10A 2x －4，则x 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：由6C x －7x －3＝10A 2x －4，得6·(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝10·(x －4)(x －5)．∴x 2－9x －22＝0，∴x ＝11或x ＝－2(舍)． 答案：A7．(2019·某某一中高二月考)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数为( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：因为一种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，所以分两类，第一类，涂前三个圆用三种颜色，有A 33＝6种涂法，则涂后三个圆有C 12C 12＝4种涂法，共有6×4＝24种涂法；第二类，涂前三个圆用两种颜色，则涂后三个圆也用两种颜色，共有C 13C 12＝6种涂法．综上，可得不同的涂色方案的种数为24＋6＝30.答案：C8．设⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 展开式的各项系数之和为M ，其二项式系数之和为N ，若M ＋N ＝272，则n 的值为( )A ．1B ．4C ．3 D.12解析：由题意得M ＝4n ，N ＝2n. ∵M ＋N ＝272，∴4n ＋2n＝272，得n ＝4. 答案：B9．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．C 28A 23 B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25解析：先从后排中抽出2人有C 28种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，即抽出的2人插入前排为A 26.共有C 28A 26种调整方法．故选C.答案：C10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种解析：首先，甲、乙两人同选1门，有4种方法；其次，甲从剩下的3门课中选1门，有3种方法；最后，乙从剩下的2门课中选1门，有2种方法．所以共有4×3×2＝24种．答案：C11．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)，且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝( )A ．250B ．－250C ．256D ．－150解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6或3n ＋1＋n ＋6＝23，∴n ＝52(舍去)或n ＝4.令x＝－1，则(3－x )n＝(3＋1)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝256.∴a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝256.故选C.答案：C12．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为( )A ．1 320B ．1 332C ．2 532D ．2 544解析：共组成A 33＋A 23＝12个这样的三位数，个位数有4个3,4个2 ,4个1，和为24；十位数有2个3,2个2,2个1,6个0，和为12；百位数有4个1,4个2,4个3，和为24，∴这些位数的和为2 544，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2019·某某市高三质量预测)已知⎝⎛⎭⎪⎫1x＋x 2n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为_______________________________________．解析：令x ＝1，得2n ＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 26的展开式的通项T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r x 2r ＝C r6x 3r －6，令3r －6＝3，得r ＝3，故x 3的系数为C 36＝20.答案：2014．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析：由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧n a ＝3，n (n －1)a 2＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9，a ＝3.答案：315．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有________种不同的取法(用数字作答)．解析：依题意，取盒子中6个小球，可以看作6个小球排成一排，在中间插入挡板，由于每次至少取出一个球，所以最多可以插入5个挡板，即C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝25＝32.答案：3216．(2019·某某一中高二月考)将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限)，每人只参加一项，则共有x 种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人，则共有y 种不同的方案，其中x ＋y 的值为________．解析：6名同学报名参加跳绳、接力、投篮三项比赛，每人只参加一项，每人有3种报名方法，根据分步乘法计数原理可得x ＝36＝729.而每项比赛至少要安排一人时，先分组有C 16C 15C 44A 22＋C 16C 25C 33＋C 26C 24C 22A 33＝90(种)，再排列有A 33＝6(种)，所以y ＝90×6＝540.所以x ＋y ＝1 269. 答案：1 269三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)为支援西部开发，需要从8名男干部和2名女干部中任选4人组成支援小组到西部某地支边，要求男干部不少于3人，问有多少种选派方案．解：解法一：男干部有四人时有C 48种选法；男干部有3人时有C 38C 12种选法，故适合条件的选派方案有C 48＋C 38C 12＝182种．解法二：从10名干部中选4名减去2名女干部全被选中的方案数，共有C 410－C 28C 22＝182种．18．(12分)已知(3x 2＋3x )n展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大4 032. (1)求展开式中含x 4的项；(2)求展开式中二项式系数最大的项．解：(1)令x ＝1得展开式各项系数和为4n ，而二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n， 由题意得4n －2n ＝4 032，即(2n －64)(2n ＋63)＝0，得2n ＝64或2n＝－63， 又∵n ∈N *，∴2n＝64，故n ＝6，二项展开式的第r ＋1项为，令12＋r 3＝4，得r ＝0，∴展开式中含x 4的项为T 1＝30·C 06·x 4＝x 4. (2)∵n ＝6，∴展开式中第4项的二项式系数最大，19．(12分)2名女生和4名男生外出参加比赛活动．(1)他们排成一列照相时，若2名女生必须在一起，有多少种排列方法？ (2)他们排成一列照相时，若2名女生不相邻，有多少种排列方法？(3)从这6名学生中挑选3人担任裁判，至少要有1名女生，则有多少种选法？ 解：(1)有2A 55＝240种． (2)有A 44A 25＝480种． (3)有C 36－C 34＝16种．20．(12分)求证：1＋4C1n＋7C2n＋10C3n＋…＋(3n＋1)C n n＝(3n＋2)·2n－1.证明：设S＝1＋4C1n＋7C2n＋10C3n＋…＋(3n＋1)C n n，①则S＝(3n＋1)C n n＋(3n－2)C n－1n＋…＋4C1n＋1.②①＋②得2S＝(3n＋2)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝(3n＋2)·2n，∴S＝(3n＋2)·2n－1.21．(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球．(1)全部投入4个不同的盒子里；(2)放进不同的4个盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒；各有多少种不同的放法？解：(1)由分步计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进不同的4个盒子里(每盒一个)共有A45种放法．(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C45C14＝20种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C25A44种不同的放法．22．(12分)设x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是关于x的多项式，a，b∈R.(1)求a，b的值；(2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余数．解：(1)由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴C010(x－1)10＋C110(x－1)9＋…＋C810(x－1)2＋C910(x－1)＋C1010－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴[C010(x－1)8＋C110(x－1)7＋…＋C810](x－1)2＋10x－12＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴10x－12＝ax＋b.∴a＝10，b＝－12.(2)∵ax＋b＝28，即10x－12＝28，∴x＝4，∴x10－3＝410－3＝(3＋1)10－3＝C010×310＋C110×39＋…＋C910×3＋C1010－3＝34×(C010×36＋C110×35＋…＋C610)＋40×34＋5×34＋28＝81(C010×36＋C110×35＋…＋C610＋45)＋28，∴所求的余数为28.。

选修第一章第课时一、选择题．名同学合影，站成前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )．．．．[答案][解析]第一步从后排人中抽人有种抽取方法，第二步前排共有个位置，先从中选取个位置排上抽取的人，有种排法，最后把前排原人按原顺序排在其他个位置上，只有种安排方法，∴共有种排法．．从编号为、、、的四种不同的种子中选出种，在块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中号种子必须试种，则不同的试种方法有( )．种．种．种．种[答案][解析]先选后排＝，故选．．把、、、、、这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( )．个．个．个．个[答案][解析]先选取个不同的数有种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有种排法，故共有＝个三位数．．某同学有同样的画册本，同样的集邮册本，从中取出本赠送给位朋友，每位朋友本，则不同的赠送方式共有( )．种．种．种．种[答案][解析]分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从人中选取人送画册，则另外两人送集邮册，有种方法．第二类，本集邮册全取，取本画册，从人中选人送画册，其余送集邮册，有种方法，∴共有＋＝种赠送方法．．(·青岛高二检测)从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有( )．种．种．种．种[答案][解析]解法：根据题意，分两种情形讨论：①甲、乙中只有人被选中，需要从甲、乙中选出人，担任后三项工作中的种，由其他三人担任剩余的三项工作，有＝种选派方案．②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出项，由甲、乙担任，从其他三人中选出人，担任剩余的两项工作，有··＝种选派方案，综上可得，共有＋＝种不同的选派方案，故选．解法：从甲、乙以外的三人中选一人从事工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有＝种选法．．如图，用种不同的颜色涂入图中的矩形、、、中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )．种．种．种[答案][解析]解法：()种颜色全用时，有＝种不同涂色方法．()种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从种颜色中选种，涂入、、中，有种涂法，然后涂，可以与(或)同色，有种涂法，∴共有＝种，∴共有不同涂色方法＋＝种．解法：涂有种方法，涂有种方法，涂有种方法，涂有种方法，故共有×××＝种涂法．二、填空题．一排个座位分给人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有种[答案][解析]对于任一种坐法，可视个空位为个人为则所有不同坐法的种数可看作个和的一种编码，要求不得相邻故从个形成的个空档中选个插入即可．∴不同排法有＝种．．将支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有种放法(用数字作答)[答案][解析]设有，两个笔筒，放入笔筒有四种情况，分别为支，支，支，支，一旦笔筒的放法。

描述：例题：高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章计数原理 1.4 计数模型（补充）一、学习任务掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．二、知识清单数字组成模型 条件排列模型 分组分配模型染色模型计数杂题三、知识讲解1.数字组成模型与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．由 、、、、 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？解：首位不能是 ，有 种，后四位数有 种排列，所以这五个数可以组成 个无重复的五位数．012340C 14A 44=96C 14A 44用数字 、 组成四位数，且数字 、 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 或 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 个．23231423−2=1424从 ， 中选一个数字，从 、、 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A． B． C． D．解：B当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，剩余 个数字排在首位，共有 种方法；当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，其余 个数字全排列，共有 种方法．依分类加法计数原理知共有 个奇数．02135241812601352C 2321C 121=6C 23C 1221352C 2321C 122=12C 23C 12A 226+12=18用 ， ，， ， ， 这 个数字，可以组成______个大于 且小于 的012345630005421描述：例题：2.条件排列模型计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某人只能或不能排在某些位置的问题等等．不重复的四位数．解：分四类：①千位数字为 ， 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 （个）；②千位数字为 ，百位数字为 ，，， 之一时，共有 （个）；③千位数字是 ，百位数字是 ，十位数字是 ， 之一时，共有 （个）；④最后还有 也满足条件．所以，所求四位数共有 （个）．175342=120A 3550123=48A 14A 245401=6A 12A 135420120+48+6+1=175 名男生， 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．解：（1）先考虑甲的位置，有 种方法，再考虑其余 人的位置，有 种方法．故有种方法；（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 名男生进行全排列，有 种排法，与 名女生组成 个元素全排列，故有 种不同的排法；（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 名同学全排列，有 种排法，然后将甲、乙分别插到 个空中，有 种排法，故有 种不同的排法．34A 136A 66=2160A 13A 663A 3345=720A 33A 555A 556A 26=3600A 55A 26有甲、乙、丙在内的 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有 种方法；最后甲、乙两人的排法有 种方法．综上，总共有 种排法．6144A 44A 13A 22=144A 44A 13A 22 把椅子摆成一排， 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A． B． C． D．解：D“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 种不同坐法．6314412072244=24A 34某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？解：法一： 门课程总的排法是 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 种排法，数学排在最后一节有 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： 种．法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 种排法；② 数学6A 66A 55A 55A 44−2+=504A 66A 55A 44⋅A 24A 44⋅144种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）72种花，且相邻的96高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

1.2.2 组合课时过关·能力提升基础巩固1.C 62+C 75的值为( )A.72B.36C.30D.4262+C 75=6×52×1+7×62×1=15+21=36.2.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有( ) A.16种B.36种C.42种D.60种2个城市,则有C 42C 32A 22=36种投资方案;若选择了3个城市,则有C 43A 33=24种投资方案,因此共有36+24=60种投资方案.3.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( ) A.45种 B.56种C.90种D.120种,不同的选法种数为C 83−C 53−C 33=45.4.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.357种中取出3种有C 73=35种取法,比如选出a ,b ,c 3种,再都改变位置有b ,c ,a 和c ,a ,b 两种改变方法,故不同的改变方法有2×35=70种.5.在某次数学测验中,学号i (i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f (i )∈{90,92,93,96,98},且满足f (1)<f (2)≤f (3)<f (4),则这四位同学的考试成绩的所有可能的情况为( ) A.9种 B.5种 C.23种 D.15种6.某书店有11种杂志,2元1本的有8种,1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买1本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数为 .(用数字作答):(1)买5本2元的买法种数为C 85.(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 84·C 32.故不同的买法种数为C 85+C 84·C 32=266.7.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 .(用数字作答)0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为C 32C 22A 44=72.若选0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为C 21C 32C 31A 33=108.则共可组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180.8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 种.(用数字作答)C 73种方法,第二步安排周日有C 43种方法,故不同的安排方案共有C 73C 43=140种.9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个.(用数字作答):第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有C 31A 33+C 32A 33C 41=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有C 32A 33C 41+C 31C 32A 33C 31=234个,共有90+234=324个.10.8人排成一排,其中甲、乙、丙3人中有2人相邻,问这3人不同时排在一起的排法有多少种?5人有A 55种排法;再从甲、乙、丙3人中选2人排在一起并插入已排好的5人的6个间隔中有C 61A 32种排法,余下的1人可以插入另外5个间隔中有C 51种排法,由分步乘法计数原理知,共有A 55C 61A 32C 51=21 600种排法. 11.(1)求证:C m+2n =C m n +2C m n -1+C m n -2; (2)解:方程:3C x -3x -7=5A x -42.C n+1m =C n m +C n m -1可知,右边=(C m n +C m n -1)+(C m n -1+C m n -2)=C m+1n +C m+1n -1=C m+2n =左边.右边=左边,所以原式成立.3C x -34=5A x -42,即3(x -3)(x -4)(x -5)(x -6)4×3×2×1=5(x-4)(x-5), 所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5. 所以x=11或x=-2(舍去负根).经检验,x=11符合题意,所以方程的解为x=11.能力提升15.个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A 盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36A盒后分两类:一类是除甲球外,A盒还放其他球,共A44=24种放法;另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有C42·A33=36种放法.故总的放法有24+36=60种.2.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为()A.2B.3C.4D.5x人,则女生有(6-x)人.依题意得C63−C x3=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.3.已知一组曲线y=13ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为()A.9B.10C.12D.142+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有C22组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有C32组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有C42组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有C32组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有C22组.故共有C22+C32+C42+C32+C22=14组曲线,它们在x=1处的切线相互平行.4.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A.4225B.2225C.275D.475C62=15条直线,如图,其中有6对平行线,所求概率P=12×115×15=475.故选D.5.如图,一只电子蚂蚁在网格线上由原点O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,n∈N*),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=.O出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为1,向右为0,则爬到点(m,n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m,n)是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占(m+n)个位置,m.只要从中选取m个放0即可.故f(m,n)=C m+nmm+n6.如图,工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有种.(用数字作答)7.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答):第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4C53种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2C43种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4C21种取法.因此,满足题意的不同取法共有4C53+2C43+4C21=56种.★8.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有C42=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有C41=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有C40=1个信息.由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.★9.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数为C63·C42=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105−C65=246.(3)分两类:一是选1名主任有C21·C84种方法;二是选2名主任有C22·C83种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C21·C84+C22·C83=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为C105−C85=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有C94种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有C84−C54种选法.故有选派方法的种数为C94+C84−C54=191.。

人教版高中数学选修2～3 全册章节同步检测试题目录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3二项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2二项分布及其应用第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应用第3章练习 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式（ ） Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ二、填空题7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法．答案：33，2708．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．答案：1011．如图，从A →C ，有 种不同走法．答案：612．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．答案：34三、解答题13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =⨯=种．14．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =⨯⨯=种；（3）56644574N =⨯+⨯+⨯=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平面上的点，a b M ∈，． （1）()P a b ，可表示平面上多少个不同的点？（2）()，可表示多少个坐标轴上的点？P a b解：（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，∴P点个数为N=6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x轴上（不含原点）有5个点；②y轴上（不含原点）有5个点；③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，∴共有N=5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ）A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种答案：Ａ3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种答案：Ａ4．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）A ．10种B ．52种 Ｃ．25种 Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的子集的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ二、填空题7．平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是 ．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．答案：2(1)n n-9．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生种不同的信息．答案：25610．椭圆221x ym n+=的焦点在y轴上，且{}{}123451234567m n∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：2011．已知集合{}123A，，，且A中至少有一个奇数，则满足条件的集合A分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题13．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，比3410大的四位数有多少个？解：本题可以从高位到低位进行分类．（1）千位数字比3大．（2）千位数字为3：①百位数字比4大；②百位数字为4：1°十位数字比1大；2°十位数字为1→个位数字比0大．所以比3410大的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜色旗子各(3)n n>面，任取其中三面，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗子中不允许有三面相同颜色的旗子，可以有多少种不同的信号？若所升旗子颜色各不相同，有多少种不同的信号？解：1N=3×3×3=27种；227324N=-=种；33216N=⨯⨯=种．15．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷一．选择题：1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（）（A）37种（B）1848种（C）3种（D）6种2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（）（A）37种（B）1848种（C）3种（D）6种3．某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（）（A） 5 （B）7 （C）10 （D）124．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A）265个（B）232个（C）128个（D）24个5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A）265个（B）232个（C）128个（D）24个6．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）（A）43种（B）34种（C）4×3×2种（D）1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A）120种（B）1024种（C）625种（D）5种8．已知集合M={l，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）（A）18 （B）17 （C）16 （D）109．三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（）（A）25 （B）36 （C）26 （D）3710．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N 不同的走法共有（）（A）25 （B）15 （C）13 （D）10二．填空题：11．某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有种方法；买其中两种有种方法．12．大小不等的两个正方形玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有个．15．某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有种．三．解答题：D CB A16．现由某校高一年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加足球队，蓝球队、乒乓球队，每人限报其中一个运动队，不同的报名方法有几种？［探究与提高］1．甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、乙两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、 排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（ ）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（ ）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（ ） （A ）827n A - （B ）2734n n A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（ ） （A ）20个 （B ）19个 （C ）25个 （D ）30个7．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）96种8．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）（A ）6种 （B ）9种 （C ）18种 （D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）（A ）88A 种 （B ）48A 种 （C ）44A ·44A 种 （D ）44A 种10．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ） （A ）(4!)2种 （B ）4!·3!种 （C ）34A ·4!种 （D ）35A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（ ）（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种 二．填空题:：12．6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．13．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．14．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种．15．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法．三、解答题：17．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合 综合卷一、选择题：1．下列等式不正确的是（ ） （A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=-（C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（ ）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．方程2551616x x x CC --=的解共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有（ ）（A ）12种 （B ）34种 （C ）35种 （D ）340种8．平面上有7个点，除某三点在一直线上外，再无其它三点共线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线（ ）（A ）18条 （B ）19条 （C ）20条 （D ）21条9．在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查， 至少有两件一级品的抽法共有（ ）（A ）60种 （B ）81种 （C ）100种 （D ）126种10．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ） （A ）5种 （B ）6种 （C ）63种 （D ）64种 二．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有 种。

第1课时 排列与排列数公式[A 组 学业达标]1．4·5·6·…·(n－1)·n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：因为A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)，所以A n －3n ＝n(n －1)(n －2)…[n－(n －3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.答案：D2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．120种D ．90种解析：5本书进行全排列，A 55＝120种． 答案：C3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A 44＝24(种)．答案：B4．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：因为A 2n ＋1－A 2n ＝10，则(n ＋1)n －n(n －1)＝10，整理得2n ＝10，即n ＝5. 答案：B5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：lg a －lg b ＝lg a b ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg3 9，lg31＝lg93，故其可得到18种结果．答案：C6．计算A67－A56A45＝________.解析：因为A67＝7×6×A45，A56＝6×A45，所以原式＝36A45A45＝36.答案：367．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：根据题意，得A240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．答案：1 5608．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答) 解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6809．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号．解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．10．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解析：由题意可知，原有车票的种数是A2n种，现有车票的种数是A2n＋2种，∴A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58.解得n＝14.故原有14个车站，现有16个车站．[B组能力提升]11．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )A．1 260 B．120C．240 D．720解析：相当于3个元素安排在10个位置上，共有A310＝720种分法，故选D.答案：D12．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！n －m ＋1！B ．n(n －1)(n －2)…(n－m) C.nA mn －1n －m ＋1 D ．A 1n A m －1n －1 解析：∵A mn ＝n ！n －m ！，而A 1n ·A m －1n －1＝n·n －1！[n －1－m －1]！＝n ！n －m ！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.答案：D13．满足不等式A 7nA 5n＞12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n≥7，所以n ＞9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10. 答案：1014．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．解析：这四张卡片可组成的四位数是2011、2101、2110、1021、1012、1102、1120、1201、1210共9个． 答案：915．根据要求完成下列各题． (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)解方程 ：3A x8＝4A x －19.解析：(1)原式＝5A 49＋A 495A 510－A 510＝6A 494A 510＝6A 4940A 49＝640＝320. (2)由排列数公式，原方程可化为3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简得3＝4×910－x 9－x，即x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x ＝6.16．(1)求由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数． (2)从0,1,2,3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解析：(1)本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个．(2)大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.第2课时排列的综合应用[A组学业达标]1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( ) A．60种B．48种C．36种D．24种解析：把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24种排法．答案：D2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种B．216种C．240种D．288种解析：根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类，甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类，乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案：B3．5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，这样的排列种数为( )A．5 760 B．57 600C．2 880 D．28 800解析：先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个大元素，从大元素和另外的3名男生中选2个排在两端，剩下的和女生全排列，故有A22·A25·A24·A55＝57 600(种)排法．故选B.答案：B4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个解析：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A34＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A34＝72(个)．所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．答案：B5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种解析：把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.答案：C6．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法．而A，B，C这3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．答案：367．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：368．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96(种)．答案：969．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解析：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．10．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解析：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．[B组能力提升]11．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72解析：第一步，先排个位，有A13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有A13·A44＝72(个)．答案：D12．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．216种B．288种C．180种D．144种解析：当B，C相邻，且与D不相邻时，有A33A24A22＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有A33A34＝144种方法，故共有288种编排方法．答案：B13．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55种，当C在左边第2个位置时有A24·A33种，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33种．这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．答案：48014．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A44＝48种方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A33＝24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24种．答案：2415．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880种排法．16．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解析：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种．第1课时 组合与组合数公式[A 组 学业达标]1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题． 答案：C2．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( ) A ．120 B ．240 C ．60D ．480解析：C 28＋C 38＋C 29＝7×82×1＋6×7×83×2×1＋8×92×1＝120.答案：A3．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．答案：C4．方程C x14＝C 2x －414的解集为( ) A ．{4} B ．{14} C ．{4,6}D ．{14,2}解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x≤14，解得x ＝4或6.答案：C5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9 C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 14解析：分两类：第一类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第二类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．答案：B6．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有C 12·C 34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C 22·C 24种选派方案．故共有C 12·C 34＋C 22·C 24＝14(种)不同的选派方案．法二：6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14(种)．答案：147．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从4名男医生中选2人，有C 24种选法，从3名女医生中选1人，有C 13种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C 24C 13＝18.答案：188．不等式C 2n －n ＜5的解集为________． 解析：由C 2n －n ＜5，得n n －12－n ＜5，∴n 2－3n －10＜0. 解得－2＜n ＜5.由题设条件知n≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18＞3C x8. 解析：(1)原方程等价于 m(m －1)(m －2)＝6×mm －1m －2m －34×3×2×1，∴4＝m －3，解得m ＝7.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x≤8，∴x≤8，且x ∈N *，∵C x －18＞3C x8，∴8！x －1！9－x ！＞3×8！x ！8－x ！.即19－x ＞3x ，∴x ＞3(9－x)，解得x ＞274， ∴x ＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？解析：设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20，即x(x －1)≥40.又x≥2且x ∈N *，所以x 的最小值为7.故餐厅至少还需准备7种不同的素菜．[B 组 能力提升]11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28 解析：由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝112.答案：B12．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A ．72种B ．84种C ．120种D ．168种 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)．答案：C13．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.答案：{5}14．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．解析：根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30(种)；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 25＝70(种)不同的取法．答案：7015．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．解析：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！， 整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 16．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解析：设既会唱歌也会跳舞的人为“多面手”第一类，选会唱歌的4人无多面手：有C 45C 48＝350；第二类，选会唱歌的4人中有一个多面手：有C 35C 13C 47＝1 050；第三类，选会唱歌的4人中有2个多面手：有C 25C 23C 46＝450；第四类，选会唱歌的4人中有3个多面手：有C 15C 33C 45＝25.由分类加法计数原理，共有350＋1 050＋450＋25＝1 875种．第2课时组合的综合应用[A组学业达标]1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种解析：从7人中选4人共有C47＝35(种)方法．又4名全是男生的选法有C44＝1(种)．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案：D2．平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任三点不共线，过这十个点中的任两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是( )A．28 B．29C．30 D．27解析：可分两类：第一类，红点连蓝点有C14C16－1＝23(条)；第二类，红点连红点有C24＝6(条)，所以共有29条．故选B.答案：B3．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16.解得x＝4，故女生有2人．答案：A4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可．此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．答案：B5．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中，则不同的放法共有( )A．12种B．18种C．36种D．54种解析：先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．答案：B6．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)解析：C67C36C33A22·A22＝140.答案：1407．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)解析：分两类：①A、B、C均不选，有C46＝15.②A、B、C中选一门，有C13C36＝60.∴共有15＋60＝75种不同选修方案．答案：758．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．(用数字作答)解析：①不选甲、乙，则N1＝A44＝24(种)．②只选甲，则N2＝C34C13A33＝72(种)．③只选乙，则N3＝C34C13A33＝72(种)．④选甲、乙，则N4＝C24A23A22＝72(种)．故N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240(种)．答案：2409．某市工商局对35件商品进行抽样检查，鉴定结果有15件假货，现从35件商品中选取3件．(1)恰有2件假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2件假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2件假货在内的不同取法有多少种？解析：(1)从20件真货中选取1件，从15件假货中选取2件，有C120C215＝2 100种不同的取法．所以恰有2件假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有C120C215＋C315＝2 555种不同的取法．(3)任意选取3件的种数为C335，因此符合题意的选取方式有C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2件假货在内的不同的取法有6 090种．10．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少不同的分法．解析：先分组再分配分三类：第一类，“2,2,2”类(先平均分组再分配)C26C24C22·A33＝90(种)A33第二类，“1,2,3”类(先非平均分组再分配)C16C25C33·A33＝360(种)第三类，“1,1,4”类(先部分平均分组，再分配)C16C15C44·A33＝90(种)A22共有90＋360＋90＝540(种)．[B组能力提升]11．如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有( )A．9个B．3个C．12个D．6个解析：当重复数字是1时，有C13·C13个“好数”；当重复数字不是1时，有C13个“好数”．由分类加法计数原理，得“好数”有C13·C13＋C13＝12个．答案：C12．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( )A．135 B．172C．189 D．162解析：不考虑特殊情况，共有C312种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有C23C19种取法．所求取法种数为C312－4－C23C19＝189.答案：C13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C13C12A22＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C12C23A33＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．答案：4814．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)．解析：从6位游客中选2人去A风景区，有C26种方法，从余下4位游客中选2人去B风景区，有C24种方法，余下2人去C，D风景区，有A22种方法，所以分配方案共有C26C24A22＝180(种)．答案：18015．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．解析：(1)易知四位数共有C23C23A44＝216(个)．(2)上述四位数中，偶数排在一起的有C23C23A33A22＝108(个)．(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．16．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰有两双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．解析：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410×24＝3 360(种)．(2)从10双鞋子中选2双有C210种取法，即有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29×22＝1 440种．。

第一章检测(A )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(x 3+x 2+x+1)(y 2+y+1)(z+1)展开后的不同项数有( )A.9项B.12项C.18项D.24项:第一步,从(x 3+x 2+x+1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y 2+y+1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z+1)中任取一项有2种方法.根据分步乘法计数原理得共有4×3×2=24项.2.下列等式不正确的是( )A .C n m =C n n -mB .C m m +C m m -1=C m+1mC .C 51+C 52+C 53+C 54+C 55=25D .C n+1m =C n m -1+C n -1m +C n -1m -1:C 50+C 51+C 52+C 53+C 54+C 55=25,故C 不正确,而A,B,D 正确.3.某城市的街道如图,某人要从A 地前往B 地,则路程最短的走法有( )A.8种B.10种C.12种D.32种4.将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有( )A.252种B.112种C.70种D.56种:甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人,所以不同的分配方案共有C 73A 22+C 72A 22=35×2+21×2=112种.5.满足a ,b ∈{1,0,1,2},且关于x 的方程ax 2+2x+b=0有实数解的有序数对(a ,b )的个数为( )A.14B.13C.12D.10a=0时,方程变为2x+b=0,则b 为1,0,1,2都有解;当a ≠0时,若方程ax 2+2x+b=0有实数解,则Δ=224ab ≥0,即ab ≤1.当a=1时,b 可取1,0,1,2.当a=1时,b 可取1,0,1.当a=2时,b 可取1,0,故满足条件的有序数对(a ,b )的个数为4+4+3+2=13.6.若C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n 能被7整除,则x ,n 的值可能为( )A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n =(1+x )n 1,分别将选项A,B,C,D 中的值代入检验知,仅有选项C 适合.7.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279C 91C 101C 101=900,而无重复数字的三位数的个数为C 91C 91C 81=648,故所求个数为900648=252,应选B .8.在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10x 3的项是由(1+x )6展开式中含x 2的项与x 相乘得到,又(1+x )6展开式中含x 2的项的系数为C 62=15,故含x 3项的系数是15.9.设(1+x+x 2)n =a 0+a 1x+…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为( )A.3nB.3n 2 C .3n -12 D .3n +12x=0,得a 0=1;① 令x=1,得a 0a 1+a 2a 3+…+a 2n =1;② 令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2n =3n , ③ ②+③得2(a 0+a 2+…+a 2n )=3n +1,故a 0+a 2+a 4+…+a 2n =3n +12,再由①得a 2+a 4+…+a 2n =3n -12.10.从正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为( )A .C 8412B .C 848 C .C 846D .C 8446个面和6个对角面中,每个面上的四个点不能构成四面体.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,从A 处到B 处共有 条不同的线路可通电.,上线路中有3条,中线路中有一条,下线路中有2×2=4条.根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8条不同的线路.12.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答):第一类,7级台阶上每一级只站一人,则有A 73种;第二类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则共有C 31A 72种.因此共有不同的站法种数是A 73+C 31A 72=336.13.若(x √x 3)8的展开式中x 4的系数为7,则实数a= .(x √x3)8的通项为C 8r x 8r a r (x -13)r =C 8r a r x 8r x -r 3=C 8r a r x 8-r -r 3, ∴令8r r 3=4, 解得r=3.∴C 83a 3=7,得a=12.14.C 1702C 171+4C 1728C 173+…+(217C 1717)= .=(12)17=(1)17=1.15.若4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻的站法有 .(用数字作答)3名教师中任取2名作为一个整体排列,共有A 32种方法,然后排4名学生共有A 44种方法,把2名教师组成的整体和另外一名教师安排在4名学生隔成的五个空中,有A 52种排法,故共有不同的站法种数为A 32·A 44·A 52=2 880.种三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设集合M={2,1,0,1,2,3},P (a ,b )是坐标平面上的点,a ,b ∈M.(1)P 可以表示多少个第四象限内的点?(2)P 可以表示多少个不在直线y=x 上的点?分两步,第一步确定横坐标有3种,第二步确定纵坐标有2种,根据分步乘法计数原理得点的个数为N=3×2=6.(2)分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有5种,根据分步乘法计数原理得点的个数为N=6×5=30.17.(8分)球台上有4个黄球、6个红球,击黄球入袋记2分,红球入袋记1分.求将此10球中的4球击入袋中,但总分不低于5分的击球方法有多少种?x 个,红球y 个符合要求.则有{x +y =4,2x +y ≥5,x ,y ∈N .解得{x =1,y =3或{x =2,y =2或{x =3,y =1或{x =4,y =0.对应每组解(x ,y ),击球方法数分别为C 41C 63,C 42C 62,C 43C 61,C 44C 60,所以不同的击球方法种数为C 41C 63+C 42C 62+C 43C 61+C 44C 60=195.18.(9分)有大小、形状、质地相同的6个球,其中3个一样的黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?1个、2个、3个黑球进行分类求解.:(1)若取1个黑球,和另三个球排4个位置,不同的排法种数为A 44=24;(2)若取2个黑球,从另三个球中选2个排4个位置,2个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为C 32A 42=36;(3)若取3个黑球,从另三个球中选 1个排4个位置,3个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为C 31A 41=12.综上,不同的排法种数为24+36+12=72.19.(10分)求证:(1)4×6n +5n+19是20的倍数(n ∈N *);(2)3n 2n ≥n ·2n 1(n ∈N *).(1)4×6n +5n+19=4×(5+1)n +5×(4+1)n 9=4(C n 05n +C n 15n 1+…+C n n -15+1)+5(C n 04n +C n 14n 1+…+C n n -14+1)9=20[(C n 05n 1+C n 15n 2+…+C n n -1)+(C n 04n 1+C n 14n 2+…+C n n -1)],故结论成立.(2)∵3n 2n ≥n ·2n 1⇔3n ≥n ·2n 1+2n =2n 1(n+2),①当n=1时,①式左边=31=3,右边=211×(1+2)=3,∴3n =2n 1(n+2).当n ≥2时,3n =(2+1)n =2n +C n 12n 1+C n 22n 2+…+C n n >2n +n ·2n 1=2n 1(2+n ). 综上,对一切n ∈N *,不等式3n ≥2n 1(2+n )成立,即3n 2n ≥n ·2n 1(n ∈N *)恒成立.20.(10分)已知(x2√x )n 的展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.,利用等差中项的性质即可求出n 的值;所谓系数最大的项,即只要某一项的系数不小于与它相邻的两项的系数即可,这是由二项式系数的增减性决定的.由题意,得C n 0+14×C n 2=2×12×C n 1, 即n 29n+8=0,解得n=8,n=1(舍去). (2)设第r+1项的系数最大,则{12r C8r≥12r+1C8r+1,1 2r C8r≥12r-1C8r-1,即{18-r ≥12(r+1),1 2r ≥19-r,解得r=2或r=3.所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7x 7 2.。

1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理课时过关·能力提升基础巩固1.(x-y )n 的二项展开式中,第r 项的二项式系数为( )A .C n rB .C n r+1 C .C n r -1 D.(-1)r-1C n r -1T r =C n r -1x n+1-r ·(-y )r-1,则第r 项的二项式系数为C n r -1.2.(x √x 3)12展开式中的常数项为( ) A.-1 320 B.1 320 C.-220 D.220k+1=C 12k ·x 12-k ·(-1√x 3)k =(-1)k C 12k x 12-43k ,令12-43k=0,得k=9.故T 10=(-1)9C 129=-220.3.(2x +1x2)7的展开式中倒数第3项的系数是( ) A .C 76·2B .C 76·26 C .C 75·25D .C 75·22+1x 2)7的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T 6=C 75·(2x )2·(1x 2)5=C 75·22·x -8.该项的系数为C 75·22.4.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=( )A.x 4B.x 4+1C.(x-2)4D.x 4+4(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C 40(x-1)4+C 41(x-1)3+C 42(x-1)2+C 43(x-1)+C 44=[(x-1)+1]4=x 4,故选A .5.(√x 3+a x )12的展开式中的常数项为-220,则a 的值为( )A.1B.-1C.2D.-2k+1=C 12k ·x 12-k 3-k ·a k .∵T k+1为常数项,∴12-k 3-k=0, ∴k=3.∴C 123·a 3=-220,∴a=-1.6.(x -1x )5的展开式中含x 3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5k+1=C 5k ·x 5-k (-1x )k =(-1)k C 5k ·x 5-2k ,令5-2k=3,则k=1.故含x 3项的二项式系数为C 51=5.7.(x 32√x )5的展开式中x 8的系数是 .(用数字作答)T k+1=C 5k ·(x 3)5-k ·(2√x )k =C 5k ·2-k ·x 15-72k (k=0,1,2,…,5).令15-72k=8,得k=2,于是展开式中x 8项的系数是C 52·2-2=52.8.若A=37+C 72·35+C 74·33+C 76·3,B=C 71·36+C 73·34+C 75·32+1,则A-B= .37-C 71·36+C 72·35-C 73·34+C 74·33-C 75·32+C 76·3-C 77=(3-1)7=27=128.9.在(2x 2√x 3)8的展开式中,求: (1)第5项的二项式系数及系数;(2)x 2的系数.因为T 5=C 84(2x 2)4(√x3)4=C 8424·x 203,所以第5项的二项式系数是C 84=70,第5项的系数是C 84·24=1 120. (2)(2x 2√x 3)8的通项是 T k+1=C 8k (2x 2)8-k (-1√x3)k =(-1)k C 8k ·28-k ·x 16-73k , 根据题意得,16-73k=2,解得k=6,因此x 2的系数是(-1)6C 86·28-6=112.10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.2n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(C n+10·8n+1+C n+11·8n +…+C n+1n ·8+1)-24n+37=3×64(C n+10·8n-1+C n+11·8n-2+…+C n+1n -1)+24C n+1n -24n+40=64×3(C n+10·8n-1+C n+11·8n-2+…+C n+1n -1)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除.能力提升1.对任意实数x ,有x 3=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2)2+a 3(x-2)3,则a 2的值是( )A.3B.6C.9D.21x 3=[2+(x-2)]3=C 30·23+C 31·22·(x-2)+C 32·2·(x-2)2+C 33(x-2)3.所以a 2=C 32·2=6.2.若(1+√2)5=a+b √2(a ,b 为有理数),则a+b 等于( )A.45B.55C.70D.80,得(1+√2)5=1+C 51·√2+C 52·(√2)2+C 53·(√2)3+C 54·(√2)4+C 55·(√2)5=1+5√2+20+20√2+20+4√2=41+29√2,即a=41,b=29,故a+b=70.3.(1-√x )6(1+√x )4的展开式中x 的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4:(1-√x )6的展开式的通项为C 6m (-√x )m ,(1+√x )4的展开式的通项为C 4n (√x )n ,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令m +n=1,得m+n=2,于是(1-√x )6(1+√x )4的展开式中x 的系数等于C 60·(-1)0·C 42+C 61·(-1)1·C 41+C 62·(-1)2·C 40=-3. 方法二:(1-√x )6(1+√x )4=[(1-√x )(1+√x )]4·(1-√x )2=(1-x )4(1-2√x +x ).于是(1-√x )6(1+√x )4的展开式中x 的系数为C 40·1+C 41·(-1)1·1=-3.4.设a ∈Z ,且0≤a<13,若512 016+a 能被13整除,则a 等于( )A.0B.1C.11D.12,得512 016+a=a+(1-13×4)2 016=a+1-C 2 0161(13×4)+C 2 0162(13×4)2-…+C 2 0162 016(13×4)2 016,显然当a+1=13k (k ∈Z )时,512 016+a 能被13整除.又0≤a<13,则a=12.5.若x>0,设(x 2+1x )5的展开式中的第3项为M ,第4项为N ,则M+N 的最小值为 .T 3=C 52·(x 2)3(1x )2=54x , T 4=C 53·(x 2)2·(1x )3=52x ,则M+N=5x 4+52x ≥2√258=5√22. 当且仅当5x 4=52x ,即x=√2时,等号成立.6.二项式(√x -2√x 3)10的展开式中,常数项的值为 .★7.已知(ax+1)n =a n x n +a n-1x n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0(x ∈N *),点A i (i ,a i )(i=0,1,2,…,n )的部分图象如图,则a= .T k+1=C n k (ax )n-k =a n-k ·C n k x n-k ,由题图可知a 1=3,a 2=4,即a C n n -1=3,且a 2C n n -2=4,化简得na=3,且n (n -1)a 22=4,解得a=13.★8.(1)求(1+x )2(1-x )5的展开式中x 3的系数;(2)已知(x √x +2√x 3)n展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.+x )2的通项为T r+1=C 2r ·x r ,(1-x )5的通项为T k+1=(-1)k ·C 5k x k ,其中r ∈{0,1,2},k ∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x 3的系数为-C 22C 51+C 21C 52−C 20C 53=5.(2)展开式的通项为T k+1=C n k (x √x )n-k ·(2√x 3)k=C n k ·2k ·x 9n -11k 6(k=0,1,2,…,n ),由题意,得C n 020+C n 12+C n 222=129.所以1+2n+2n (n-1)=129,则n 2=64,即n=8.故T k+1=C 8k ·2k ·x 72-11k 6(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则72-11k 6=0, 解:之,得k=7211∉Z ,所以展开式中没有常数项.若展开式中存在一次项,则72-11k 6=1, 即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T 7=C 8626x=1 792x.★9.已知f (x )=(1+x )m ,g (x )=(1+2x )n (m ,n ∈N *).(1)若m=3,n=4,求f (x )g (x )的展开式含x 2的项;(2)令h (x )=f (x )+g (x ),h (x )的展开式中x 的项的系数为12,当m ,n 为何值时,含x 2的项的系数取得最小值?当m=3,n=4时,f (x )g (x )=(1+x )3(1+2x )4.(1+x )3展开式的通项为C 3k x k ,(1+2x )4展开式的通项为C 4k (2x )k ,f (x )g (x )的展开式含x 2的项为1×C 42(2x )2+C 31x ×C 41(2x )+C 32x 2×1=51x 2.(2)h (x )=f (x )+g (x )=(1+x )m +(1+2x )n .因为h (x )的展开式中x 的项的系数为12,所以C m 1+2C n 1=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.x 2的系数为C m 2+4C n 2=C 12-2n 2+4C n 2=12(12-2n )(11-2n )+2n (n-1) =4n 2-25n+66=4(n -258)2+43116,n ∈N *,所以当n=3,m=6时,x 2的项的系数取得最小值.。