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【同步备课】高中数学(北师大版)必修一课件：4.1.2利用二分法求方程的近似解

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北师大版高中数学必修一课件4.1.2利用二分法求方程的近似解(导学式)

北师大版高中数学必修一课件4.1.2利用二分法求方程的近似解(导学式)

二分法定义：
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
探究点2
二分法定义及操作步骤
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1.确定区间[a,b]，验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε； 2.求区间(a,b)的中点x1， 3.计算f(x1) 若f(x1)=0，则x1就是函数的零点； 若f(a)· f(x1)<0，则此时零点x0∈(a,x1)
规律总结： 判断零点存在区间的关键是f(a)· f(b)<0
课堂练习
1．对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是()
A.ε越大，零点的精确度越高
B.ε越大，零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
[解析] 由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低.
答案：B．
课堂练习
2．下列函数不能用二分法求零点的是()
典例精讲：题型一：对二分法概念的理解
【例1】观察下列函数的图象，能用二分法求其零点的是()
[解析] 由图象可得A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故 可用二分法求零点.
答案：A
题后反思
【注意要点 】
运用二分法求函数零点需具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断 . 在该零点左右函数值异号. (2)
典例精讲：题型二：利用二分法求方程的近似解
【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1) [解析] 初始区间（2，3），且，列表：

高一数学北师大版必修1课件：4.1.2利用二分法求方程的近似解

高一数学北师大版必修1课件：4.1.2利用二分法求方程的近似解

类型二 用二分法求函数零点的近似值 [例 2] 用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内的一个零 点．(精确度 0.01)
【思路点拨】 1.在用二分法求函数的零点时，将选取的初始区 间等分的次数由哪个因素决定？ 2．给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)的零点的初始区间是唯一 的吗？
【解析】 ①中 x0∈[a，b]且 f(x0)＝0， 所以 x0 是 f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，故①错误；②由于 x0 两 侧函数值不一定异号，故②错误．③方程 f(x)＝0 的根一定是函数 f(x) 的零点，故③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精 确值，故④错误．故选 A. 【答案】 A
2．二分法求方程实数解的过程 二分法求方程 实数解的过程
说明
“初始区间”： 是一个两端函数值反号的区间 “M”的含义： 取新区间，一个端点是原区间的中点，另 一端是原区间两端点中的一个，新区间两 端点的函数值反号 “N”的含义： 方程解满足要求的精度 “P”的含义： 选取区间内的任意一个数作 为方程的近似解
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01， 所以函数 f(x)＝x3－x－1 精确度为 0.01 的一个近似零点可取为 1.328 125.
【解析】 经计算 f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零 点 x0. 取(1,1.5)的中点 x1＝1.25，经计算 f(1.25)<0， 因为 f(1.5)· f(1.25)<0，所以 x0∈(1.25,1.5)， 如此继续下去，如下表：
区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) (1.312 5,1.343 75) (1.312 5,1.328 125) 中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 1.328 125 1.320 312 5 中点函数近似值 －0.30 0.22 －0.05 0.08 0.01 －0.02

【同步课堂】北师大版高中数学必修一第四章1.2 利用二分法求方程的近似解教学课件(共17张PPT)

【同步课堂】北师大版高中数学必修一第四章1.2 利用二分法求方程的近似解教学课件(共17张PPT)

由上表计算可知, x2 3就是所求函数 的一个零点.
口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
小结：
1. 二分法的思想。 2. 如何利用二分法求方程的近似解。 3. 二分法使用的范围。
作业： P119页 A组 1，3
（2）若 f (a) f (x1) 0 ，则令 b x1（此时零点x0 (a, x1) ）
（3）若f (x1) f (b) 0, 则令a x1（此时零点 x0 (x1,b)）
4．判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零
点近似值为 [a,b] 内任意一值；否则重复2~4。
练习：
0.0707 (1.75, 1.8125) 0.0625
∵ |1.8125-1. 75|<0.1 ∴x1≈1.8
用二分法求函数零点的近似值的步骤是：
1．确定区间，精确度 ；
2．求区间 (a,b) 的中点 x1
a
b 2
；
3．计算 f (x1)
（1）若 f (x1) 0 ，则 x1就是函数的零点，计算终止；
利用二分法求方程的 近似解
复习与引入：
1. 什么是函数的零点？
把函数 y f (x)的图像与x 轴交点的横坐
标称为该函数的零点. 即函数 y f (x)的零点 就是方程 f (x) 0的解。
结论:
方程 f (x) 0有实数根
函数 y f (x) 的图像与x 轴有交点 函数 y f (x)有零点
唯一根, 记为 x1，且 x1 (1,2) 。
设 f (x) lg x x 2 用计算器计算，可得
中点 x0
1.5 1.75 1.875 1.8125

北师版高中数学必修一4.1.2《用二分法求方程的近似解》ppt课件

北师版高中数学必修一4.1.2《用二分法求方程的近似解》ppt课件
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
（2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25
0.029 0.01 0.001
精确度|ab|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
0.015625
0.007813
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
新课——把例1改写：
例1(补) 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点
(即求方程lnx+2x-6=0的实数根,精确到0.01)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
二分法
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
方法一： 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表
方法二： 用几何画板作出函数y=f(x)的图象
用《几何画板》软件，演示 方法三： 画出y=lnx及y=-2x+6的图象
用《EXCLE》软件，演示
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).

新版高中数学北师大版必修1课件4.1.2利用二分法求方程的近似解

新版高中数学北师大版必修1课件4.1.2利用二分法求方程的近似解

当堂检测
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对二分法原理理解不到位而致误
【典例】 已知函数 f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用
二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为
0,
������ 2
,
0,
������ 4
,
0,
������ 8
,则下列说法正确的是(
)
A.函数 f(x)在区间
0,
2
+ 2
4
=3,计算得f(2)f(x1)<0,则函
数零点所在的区间是 ( )
A.(2,4)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.无法确定
解析:(1)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧函数
值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)由f(2)f(4)<0,f(2)f(3)<0知f(3)f(4)>0.
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
二分法在实际中的应用 【例3】 中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”,主持人给选手在 限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选 手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1 000元之间,选手开始 报价:1 000元,主持人说:高了.选手紧接着报价900元,高了;700元,低 了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格 具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数 学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗? 解:取价格区间[500,1 000]的中点750,如果主持人说低了,就再取 区间[750,1 000]的中点875;否则取另一个区间[500,750]的中点;若 遇到小数,则取整数,照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812, 843,859,851,经过6次可以猜中价格.

《4.1.2利用二分法求方程的近似解》课件1-优质公开课-北师大必修1精品

《4.1.2利用二分法求方程的近似解》课件1-优质公开课-北师大必修1精品

方
堂
案 设
2．函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；
双 基
计
达
课
3．f(a)·f(b)<0.
标
前
自 主
则用二分法一定能够求出函数 y＝f(x)的零点．
课 时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法
方
分
下列函数中能用二分法求零点的是( )
析
法 技
0.1125
课 时
导
学
第5次
0.493 75
－0.016 669 324
0.55
0.057 342 561
0.056 25
作 业
课 堂 互 动 探 究
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教
ห้องสมุดไป่ตู้
学
思
教
想
法 分
至此，区间[0.493 75,0.55]的区间长度为 0.056 25，它小
方 法
析
技
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思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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高中数学北师大版必修一《4.1.2利用二分法求方程的近似解》课件

• 五第级 五级
2．“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中
点
x1
a
2
b
.
12012/144/1/12/01244
10
单击此处编辑母版标题样式
3．计算f (x1)：
• 单击此处(1编)若辑f (母x1)版＝文0，本则样x0式＝x1；
•
二第级二级(2)若f
• 三第级三级
(a)•f(x1)＜0，则令b＝x1
• 五第级 五级
方程的根)近似解的方法叫做二分法．
问题4：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的
方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。
12012/144/1/12/01244
6
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处下编列函辑数母的版图文象本与x样轴式均有交点,其中不能用二分法求其零点
12012/144/1/12/01244
3
单击此处编辑母版标题样式
• 单•击二第此级二处级问编题辑1.母能否版求文解本以样下式几个方程
• 三第级三级(1)2x=4-x
• 四第级四级
(•2)五第x2级 五-2级x-1=0 (3)x3+3x-1=0 指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运 用于解另外两个方程.
的一个• 五第解级 五x级1在区间(2,3)内， 另一个解x2在区间(-1,0)内．
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们发现 f(2)=
-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2, 3)上穿过
x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.

北师大版高中数学必修一4.1.2利用二分法求方程的近似解课件


-3-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHI练
UITANGYANLIAN
2.用二分法求方程的近似解的过程 过程如图.
-4-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
次数 左端点 第 1 次1 第 2 次 1.25 第 3 次 1.25 第 4 次 1.312 5
左端点函数值 -1 -0.296 875 -0.296 875 -0.051 514
右端点 1.5 1.5 1.375 1.375
右端点函数值 0.875 0.875 0.224 609 0.224 609
1.2 利用二分法求方程的近似解
-1-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解二分法的定义,掌握二分法求方程近似解的过程. 2.会用二分法求方程的近似解,体会二分法思想在数学中的应用.
-2-
S随堂演练
UITANGYANLIAN
在图中: “初始区间”是一个两端函数值反号的区间; “M”的含义:取新区间,一个端点是原区间的中点,另一端是原区 间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号; “N”的含义:方程解满足要求的精度; “P”的含义:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解. 在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分 析函数的性质和试验估计.初始区间可以选得不同,不影响最终计 算结果.
-8-
1.2 利用二分法求方程的近似解

北师版数学高一北师大版必修一课件4.1.2利用二分法求方程的近似解


解析答案
12345
5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0 ＝2.5，那么下一个有根的区间是__(2_,_2_.5_)__. 解析 f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0， ∴下一个有根的区间是(2,2.5).
解析答案
课堂小结 1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐 步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)＜0. 上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
解析答案
易错点 忽视给定区间造成失误
例3 函数f(x)＝2x2＋4x－6在区间[－1,2]上零点的个数是( )
A.0
B.2x2＋4x－6＝0，得2(x＋3)(x－1)＝0，
解得x1＝－3，x2＝1.故f(x)有两个零点，所以答案为C. 正解 前同错解得x1＝－3，x2＝1. 因为－3∉[－1,2]，1∈[－1,2]，
答案
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则 c 就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c) ). ③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b) ). (4)判断是否达到精确度ε：即若 |a－b|＜ε ，则得到零点近似值a(或b)；

北师大版数学必修一4.1.2 利用二分法求方程的近似解 教学课件

思考：区间[a,b]上零点是否是唯一的？
思考二：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
练习：
上节回忆
函数 f (x) x3 x 1在下列哪个区间内
有零点?
(C )
A.(1,0) B.(1,2) C.(0,1) D.(2,3)
北师大版必修一第四章《函数应用》 第一节函数与方程
1.2利用二分法求方程的近似解
游戏规则： 给出一件商品，请你猜
出它的准确价格，我们给的 提示只有“高了”和“低 了”。给出的商品价格在100 ~ 200之间的整数，如果你能 在规定的次数之内猜中 价格，这件商品就是你的了。
游戏： “看商品猜价格”，请同学 们猜一下下面这部科学计算器(120～ 200元间)的价格。要求:误差小于1元
设函数的零点为x0 , a=2.53125, b =2.5390625，则 a x0 b.
如图
.
a
.
.
x0 b
由于 a b 2.53125 2.5390625 0.0078125 0.01,
所以 x0 a b a 0.01, x0 b a b 0.01,
所以我们可将此区间内的任意一点作为函数 零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零 点的近似值.
所以方程的近似解为 x 2.53125
二分法概念
y
a
0
b
x
对于在区间a,b 上连续不断且 f a• f b 0 的函
数 y f x ,通过不断地把函数 f x的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.
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下列函数的图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零
点的是（ C ）
y x
0 0
y x
0
y x
0
y x
例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精度为0.01
解析:考察函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号的 区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.经
试算，f(0)=-3＜0，f（1）=2＞0，所以方程2x3+3x-3=0
他用“二分法”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负， 并得出判断：方程的近似解可为 1.8．那么他所取的 x 的 4 个 值中最后一个值是
1.8125 .
1. 二分法． 2.用二分法求方程的近似解，程序化的思想即算法思想． 3.数学思想：等价转化、函数与方程、数形结 合、分类讨论以及无限逼近的思想.
若未达到，则重复步骤2～4．
求函数 f x x 5 的负零点（精度 0.1）.
2
【解析】由于 f 2 1 0, f 3 4 0 故取区间 3, 2 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点 -2.5 -2.25 -2.125 -2.1875 -2.21875 中点函数值 1.25 0.0625 -0.484375 -0.21484375 -0.0771484375
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
方程的解在(2, 2.5)中
取(2,2.5)的中点2.25, ......
二分法求方程的近似解
二分法: 前提
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数
y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应 方程的根)近似解的方法叫作二分法．
【解析】由
0.1 0.01 ， 得 n 2
2 n 10 ，所以 n 的最小值为 4.
答案：4
3.（２０１2·抚州高一检测）某同学在借助计算器求“方程 ”时，设 lg x 2 x 的近似解（精度为 0.1 ）
f (x) lg x x 2 ，算得 f (1)＜0 ，f (2)＞0 ；在以下过程中，
y
y=x2-2x-1
x
另一个解x2在区间(-1,0)内．
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图像，我们发现 f(2)=
-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图像在区间(2, 3)上穿过
x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有唯一解.
f(2)=-1<0, f(3)=2>0
2.52 - 2×2.5-1 = 0.25 >0
2．“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中
点 x1 a b .
2
3．计算f (x1)：
(1)若f (x1)＝0，则x0＝x1； (2)若f (a)•f(x1)＜0，则令b＝x1 (此时x0∈(a, x1)); (3)若f (x1)•f(b)＜0，则令a＝x1 (此时x0∈(x1,b)). 4．判断是否达到给定的精度，若达到，则得出近似解；
能否求解以下几个方程 (1)2x=4-x (2)x2-2x-1=0 (3)x3+3x-1=0 用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解， 但此法不能运用于解另外两个方程.
不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解? 画出y=x2-2x-1的图像(如图) 由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个解x1在区间(2,3)内， -1 0 1 2 3
1.2
利用二分法求方程 的近似解
1.了解用二分法来求解方程近似解的思想.(难点)
2.能够应用二分法
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，
并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则
在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的 方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数解.
右端点 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.7421875
右端点函数值 2 2 0.09375 0.09375 0.09375 0.09375 0.09375 0.044219017
区间长度 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125
3, 2 2.5, 2
根据表中计算知，区间 2.25, 2.1875 的长度是 0.0625<0.1,所以函数的负零点可 取-2.1875.
2.25, 2
2.25, 2,125
2.25, 2.1875
1.已知函数 f x 的图像是连续不断的，有如下的 x , f x 的对应值表.
x f x
1 13
2 15.02
3 -2
4 9.6
5 -40
则该函数 f x 的零点个数为 A．2 B．3 C．4
（
D ）
D．至少 3 个
2.已知图像连续不断的函数 y f ( x ) 在区间（0,0.1）上有唯一零 点，如果用二分法求这个零点（精度为 0.01）的近似值，则应 将区间（0,0.01）等分的次数至少为 次.
即使一次次地跌倒，我们依然成长。跌倒 只是我们成长道路上的一个小小的插曲。
至此，我们得到，区间[0.734 375,0.742 187 5]的区间
长度为0.007 812 5，它小于0.01，因此，我们可以选取
这一区间内的任意一个数作为方程2x3+3x-3=0的近似解.
例如我们选取0.74作为方程2x3+3x-3=0的一个近似解.
提升总结
求方程近似解的步骤 1．利用y＝f(x)的图像，或函数赋值法(即验证f (a)• f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间(a, b).
在[0,1]内有解.
如此下去,得到方程2x3+3x-3有解区间的表如下:
次数 第1 次 第2 次 第3 次 第4 次 第5 次 第6 次 第7 次 第8 次
左端点 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.71875 0.734375 0.734375
左端点函数值 -3 -1.25 -1.25 -0.63671875 -0.287597656 -0.101135254 -0.004768372 -0.004768372