不等式·用平均值定理求某些问题的最值

均值不等式求最值策略应用平均值不等式求最值时,要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”｡忽略了任何一个条件,就会导致解题失败,若出现问题,又怎样另辟蹊径,寻求新方法来求最值呢?本文提出一些思路｡1. 调整符号,化负为正,使之适合“一正”条件,过第一关例1. 已知45<x ,求函数54414-+-=x x y 的最值｡ 解:因为45<x 所以054<-x故045>-x 所以54414-+-=x x y 0454)45(24]454)45[(4=-⋅--≤-+--=xx xx 当且仅当x x 45445-=-,即47=x 或43=x 时,等号成立,但4547>不合条件,舍去,故当43=x 时,0m ax =y 2. 拆添配凑,变动为定,使之适合“二定”条件,过第二关利用均值不等式求最值,变形构造出“定值”是难点,其方法如下:(1)变形法例2. 求函数)(1222R x x x y ∈++=的最小值｡ 解:因为R x ∈ 所以0112>≥+x 故11111)1(2222+++=+++=x x x x y2111222=+⋅+≥x x 当且仅当11122+=+x x ,即0=x 时,2min =y(2)配凑法 例3. 已知3>x ,求函数382-+=x x y 的最小值｡ 解:因为3>x 则有038062>->-x x ，所以63862382+-+-=-+=x x x x y 14638)3(22638)3(2=+-⋅-≥+-+-=x x x x 当且仅当38)3(2-=-x x ,即5=x 时,14min =y3. 分离常数(1)拆项法 例4. 当1->x 时,求1132++-=x x x y 的最小值｡ 解:因为1->x所以01>+x 所以15)1(5)1(2+++-+=x x x y 552515)1(2515)1(-=-+⋅+≥-+++=x x x x 当且仅当5)1(2=+x ,即15-=x 取等号另一解151-<--=x (舍去) 所以552min -=y(2)倒数法例5. 若0>x ,求函数12++=x x x y 的最大值｡ 解:因为0>x 311112≥++=++=xx x x x y 所以310≤<y 故31max =y(3)平方法例6. 已知2521≤≤x ,求函数x x y 2512-+-=的最大值｡ 解:)25)(12(225122x x x x y --+-+-=84)23(42451242422≤+--+=-+-+=x x x 由于0>y 所以22≤y 当且仅当]2521[23，∈=x 时取等号,所以22max =y4. 化归转化,寻求相等,过第三关例7. 设0>x ,求)1)(12(x xy ++=的最小值｡ 解:因为0>x2232123123)1)(12(+=⋅+≥++=++=x x xx x x y 当且仅当x x 21=,即221=x 时取等号 所以322min +=y点评:若x 12+与x +1分别利用平均值不等式,再相乘求最值,问题出现在:前后取等条件不一致｡例8. 已知+∈R b a ，,且1=+b a ,求)1)(1(b b a a y ++=的最小值｡ 解:因为+∈R b a ，,且1=+b a 所以)1)(1(bb a a y ++= 425)23142()314()1(2)1(1222=+⋅-⋅≥-+=+=++≥+++=ba ab ab ab abab abab ab ab b a a b ab ab 5. “三关”难过,前进受阻,应另辟蹊径(1)利用代数､三角换元例9. 若a,b 为正实数,且1=+b a ,求)11)(11(ba y ++=的最小值｡ 解:因为0>b a ，,且1=+b a所以可设)20(cos sin 22πααα，，，∈==b a 则)cos 11)(sin 11(22αα++=y 9cot tan 451)cot (tan 24)tan 2)(cot 2()cos cos sin 1)(sin cos sin 1(222222222222=⋅+≥+++=++=++++=αααααααααααα 当且仅当αα22cot tan =,即41tan 2παα==，时取等号,这时21==b a ,满足1=+b a ,所以9min =y(2)引入参数,巧渡难关例10. 已知+∈R y x ，,且191=+yx ,求P=x+y 的最小值｡ 解:设0>λ,由已知有0)191(=-+yx λ 所以)191(-+++=+=y x y x y x P λ λλλλλλλλ-=-⋅+⋅≥-+++=8922)9()(yy x x yy x x 欲取等号,当且仅当yy x x λλ9==，时,有λλ3==y x ， 代入191=+yx 中16=λ,此时168=-λλ 所以16min =P说明:请读者用三角换元解此题,可令)20(sin 9cos 122πααα，，，∈==y x(3)利用函数单调性例11. 求)(4522R x x x y ∈++=的最小值｡ 解:设242≥+=x λ 则)2(14522≥+=++=λλλx x y 易知λλλ1)(+=f在)2[∞+∈，λ上单调递增,所以2=λ时, 25212)2()(min =+==f f λ 此时242=+x即0=x 时,25min =y.。

2．3～2.4 平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型[对应学生用书P33][读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)： 设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥ na 1a 2…a n ，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .①推论1：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，且a 1a 2…a n ＝1，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥n . 且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n ＝1.②推论2：设C 为常数，且a 1，a 2，…，a n 为n 个正数；则当a 1＋a 2＋…＋a n ＝nC 时，a 1a 2…a n ≤C n ，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n . (2)定理2：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则na 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n . (3)定理3：设a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .推论：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则 (a 1＋a 2＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n)≥n 2.2．最值问题设D 为f (x )的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f (x )≤f (x 0)(f (x )≥f (x 0))，x ∈D ， 则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小)值，x 0称为f (x )在D 上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[对应学生用书P34][例1] 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．[精解详析] 法一：∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x ＋9xy＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．1．求函数f (x )＝－2x 2＋x －3x(x ＞0)的最大值及此时x 的值．解：f (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3x .因为x ＞0，所以2x ＋3x≥26，得－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3x ≤－26，因此f (x )≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时，式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62.[例2] 已知x 为正实数，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．[思路点拨] 本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．[精解详析] ∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2＝1－x 2，即x ＝33时取“＝”号． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239.(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．2．已知x 为正实数，求函数y ＝x 2·(1－x )的最大值． 解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x ) ＝x ·x ·(2－2x )×12≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝12×827＝427.当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号．此时，y max ＝427.[例3] 已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．[思路点拨] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．[精解详析]设圆柱体的底面半径为r ，如图，由相似三角形的性质可得H －h H ＝rR，∴r ＝R H(H －h )．∴V 圆柱＝πr 2h ＝πR 2H2(H －h )2h (0＜h ＜H )．根据平均不等式可得V 圆柱＝4πR 2H 2·H －h 2·H －h 2·h ≤4πR 2H 2⎝ ⎛⎭⎪⎫H 33＝427πR 2H . 当且仅当H －h2＝h ，即h ＝13H 时，V 圆柱最大＝427πR 2H .(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值． (2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x (x >0)，高为h ， 如图可知2h ＋3x ＝3，即h ＝32(1－x )， 所以V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h＝332x 2·32·(1－x )＝23×332×x 2×x 2×(1－x )≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x2＋1－x 33 ＝13. 当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13.[对应学生用书P35]一、选择题1．函数y ＝3x ＋12x2(x >0)的最小值是( )A ．6B ．6 6C ．9D ．12解析：y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时取等号．答案：C2．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235解析：∵2x>0,4y>0,8z>0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12. 当且仅当2x＝22y＝23z，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号．答案：C3．设x ，y 为正实数，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：因为x ，y 为正实数，∴4xy ≤x ＋4y2.∴xy ≤x ＋4y4＝10.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2. 答案：D4．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析：x ＋a x n＝≥(n ＋···n n n n x∙∙∙∙ ＝(n ＋1)n ＋1an n，由推广结论知ann ＝1，∴a ＝n n. 答案：A 二、填空题5．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为______．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋2·4x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案：96．若x ，y ∈R ＋且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋x 的最小值是________．解析：∵x >0，y >0，xy ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x ＝1＋x 2y ＋y 2x ＋xy≥1＋33x 2y 2＝4，当且仅当x 2y ＝y 2x＝xy ，即x ＝y ＝1时取等号． 答案：47．对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为________． 解析：令t ＝sin 2x ，则cos 2x ＝1－t .又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴t ∈(0,1)． 不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16可化为 p ≥⎝⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋16t ≤17－2 1t·16t ＝9，当1t ＝16t ，即t ＝14时取等号， 因此原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案： [9，＋∞)8．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S .则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12.∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12. ∴(xyz )max ＝1615.当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：1615三、解答题9．已知a ，b ，x ，y 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解：∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18 ① 又a ＋b ＝10②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2.10．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解：设船速为V 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有 A ＝k ·V 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100V 3.设每千米的航行费用为R ，需时间为1V小时，∴R ＝1V ⎝ ⎛⎭⎪⎫3100V 3＋480＝3100V 2＋480V ＝3100V 2＋240V ＋240V ≥333100V 2·240V · 240V ＝36.当且仅当3100V 2＝240V，即V ＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．11.如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比．即E ＝k sin θr2. 这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4(0<θ<π2)，∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108， 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ即tan 2θ＝12，tan θ＝22时取等号，∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2米时，E 最大．。

高考数学考点均值不等式全解2.平均值不等式名师点拨：1.定理2的常见变形2.利用平均值不等式求最值对两个正实数a,b.(1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.对于三个正数a,b,c.利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.01利用平均值不等式求最值分析：根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解.反思感悟平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立的条件:①各项或各因式应为正;②和或积为定值;③各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”02利用平均值不等式证明不等式分析：(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质证明.(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不等式.反思感悟：利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧(1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到.03利用平均值不等式解决实际问题【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关系式,再借助平均值不等式求解.反思感悟：利用平均值不等式求解实际问题时的注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.均值不等式的解题方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。

解：因为x >0，y>0，所以34343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

均值不等式求最值策略应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。

忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？本文提出一些思路。

1. 调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关例1. 已知45<x ，求函数54414-+-=x x y 的最值。

解：因为45<x 所以054<-x故045>-x 所以54414-+-=x x y 0454)45(24]454)45[(4=-⋅--≤-+--=xx xx 当且仅当x x 45445-=-，即47=x 或43=x 时，等号成立，但4547>不合条件，舍去，故当43=x 时，0max =y 2. 拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下：（1）变形法例2. 求函数)(1222R x x x y ∈++=的最小值。

解：因为R x ∈ 所以0112>≥+x故11111)1(2222+++=+++=x x x x y 2111222=+⋅+≥x x 当且仅当11122+=+x x ，即0=x 时，2min =y（2）配凑法 例3. 已知3>x ，求函数382-+=x x y 的最小值。

解：因为3>x 则有038062>->-x x ，所以63862382+-+-=-+=x x x x y 14638)3(22638)3(2=+-⋅-≥+-+-=x x x x 当且仅当38)3(2-=-x x ，即5=x 时，14min =y3. 分离常数（1）拆项法 例4. 当1->x 时，求1132++-=x x x y 的最小值。

解：因为1->x所以01>+x 所以15)1(5)1(2+++-+=x x x y552515)1(2515)1(-=-+⋅+≥-+++=x x x x 当且仅当5)1(2=+x ，即15-=x 取等号 另一解151-<--=x （舍去） 所以552min -=y（2）倒数法例5. 若0>x ，求函数12++=x x x y 的最大值。

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。

解：因为x >0，y>0，所以34343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

平均值定理又叫基本不等式，是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在日后的函数求最值问题中有十分频繁的应用，一定要熟练掌握.均值定理（Meanvaluetheorem）。

已知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值.或当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab(定值）当且仅当a=b时取等号。

平均值与有效值的区别
平均值是交流电一个周期内各个瞬时值的平均数，而有效值不是简单的平均数，而是均方根值；交流电通过电阻R时，眸R代表其直流成分所给出的功率，而其他交流成分所给出的功率没有包含在内；而I2R则是交流电给出的全部功率，既包括直流成分的功率，也包括交流成分的功率，所以有效值工总是大于平均值工平。