3.7正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理正弦定理是什么正弦定理是三角学中的一个基本定理，它定义了在任意三角形中，角A、B、C所对的边长a、b、c与它们的正弦值之比相等，都等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径，D为直径)。

这个定理也可以表达为在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。

正弦定理的应用非常广泛，在解决三角形问题时非常有用。

例如，可以用正弦定理来求解三角形的边长或角的大小，或者判断一个三角形是否可能存在等。

余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

余弦定理中角条件是唯一的，所以角的对边在等式左边，两邻边及角的余弦在等式右边。

等式右边除夹角余弦值外的部分，可以看作是差的完全平方公式，可以辅助我们记忆。

正弦定理的证明方法方法1、直接过三角形一顶点如C作对边AB的垂线(设垂线长为h),则sinA=h/b,sinB=h/a,所以，sinA/a=sinB/b，同理可得sinC/c=sinB/b,因此a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法2、利用三角形面积公式：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB,整理即得：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法3：作三角形的外接圆，过B作边BC的垂线交圆于D，连接CD,因圆周角为直角，则CD长为直径(不妨直径长度设为d)。

因圆周角相等，即角D=角A，所以sinA=sinD=BC/CD=a/d,同理可证sinB=b/d,sinC=c/d.所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法4.还有一种向量的方法，在旧版课本上。

正弦定理证明具体步骤步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到 a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

第七节 正弦定理和余弦定理[备考方向要明了]考什 么怎 么 考掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、余弦定理在求三角形边或角中的应用，如2012年天津T6，北京T11等．2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解答题中，如2012年江苏T15等.[归纳·知识整合]1．正弦定理和余弦定理 定理正弦定理余弦定理 内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos Ab 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(其中R是△ABC 外接圆半径)③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bccos B ＝a 2＋c 2－b 22accos C ＝a 2＋b 2－c 22ab解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角[探究] 1.在三角形ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的什么条件？提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．2．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A 为例) 提示：∵cos A 与b 2＋c 2－a 2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．23 B ．12 C ．27D ．28解析：选A 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3.2．(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63解析：选D ∵a sin A ＝b sin B ，∴15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝23×32＝33.又∵a ＞b ，A ＝60°， ∴B ＜60°，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 3．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：选B ∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个．4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 35．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°利用正、余弦定理解三角形[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.———————————————————正、余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A＝2得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1.因此b ＝2.利用正、余弦定理判断三角形的形状[例2] 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． [自主解答] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝ a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．若将条件改为“sin B ＝cos A sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：∵sin B ＝cos A ·sin C ， ∴b ＝b 2＋c 2－a 22bc ·c ，即b 2＋a 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．———————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； (2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．与三角形面积有关的问题[例3] (2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .[自主解答] (1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.———————————————————三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．3．(2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1条规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2个防范——解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.答题模板——利用正、余弦定理解三角形[典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ――――――――→数式中既有边又有角，应统一sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A . 2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求证：B －C ＝π2――――――――――→应求角B －C 的某一个三角函数值sin(B －C )＝1或cos(B －C )＝0.3．建联系，找解题突破口考虑到所求的结论只含有B ，C ，因此应消掉sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A 中的角A =4π借助−−−−→A sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝22――――――――――→利用两角和与差的三角函数公式sin(B －C )＝1―――――――――――→要求角的值，还应确定角的取值范围由0＜B ，C ＜3π4，解得B －C ＝π2. 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：a ＝2，A ＝π4，B －C ＝π2―――――――→可求B ，C 的值 B ＝5π8，C ＝π8. 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求△ABC 的面积――――――→应具有两边及其夹角由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝2sin 5π8，c ＝2sin π8.3．建联系，找解题突破口△ABC 的边角都具备―――――→利用面积公式求结论S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12. [准确规范答题](1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，⇨(3分) 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，⇨(5分) 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.⇨(6分)(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.⇨(8分)由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，⇨(10分)所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.⇨(12分)[答题模板速成]解决解三角形问题一般可用以下几步解答： 第一步 边角互化利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)⇒ 第二步三角变换三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化⇒第三步 由值求角代入求值⇒第四步 反思回顾查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定易忽视角B －C 的范围，直接由sin (B －C )＝1，求得结论.解析：选A 由正弦定理得a 2＋b 2＜c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角．2．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得：(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，故BC 边上的高是AB sin 60°＝332. 4．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.32或34解析：选D 依题意与正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 的面积等于12AB ·AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 的面积等于12AB ·AC ·sin A ＝34.因此，△ABC 的面积等于32或34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a ＞0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a＝－24.答案：－248．(2013·佛山模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：由题意知sin A ＝45，sin B ＝1213，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，所以c ＝b sin C sin B ＝145.答案：1459．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________．解析：延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM 、MC ，则四边形ABMC 是平行四边形．在△ABM 中，由余弦定理得BM 2＝AB 2＋AM 2－2AB ·AM ·cos ∠BAM ，即12＝22＋AM 2－2·2·AM ·cos 30°，解得AM ＝3，所以AD ＝32. 答案：32三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)，或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.11．(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ·AC ＝3BA ·BC. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)因为AB ·AC ＝3BA ·BC，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.12．(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin (A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4， 得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，② 将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.2．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154B.34C.31516D.1116 解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116.3．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ·sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π解析：选C 由已知及正弦定理，有a 2≤b 2＋c 2－bc .而由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12.注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 4．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.。

第六节 正弦定理和余弦定理【考纲下载】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.A 为钝角或直角3.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆半径)．1．在三角形ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的什么条件？提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．2．在三角形中，“a 2＋b 2＜c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的什么条件？“a 2＋b 2＞c 2”是“△ABC 为锐角三角形”的什么条件？提示：“a 2＋b 2＜c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件；“a 2＋b 2＞c 2”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件．1．(2013·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53 D ．12．在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．2 3 B ．12 C ．27 D ．28 3．(2013·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π124．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．5．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.[例1] (1)(2013·天津高考)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC＝( )A.1010B.105C.31010D.55(2)(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.(3)(2013·浙江高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin∠BAC ＝________.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π62．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[例2] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【互动探究】若将本例(2)中的条件改为“(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )”，试判断△ABC 的形状．(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定1．正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形． [例3] (1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1(2)(2013·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.①求角A 的大小；②若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．1．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ； (2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．答题模板(三)利用正、余弦定理解三角形[典例] (2013·江西高考)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．[全盘巩固]1．已知△ABC ，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶2，则此三角形的最大内角的度数是( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．135°2．(2013·山东高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．13．(2014·沈阳模拟)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332 C.3＋62 D.3＋3944．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶46．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34 7．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝________.8．(2014·深圳模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________.9．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．12．(2013·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2 ＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值．[冲击名校]1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.2. (2013·福建高考)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[高频滚动]1．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145 B ．－2145 C ．±2145 D ．±514282．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．。

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理第7讲正弦定理与余弦定理[学生用书P82]1．正弦定理和余弦定理2.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bc sin A＝ac sin_B＝ab sin C；(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．余弦定理的推导过程如图，设＝a，＝b，＝c.则c＝a－b，所以|c|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C.即c2＝a2＋b2－2ab cos C.同理可证a2＝b2＋c2－2bc cos A.b2＝c2＋a2－2ca cos B.3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解1. 在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于( )A．3 B．6C．2 D．3B [解析] 由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.2. 在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( )A．90° B．120°C．135° D．150°B [解析] cos B＝＝＝.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( ) A．无解 B．有两解C．有一解 D．解的个数不确定B [解析] 因为＝，所以sin B＝·sin A＝×sin 45°＝.又因为a<b，所以B有两解．4．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．[解析] 依题意可得sin B＝，又S△ABC＝ac sin B＝42，则c＝14.[答案] 145．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．[解析] 在△ABC中，∠A＝，所以a2＝b2＋c2－2bc cos，即a2＝b2＋c2＋bc.因为a＝c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋bc－2c2＝0，所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，所以＝1.[答案] 1利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P83] 利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下两个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数结合．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )A. B.C．－ D．－(2)(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．【解析】(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝c sin ＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C.(2)因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C ＝×＋×＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.【答案】(1)C (2)利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[题点通关]角度一由已知求边和角1．(2017·兰州市实战考试)在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝，则b＝( )A．14 B．6C. D.D [解析] b sin A＝3c sin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故选D.角度二解三角形与三角函数结合2．(2017·河北省五校联盟质量检测)已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2＋b2＝6ab cos C，且sin2C＝2sin A sinB.(1)求角C的值；(2)设函数f(x)＝sin－cos ωx(ω＞0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求f(A)的取值范围．[解] (1)因为a2＋b2＝6ab cos C，由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2ab cos C，所以cos C＝，又sin2C＝2sin A sin B，则由正弦定理得c2＝2ab，所以cos C＝＝＝，又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)f(x)＝sin－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，由已知可得＝π，所以ω＝2，则f(A)＝sin，因为C＝，所以B＝－A，因为0＜A＜，0＜B＜，所以＜A＜，所以0＜2A－＜，所以f(A)的取值范围是(0，]．利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书P83] [典例引领](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是( )A．等边三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【解析】(1)由正弦定理得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以∠A＝.即△ABC为直角三角形．(2)因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号，所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因为sin A＝sin B，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.【答案】(1)A (2)C若将本例(1)条件改为“2sin A cos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．[解] 法一：由已知得2sin A cos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[通关练习]1．在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是( )A．两直角边不等的直角三角形B．顶角不等于90°或60°的等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形C [解析] 由2A＝B＋C，知A＝60°.又cos A＝，所以＝，所以b2＋c2－2bc＝0，即(b－c)2＝0，所以b＝c.故△ABC为等边三角形．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．[解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.(*)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－，所以A＝120°.(2)由(*)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．与三角形面积有关的问题[学生用书P84][典例引领](2017·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解】(1)由题设得ac sin B＝，即c sin B＝.由正弦定理得sin C sin B＝.故sin B sin C＝.(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bc sin A＝，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－sin 2A.(1)求A；(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．[解] (1)由cos(B＋C)＝－sin 2A可得，－cos A＝－sin 2A，所以cos A＝×2sin A cos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，故sin A＝，从而A＝.(2)因为A＝，故cos A＝，由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即49＝25＋c2－5c，所以c2－5c－24＝0，解得c＝－3(舍去)，c＝8，所以△ABC的面积为bc sin A＝×5×8×＝10.[学生用书P85])——正、余弦定理的应用(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tan C的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．[思维导图](1)(2)(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.(3分)又由A＝，即B＋C＝π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sin C cos C，解得tan C＝2.(6分)(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝.(8分)因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，所以sin B＝.(9分)由正弦定理得c＝，(10分)又因为A＝，bc sin A＝3，所以bc＝6，(11分)故b＝3.(12分)(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题．(2)计算准确，争取得满分①公式运用要准确，这是计算正确的前提．②算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．[学生用书P280(独立成册)]1．(2017·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )A. B．－C. D．－B [解析] 由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B.2．(2017·重庆适应性测试(二))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为( )A. B.C. D.B [解析] 依题意得cos C＝＝，C＝60°.因此，△ABC的面积等于ab sin C＝××＝，选B.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形A [解析] 已知＜cos A，由正弦定理，得＜cos A，即sin C＜sinB cos A，所以sin(A＋B)＜sin B cos A，即sin B·cos A＋cos B sin A－sin B cos A＜0，所以cos B sin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则的值为( )A．1 B．2C．3 D．4A [解析] 由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，因为a＝4，b＝5，c＝6，所以＝＝2··cos A＝2××＝1.5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b sin A－a cos B＝0，且b2＝ac，则的值为( )A. B.C．2 D．4C [解析] 在△ABC中，由b sin A－a cos B＝0，利用正弦定理得sin B sin A－sin A cos B＝0，所以tan B＝，故B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.6．(2017·哈尔滨一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为( )A. B.C. D.B [解析] 当C取最大值时，cos C最小，由cos C＝＝＝≥，当且仅当c＝时取等号，且此时sin C＝，所以当C取最大值时，△ABC的面积为ab sin C＝×2c×1×＝.7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．[解析] 由面积公式，得S＝bc sin A，代入得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.[答案] 28．(2017·高考浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．[解析] 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BC sin∠CBD＝.因为BD ＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，则cos∠CDB＝＝.[答案]9．(2017·贵阳市监测考试)在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．[解析] 由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．[答案] 直角三角形10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________．[解析] 因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A ＋sin C.因为＝＝，所以a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.[答案] －11．(2016·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A.(1)求B；(2)若cos A＝，求sin C的值．[解] (1)在△ABC中，由＝，可得a sin B＝b sin A.又由a sin 2B＝b sin A，得2a sin B cos B＝b sin A＝a sin B，所以cos B＝，所以B＝.(2)由cos A＝，可得sin A＝，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sin A＋cos A＝.12．(2017·河南省八市重点高中质量检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C －sin B)c.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．[解] (1)由已知及正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝.又A∈(0，π)，故A＝.(2)由正弦定理＝，a＝2，b＝2，A＝，得sin B＝.又B∈，故B＝或.若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab＝2；若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab sin C＝.13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为( )A．2 B．3C．2 D．2B [解析] 由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.14．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2a sin B＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．[解析] 由2a sin B＝b及正弦定理得2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝.因为AD是内角平分线，所以＝＝＝.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝，BD＝.[答案]15．(2017·武汉市调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.(1)若A＝90°，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积为，求a，c.[解] (1)因为b＝1，所以a＋＝4cos C＝4×＝，所以2c2＝a2＋1.又A＝90°，所以a2＝b2＋c2＝c2＋1，所以2c2＝a2＋1＝c2＋2，所以c＝，a＝，所以S△ABC＝bc sin A＝bc＝×1×＝.(2)因为S△ABC＝ab sin C＝a sin C＝，所以sin C＝，因为a＋＝4cos C，sin C＝，所以＋＝1，化简得(a2－7)2＝0，所以a＝，从而c＝2.16．(2017·高考全国卷丙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解] (1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.。

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。

本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。

一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。

1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。

当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。

二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。

这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。

2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。

当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。

三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。

3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。

3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。

3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。

而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。

数学正弦定理余弦定理公式正弦定理和余弦定理是数学中用于解决三角形相关问题的重要定理。

它们可以帮助我们求解不完全信息的三角形，包括边长和角度等。

本文将分别介绍正弦定理和余弦定理的公式及应用。

一、正弦定理：正弦定理是指在任意三角形ABC中，三角形的三条边与其对应的角度之间存在一个关系。

假设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用非常广泛，可以用于求解未知角度或边长。

例如，已知一个三角形的两条边长和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解第三条边长。

另外，如果已知三角形的一个角度和它对应的边长，也可以利用正弦定理求解其他未知边长或角度。

二、余弦定理：余弦定理是指在任意三角形ABC中，三角形的三条边与其对应的角度之间存在一个关系。

假设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理的应用也非常广泛，可以用于求解未知角度或边长。

例如，已知一个三角形的三条边长，可以利用余弦定理求解任意一个角度。

另外，如果已知三角形的两条边长和它们夹角的余弦值，也可以利用余弦定理求解第三条边长或其他未知角度。

三、正弦定理和余弦定理的应用举例：1. 已知一个三角形的两条边长分别为a和b，夹角为C，求第三条边长c。

根据正弦定理可得：c/sinC = a/sinA = b/sinB根据已知条件代入公式即可求解出c的值。

2. 已知一个三角形的两条边长分别为a和b，夹角为C，求角度A 和角度B。

根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据已知条件代入公式即可求解出角度A和角度B的值。

3. 已知一个三角形的三个角度A、B、C，求边长a、b、c。

根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据已知条件代入公式即可求解出边长a、b、c的值。

正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ； 2．三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3．正弦定理：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）； 正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角babaabaB1BACACA BCB2a=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角 当a>b 时有一解.5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 7 . 三角形面积公式课堂互动知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bca cb b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形. 巩固练习1．在∆ABC 中，若2222sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状．2．在ABC ∆中,已知a 2tanB=b 2tanA,试判断这个三角形的形状. 3．已知ABC ∆中，有cos 2cos sin cos 2cos sin A C BA B C+=+，判断三角形形状.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒. 巩固练习1．已知在ABC ∆中，,6,45=︒=∠BC AB A 在ABC ∆中，213,2tan tan +=-=c b bb c B A3．在ABC ∆中，已知A 、B 、C 成等差数列，且sin 求三边a 、b 、c ．4．在ABC ∆中，已知B C A 2=+，tan tan ⋅C A 又知顶点C 的对边C 上的高等于34知识点3 例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2 角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 式求出A+B+C ．【答案】 A B C 、、为锐角 ∴<0°A tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++ =所以A+B+C=πsin sin sin sin cos 22222ααββα-++-221336-+=(cos cos sin sin )αβαβ --=-25936cos()αβ∴-=cos()αβ5972巩固练习1．在∆ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,设a+c=2b,A-C=3π,求sinB 的值. 2．在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c ac bc 22-=-，求∠A 的大小及b Bcsin 的值． 3．在ABC ∆中，若4,5==b a且3231)cos(=-B A ，求这个三角形的面积． 例题4 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,证明:C B A cb a sin )sin(222-=-.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次. 【答案】证法一:由正弦定理得C A B C B A c b a 2222222sin 22cos 2cos sin sin sin -=-=-=C A B A B 2sin 2)sin()sin(2-+-=CB AC 2sin )sin(sin -=C B A sin )sin(-.证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,则222c b a -=22cos 2cA bc c -=1-c b 2∙cosA,又由正弦定理得c b =C Bsin sin ,∴222c b a -=1-C B sin sin 2∙cosA=C A B C sin cos sin 2sin -=C A B B A sin cos sin 2)sin(-+=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin )sin(-. 证法三:C B A sin )sin(-=CAB B A sin cos sin cos sin -. 由正弦定理得cbC B c a C A ==sin sin ,sin sin ,∴CB A sin )sin(-=cAb B a cos cos -,又由余弦定理得CB A sin )sin(-=cbc a c b b ac b c a a 22222222-+⋅--+⋅=22222222)()(c a c b b c a -+--+=222c b a -.巩固练习1．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （1）求证tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高．【考题再现】1．（04年全国Ⅲ）在ABC ∆中，3AB =，BC =4AC =，则边AC 上的高（A （B （C ）32（D ）2．（05年湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.3.（ 春季北京）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积. 4. （05年江苏卷）ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（A ）33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （B ）36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （C ）6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （D ）6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭5．（06年湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 6. （ 安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形【模拟训练】1．（ 北京市朝阳区二模题）在∆ABC 中，cos2cos2B A >是A B >的（） （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．（04年南京市二模题）在∆ABC 中，A ，B ，C 为三角形的三个内角，且A B C <<，4sin 5B =4cos(2)5A C +=-，求cos2A 的值3．（04年华南师大附中）在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若a =3b c +=，求b 和c 的值4．（05年南通市基地学校联考） 在∆ABC 中，边AB为最长边，且sin sin A B ⋅=，则cos cos A B ⋅的最大值是5.（06年湖北八校第二次联考）已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.6.(06年黄岗市荆州市高三年级模拟)已知ABC ∆的三个内角为A 、B 、C 所对的三边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为222()S a b c =--，则tan2A=__________． 教考链接在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，关键是正、余弦定理的边角互换．运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，同时注意三角形面积公式ah S 21=，C ab S sin 21=，还要注意三角形内角和π=++C B A 的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高三角形问题的求解能力．参考答案课堂互动例题1 巩固练习1．【答案】[解法1]：由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，R 为∆ABC 外接圆的半径，将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，sin sin 0B C ≠，sin sin cos cos B C B C ∴=. 即cos()0B C +=,90B C ∴+=，90A =. 故∆ABC 为直角三角形[解法2]：将已知等式变为2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B b B C -+-=，由余弦定理可得22222222222222a b c a c b b c b c ab ac ⎛⎫⎛⎫+-+-+-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222a c b a b c bc ac ab+-+-=⋅⋅，即22b c +22222222()()4a b c a c b a⎡⎤+-++-⎣⎦= 也即222b c a +=，故∆ABC 为直角三角形．2．【答案】解法1:由已知得A A bB B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得AAB B B A cos sin sin cos sin sin 22=,∵sinAsinB ≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B 或2A=1800-2B,即A=B 或A+B=900.∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得A A bB B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得A a b b a cos cosB 22=,即Aba cos cosB =,又由余弦定理得bcac b b a 22ac b -c a 222222-+=+,整理得(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,∴a=b,或a 2+b 2=c 2, ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 3．解：由已知得例题2 巩固练习1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin 26sin =︒=C 因3226sin =⨯=⋅A AB 6,2==AB BC 由623<<，则有二解，即︒=∠60C 或︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或︒=︒-︒-︒=∠1545120180B故13sin sin +=⇒⋅=AC B ABC AC 或13-=AC ，︒=∠︒=∠15,120B C ︒=∠︒=∠75,60B C 解法2：令AC=b ，则由余弦定理222245cos 62)6(=︒-+b b 1302322±=⇒=+-b b b又C b b cos 222)6(222⋅-+=︒=∠±=⇒60,21cos C C 或︒=∠120C ︒=︒+︒-︒=∠⇒75)6045(180B 或︒=︒+︒-︒=∠15)12045(180B . 2【答案】由已知有bc B A 21tan tan =+，化简并利用正弦定理：B C B A B A B A sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+ BCB A B A sin sin 2sin cos )sin(=+0cos sin 2sin =-A C C由0sin ≠，故︒=⇒=6021cos A A 由213+=cb，可设k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得 k a k k k a 6)13(24)13(22222=⇒+-++=由正弦定理Cc A a sin sin =得 226232sin sin =⋅==kk a A c C 由b c <则C 是锐角，故︒=--︒=︒=75180,45C A B C3．【答案】由已知，得2C A B +=，又由︒=++180C B A ︒=⇒60B 故4160cos sin sin 2=︒=C A ①又由B c a S ABC sin 2134⋅⋅==∆164334=⇒=⇒ac ac ② 故64)sin ()sin (sin sin 22===C c A a C A ac 8sin sin ==⇒Cc A a由3460sin 8sin 8sin sin =︒⋅=⋅==B AB a b 则21260cos cos 222=-+=︒=ac b c a B即964848)(3)(222=+=+⇒=-+c a ac b c a 64=+⇒c a ③ 把③与②联立，得)26(2),26(2-=+=c a 或)26(2),26(2+=-=c a4．【答案】由已知B C A 2=+，及︒=+︒=⇒︒=++120,60180C A B C B A由CA C A C A tan tan 1tan tan )tan(-+=+及32tan tan ,3)tan(+=⋅-=+C A C A得33tan tan +=+C A ，以C A tan ,tan 为一元二次方程032)33(2=+++-x x 的两个根，解方程，得⎩⎨⎧+==32tan 1tan C A 或⎩⎨⎧=+=1tan 32tan C A ⎩⎨⎧︒=︒=⇒7545C A 或⎩⎨⎧︒=︒=4575C A 若︒=︒=75,45C A ，则860sin 34=︒=a ，6445sin 34=︒=b ，)13(445sin 75sin 8sin sin +=︒︒==A C a c若︒=︒=45,75C A ，则︒=60sin 34a ︒==75sin 34,8b )13(64-=)623(4-=)13(8sin sin -==B C b c 例题3 巩固练习1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin 2C A +cos 2C A -=2sinB. 由A+B+C=π得sin 2C A +=cos 2B .又A-C=3π,得2cos 23B =sinB.∴2cos 23B=2sin 2B cos 2B ,∵0<2B <2π,∴cos 2B ≠0,∴sin2B =43.∴cos 2B =2sin 12B -=413,∴sinB=2sin 2B cos 2B =2∙43∙413=839. 2．【答案】（I ） a b c ，，成等比数列 ∴=b ac 2又a c ac bc 22-=- ∴+-=b c a bc 222 在∆ABC 中，由余弦定理得cos A b c a bc bc bc =+-==2222212∴∠=︒A 60 （II ）在∆ABC 中，由正弦定理得sin sin B b Aa= ∴=︒=︒=b B c b ca sin sin sin 2606032． 3．【答案】解法1：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+= cc ac b c a B 1092cos 2222+=-+= 由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=⇒= 3231)cos 1(4510989222=-++⋅-⇒B c c c c 3231])109(1[4580812224=+-+-c c c c 63632318016282222=⇒=⇒=-⇒c c cc 故1694893689cos 2=-=-=c c A7165sin =A 4715sin 21=⋅⋅=∆A c b S ABC解法2：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD = 则由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ∆中由余弦定理3231)5(84)5()cos(222=--+-=-x x x B A化简得199=⇒=x x ，在CAD ∆中由正弦定理)sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CD ADC B A CD C AD -=-⋅=⇒-=783)(cos 142=--=B A 74158735421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆C BC AC S ABC例题4 巩固练习1．【答案】（1）证明：因为3sin()5A B +=，1sin()5A B -=， 所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，2sin cos 51cos sin 5A B A B ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，tan 2tan A B ⇒=.所以tan 2tan A B =（2）因为2A B ππ<+<，3sin()5A B +=， 所以3tan()4A B +=-，即tan tan 31tan tan 4A B A B +=--， 将tan 2tan A B =代入上式并整理得 22tan 4tan 10B B --=.解得tan B =tan B =tan 2tan 2A B ==. 设AB 边上的高为CD.则tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=AB=3，得CD= 2AB边上的高等于2考题再现1．【答案】由余弦定理，得1cos 2A =，60A ︒=，所以AC边上的高sin 2BD AB A =⋅=选B.2．【答案】解法1： 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A = 由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得 即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B 解法2： 由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0、π<c ，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求.再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B .3．【答案】解法1：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22，∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43（2+6）.4．【答案】在ABC ∆内，由正弦定理得3sin sin sin sin 3AC AB BC B C A π====∴(),3AC B AB C A B B ππ⎛⎫===-+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ∴周长为AB AC BC ++sin sin 33B B π⎤⎛⎫=+++ ⎪⎥⎝⎭⎦3sin 32B B ⎫=+⎪⎪⎭6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 5．【答案】由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A.6．【答案】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形．故选D ．模拟训练1．【答案】2222cos 2cos 212sin 12sin sin sin B A B A B A >⇔->-⇔<⇔sin sin A B A B >⇔> 2．【答案】∵A B C <<，A B C π++=，∴0,022B AC ππ<<<+<，由4sin 5B =得3cos 5B =，∴4sin()5A C +=，()3cos 5A C +=- 又由4cos(2)5A C +=-得3sin(2)5A C += ∴()33447sin sin 2()555525A A C A C ⎛⎫⎛⎫=+--=⨯---⨯=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭2527cos 212sin 625A A =-=. 3．【答案】由题意得[]2721cos()2cos 12B C A -+-+= ()2721cos 2cos 12A θ+-+= ∴1cos 2A = 03A π<<2221cos 22b c a A bc +-==()223b c a bc +-=将3a b c =+=代入得2,bc =由3b c +=及2bc =，得1,2b c ==或2,1b c ==.4．【答案】因为cos cos sin sin cos()1A B A B A B ⋅+⋅=-≤，易得cos cos A B ⋅的最大值为24+. 5．【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C6．【答案】1sin 2S bc A =，222()S a b c =--，2222cos a b c bc A =+-， ∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，∴22sin 11cos 2tan 4sin 22sin cos 22A A A A A A -===。

第3讲 正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210. 答案255210 考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． [审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题． 【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为()．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°解析 如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一 测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长． [审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ， 所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)， 同理，BD ＝32＋620(km)． 故B 、D 的距离为32＋620km. 考向二 测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系．解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD ， ∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)． 在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ， 所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β). 考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．[审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可． 解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910， ∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BD sin ∠BAD， 解得BD ＝922.故BD 的长为922. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.。