5相似三角形全章复习(教师)
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龙文教育学科老师个性化教案教师学生姓名梁瀚文上课日期学科数学年级九年级教材版本类型知识讲解□:考题讲解□:本人课时统计第()课时共()课时学案主题相似三角形课时数量(全程或具体时间)第()课时授课时段教学目标教学内容相似三角形专题复习个性化学习问题解决查漏补缺,巩固提升教学重点、难点用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。
考点分析理解相似三角形的概念,总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质,掌握它们的基本运用。
教学过程学生活动教师活动知识要点1.相似三角形的定义:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相似比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2.相似三角形的判定:①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等,且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等(类似于直角三角形全等判定“HL”)。
相似三角形的基本图形:判断三角形相似,若已知一角对应相等,可先考虑另一角对应相等,注意公共角或对顶角或同角(等角)的余角(或补角)相等,若找不到第二对角相等,就考虑夹这个角的两对应边的比相等;若无法得到角相等,就考虑三组对应边的比相等。
3.相似三角形的性质:①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
4.相似三角形的应用:求物体的长或宽或高;求有关面积等。
(三)考点精讲 考点一:平行线分线段成比例 例1、(2011广东肇庆)如图,已知直线a ∥b ∥c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC = 4,CE = 6,BD = 3,则BF =( )A . 7B . 7.5C . 8D . 8.5例2(2012•福州) 如图,已知△ABC ,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,则AD 的长是 ,cosA 的值是 .(结果保留根号)练习:1.(2011湖南怀化,6,3)如图所示:△ABC 中,DE ∥BC ,AD =5,BD =10,AE =3,则CE 的值为( ) A .9 B .6 C .3 D .4ECDB A2.(2011山东泰安,15 ,3分)如图,点F 是□ABCD 的边CD 上一点,直线BF 交AD 的延长线于点E ,则下列结论错误..的是( ) A .ED DF EA AB = B . DE EF BC FB = C .BC BF DE BE = D . BF BCBE AE=a b c A B C D EF m n3.(2012•孝感)如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,若AC=2,则AD 的长是( ) A .512- B .512+ C .51- D .51+考点二:相似三角形的判定 例3、(2011湖北荆州)如图,P 为线段AB 上一点,AD 与BC 交于E ,∠CPD =∠A =∠B ,BC 交PD 于F ,AD 交PC 于G ,则图中相似三角形有( )A .1对B .2对C .3对D .4对 例4、(2010江苏泰州)一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm 、45cm 的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有( ) A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种例5(2012•徐州)如图,在正方形ABCD 中,E 是CD 的中点,点F 在BC 上,且FC= 14BC .图中相似三角形共有( ) A .1对 B .2对C .3对D .4对例6(2012•资阳)(1)如图(1),正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上,直接写出HD :GC :EB 的结果(不必写计算过程);(2)将图(1)中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度,如图(2),求HD :GC :EB ; (3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知DA :AB=HA :AE=m :n ,此时HD :GC :EB 的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程).练习: 1.(2011江苏无锡,7,3分)如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA ∶OC = OB ∶OD ,则下列结论中一定正确的是 ( ) A .①和②相似 B .①和③相似GEADB CP FC .①和④相似D .②和④相似2.(2011新疆乌鲁木齐,10,4分)如图,等边三角形ABC 的边长为3,点P 为BC 边上一点,且1BP =,点D 为AC 边上一点若60APD ∠=︒,则CD 的长为 A .12B .23C .34D .13. (2012•攀枝花)如图,△ABC ≌△ADE 且∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED ,BC 、DE 交于点O .则下列四个结论中,①∠1=∠2;②BC=DE ;③△ABD ∽△ACE ;④A 、O 、C 、E 四点在同一个圆上,一定成立的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4. (2012•义乌市)在锐角△ABC 中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,得到△A 1BC 1.(1)如图1,当点C 1在线段CA 的延长线上时,求∠CC 1A 1的度数;(2)如图2,连接AA 1,CC 1.若△ABA 1的面积为4,求△CBC 1的面积;(3)如图3,点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的动点,在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中,点P 的对应点是点P 1,求线段EP 1长度的最大值与最小值.A B CDO① ②③④(第7题)考点三:相似三角形的性质 例7、(2010山东烟台)如图,△ABC 中,点D 在线段BC 上,且△ABC ∽△DBA ,则下列结论一定正确的是( ) A .AB 2=BC ·BD B .AB 2=AC ·BD C .AB ·AD =BD ·BC D .AB ·AD =AD ·CD 例8、(2011浙江嘉兴)如图,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为( ) (A )32 (B )33(C )34(D )36例9(2012•重庆)已知△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3,△DEF 的周长为1,则ABC 与△DEF 的面积之比为 .练习1.(2011青海西宁,10,3分)如图6,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADB +∠EDC =120°,BD =3,CE =2,则△ABC 的边长为 A .9 B .12 C .16 D .182.(2011四川雅安,9,3分)如图,D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点,则下列说法中不正确的为( )A .△ADE ∽△ABCB .AFC ABF S S △△= C .ABC ADE S S △△41=D .DF=EF ABCDE G FOABDC(例5) A B C DE3.(2011四川内江,加试2,6分)如图,在△ABC 中,点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ,BE 与DF 交于点O .若△ADE 的面积为S ,则四边形BOGC 的面积= . 4.(2011辽宁丹东,16,3分)已知:如图,DE 是△ABC 的中位线,点P 是DE 的中点,CP 的延长线交AB 于点Q ,那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________.Q PECDBA考点四 位似例10(2012•玉林)如图,正方形ABCD 的两边BC ,AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形,已知AC=32,若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是( ) A .16 B .13 C .12 D . 23考点四:相似三角形的应用 例6、(2010安徽芜湖)如图,光源P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD,AB ∥CD,AB=2m,CD=6m,点P 到CD 的距离是2.7m,则_______m .例7、(2011青海)如图,△ABC 是一块锐角三角形的材料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB 、AC 上,这个正方形零件的边长是 mm .练习:1.(2011湖北黄石,13,3分)有甲乙两张纸条,甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍,如图(4).将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD,则AB与BC的数量关系为。
相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似,一般说来必须具备下列六种图形之一:2. 两个角对应相等的两个三角形__________.3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.4. 三边对应成比例的两个三角形___________.性质:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定:⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例,且、两角对应相等3211.相似比:相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时,这两个三角形不仅形状相同,而且大小也 相同,这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2. 相似三角形的判定:①两角对应相等,两三角形相似。
②两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似。
③三边对应成比例,两三角形相似。
3. 相似三角形的性质:①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
FEC【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上. (1)填空:∠ABC=______,BC=_______. (2)判定△ABC 与△DEF 是否相似?2、如图所示,D 、E 两点分别在△ABC 两条边上,且DE 与BC 不平行,请填上一个你认为适合的条件_________,使得△ADE ∽△ABC .并证明3、如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上,DE=DF ,∠EDF =∠A .(1)求证:BCABEF DE =.(2)证明:BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知,如图,CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线,DE AB ⊥交BC 于F ,交AC 的延长线于E , 说明:⑴ ADE ∆∽FDB ∆; ⑵DF DE CD ∙=2.5、已知:如图,□AB C D 中E 为AD 的中点,AF :AB =1:6,EF 与AC 交于M 。
初四数学相似三角形知识点专题复习知识点1 有关相似形的概念(1) 叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的,这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形 的比叫做相似比(相似系数).知识点2 比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为,那么就说这两条线段的比是,或写成.注:在求线段比时,线段单位要统一。
(2)在四条线段中,如果 叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说是的第四比例项,那么应得比例式为:.②a、d叫比例外项,b、c叫比例内项, a、c叫比例前项,b、d叫比例后项,d叫第四比例项,如果b=c,即 那么b叫做a、d的比例中项, 此时有。
(3)黄金分割:把线段分成两条线段,且使 ,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段的黄金分割点,其中≈0.618.即 简记为:注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)(1) 基本性质:①;②.注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如,除了可化为,还可化为,,,,,,.(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):(3)反比性质(把比的前项、后项交换): .(4)合、分比性质:.注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:等等.(5)等比性质:如果,那么.注:①此性质的证明运用了“设法”(即引入新的参数k)这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:;其中.知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得:注:①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注:平行线分线段成比例定理的推论:平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形知识点知识点1 相似图形形状相同的图形叫相似图形. 知识点2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=. 注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位.在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注意:比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:adc b =.知识点3 比例的性质 基本性质:(1)bc ad d c b a =⇔=::; (2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::.注意:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式合比性质:ddc b b ad c b a ±=±⇒=. 等比性质:如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ,那么ban f d b m e c a =++++++++ . 注意:(1)此性质的证明运用了“设k 法” ,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法. (2)应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322;其中032≠+-f d b . 知识点4 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形. 相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数). 相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注意:①对应性:即两个三角形相似时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边. ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的. ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.知识点6 相似三角形的基本定理定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原 三角形相似. 定理的基本图形:用数学语言表述是: BC DE // ,ADE ∆∴∽ABC ∆. 知识点7相似三角形的传递性:若ABC ∆∽C B A '∆'',且C B A '∆''∽C B A ''''''∆,则ABC ∆∽C B A ''''''∆. 知识点8 三角形相似的判定方法1、定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似.3、判定定理1:两角对应相等,两三角形相似.4、判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.5、判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似. 知识点9 相似三角形常见的图形(1)若DE∥BC(A 型和X 型)则△ADE∽△ABC(2)射影定理 若CD 为Rt△ABC 斜边上的高(双直角图形)则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2=AD ·AB ,CD 2=AD ·BD ,BC 2=BD ·AB ;E A D CBEA DCBA D CB(3)满足1、AC =AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB.(4)当AD AEAC AB=或AD·AB=AC·AE 时,△ADE∽△ACB. A DCBEA DCB (3) (4)知识点10 相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比.(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.知识点11 相似多边形如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数).知识点12 相似多边形的性质(1)相似多边形周长比,对应对角线的比等于相似比.(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比.(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.注意:相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键.知识点13与位似图形有关的概念1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形.2. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.拓展:(1)位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点.(2)位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.(3)位似图形的对应边互相平行或共线.知识点14 位似图形的性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展:位似图形有许多性质,它具有相似图形的所有性质.知识点15 画位似图形1. 画位似图形的一般步骤:(1)确定位似中心(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取).(3)根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置.(4)顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形.2. 位似中心的选取:(1)位似中心可以在图形内部,也可以在图形外部(此时位似中心在两个图形中间,或在两个图形之外.)(2)位似中心可取在多边形的一条边上.(3)位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明:位似中心的选取决定了位似图形的位置,以上位似中心位置的选取中,每一种方法都能把一个图形放大或缩小.比例线段练习题一、填空题:1.若4x=5y,则x ∶y = .2.若3x =4y =5z,则y z y x +-∶xx z y -+= .3.如果x ∶y ∶z =1∶3∶5,那么zy x zy x +--+33=4.已知13y x -=7y,则y y x +的值为 .5.若b a =dc=f e =3,且b+d+f =4,则a+c+e = .6.若(x+y)∶y =8∶3,则x ∶y = .7.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,''B A AB =''C B BC =''A C CA =23,且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′=16cm.则AB+BC+AC = .8.若a =8cm ,b =6cm ,c =4cm ,则a 、b 、c 的第四比例项d = cm ; a 、c 的比例中项x = cm. 9.在一张地图上,甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ,那么这张地图的比例尺为_______.10. 已知1、3、2、x 成比例线段,则x= ; 二、选择题11.如果cd ab =,那么有 ( ) A 、d c b a = B 、a c d b = C 、d b c a = D 、ba c d = 12.下列各组线段中,能成比例的是 ( )A 、 1㎝,3㎝,4㎝,6㎝B 、 30㎝,12㎝,0.8㎝,0.2㎝C 、 0.1㎝,0.2㎝,0.3㎝,0.4㎝D 、 12㎝,16㎝,45㎝,60㎝13.已知A 、B 两地的实际距离AB=5千米,画在地图上的距离B A ''=2㎝,则这张地图的比例尺是 ( ) A 、 2∶5 B 、 1∶25000 C 、 25000∶1 D、 1∶250000 14.若则下列各式中不正确的是( ) A 、 B 、C 、D 、15.如果k ba cc a b c b a =+=+=+,且a+b+c 0≠.则k 的值为( ) A .31 B. 21 C. 21或-1 D. -1 三、解答题:16、已知:5y-4x =0,求(x+y)∶(x-y) 17、已知c b a +=a c b +=bac +=x ,求x18,已知5:4:2::=c b a ,且632=+-a b a , 求c b a 23-+的值。
图形的相似一、教学目标:1.通过观察生活中的实例,让学生体会相似图形的概念。
2.经历探究相似多边形特征的过程,掌握相似多边形的特征。
3.在探究相似多边形特征的过程中,培养学生归纳、猜想、合作交流等方面的能力,提高数学思维水平。
二、重点、难点1.重点:相似多边形的主要特征的识别.2.难点:正确地运用相似多边形的特征解决一些实际问题。
三、教学过程一、创设情境感知相似同学们初二时,我们研究了全等形的有关知识,在我们生活中,除了全等形之外,我们还经常会见到这样的图形,我们称这样的两个图形是相似的。
从本节课开始我们将开始进入对第27章相似的学习,今天我们先来研究图形的相似。
1、(师):再请仔细观察下列几幅图片……你发现这四组图形之间有什么共同点?(ppt出示一组图片)(通过实例让学生观察相似图形的特点,感受形状相同的概念。
)(个人口答)2、在数学上我们把“形状相同的图形叫做相似图形”(教师板书)3、提问:生活中有很多的相似图形,你能举出一些例子与大家分享吗?(个人口答)(让学生寻找生活中的例子,体会生活中的相似,进一步了解相似形的概念。
(师)老师呢也找了几个生活中的几个实例,你们来看看他们是否是相似的4、系统训练:1、如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们相似吗?2、如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?(个人口答)3、如图,图形a~f中,哪些是与图形(1)或(2)相似的?(个人口答.)(让学生通过比较,体会相似图形与不相似图形的“形状”特点。
)(师)刚才我们通过观察发现有些图形是相似的,但仅仅凭观察有时会有误差,所以我们要进一步研究相似图形有哪些与众不同的特征,我们先来研究相似多边形的特征。
三、自主探究 研学相似探究一:△A 1B 1C 1是正△(师)这两个图形相似吗?那么请同学们独立思考一下:1、自主学习:这两个相似的正三角形,它们的对应角有什么关系?对应边的比呢?为什么?(把你的想法,在师徒之间交流一下。