基于极限思想对导数与定积分概念的认识与思考

定积分概念蕴含的数学思想剖析
积分概念与它蕴含的数学思想是积分计算中的实质问题，它的概念
体现了加减乘除四则运算的本质，是一种对某一对象理解的定量表示。

首先，积分概念蕴含的数学思想体现在它的不可分性上，即一个整体
比其局部独立性更具有普遍性。

所有看似独立的局部分部其实也是整
体的一部分，有无数种构成它的局部之间的关系，应该从整体上分析、理解它们。

其次，积分概念蕴含着一种相对和动态的扩展思想。

它既是一个基本
的抽象概念，又是一种把多种情况综合考量的方案实施的必要条件。

当发生变化的时候，有关的静态概念和整体概念需要加以更新，以适
应新的情况。

最后，积分概念蕴含着精确计算和统计分析的思想，加减乘、除和分
析之间是相互贯穿，相互补充的，精确计算可以细化或模糊化定性描述，准确分析出变化趋势，这是积分所依靠的基本能力。

极限思想极限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来.与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

?（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

?起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。

牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。

微积分知识点归纳微积分是数学中最基础也是最重要的分支之一、它研究的是函数的变化和求解问题的方法。

微积分的核心思想是将一个复杂的问题进行分解，然后通过求和和求极限的方法来得到问题的解答。

以下是微积分中一些重要的知识点的归纳：1.极限：极限是微积分的核心概念。

通过求极限，可以描述函数的变化趋势、计算无穷大和无穷小的值。

极限的定义是当自变量趋于其中一特定值时，函数的值趋于其中一极限值。

2.导数与微分：导数描述了函数的变化率。

它表示函数在其中一点的切线斜率。

求导的方法包括了基本的求导法则和一些特殊函数的求导法则，如幂函数、指数函数、对数函数等。

微分是导数的几何意义，也可以理解为函数的一小段近似线性变化。

3.积分与定积分：积分是导数的逆运算。

它表示函数在一定区间上的累积变化量。

定积分是积分的一种具体形式，它可以求解曲线下面的面积、路径长度和体积等问题。

定积分的计算方法包括基本的定积分法则和换元法、分部积分法等。

4.微分方程：微分方程描述了函数与其导数之间的关系。

它是微积分中一个很重要的应用领域。

常见的微分方程包括一阶线性微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等，可以通过积分的方法进行求解。

5.泰勒级数与级数收敛性：泰勒级数是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以将复杂的函数简化为无限可微的多项式函数进行计算。

级数收敛性研究级数求和是否能收敛到有限的值，常用的判别法有比值判别法、根值判别法和级数展开法等。

6.空间解析几何：空间解析几何是微积分的一个重要应用。

它研究了点、直线、平面和曲线在三维空间中的性质和关系。

通过微积分的方法可以求解空间曲线的长度、曲率和曲面的面积等问题。

7.多元函数微积分：多元函数微积分研究的是多变量函数的导数、偏导数和多重积分等。

它在计算机科学、经济学和物理学等领域有广泛的应用。

8.偏微分方程与变分法：偏微分方程描述了多元函数的偏导数与自变量之间的关系。

变分法是一种求解偏微分方程的方法，它通过极小化一些泛函来求解偏微分方程的解。

导数值和极限值的关系
导数和极限是微积分中的重要概念，它们之间有着密切的联系。

导数表示函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点的变化率。

导数描述了函数在一点附近的局部性质。

而极限是描述某一变量在无限接近某一点时的行为，是函数在某一点处的极限值。

导数和极限的关系在于，如果一个函数在某一点的导数存在，那么该点的导数值就是该函数在该点处的极限值。

也就是说，函数在该点的导数就是描述该变量在趋近于这一特定点时行为的一种方式。

以一个简单的例子来说明：考虑函数f(x) = x²在点x=0处的行为。

我们知道，当x趋近于0时，f(x)趋近于0。

这个极限值就是函数在x=0处的导数值，即f'(0) = 2×0 = 0。

因此，可以说导数是极限的一种特殊情况，即当自变量的增量趋于零时，函数值的增量与自变量的增量的比值的极限就是导数。

这种特殊情况的极限就是导数，而一般的极限可能并不具有这种特性。

微积分基本概念微积分是数学的一个重要分支，通过研究变化率和极限，用于解决与变化相关的问题。

微积分的基本概念包括导数、积分和极限。

本文将介绍这些概念以及其在实际问题中的应用。

一、导数导数是微积分中的重要概念，表示函数在某点上的变化率。

数学上，导数可以用极限来定义。

设函数 f(x) 在点 x 处连续，那么它在该点的导数 f'(x) 定义如下：f'(x) = lim (h→0) [(f(x+h) - f(x)) / h]其中 h 表示一个无限接近于 0 的数。

导数反映了函数在某一点上的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的斜率。

导数的应用范围非常广泛，例如在物理学中用于描述速度、加速度等概念，在经济学中用于衡量边际效应等。

二、积分积分是导数的逆运算，用于求函数在某一区间上的累积效应。

给定一个函数 f(x)，在区间 [a, b] 上的积分表示为∫[a, b] f(x) dx。

积分的结果是一个代表函数 f 在该区间上的累积效应的数值。

积分有多种计算方法，例如定积分和不定积分等。

定积分是求函数在某一区间上的累积效应的方法。

利用定积分可以计算出一个定量结果，比如求一段时间内物体运动的距离、求曲线下的面积等。

不定积分是求函数的原函数的方法。

不定积分的结果是一个含有常数的表达式，常用于求解微分方程等问题。

三、极限极限是微积分中另一个重要的基本概念，用于描述数列或函数在无限逼近某一值时的行为。

数列的极限表示为lim (n→∞) an = a，其中 an 为数列的第 n 项，a 表示极限值。

函数的极限与数列的极限类似，表示函数在无限逼近某一点时的值。

函数的两个极限值分别是从左侧和右侧逼近时函数的极限值。

如果两个极限相等，则函数在该点连续。

极限在微积分中的应用极为广泛，例如求导数就是通过极限的方法得到的，通过求极限可以研究函数的趋势、性质和收敛性等。

结语微积分的基本概念包括导数、积分和极限，它们是微积分研究的基石。

高数基础知识的简明总结与归纳
高数，作为数学的一个分支，是许多学科的基础。

本文将简要概述和总结高数中的一些基本概念和定理，以帮助读者更好地理解和掌握这一学科。

一、极限论
极限论是高等数学的基础，它涉及到函数的变化趋势和无穷小量的概念。

极限的定义是：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，其中a是x的某一取值，A是f(x)在a处的极限。

二、导数与微分
导数是函数在某一点的切线的斜率，表示函数在该点的变化率。

微分则是函数值变化的近似值。

导数在几何上可以表示曲线在某一点处的切线，也可以用于求解函数的极值。

微分法则提供了计算近似值的方法，例如计算函数的增减性、极值等。

三、积分学
积分学包括不定积分和定积分。

不定积分是求函数的原函数的过程，而定积分则是计算曲线与x轴所夹的面积。

定积分的应用非常广泛，例如计算物体的重心、求解变速直线运动的位移等。

四、多元函数微积分
多元函数微积分是高数的又一重要分支，它涉及到多个变量的函数及其极限、连续、可微、可积等概念。

其中，方向导数和梯度表示
函数在多维空间中的变化率，而多元函数的积分则涉及到重积分、曲线积分和曲面积分等。

五、无穷级数与幂级数
无穷级数是无穷多个数相加的结果，它可以用来表示数学中的一些公式和定理。

幂级数是无穷级数的一种特殊形式，它可以用来近似表示一些复杂的函数。

幂级数的收敛性和函数性质是研究幂级数的重要内容。

导数定积分是一种非常重要的数学概念，它可以帮助我们研究函数的积分。

它的基本思想是：如果一个函数的导数为另一个函数，那么它们的积分也可以是一个函数。

首先，我们来看看怎么用导数定积分来求函数的积分。

首先，假设我们有一个函数f(x)，它的导数为
g(x)，那么它们的积分就可以表示为：F(x)=∫f(x)dx=∫g(x)dx+C，其中C是一个常数，它取决于求积分的范围。

其次，我们来看看怎么用导数定积分来求极限。

假设我们有一个函数f(x)，它的导数为g(x)，那么求函数f(x)在某点处的极限就可以表示为：limx→af(x)=limx→ag(x)+C，其中C是一个常数，它取决于求极限的点。

第三，我们来看看怎么用导数定积分来求定积分的值。

假设我们有一个函数f(x)，它的导数为g(x)，那么它们的定积分就可以表示为：∫f(x)dx=∫g(x)dx+C，其中C是一个常数，它取决于求积分的范围。

最后，我们来看看怎么用导数定积分来求反函数。

假设我们有一个函数f(x)，它的导数为g(x)，那么它们的反函数就可以表示为：f^(-1)(x)=g^(-1)(x)+C，其中C是一个常数，它取决于求反函数的范围。

总之，导数定积分是一种非常重要的数学概念，它可以帮助我们求解各种类型的函数，如求函数积分、求极限、求定积分、求反函数等。

这种方法有效地利用了导数的性质，使我们能够解决许多复杂的数学难题。

高三数学第一轮复习教案—导数、定积分、极限一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③会使用导数公式表。

（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

（5）定积分与微积分基本定理①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。

二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。

在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）今年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。

《导数的概念》教学设计与反思霸州市第一中学贾玉清一、教材内容分析导数的概念这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，本节课是第三课时的内容——导数概念的形成.导数作为微积分的核心概念之一，在高中数学中具有相当重要的地位和作用.从横向看，导数处于一种特殊的地位．它是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法简化中学数学的许多问题．从纵向看，导数是对函数知识的深化，对极限知识的发展，同时为以后研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用．二、教学目标1、知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.2、过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．3、情感、态度与价值观目标：①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．三、教学重、难点重点：导数的定义和用定义求导数的方法．难点：对导数概念的理解．难点突破：本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念；把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想与学生已有的极限知识相联系，将问题化归为考察一个关于自变量x∆的函数x xxfxF∆∆∆)()(0+=当0→x∆时极限是否存在以及极限是什么的问题.四、教法与学法1. 教法、学法：引导发现式教学法，类比探究式学习法教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．2. 教学手段：多媒体辅助教学设计意图：通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．五、教学过程（一）复习回顾【回顾1】当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对地面的高度为：105.69.4)(2++-=t t t H ，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？【回顾2】已知曲线C 是函数105.69.4)(2++-=x x x f 的图象,求曲线上点P ),(00y x 处的切线斜率.问题1 对瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？设计意图：针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情境，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.师生活动：学生相互交流探讨瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处.（二）引入新课问题2考虑求一般函数y=f(x) 在点0x 到0x +x ∆之间的平均变化率的极限问题，也就是怎样计算函数在点0x 处的变化率？设计意图：用具体到抽象，特殊到一般的思维方式，利用瞬时速度进行类比迁移，自然引出函数在一点处可导和导数的概念.由具体到抽象再回到具体的过程，感知上升到了理性，强化了对概念的理解师生活动：引导学生利用求瞬时速度的方法和思想类比探究，猜想得出函数在点0x 处的变化率xy x ∆∆∆0lim → =xx f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-+→,并对猜想的合理性进行分析后，引出 定义1：（函数在一点处可导及其导数）【探讨1】 怎样判断函数在一点是否可导？【探讨2】导数是什么？判断函数)(x f y =在点0x 处是否可导 判断极限xx f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-+→ 是否存在 设计意图：引导学生以数学语言（文字语言、符号语言 、图形语言）的理解、把握、运用为切入点去揭示概念的内涵与外延，提高学生数学阅读和自主学习的能力.师生活动：组织学生阅读“导数”定义，抓住定义中的关键词“可导”与“导数”交流探讨，然后通过师生互动挖掘这些概念之间的深层含义.【探讨3】求导数的方法是什么？转化设计意图：用定义法求导数是本课的重点之一.有了可导这个逻辑基础，导数成为可导的自然结果，求导数的方法则是对导数概念的理解与应用.让学生积极主动参与，进行有意义的建构，有利于重点知识的掌握.师生活动：让学生类比瞬时速度的问题，根据导数定义归纳出求函数x处导数的方法步骤：y=在点)(xf（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数.【例1】求函数y=x2在点1=x处的导数.设计意图：本题是教材上的一道例题.在学生建立起导数概念，明确用定义求导数的方法之后,进行强化训练, 渗透算法思想，加深对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固.(x∆忘师生活动：学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如2)写括号的现象加以纠正.并利用例1继续设问，函数在1x，==x处可导，那么-1 x这些点也可导吗？从而引申拓展出=2x，3=定义2：（函数在开区间)a内可导）,(b【探讨1】函数在开区间内可导，那么对于每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相对应，这样在开区间内存在一个映射吗？【探讨2】存在的这个映射是否构成一个新的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则分别是什么呢？设计意图：通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展区”，引导学生主动将新问题与原认知结构中函数的相关知识相联系，自然引入导函数概念，从而完成从函数在一点可导→函数在开区间内可导→函数在开区间内的导函数的两次拓展.师生活动：共同探讨归纳函数在开区间)a的每一点可导，每一点就有确定(b,的唯一的导数.这样在开区间)(ba内构成一个特殊的映射，这里的映射是数集到,数集的映射，就是函数，我们把这个新函数叫做)f在开区间)(xa内的导函数(b,它的定义域是开区间)a，对应法则是对开区间内每一点求导.运用函数思想，(b,x替换成x，就可以求出导函数的解析式.只要把求一点处的导数【探讨3】怎样求新函数的解析式？定义3：（函数)y=在开区间)f(xa内的导函数）,(b【例2】已知y=x，求（1）y′;（2）y′|x=2.设计意图：本例共两个小问，第(1)小问是教材上的一道例题, 第(2)小问是补充题.两问都是求导数，但它们有本质上的区别！学生容易产生混淆.通过此题让学生辨清“函数)(x f 在一点处的导数”、“函数)(x f 在开区间内的导数”与“导数”三者的关系.师生活动：分学习小组让学生动脑思考，动手“操作”，相互交流。

数学极限思想的应用论文（共2篇）第1篇:论高等数学之极限思想极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学极限思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

1、极限的概念1.1数列极限：设为一个数列，a为一常数，若，总存在一个正整数N，使得当时，有，称a是数列的极限。

1.2函数极限：函数在点a的某去心邻域内有定义，A为常数，若，总存在一个正数，使得当时，有，称A是当x趋向于a时函数的极限。

出于不同需要，还引进了不同意义下的极限概念，比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念，在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

2、极限思想的价值极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。

极限思想具有创新作用，它广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……这样，这张饼能吃完吗?显然吃不完，饼越来越小，但还是有的。

只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。

这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想十分重要，贯穿整个数学体系，恰当的应用极限思想可以将一些问题简化，学生灵活运用极限思想意义重大。

3、将极限思想渗透到课堂教学中3.1课堂上介绍一些体现极限思想的典故哲学家庄周在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将木棰长度的变化看作为一个无限的过程中去研究，古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细，所失弦少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”也体现了极限思想。