年复旦附中自招数学试卷.doc

2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷一．填空题1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+=▲．2．已知：23a =，32b =，则1111a b +=++▲．3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN =▲．4．方程2354235x x x x +=----的根为▲．5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第▲象限．6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -=▲．7．已知：222212310011352001A =++++ ，222212310013572003B =++++ ，则与A B -最接近的整数是▲．二．解答题8．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy++=，试求x y -的最大值．9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷参考答案和评分标准一．填空题1．22．13．34．0；4；43±5．二6．07．501二．解答题8．解：由1112014x y xy ++=得1120152014x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；即2014201420140xy x y ---=；即(2014)(2014)20142013x y --=⨯；得：min ()402840271x y -=-=．9．证明：在AC 上截取'AE AE=①如果E'和F 重合，那么△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；ABCEF (E')O第9题图①ABCEE'OF因此AB AE BE AF CF AC =+=+=；故△ABC 是等腰三角形；②如果E'和F 不重合，易知△AOE'≌△AOF ；于是'OE OF =；即''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；由12BEC A C ∠=∠+∠，12AFO B C ∠=∠+∠推出11()(180)22B C A A ∠+∠=︒-∠=∠；即60A ∠=︒．10．解：首先构造两个数列：{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024；{}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数．因此：21n ≤．如果21n >，则构造如下集合：{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,,15 ，…，{}1024,1025,,2014 ；共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾．故n 的最大值为21．。

第十四讲：三角授课教师：范端喜62：_T2007^B：y已知函数/（.r） = cos F""兀 + 2x） + cos（—―-7： - 2x） + 2\/3 sin（— + 2.v）,其中X3 3 3为实数且k为整数。

则f（X）的最小正周期为__________ ・A.兰B.兰C.D. 2兀・3 287. （2007 复旦）当a和b取遍所有实数时，则函数/（恥）=（a + 5 -3|cosd［）2 + （a-2|sin b\）2所能达到的最小值为 ____________ •A. 1B. 2C. 3D. 4116. （2006 复旦）已知sina , cosa是关于x的方程x2- ax+ a =0的两个根，这里aeR o则• 3 3sin a +cos a = _____ aA・・1-V2 B・l+血C・・2+V2 D・2-V25. (2008 交人)若cosx-sinx =丄，贝I」cos'x-sin，x =28. (2007 交大)且函数f(x) = (a + cosx)(a+sinx)的绘大值为兰»则a =12・（2007交大）设函数/（.v） = |sin.v| + |cos.r|,试讨论/⑴的性态（有界性.奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在［0,2刃内的图像.8. （2006复旦）（木题20分）解三角方程：^sin（.v + —） = sin2.x + 9. a为一实常数.45. (2006 交大)在地面距离塔基分别为100m. 200m. 300m的4、B、C处测得塔顶的仰角分别为a, 0』,且a + 0 + 了 = 90。

，则塔高为 ______ ・1()・(20()5 复旦)求y = 土叮的最大值是___________________ .2 + cosx2. (2005复旦解答题)在」ABC中，tan4:tanS:tanC-l :2:3,求兰・AB5・(2005复旦解答题)已知sin a + cos a = a(0 <a < V2),求sin” a + cos” a关于“的表达式.2.(2005 交大)sin8 x + cos8 x = , x G (0,—), 贝0 X= ・128 2 -------------------------------------------------------------2. (2005交大解答题)是否存在三边为连续白然数的三角形，使得(1)最大角是最小角的两倍：(2)最大角是最小角的三倍：若存在，求出该三角形：若不存在，请说明理山.1・(2004同济)函数/(X)= log! (sin x + cos x)的单调递增区间是 ____________________ ・■8. (2004 复旦)设Xj,心是方程x2 - .vsin °兀 + cos ?兀=0 的两解，则arctgx x + arctgx. = __5 52.(2004复旦解答题)已知sin(a +0)二||, sin(a-/?) = -^ ,且a > 0,0> 0,a+ 0 v f ,求fg2a ・3.(20()4 交人)函数y = yjsinx + Vcosx ( 0<x<y )的值域是____________________ ・13・(2003同济)已知尸半警%(九［。

复旦大学自主招生数学1、当a和b取遍所有实数时，函数f a，b=a+5−3cos+a−2sin所能取到的最小值（）2、记2012！=1×2×3×⋯×2012从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！的值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是（）3、已知数列a n满足：3a n+1+a n=4n≥1，且a1=9，其前n项和为S n，则满足不等式S n−n−6<1125的最小整数n是（）4、在如果所示三棱柱中，点A、BB1的中点M以及B1C1的中点N所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为（）5、方程x−=1有（）解6、方程3x2−e x=0的实根是（）7、设f x=x8−x5+x2−x+1，则f x有性质（）8、证明2是一个无理数9、若对一切实数x都有x−5+x−7>a，则实数a的取值范围是（）10、设某个多边形Σ的顶点在复平面中均是形式为1+z+z2+⋯+z k−1的点，其中z≤1，则点z=0有性质（）多边形Σ上的点。

11、如图，半径为r的四分之一的圆ABC上，分别以AB和AC为直径作两个半圆，分别标有a的阴影部分面积和标有b的阴影部分面积，则这两部分面积a和b的大小关系是？12、设x，y，z>0满足xyz+y+z=12，则log4x+log2y+log2z的最大值为（）13、设实数r>1，如果复平面上的动点z满足z=r，则动点ω=z+1z的轨迹是（）焦距的椭圆。

14、对函数f：0，1→0，1，定义f1x=f x，L，f n x=f f n−1x，n=1，2，3，⋯，满足f n x=x的点x∈0，1称为f的一个n周期点，现设f x=2x，0≤x≤122−2x，12≤x≤1，问f的一个n周期点的个数是（）15、已知数列a n 满足：a 1=22的等比数列，则k=1na k =（）16、设集合X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a >0，都存在，使得0<x −x 0<ax 0为集合X 的聚点，则下列集合：①∈Z ，n ≥0，②R \0,∈Z ，n ≠0,④Z 中，以0为聚点的集合有（）17、在一个底面半径为12，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、圆柱侧面及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是（）18、经过坐标变换x ‘=x cos θ+y sin θy ’=−x sin θ+y cos θ将二次曲线3x 2−23xy +5y 2−6=0转化为形如x ‘2a 2±y ’2b 2=1的标准方程，求θ并判断二次曲线的类型（）19、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1与C 2分别是以y =±k 1x −1+1和y =±k 2x −1+1为渐近线且通过原点的双曲线，则C 1与C 2的离心率之比等于（）20、设非零向量a=a1，a2，a3，b =b1，b2，b3，c=c1，c2，c3为共面向量，x=x1，x2，x3是未知向量，则满足a∙x=0，b ∙x=0，c∙x=0的向量x的个数为（）21、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0k>0的点x，y组成的集合D称为可行域，将函数y+1x称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点x，y使目标函数达到在可行域上的最小值。

2019年复旦附中自招数学试卷（一）1. 两个非零实数a 、b 满足ab a b =-，求a b ab b a +-的值.2. 已知|211||3||8|m m m -=-+-，求m 的取值范围.3. 若关于x 的不等式020192018ax ≤+≤的整数解为1、2、3、…、2018，求a 的范围.4. 已知ABC 、A BC ''边长均为2，点D 在线段BC '上，求AD CD +的最小值.5. 已知x 、y 为实数，求2254824x y xy x +-++的最小值.6. 在ABC 中，2B C ∠=∠，AD 为A ∠的角平分线，若2AB BD BD AB-=，求tan C ∠的值.（二）1. 等腰梯形ABCD 中，13AB CD ==，6AD =，16BC =，CE ⊥AB .（1）求CE 的长；（2）求BCE 内切圆的半径.2. 定义当0x x =时，0y x =，则称00(,)x x 为不动点.（1）若5x a y x b +=+有两个不动点(6,6)、(6,6)--，求a 、b 的值； （2）若5x a y x b+=+有关于原点对称的不动点，求a 、b 满足的条件.3. 已知()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当19502019n ≤≤时，找出所有满足[()]4S S n =的n ；（2）当n 为正整数时，找出所有满足()[()]2019n S n S S n ++=的n .（三）1. 平行四边形两条邻边为7和8，两条对角线为m 、n ，求22m n +的值.2. 已知正整数x 、y 满足2127xy x y ++=，求x y +的值.3. 斐波那契数列为{1,1,2,3,5,8,}n a =⋅⋅⋅，记数列n b 为n a 中每一项除以4的余数，问{}n b 中第2019次出现1时的序数（即第几个数）.参考答案（一） 1. 222()22a b a b a b ab ab b a a b a b a b+-+-=-==--- 2. 结合绝对值意义或者图像，3m ≤或8m ≥3. 由101a <-≤，201920182019a ≤-<可得，201912018a -≤<- 4. 4AD CD AD A D AA ''+=+≥=，即最小值为45. 配方，224()(1)33x y x -+++≥，即最小值为36.求出1AB BD=，由正弦定理，sin()sin 223sin sin()22C AB ADB C BD BAD ππ-∠==∠-，结合诱导公式、三倍角公式、化切，可求得tan 12C =，由二倍角公式可求tan 1C = （二） 1.（1）锐角三角比，19213；（2）在13、12、5的三角形中求得内切圆半径2r '=，结合相 似比，213321613r r =⇒=，即所求内切圆半径为3213 2.（1）36a =，5b =；（2）0a ≥且25a ≠，5b =3.（1）找规律，()22S n =或()4S n =，符合的有1957、1966、1975、1984、1993、2002、2011；（2）先确定范围，()28S n ≤，[()]10S S n ≤，∴1981n ≥，再分析讨论，符合的有1987、1990、1993、2005、2008、2011（三）1. 由余弦定理，22226m n +=2. 127121x y x -=≥+，可得42x ≤，结合正整数的条件，分析可得，有(1,42)、(2,25)、(7,8)这些解（x 、y 可换），∴x y +的值为43、27、153. 分析可得，{}n b 周期为6，且前六项为1、1、2、3、1、0，每个周期出现3次“1”，20193673÷=，即第2019次出现1时，在第673个周期内最后一个“1”，即序数为672654037⨯+=。

12014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷一．填空题1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ．2．已知：23a =，32b =，则1111a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ▲ ．4．方程2354235x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．7．已知：222212310011352001A =++++L ，222212310013572003B =++++L ，则与A B -最接近的整数是 ▲ ．二．解答题28．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy++=，试求x y -的最大值． 9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷参考答案和评分标准一．填空题1．2 2．1 3．3 4．0；4；43 5．二 6．0 7．501二．解答题8．解：由1112014x y xy++= 得1120152014x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3即2014201420140xy x y ---=；即(2014)(2014)20142013x y --=⨯；得：min ()402840271x y -=-=．9．证明：在AC 上截取'AE AE =①如果E'和F 重合，那么△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；因此AB AE BE AF CF AC =+=+=；故△ABC 是等腰三角形；②如果E'和F 不重合，易知△AOE'≌△AOF ；ABC EF (E')O第9题图①ABCEE' OF 第9题图②4于是'OE OF =；即''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；由12BEC A C ∠=∠+∠，12AFO B C ∠=∠+∠推出11()(180)22B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即60A ∠=︒．10．解：首先构造两个数列：{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数．因此：21n ≤．5如果21n >，则构造如下集合：{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,,15L ，…，{}1024,1025,,2014L ；共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾．故n 的最大值为21．。

a - 2009一、填空题冲刺 17 年自主招生之 2014 复附自主招生试卷1. 若 M = 3x 2 -8xy + 9 y 2 - 4x + 6 y + 13 ( x , y 是实数)，则 M 的值一定是( ) A. 零B. 负数C. 正数D. 整数2. 已知sin α < cos α ，那么锐角α 的取值范围是( ) A. 30︒ < α < 45︒ B. 0︒ < α < 45︒ C. 45︒ < α < 60︒D. 0︒ < α < 90︒3. 已知实数 a 满足| 2008 - a | = a ，那么a - 20082 值是( )A. 2009B. 2008C. 2007D. 20064. 如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式 a- b 的值等于( ).cA. - 3 4B. -6C. 3 4D. 65. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像如图所示， Q (n ,2) 是图像上的一点，且 AQ ⊥ BQ ，则a的值为( )A. - 13 B. - 12C. -1D. -2ABC 6. 矩形纸片 ABCD中， AB = 3cm , BC = 4cm ，现将纸片折叠压平，使 A 与C 重合，设折叠为 EF ，则重叠部分 AEF 的面积等于( )。

A.73 8 B. 758C.73 16D.75 167. 若 a = b = c= t ，则一次函数y = tx + t 2 的图像必定经过的象限是( ) b + c c + a a + b A. 第一、二象限 B. 第一、二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第三、四象限8. 如图，以 Rt ABC 的斜边 BC 为一边在 的同侧作正方形 BCEF ，设正方形的中心为O ，连结 AO ，如果 AB = 4, AO = 6 2 ，那么 AC 的长等于( )A. 12B. 16C.D.二、填空题9. 已知 x 2 - -1 = 0 ，那么代数式 x 3 - 2 +1的值是。

复旦大学2021年自主招生数学试题1：命题p ：“ABC ∆的内心与外心重合”是命题q ：“ABC ∆是正三角形”的什么条件？，2：已知)(x f 周期为1，则命题p ：“2)3()(=++x f x f ”是命题q ：“)(x f 恒为1”的什么条件？3：AD 是的ABC ∆角平分线，3=AB ，8=AC ，7=BC ,求AD 的长.4：求824211（yy xy x +++的常数项.5：已知180≤≤n ，2022202119=+n m ，则=n ________.6：已知21,F F 分别是椭圆的左右焦点，B 为椭圆上的一点，延长B F 2到点A ，满足BA BF =1，1AF 的中点为H ，则下列两个结论是否正确：结论1：BH AF ⊥1；结论2：BH 为椭圆的切线.7：若[][]422)(-+-++=x x x x x g ，x x f 2log )(=，解不等式1))((0<<x f g .8：20219418=++z y x 的正整数解有多少组?9：确定曲线23)6()3(2++-=+y x y x 的类型.10：求由曲线2,22≥+≤+y x y x π围成的面积.11：求极坐标θρ=的曲线轨迹.12：若数列{}n a 满足041244121=⨯-++++n n n a a a ，求na n n +∞→lim .13：求展开式633)1(32xx x x --）（中的常数项.14：底面边长为a 的正三角锥，侧棱与底面所成角为3π，求过一条底边且与底面夹角为6π的截面面积。

15：xa x x f ln )(-=的极值点为m ，n （n m <），则（）。

A .1≥a B.1>mn C.2>+n m D.以上都不对16：在三角锥ABC P -中，已知PB PA ⊥,PC PB ⊥,b AC a BA a BC PC PA ===⊥,,,,若以△ABC 为底面，则三角锥的高为________.17:下列数与113355最接近的是（）A .1134 B.1135 C.722 D.72318：复系数方程033234=+++-b ix ax ix x 有一个根为1+i，求b a +的值为。

2019年复旦附中浦东分校自招数学试卷1. 已知14a a +=，求441a a +的值2. 已知280x mx ++=与2420x x m ++=有公共实根t ，求t 的值3. 求(0,0)关于直线4y x =+翻折后的坐标4.5. 如图，已知AB 为直径，25DCB ︒∠=，求ABD ∠6. 已知2234y x mx m =+-(0)m >与x 轴交于A 、B ，若1123OB OA -=，求m 的值7. 直线y kx b =+经过两点(,)A t t 、(,5)B m m ，0t >，0m >，当m t 为整数，求整数k8. 已知四位数09x yz xyz =⨯，求这个四位数9. 正方形四个顶点都有人，同时从一个顶点走向另一个顶点（随机选边，概率均为12）， 求有人相遇的概率10. ()F x 是关于x 的五次多项式，(2)(1)(0)(1)0F F F F -=-===，(2)24F =，(3)360F =，求(4)F11. 已知227100x ax a ++-=无实根，则下列选项必有实根的是（ ）A. 22320x ax a ++-=B. 22560x ax a ++-=C. 2210210x ax a ++-=D. 22230x ax a +++=12. 直角三角形ABC 中，90C ︒∠=，sin B n =，当B ∠为最小内角时，则n 的范围（ ）A. 02n <≤B. 112n -<<C. 102n <≤ D. 122n <≤13. 已知2a b +=，22(1)(1)4a b b a--+=-，则ab 的值为（ ） A. 1 B. 1- C. 12- D. 1214. 已知互不相等的整数数列12{,,,}n i i i ⋅⋅⋅，2n ≥，当p q <时，p q i i >，称为“逆序”，若正整数数列126{,,,}a a a ⋅⋅⋅中，“逆序”有2组，则651{,,,}a a a ⋅⋅⋅中“逆序”有（ ）组A. 34B. 28C. 16D. 1315. 已知[]x 为不超过x 的最大整数，解方程2[]3x x -=16. 如图已知8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=，COE ADE S S =（1）求BC 的长；（2）求经过C 、E 、B 的二次函数的解析式17. 已知AB 为直径，C 是AC 中点，DF 为切线，切点为点B（1）求证：AC CD =；（2）若2OB =，E 为OB 中点，求BH参考答案 1. 422411[()2]2194a a a a+=+--= 2. 6m =-，2t =3. (4,4)-4. 10=20-=，2x =，8y =12= 5. 联结AD ，65︒ 6. 3()()22m m y x x =+-，32m OA =，2m OB =，2m = 7. 5m t k m t -=-，设m nt =，n ∈*N ，∴514511n k n n -==+--，n 取2、3、5，k 为9、7、6 8. 由末两位相同可得，5z =，2y =或7，分析可得四位数为2025或60759. 不相遇的情况有都顺时针或都逆时针两种情况，427128-= 10. 5432()286F x x x x x x =+--+，(4)1800F =11. 25a <<，A 选项，4(1)(2)a a ∆=--在25a <<的情况下恒大于零，故选A12. 045B ︒︒<≤，02n <≤，选A 13. 代入整理出方程2210a a --=，1ab =-，选B14. 26213C -=，选D15. 结合取整函数图像，23x <<，[]2x =，∴x =16.（1）12；（2）22(36)27y x =-17.（1）等腰直角三角形，证明略；（2。