径向基函数神经网络.docx

径向基神经网络RBF介绍径向基神经网络（Radial Basis Function Neural Network，以下简称RBF神经网络）是一种人工神经网络模型。

它以径向基函数为激活函数，具有快速学习速度和较高的逼近能力，被广泛应用于函数逼近、模式识别、时间序列预测等领域。

下面将详细介绍RBF神经网络的基本原理、结构和学习算法。

1.基本原理：RBF神经网络由输入层、隐藏层和输出层组成。

输入层接收外部输入数据，隐藏层由一组径向基函数组成，输出层计算输出值。

其基本原理是通过适当的权值与径向基函数的线性组合，将输入空间映射到高维特征空间，并在该空间中进行线性回归或分类。

RBF神经网络的关键在于选择合适的径向基函数和隐藏层节点的中心点。

2.网络结构：隐藏层是RBF神经网络的核心，它由一组径向基函数组成。

每个径向基函数具有一个中心点和一个半径。

典型的径向基函数有高斯函数和多项式函数。

高斯函数的形式为：φ(x) = exp(-β*，x-c，^2)其中，β为控制函数衰减速度的参数，c为径向基函数的中心点，x为输入向量。

隐藏层的输出由输入向量与每个径向基函数的权值进行加权求和后经过激活函数得到。

输出层通常采用线性激活函数，用于输出预测值。

3.学习算法：RBF神经网络的学习算法包括两个步骤：网络初始化和权值训练。

网络初始化时需要确定隐藏层节点的中心点和半径。

常用的方法有K-means 聚类和最大极大算法。

权值训练阶段的目标是通过输入样本和对应的目标值来调整权值，使得网络的输出尽可能接近目标值。

常用的方法有最小均方误差算法（Least Mean Square，LMS）和最小二乘法。

最小均方误差算法通过梯度下降法修改权值，使网络输出的均方误差最小化。

最小二乘法则通过求解线性方程组得到最优权值。

在训练过程中，需要进行误差反向传播，根据输出误差调整权值。

4.特点与应用：RBF神经网络具有以下特点：-输入输出非线性映射能力强，可以逼近复杂的非线性函数关系；-学习速度较快，只需通过非线性映射学习输出函数，避免了反向传播算法的迭代计算；-具有较好的泛化能力，对噪声和异常数据有一定的鲁棒性。

径向基神经⽹络相关函数：dist、netprod、dotprod （1） dist 欧⼏⾥得距离权函数This MATLAB function takes these inputs, W S-by-R weight matrixP R-by-Q matrix ofQ input (column) vectors FPStruct of function parameters (optional, ignored)Z = dist(W,P,FP)dim = dist('size',S,R,FP)dw = dist('dw',W,P,Z,FP)D = dist(pos)info = dist('code')W中每⾏为⼀个输⼊向量，P中每列为⼀个输⼊向量>> w=rand(2,3)w =0.8705 0.1909 0.42290.8706 0.7651 0.5156>> v=rand(3,6)v =0.5917 0.1118 0.3500 0.2799 0.3541 0.22670.7005 0.7944 0.8652 0.2283 0.8885 0.11610.0203 0.1223 0.2577 0.8963 0.0224 0.7173>> w*vans =0.6574 0.3007 0.5788 0.6662 0.4873 0.52281.0615 0.7682 1.0995 0.8805 0.9996 0.6560>> D=dist(ans) % 只有⼀个输⼊，计算Z中每⼀⾏与其他⾏的距离D =0 0.4618 0.0873 0.1813 0.1810 0.42720.4618 0 0.4326 0.3824 0.2973 0.24880.0873 0.4326 0 0.2359 0.1355 0.44700.1813 0.3824 0.2359 0 0.2150 0.26630.1810 0.2973 0.1355 0.2150 0 0.34540.4272 0.2488 0.4470 0.2663 0.3454 0（2）netprod - Product net input function 乘积⽹格输⼊函数This MATLAB function takes Z iS-by-Q matrices in a row cell arrayN = netprod({Z1,Z2,...,Zn})返回Z1,Z2,...,Zn 对应元素的乘积rand('state',pi);a=rand(2,3) % 第⼀个矩阵% a =%% 0.5162 0.1837 0.4272% 0.2252 0.2163 0.9706b=rand(2,3) % 第⼆个矩阵% b =%% 0.8215 0.0295 0.2471% 0.3693 0.1919 0.5672c=rand(2,3) % 第三个矩阵% c =%% 0.4331 0.0485 0.5087% 0.6111 0.8077 0.3153d=netprod({a,b,c}) % 计算⽹络输⼊% d =%% 0.1837 0.0003 0.0537% 0.0508 0.0335 0.1736a.*b.*c % 矩阵直接点乘%% ans =%% 0.1837 0.0003 0.0537% 0.0508 0.0335 0.1736（3）dotprod>> help dotproddotprod - Dot product weight functionThis MATLAB function takes these inputs, W S-by-R weight matrix PR-by-Q matrix of Q input (column) vectors FPStruct of function parameters (optional, ignored) Z = dotprod(W,P,FP)dim = dotprod('size',S,R,FP)dw = dotprod('dw',W,P,Z,FP)info = dotprod('code')rand('state',pi);w=rand(3,2); % 3个向量p=rand(2,4); % 4个向量Z=dotprod(w,p) % 计算内积% Z =%% 0.5039 0.0567 0.2502 0.3557% 0.3428 0.0886 0.2979 0.3586% 0.5094 0.1916 0.5959 0.6726(4)netsum 求和⽹格输⼊函数>> help netsumnetsum - Sum net input functionThis MATLAB function takes Z1 to Zn and optional function parameters, ZiS-by-Q matrices in a row cell array FPRow cell array of function parameters (ignored)N = netsum({Z1,Z2,...,Zn},FP)info = netsum('code')返回对应位置元素相加rand('state',pi);a=rand(2,3)% a =% 0.5162 0.1837 0.4272 % 0.2252 0.2163 0.9706 b=rand(2,3)% b =% 0.8215 0.0295 0.2471 % 0.3693 0.1919 0.5672 c=[0; -1];d=concur(c,3)% d =% 0 0 0% -1 -1 -1n = netsum({a,b,d})% n =% 1.3377 0.2132 0.6743 % -0.4054 -0.5918 0.5378。

RBF（径向基）神经⽹络 只要模型是⼀层⼀层的，并使⽤AD/BP算法，就能称作 BP神经⽹络。

RBF 神经⽹络是其中⼀个特例。

本⽂主要包括以下内容：什么是径向基函数RBF神经⽹络RBF神经⽹络的学习问题RBF神经⽹络与BP神经⽹络的区别RBF神经⽹络与SVM的区别为什么⾼斯核函数就是映射到⾼维区间前馈⽹络、递归⽹络和反馈⽹络完全内插法⼀、什么是径向基函数 1985年，Powell提出了多变量插值的径向基函数（RBF）⽅法。

径向基函数是⼀个取值仅仅依赖于离原点距离的实值函数，也就是Φ（x）=Φ(‖x‖),或者还可以是到任意⼀点c的距离，c点称为中⼼点，也就是Φ（x，c）=Φ(‖x-c‖)。

任意⼀个满⾜Φ（x）=Φ(‖x‖)特性的函数Φ都叫做径向基函数，标准的⼀般使⽤欧⽒距离（也叫做欧式径向基函数），尽管其他距离函数也是可以的。

最常⽤的径向基函数是⾼斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中x_c为核函数中⼼,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作⽤范围。

⼆、RBF神经⽹络 RBF神将⽹络是⼀种三层神经⽹络，其包括输⼊层、隐层、输出层。

从输⼊空间到隐层空间的变换是⾮线性的，⽽从隐层空间到输出层空间变换是线性的。

流图如下： RBF⽹络的基本思想是：⽤RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，这样就可以将输⼊⽮量直接映射到隐空间，⽽不需要通过权连接。

当RBF的中⼼点确定以后，这种映射关系也就确定了。

⽽隐含层空间到输出空间的映射是线性的，即⽹络的输出是隐单元输出的线性加权和，此处的权即为⽹络可调参数。

其中，隐含层的作⽤是把向量从低维度的p映射到⾼维度的h，这样低维度线性不可分的情况到⾼维度就可以变得线性可分了，主要就是核函数的思想。

这样，⽹络由输⼊到输出的映射是⾮线性的，⽽⽹络输出对可调参数⽽⾔却⼜是线性的。

⽹络的权就可由线性⽅程组直接解出，从⽽⼤⼤加快学习速度并避免局部极⼩问题。

径向基（Radialbasisfunction）神经⽹络、核函数的⼀些理解径向基函数(RBF)在神经⽹络领域扮演着重要的⾓⾊，如RBF神经⽹络具有唯⼀最佳逼近的特性，径向基作为核函数在SVM中能将输⼊样本映射到⾼维特征空间，解决⼀些原本线性不可分的问题。

本⽂主要讨论：1. 先讨论核函数是如何把数据映射到⾼维空间的，然后引⼊径向基函数作核函数，并特别说明⾼斯径向基函数的⼏何意义，以及它作为核函数时为什么能把数据映射到⽆限维空间。

2.提到了径向基函数，就继续讨论下径向基函数神经⽹络为什么能⽤来逼近。

再看这⽂章的时候，注意核函数是⼀回事，径向基函数是另⼀回事。

核函数表⽰的是⾼维空间⾥由于向量内积⽽计算出来的⼀个函数表达式(后⾯将见到)。

⽽径向基函数是⼀类函数，径向基函数是⼀个它的值(y)只依赖于变量(x)距原点距离的函数，即；也可以是距其他某个中⼼点的距离，即. . 也就是说，可以选定径向基函数来当核函数，譬如SVM⾥⼀般都⽤⾼斯径向基作为核函数，但是核函数不⼀定要选择径向基这⼀类函数。

如果感觉这段话有点绕没关系，往下看就能慢慢体会了。

为什么要将核函数和RBF神经⽹络放在⼀起，是希望学习它们的时候即能看到它们的联系⼜能找到其差别。

⼀.由⾮线性映射引⼊核函数概念，之后介绍⾼斯径向基及其⼏何意义。

预先规定是⼀个⾮线性映射函数,能够把空间中任⼀点,映射到空间中。

下⾯先⽤⼀个例⼦说明这种映射的好处。

例：假设⼆维平⾯上有⼀些系列样本点,他们的分布近似是⼀个围绕着原点的圆（见图1）。

那么在这个⼆维的样本空间⾥，这些样本点满⾜的曲线⽅程为：如果设⾮线性映射为：那么在映射后的的空间⾥，曲线⽅程变成了：这意味着在新空间⾥，样本点是分布在⼀条近似直线上的，⽽不是之前的圆，很明显这是有利于我们的。

图1.左图为原来的x所在的⼆维空间，右图为映射后的新的y空间继续这个例⼦，我们已经知道了映射关系，那么在y空间中的向量内积会是什么样⼦的呢？注意公式⾥的各种括号。

rbf神经网络原理
RBF神经网络，即径向基函数神经网络，是一种常用的神经网络模型。

它的核心思想是通过选择合适的基函数来近似非线性函数关系，从而实现对复杂模式的学习与分类。

RBF神经网络由三层组成：输入层，隐含层和输出层。

输入层接收外部输入的数据，每个输入节点对应一个特征。

隐含层是RBF神经网络的核心，其中的每个神经元都是一个径向基函数。

在隐含层中，每个神经元都有一个中心向量和一个标准差，用于确定其基函数的形状和大小。

通过计算输入向量与神经元中心之间的距离，再经过基函数的转换，即可得到神经元的输出。

输出层是整个神经网络的分类器，它通常采用线性组合来产生最终的输出。

常见的方法是采用最小均方误差（MSE）准则函数来训练神经网络，通过调整神经元中心和标准差的参数，以最小化实际输出与期望输出之间的误差。

RBF神经网络具有以下优点：
1. 相较于传统的前馈神经网络，RBF神经网络对线性可分和线性不可分问题的逼近能力更强。

2. RBF神经网络的训练速度较快，且容易实现并行计算。

3. 网络结构简单，参数少，不容易出现过拟合问题。

4. 对于输入输出空间中的噪声和干扰具有较强的鲁棒性。

总而言之，RBF神经网络通过径向基函数的选取，能够有效地近似非线性函数，并在模式分类等任务中取得较好的结果。