高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结精编版36页PPT

3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
4．直线与平面所成的角. 范围[0： ,90]
四.知识小结：
（1）
直接法
判定定理 如果一条直
线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
直线与平面 垂直的判定
定义法
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
练习：
如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证:
VB⊥AC.
V
.D
A
提示：找AC中点D,连接VD,BD B
人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件(共35张PPT)
C
人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件(共35张PPT)
2.过ΔABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC. 1).若PA = PB = PC,∠C = 900,则O是AB边的_中_点. 2).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的__外___心. 3).若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是ΔABC 的___垂__心.
O
B
解 ： （ 1）
C
AB ,AC , 且 AB AC A PA AC ,PA AB \ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB为直径
\BC AC
由1得BC PA,又QPA AC A
\BC面PAC
\ PA BC
人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件(共35张PPT)
2－1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2， AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )

半平面叫做二面角的面．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1
问题 4 如何用字母来记作二面角？
答 如图，棱为 AB，面分别为 α，β 的二面角记作二面角
本
α—AB—β.有时为了方便，也可在 α，β 内(棱以外的半平面部
课 时
分)分别取点 P，Q，将这个二面角记作二面角 P—AB—Q.如
栏 目
果棱记作 l，那么这个二面角记作二面角 α—l—β 或 P—l—Q.
本 课
射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．
时
栏
目
开
关
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少
度，就说这个二面角是多少度．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1
小结 关于二面角的平面角有以下几点要引起重视：
本
(1)在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥l”，“OB⊥l”；
开 关
b 所成的角；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特征都是平面
角，都是由两条直线组成的图形，角的范围不超过 90°.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1
问题 3 在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交
所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？ 答 修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水
课
(2)∠AOB 的大小与点 O 在 l 上的位置无关；
时
栏
(3)二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平
目 开
面角是直角时叫直二面角．
关
(4)二面角的平面角的范围是：[0°，180°]．

P
所在的平面,则PA与BC
的位置关系是_垂__直__.
A
3·如右图，PA平面ABC， p A B C 中 ， B CA B
则图中直角三角形的个
数是（ A ）
A
A4 B3 C2 D 1
2021
B
C B
C
10
例1: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它的 下端放在地面 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) C、D。如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， 那么旗杆就 和地面垂直，为什么？ A
线面垂直的定义 线面垂直
线面垂直的判定定理
2021
17
小结：
1、入手指南：碰到证明线面垂直的问题，应转 化为证明线线垂直；反之亦然.
2、小心提醒：平面内的这两条直线应该相交；
3、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？
①勾股定理的逆定理（已知长度）
②等腰三角形的三线合一
③利用线面垂直的性质
④利用平行移动不改变夹角大小
⑤正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直
⑥菱形(正方形）的对角线互相垂直
⑦相似
2021
18
作业：1、P66－探究题，请你先写出一个 条件，然后用你的这个条件来证明
A’C⊥B’D’
2、（如图）在正方体AC1中， D1
求证：(1)AC⊥平面D1DB A1
(2)D1B⊥平面ACB1
D
C1 B1
C
A
B
2021
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？
Байду номын сангаас
2021
7
线面垂直判定定理：

∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E

1、线面垂直的性质：面面垂直的性质：
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
β A
B
线面垂直 α a
面面垂直
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
线线平行 3、用条件想性质： 证结果想判定：
4、如何举反例？满足条件的线、面 转动
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四.知识应用
1、判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2、a,b表示线, 表示面，正确的是 (3)(4)
(1)a ,ab,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
证明：假设 a与b不平行.记直线b
和α的交点为o,则可过o作 b’∥a
a
b b’ ∵a⊥α,
α
o
∴b’⊥α.
反证法
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的，
∴a∥b.
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言? a ,b a//bBiblioteka 简述： 线面垂直 如何证明？
线线平行
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•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.

BC 平面PAC, AC 平面PAC
图中有几个直角
BC 平面PAC
三角形?
4个
当堂训练：
如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC, AB＝BC,K是AC的中点. 求证：AC⊥平面VKB． A
V
K
C
变式：
如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC, AB＝BC. 求证：AC⊥VB．
则∠BD1B1=30°. 答案:30°
������������1 ������1 ������1
=
1 3
=
3 , 3
例2：已知PA 平面ABC，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点 求证：BC 平面PAC
证明： PA 平面ABC, BC 平面ABC PA BC AB是圆O的直径，
证明： (1) OA、OB、OC两两垂直， OA OB、OA OC
A
0 B
又 OB OC O OA 面OBC
(2)由(1)知OA 面OBC，BC 面OBC OA BC
C
线线垂直
线面垂直的定义
线面垂直
线面垂直的判定定理
1．定义：平面的一条斜线和它在平面上 的 射影 所成的 锐角，叫做这条直线和这个平 面所成的角． 如图， ∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． 2．当直线 AP 与平面垂直时，它们所成的角是90° . 3．当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 0° . 4．线面角 θ 的范围： 0°≤θ≤90° .
符号语言：
a

P
l , a l a
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确： 1.如果一条直线与平面内一条直线垂直，那么它 与平面垂直. （ ） 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那 么它与平面垂直. （ )

精品课件
23
【证明】(1)连结AC，取其
中点O，连结NO、MO，并
延长MO交CD于R.
因为N为PC的中点，
所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA.
而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所
以NO⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为
AC的中点，所以MO⊥CD.
而 MO∩NO ＝ O ， 所 以 CD⊥ 平 面 MNO， 所 以
B B1上 的 动 点 ．
1求 证 ： D1P AC；
2 设 AC BD＝ O，
求 当 B1P 等 于 多 少 时 ， PB
PO 平 面 D1AC ?
精品课件
10
【 解 析 】1 证 明 ：
因 为 ABCD为 菱 形 ， 所 以 AC BD. 连 结 B1D1. 因 为 D1D 底 面 ABCD， 所 以 AC D1D. 又 BD D1D＝ D， 所 以 AC 平 面 BB1D1D . 因 为 D1P 平 面 BB1D1D， 所 以 D1P AC .
通过计算证明线 线垂直
【例3】 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心．求证：OE⊥平面ACD1.
精品课件
13
【
证
明
】
如
图
，
连
结
AE，
C
E，
D 1O ，
D
1
B
，
1
D 1E
.
设
正
方
体
D
B
的
1
棱
长
为
a .易
证

9
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直
l
小结：证明线面垂直的方法关键是证明
符号表示： a,b AA1,BB1,CC1,DD1
与平面 ABCD 垂直的直线 平面 内能否找到与直线 不垂直的直线？
③推出直线与平面垂直的条件缺一不可.
abP 小结：证明线面垂直的方法关键是证明
宿舍楼前的 垂直 柱子与地面：
桥墩与水面：
3

l
思考：直线 l 与平面 内的直线位置关系如何？
垂直
直线 l 与平面 内的每一条直线都垂直吗？ 平面 内能否找到与直线 l 不垂直的直线？
α 4
l
思考：直线 l 与平面 内的直线位置关系如何？
垂直
直线 l 与平面 内的每一条直线都垂直吗？
平面 内能否找到与直线 l 不垂直的直线？
证明： VA = VC ， O 为 AC 中点
∴VO ⊥ AC
AB = BC ， O 为 AC 中点
∴BO ⊥ AC
又 VO , BO ⊂ 平面 VOB
VO ∩BO = O
∴AC ⊥平面 VOB
14
探究案：
例2.正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求证： BD⊥平面ACC1A1
书写过程要求： ①字迹工整清晰； ②每一步骤的依据要表达清楚； ③推出直线与平面垂直的条件缺一 不可.
BD A1A, BD AC
可 得 B D 平 面 A C C 1A
16
变式：在底面为菱形的直棱柱
ABCD-A1B1C1D1 中，
求证： BD⊥平面ACC1A1
证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC，

大家能否说出这墙面 与地面垂直的依据吗？
ppt课件
6
议一议
α
请判断命题的真假？
A D
B
假
β
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C
7
猜一猜
α
A D
B
β
C
α
A D
B
β
C
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8
面面垂直性质定理的证明：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 它们的交线的直线垂直于另一个平面．
α
A D
BE
β
C
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9
面面垂直应用： 例1.
两个平面垂直的定义：
相交成直二面角的两个平面, 叫做互相垂直的平 面．
两平面垂直的判定定理：（线面垂直＝>面面垂直）
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面互相垂直．
图形语言：
α
符号语言：
l
β
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3
面面垂直判定定理的证明：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直．
线面垂直
面面垂直
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16
同面垂直
大家能否判断这墙面 是否和地面垂直？
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1
问题引入 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检
查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知 道其中的理论根据吗？
——它就是本节课的内容之pp一t课：件 平面与平面垂直的判定定理。 2
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10
面面垂直应用： 练习1.
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11
面面垂直应用： 例2.
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12

如果两条平行直线中的一条 垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面。
ab
m
n
（3）
五．巩固运用 练习.如图,PA垂直于圆O所在面,AB是圆O的直 径,C是圆周上一点,那么图中有几个直角三角形?
焦点:ΔPBC是不是直角三角形?
答案：４个
例3、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条 长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面 上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如 果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就
探索
问题:如图，使书脊AB与桌面垂直，可否 将若干书页取掉，但至少保留几页？
两页
AA
猜想：如果一条直线和平 面α内两相交直线都垂直， 那么这条直线就垂直于这 个平面．
C DE
E
BB
H G FF
2.线面垂直判定定理的探究
问题:在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，棱BB1与底面 ABCD 垂直。观察BB1与AB、 BC 的位置关系,由此你认为保证
D’ A’
C’
B’ O
D A
C B
1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一 条直线，则此直线垂直于这个平面.
直线与平面垂直的判定方法:
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两 条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
线面垂直⇒线线垂直 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于同一个平面。
⑵书脊所在直线与桌面中任意一条直线 已知:如图,a⊥AC,a⊥BC,求证:a⊥AB.
如图,已知:α∩β＝l ,PA⊥αΑ,PB⊥β于B,AQ⊥l于Q,求证:BQ⊥l .
的位置关系? 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。