贵州省遵义市高一数学下学期期末试卷讲解

2014-2015学年贵州省遵义市习水二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．已知A⊆{0，1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（）A．11个B．12个C．15个D．16个2．三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．0.76＜60.7＜log0.76 B．0.76＜log0.76＜60.7C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.73．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞04．若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，则f（﹣2）f（a+1）．（填写“＜”，“=”，“＞”之一）6．y=|sinx|的一个单调增区间为（）A．（﹣，）B．（，）C．（π，）D．（，2π）7．若sinα﹣3cosα=0，则的值为（）A．﹣B．2 C．﹣2 D．8．设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}9．设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，3，4}，B={1，3}，则（∁∪A）∪B=（）A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{0，1，2，3，4}10．若A={0，1，2}，B={x|1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11．已知函数①f（x）=lnx；②f（x）=cosx；③f（x）=e x；④f（x）=e cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个x1都存在唯一个x2，使f（x1）f（x2）=1成立的函数是．（写出所有满足条件的函数的序号）12．函数f（x）=log2（x2﹣1）的定义域为．13．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是．14．将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称．若的最小值为m且，则实数a的取值范围为．15．已知函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，若f（x）=4x﹣15，则不等式≥0的解集是．三、解答题（75分）16．已知{a n}是正项数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2，求证：b n b n+2＜b．17．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）求m的取值范围．（2）当m=4时，若圆C与直线x+ay﹣4=0交于M，N两点，且⊥，求a的值．18．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：面PAC⊥面PBC；（2）若PA=AB=2，则当直线PC与平面ABC所成角正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．21．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年贵州省遵义市习水二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．已知A⊆{0，1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（）A．11个B．12个C．15个D．16个【考点】排列、组合及简单计数问题；子集与真子集．【专题】计算题．【分析】根据题意，分A中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合A数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，A中至少有一个奇数，包含两种情况，A中有1个奇数或2个奇数，若A中含1个奇数，有C21×22=8，A中含2个奇数：C22×22=4，由分类计数原理可得．共有8+4=12种情况；故选B．【点评】本题考查排列、组合的运用，解题的关键在于对“A中至少有一个奇数”的理解，进而分“A中有1个奇数或2个奇数”两种情况讨论．2．三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．0.76＜60.7＜log0.76 B．0.76＜log0.76＜60.7C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7【考点】不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】由指数函数和对数函数的图象可以判断60.7，0.76，log0.76和0 和1的大小，从而可以判断60.7，0.76，log0.76的大小．【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7故选：D．【点评】本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查．3．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．4．若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2θ的值．【解答】解：∵tanθ=，则cos2θ====，故选：A．【点评】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系，解决本题的关键是熟练掌握倍角公式，敏锐的观察角间的关系，属基础题．5．已知函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，则f（﹣2）＜f（a+1）．是偶函数．比较f（﹣2）与f（a+1）的大小只要比较﹣2、a+1与y轴的距离的大小．【解答】解：x∈（0，+∞）时，f（x）=log a x，单调递增，故a＞1，a+1＞2．又函数y=f（|x|）是偶函数，比较f（﹣2）与f（a+1）的大小只要比较﹣2、a+1与y轴的距离的大小．由a+1＞2知f（﹣2）＜f（a+1）．故答案为：＜【点评】本题考查函数单调性和奇偶性的应用，难度不大．6．y=|sinx|的一个单调增区间为（）A．（﹣，）B．（，）C．（π，）D．（，2π）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据y=|sinx|的图象，结合所给的选项，可得y=|sinx|的一个单调增区间．【解答】解：根据y=|sinx|的图象，结合所给的选项，可得y=|sinx|的一个单调增区间为（π，），故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，属于基础题．7．若sinα﹣3cosα=0，则的值为（）A．﹣B．2 C．﹣2 D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式变形，利用同角三角函数间基本关系求出tanα的值，原式分子分母除以cosα变形，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα﹣3cosα=0，即sinα=3cosα，∴tanα=3，则原式===2，故选：B．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．8．设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由全集U={x∈N+|x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，∴A∪B={1，3，5}，∵U={x∈N+|x＜6}={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={2，4}，故选C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．9．设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，3，4}，B={1，3}，则（∁∪A）∪B=（）A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{0，1，2，3，4} 【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】先由全集U和集合A，求出集合A的补集，然后求出集合A补集与集合B的交集即可．【解答】解：由全集U={0，1，2，3，4}，A={0，3，4}，得到C∪A={1，2}，又B={1，3}，则（C∪A）∪B={1，2，3}．故选B【点评】此题考查学生会进行补集及交集的运算，是一道基础题．学生在求补集时注意全集的范围．10．若A={0，1，2}，B={x|1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】集合A三个实数0，1，2，而集合B表示的是大于等于1小于等于2的所有实数，即可求出两个集合的交集．【解答】解：集合A三个实数0，1，2，而集合B表示的是大于等于1小于等于2的所有实数，所以两个集合的交集为{1，2}．所以A∩B={1，2}，故选：D．【点评】本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11．已知函数①f（x）=lnx；②f（x）=cosx；③f（x）=e x；④f（x）=e cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个x1都存在唯一个x2，使f（x1）f（x2）=1成立的函数是③．f（x2）=1成立的函数一定是单调函数，②④不是单调函数，不合题意．因为对于函数f（x）=lnx 当x1=1时，不存在x2使得f（x1）f（x2）=1成立．得到结果．【解答】解：由题设知，对于f（x）定义域内的任意一个自变量x1，存在定义域内的唯一一个自变量x2，使得f（x1）f（x2）=1成立的函数一定是单调函数，②④不是单调函数，不合题意．因为对于函数f（x）=lnx当x1=1时，不存在x2使得f（x1）f（x2）=1成立，∴由此可知，满足条件的函数有③．故答案为：③．【点评】本题考查函数的单调性及函数的特殊点的值，本题解题的关键是看出函数的单调性，并且注意函数自变量特殊值的性质，本题是一个中档题目．12．函数f（x）=log2（x2﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数成立的条件进行求解即可．【解答】解：要是原式有意义，则x2﹣1＞0，则x＞1或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是[30°，150°] ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角．【解答】解：∵ ||||sinθ=∴sinθ=，∵||=1，||≤1，∴sinθ，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[]，【点评】本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合题目．14．将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称．若的最小值为m且，则实数a的取值范围为（，2）．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据C1推出C2，由C2推出g（x），再算出F（x）=（）2x++2，设t=2x，利用非单调函数取最值的性质和均值定理能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，∴曲线C1：p（x）=2x﹣2﹣，∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称，∴曲线C2：q（x）=﹣2x﹣2，∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，∴g（x）=﹣2x﹣2+2，∴=+﹣2x﹣2+2=（）2x++2，设t=2x，∵2x＞0，∴t＞0，∵函数定义域的端点值取不到，∴如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，也就是说该函数一定不是单调函数，而对于形如y=ax+的函数只有当ab＞0时才是（0，+∞）上的非单调函数，∴（﹣）（4a﹣1）＞0，解得a＜0或＜a＜4，当a＜0时，变量t的两个系数都为负数，此时F（x）只有最大值，不合题意．当＜a＜4时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，∴可以用基本不等式：F（x）≥2+2，∵的最小值为m且，∴m=2+2＞2+，联立＜a＜4，解得：＜a＜2．综上所述：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．【点评】本题考查函数中参数的取值范围的求法，涉及到函数图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值定理等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．15．已知函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，若f（x）=4x﹣15，则不等式≥0的解集是（﹣∞，﹣1）∪[，1）．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先求出g（x），再解不等式即可．【解答】解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，f（x）=4x﹣15，∴g（x）=f（4﹣x）=4（4﹣x）﹣15=1﹣4x，∵≥0，∴≥0，即（x﹣1）（x+1）（4x﹣1）≤0，（x≠±1），解得x＜﹣1，或≤x＜1，故答案为；（﹣∞，﹣1）∪[，1）．【点评】本小题主要考查其他不等式的解法，主要是抽象不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．三、解答题（75分）16．已知{a n}是正项数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2，求证：b n b n+2＜b．【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由题设条件知a n+1=a n+1，根据等差数列的定义即可求出数列的通项公式．（2）根据数列的递推关系，利用累加法求出数列{b n}的表达式，即可比较大小．【解答】解：（1）∵点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上∴a n+1=a n+1，即a n+1﹣a n=1，则{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，则a n=n．（2）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2，则b n+1=b n+2=b n+2n，即b n+1﹣b n=2n，则b2﹣b1=21，b3﹣b2=22，b4﹣b3=23，…b n﹣b n﹣1=2n﹣1，等式两边同时相加得b n﹣b1=21+22+…+2n﹣1，即b n=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1，则b n b n+2=（2n﹣1）（2n+2﹣1）=22n+2﹣2n+2﹣2n+1=22n+2﹣52n+1b=（2n+1﹣1）2=2（2n+2）﹣22n+1+1=2（2n+2）﹣42n+1，∴b n b n+2＜b．【点评】本题主要考查递推数列的应用，利用构造法和累加法，结合等差数列的定义，是解决本题的关键．17．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）求m的取值范围．（2）当m=4时，若圆C与直线x+ay﹣4=0交于M，N两点，且⊥，求a的值．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（1）把圆C的方程化为标准形式，根据半径大于零，求得m的范围．（2）由题意可得，弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式，求得a的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 即圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2 =5﹣m，∴m＜5．（2）当m=4时，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2 =1，圆心C：（1，2），半径r=1，∵CM⊥CN，∴弦心距d=r，即=，化简：7a2﹣24a+17=0，求得a=1，或 a=．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．18．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：面PAC⊥面PBC；（2）若PA=AB=2，则当直线PC与平面ABC所成角正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；（2）利用直线PC与平面ABC所成角正切值为，求出AC，在直角△PAC中，求出AH，在直角△ABH中，可求AB与平面PBC所成角正弦值．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∵AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥平面PBC．（2）解：如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，∵PC∩BC=C，∴AH⊥平面PBC，则∠ABH即是要求的角．∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成角，∴tan∠PCA==，又PC=2，∴AC=，∴在直角△PAC中，AH=在直角△ABH中，sin∠ABH=，即AB与平面PBC所成角正弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于中档题．19．如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲求三棱锥P﹣ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可．（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出△ABC的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入△PMN中，求出角即可．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为【点评】本题主要考查了在几何体中求异面直线角的能力．解题关键再与找平行线，本题主要通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．（I）我们易求出，的坐标，要证明AP⊥BC，即证明=0；（II）要求满足条件使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM 的长．【解答】解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）（I）则=（0，3，4），=（﹣8，0，0）由此可得=0∴⊥即AP⊥BC（II）设=λ，λ≠1，则=λ（0，﹣3，﹣4）=+=+λ=（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）=（﹣4，5，0），=（﹣8，0，0）设平面BMC的法向量=（a，b，c）则令b=1，则=（0，1，）平面APC的法向量=（x，y，z）则即令x=5则=（5，4，﹣3）由=0得4﹣3=0解得λ=故AM=3综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3【点评】本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答本题的关键．21．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证（Ⅱ）利用等差数列的通项公式求出，求出b n，a n．（Ⅲ）先通过裂项求和的方法求出S n，代入化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2b n=a n+a n+1①，a n+12=b n b n+1②．由②得③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有．即．∴是等差数列．设数列的公差为d，由a1=10，a2=15．经计算，得．∴．∴．∴，．由（1）得．∴．不等式化为．即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；当a﹣1=0，即a=1时，满足条件；当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）=4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．综上，a≤1．（14分）【点评】证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．。

2023-2024学年贵州省遵义市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U ={1,2,3,4,5,6}，A ={1,2,3,4}，B ={3,4,5,6}，则∁U (A ∩B)=( )A. {1,3,5}B. {2,4,6}C. {1,2,5,6}D. {3,5,6}2.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =10，b =14，B =2π3，则sinA =( )A. −5 314 B. 514 C. −514 D. 5 3143.如图，向量AB =a ，BD =b ，DC =c ，则AC 向量可以表示为( )A. a +b +cB. a +b−cC. a−b +cD. a−b−c 4.已知sinα=34，且α∈(0,π2)，则sin2α=( )A. −3 78B. 3 78C. −9 714D. 9 7145.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分( )A. 82.4B. 82.7C. 83.4D. 83.56.已知A(1,2)，B(2,3)，C(−2,5)，则三角形ABC 的面积为( )A. 3B. 5C. 7D. 87.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45°，30°，测得∠CBD =30°，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米( )A. 30 3米B. 34米C. 34 2米D. 30米8.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +y)=f(x)+f(y)−2，则( )A. f(0)=0B. 函数f(x)−2是奇函数C. 若f(2)=2，则f(2024)=−2D. 函数f(x)在(0,+∞)单调递减二、多选题：本题共3小题，共18分。

贵州省遵义市正安县第二中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则（）A． B． C．D．参考答案：D2. 已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A∩（?U B）等于（）A．{1} B．{0，1} C．{1，3} D．{0，1，2，3}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】先求出（?U B），再根据交集的运算法则计算即可【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，∴（?U B）={1，3}∴A∩（?U B）={1，3}故选：C．【点评】本题考查集合的交并补运算，属于基础题3. 若函数 f（x）=log a x（0＜a＜1）在区间上的最大值是最小值的2倍，则a的值为（）A．B．C．D．参考答案：B 【考点】对数函数的值域与最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性确定最大值和最小值，利用条件建立方程即可求a．【解答】解：∵0＜a＜1，∴对数函数 f（x）=log a x在上单调递减，∴最大值为f（a）=log a a=1，最小值为f（2a）=log a2a，∵f（x）在区间上的最大值是最小值的2倍，∴f（a）=2f（2a），即1=2log a2a，∴log a2a=，即，∴，解得a=，故选：B．【点评】本题主要考查对数函数的运算和求值，利用对数函数的单调性确定函数的最大值和最小值是解决本题的关键，比较基础．4. 判断下列各命题的真假：（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个参考答案：C5. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法( )A、S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播B、S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播C、S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D、S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C略6. 函数与且在同一坐标系中的图象只可能是( )参考答案：C7. 若三点共线则的值为（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 参考答案：A8. 已知函数其定义域是（）A. B. C. D.参考答案：D略9. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在(－∞,0]内是减函数，若，则满足的实数x的取值范围为（）A．(－2,0)∪(2,+∞)B．(－2,0) C．(－∞,－4)∪(0,+∞) D．(－4,0)参考答案：D因为函数是定义在上偶函数，且在内是减函数，若，则，所以在y轴的左侧有时，，根据函数图像的对称性知当时，，即的解为，所以的解为，故选D.10. 在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则角C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°参考答案：C【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab，∴cosC===，又C为三角形的内角，则C=60°．故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为起点，其余顶点为终点的向量记为（i=1，2，3），则|+|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是，以C为顶点，其余顶点为终点的向量记为（m=1，2，3），若t=（），其中i，j，m，n均属于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，则t的最小值为．参考答案：﹣5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．再分类讨论当i，j，m，n取不同的值时，利用向量的坐标运算计算|+|的最大值和（）最小值．解答：解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，m=1，n=2时，则+=（1，0）+（1，1）=（2，1），|+|=；（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，m=1，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，m=2，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，m=1，n=2时，则+=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|+|=；（）=[（1，0）+（0，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，m，n取其它值时，|+|=，，（）=﹣5，﹣4，或﹣3．则|+|最大值为；（）的最小值是﹣5．故答案为：；﹣5．点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能12. 设α，β均为锐角，，则cosβ=________________.参考答案：略13. 已知向量，则向量的夹角的余弦值为参考答案：略14. 已知，，则参考答案：略15. 若偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____________；参考答案：略16. 已知函数是偶函数，且，当时，，则的值为；参考答案：17. 若cot x =，则cos 2 ( x +)的值是。

2021-2021学年省市高一〔下〕期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=〔〕A．〔1，+∞〕B．〔﹣1，+∞〕C．〔﹣1，1〕D．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕2．=〔1，2〕，=〔﹣1，3〕，那么|2﹣|=〔〕A．2 B．C．10 D．3．函数y=sinxcosx是〔〕A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数4．a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，那么a+4b的最小值为〔〕A．2 B．4 C．5 D．95．如图是一个算法流程图，那么输出的n的值为〔〕A．3 B．4 C．5 D．66．为了得到函数y=sin2xcos+cos2xsin〔x∈R〕的图象，只需将y=sin2x〔x∈R〕的图象上所有的点〔〕A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度7．邱建，北人，约公元5世纪，古代著名数学家，一生从事数学研究，造诣很深，其代表作?邱建算经?采用问答式，调理精细，文词古雅，是世界数学资料库中的一份异常．其卷上第22题有一个“女子织布〞问题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．〞翻译过来的意思是意思是某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量一样．第一天织布5尺，30天宫织布390尺，那么该女子织布每天增加〔〕尺？A．B．C．D．8．数列{a n}前n项和S n满足：S n=2a n﹣1〔n∈N*〕，那么该数列的第5项等于〔〕A．15 B．16 C．31 D．329．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=，a=，b=1，那么c=〔〕A．1 B．2 C．﹣1 D．10．口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．那么“两次取球中有3号球〞的概率为〔〕A．B．C．D．11．函数f〔x〕=，那么函数y=2[f〔x〕]2﹣3f〔x〕+1的零点个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．设O为坐标原点，点A〔4，3〕，B是x正半轴上一点，那么△OAB中的最大值为〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分〕.13．十进制1039〔10〕转化为8进制为〔8〕．14．角α终边落在点〔1，3〕上，那么的值为．15．如图，在三角形ABC中，AB=，AC=2，∠BAC=45°，E，F分别为BC，BA中点，AE，CF相交于G，那么•的值为．16．在实数R中定义一种新运算：，对实数a，b经过运算ab后是一个确定的唯一的实数．运算有如下性质：〔1〕对任意实数a，a0=a；〔2〕对任意实数a，b，ab=ab+〔a0〕+〔b0〕那么：关于函数f〔x〕=e x的性质以下说确的是：①函数f〔x〕的最小值为3；②函数f〔x〕是偶函数；③函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕上为减函数，这三种说确的有．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在等比数列{a n}中，a1+a2=6，a2+a3=12．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设{b n}是等差数列，且b2=a2，b4=a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，c=3，．〔Ⅰ〕假设sinB=2sinA，求a，b的值；〔Ⅱ〕求a2+b2的最大值．19．某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45〔Ⅰ〕完成下面的频率分布表；〔Ⅱ〕完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；〔Ⅲ〕在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111〕的概率．分组频数频率[41，51〕 2[51，61〕 3[61，71〕 4[71，81〕 6[81，91〕[91，101〕[101，111〕 220．函数f〔x〕=x|m﹣x|〔x∈R〕，f〔4〕=0．〔Ⅰ〕求m的值，并指出函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设方程f〔x〕=a只有一个实根，求a的取值围．21．在△ABC中，=〔cos+sin，﹣sin〕，=〔cos﹣sin，2cos〕．〔Ⅰ〕设f〔x〕=•，求f〔x〕的最小正周期和单调递减区间；〔Ⅱ〕当x∈[0，]，函数f〔x〕是否有最小值，求△ABC面积；假设没有，请说明理由．22．设T n是数列{a n}的前n项之积，并满足：T n=1﹣a n〔n∈N*〕．〔Ⅰ〕求a1，a2，a3．〔Ⅱ〕证明数列{}等差数列；〔Ⅲ〕令b n=，证明{b n}前n项和S n＜．2021-2021学年省市高一〔下〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=〔〕A．〔1，+∞〕B．〔﹣1，+∞〕C．〔﹣1，1〕D．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕【考点】1F：补集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合P，再由补集的运算性质计算得答案．【解答】解：∵全集U=R，集合P={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∴∁U P=〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕．应选：D．2．=〔1，2〕，=〔﹣1，3〕，那么|2﹣|=〔〕A．2 B．C．10 D．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】直接根据向量的运算法那么计算即可得答案．【解答】解：∵=〔1，2〕，=〔﹣1，3〕，∴=2〔1，2〕﹣〔﹣1，3〕=〔3，1〕．∴|2﹣|=．应选：D．3．函数y=sinxcosx是〔〕A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用二倍角公式化简即可得出周期，利用函数奇偶性的定义判断奇偶性．【解答】解：y=sinxcosx=sin2x，∴函数的周期T==π．又sin〔﹣x〕cos〔﹣x〕=﹣sinxcosx，∴函数y=sinxcosx是奇函数．应选：C．4．a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，那么a+4b的最小值为〔〕A．2 B．4 C．5 D．9【考点】7F：根本不等式．【分析】根据等差数列的性质，得到+=1，由乘“1〞法，结合根本不等式的性质求出a+4b的最小值即可．【解答】解：∵，，成等差数列，∴+=1，∴a+4b=〔a+4b〕〔+〕=5++≥5+2=9，当且仅当a=2b即a=3，b=时“=“成立，应选：D．5．如图是一个算法流程图，那么输出的n的值为〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【考点】EF：程序框图．【分析】由中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0执行循环体，n=1满足条件21≤16，执行循环体，n=2满足条件22≤16，执行循环体，n=3满足条件23≤16，执行循环体，n=4满足条件24≤16，执行循环体，n=5不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5．应选：C．6．为了得到函数y=sin2xcos+cos2xsin〔x∈R〕的图象，只需将y=sin2x〔x∈R〕的图象上所有的点〔〕A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用两角和的正弦公式，函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．【解答】解：将y=sin2x〔x∈R〕的图象上所有的点，向左平移个单位长度，可得函数y=sin2xcos+cos2xsin=sin〔2x+〕的图象，应选：B．7．邱建，北人，约公元5世纪，古代著名数学家，一生从事数学研究，造诣很深，其代表作?邱建算经?采用问答式，调理精细，文词古雅，是世界数学资料库中的一份异常．其卷上第22题有一个“女子织布〞问题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．〞翻译过来的意思是意思是某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量一样．第一天织布5尺，30天宫织布390尺，那么该女子织布每天增加〔〕尺？A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由题意易知该女子每天织的布成等差数列，且首项为5，前30项和为390，由求和公式可得公差d的方程，解方程可得所求值．【解答】解：由题意易知该女子每天织的布〔单位：尺〕成等差数列，设公差为d，由题意可得首项为5，前30项和为390，∴30×5+d=390，解得d=．应选：A．8．数列{a n}前n项和S n满足：S n=2a n﹣1〔n∈N*〕，那么该数列的第5项等于〔〕A．15 B．16 C．31 D．32【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意，由数列的递推公式分析可以求出数列{a n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可得数列{a n}的通项公式，将n=5代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，∵s n=2a n﹣1，∴当n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=〔2a n﹣1〕﹣〔2a n﹣1﹣1〕=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1．那么a5=25﹣1=16应选：B．9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=，a=，b=1，那么c=〔〕A．1 B．2 C．﹣1 D．【考点】HQ：正弦定理的应用；HS：余弦定理的应用．【分析】方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的围．【解答】解：解法一：〔余弦定理〕由a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1〔舍〕．解法二：〔正弦定理〕由=，得：=，∴sinB=，∵b＜a，∴B=，从而C=，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．10．口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．那么“两次取球中有3号球〞的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】每次取球时，出现3号球的概率为，求得两次取得球都是3号求得概率为•，两次取得球只有一次取得3号求得概率为••，再把这2个概率值相加，即得所求．【解答】解：每次取球时，出现3号球的概率为，那么两次取得球都是3号求得概率为•=，两次取得球只有一次取得3号求得概率为••=，故“两次取球中有3号球〞的概率为+=，应选A．11．函数f〔x〕=，那么函数y=2[f〔x〕]2﹣3f〔x〕+1的零点个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据函数和方程之间的关系由2[f〔x〕]2﹣3f〔x〕+1=0得f〔x〕=1或f〔x〕=，然后利用分段函数进展求解即可．【解答】解：由y=2[f〔x〕]2﹣3f〔x〕+1=0得[f〔x〕﹣1][2f〔x〕﹣1]=0，即f〔x〕=1或f〔x〕=，函数f〔x〕=，当f〔x〕=1时，方程有2个根，x=e，x=0；当f〔x〕=时，方程有2个根，x=1舍去，x=，综上函数有3个不同的零点，应选：C．12．设O为坐标原点，点A〔4，3〕，B是x正半轴上一点，那么△OAB中的最大值为〔〕A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据三角函数的定义，算出sin∠AOB=．结合正弦定理得到==sinA，再根据sinA≤1，即可得到当且仅当A=时，的最大值为．【解答】解：∵A〔4，3〕，∴根据三角函数的定义，得sin∠AOB=．由正弦定理，得∴==sinA由A∈〔0，π〕，得sinA∈〔0，1]∴当A=时，=sinA的最大值为应选：B二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分〕.13．十进制1039〔10〕转化为8进制为2021 〔8〕．【考点】EM：进位制．【分析】利用除8求余法，逐次得到相应的余数，倒序排列可得答案．【解答】解：∵1039÷8=129…7；129÷8=16…1；16÷8=2…0；2÷8=0…2；∴1039〔10〕=2021〔7〕．故答案为：2021．14．角α终边落在点〔1，3〕上，那么的值为 2 ．【考点】GH：同角三角函数根本关系的运用；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由角α终边落在点〔1，3〕上，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可求出答案．【解答】解：∵角α终边落在点〔1，3〕上，∴sinα=，cosα=，那么=．故答案为：2．15．如图，在三角形ABC中，AB=，AC=2，∠BAC=45°，E，F分别为BC，BA中点，AE，CF相交于G，那么•的值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】首先由AB=，AC=2，∠BAC=45°，求出BC，得到B为直角，利用中线性质以及数量积公式得到所求．【解答】解：因为AB=，AC=2，∠BAC=45°，所以BC2=AB2+AC2﹣2AB×ACcos45°=2，所以BC=，所以B=90°，E，F分别为BC，BA中点，AE，CF相交于G，那么•=×〔〕〔〕=〔〕=〔0﹣2﹣2﹣4〕=﹣；故答案为：16．在实数R中定义一种新运算：，对实数a，b经过运算ab后是一个确定的唯一的实数．运算有如下性质：〔1〕对任意实数a，a0=a；〔2〕对任意实数a，b，ab=ab+〔a0〕+〔b0〕那么：关于函数f〔x〕=e x的性质以下说确的是：①函数f〔x〕的最小值为3；②函数f〔x〕是偶函数；③函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕上为减函数，这三种说确的有①②③．【考点】F4：进展简单的合情推理．【分析】由题意写出函数f〔x〕的解析式，再分析题目中的3个命题是否正确．【解答】解：由题意，ab=ab+〔a0〕+〔b*0〕，且a*0=a，所以ab=ab+a+b；所以f〔x〕=〔e x〕=e x•+e x+=1+e x+，对于②，f〔x〕的定义域为R，关于原点对称，且f〔﹣x〕=1+e﹣x+=1++e x=f〔x〕，∴f〔x〕为偶函数，②正确；对于③，f′〔x〕=e x﹣e﹣x，令f′〔x〕≤0，那么x≤0，即f〔x〕的单调递减区间为〔﹣∞，0〕，③正确；对于①，由②③得：f〔x〕在〔﹣∞，0〕递减，在〔0，+∞〕递增，∴f〔x〕最小值=f〔0〕=3，①正确；综上，正确的命题是①②③．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在等比数列{a n}中，a1+a2=6，a2+a3=12．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设{b n}是等差数列，且b2=a2，b4=a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．【考点】8G：等比数列的性质；8F：等差数列的性质．【分析】〔Ⅰ〕由等比数列的通项公式可得，a1〔1+q〕=6，a1q〔1+q〕=12，解方程可求a1，进而可求通项〔Ⅱ〕结合等差数列的通项公式可得，b1+d=4，b1+3d=16，解方程求出b1，d，然后利用分组求和即可【解答】解：〔Ⅰ〕设等比数列{a n}的公比为q，由，a1〔1+q〕=6，a1q〔1+q〕=12 …两式相除，得q=2．…所以a1=2，…所以数列{a n}的通项公．…〔Ⅱ〕设等差数列{b n}的公差为d，那么b1+d=4，b1+3d=16…解得b1=﹣2，d=6…b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的=〔b1﹣b2〕+〔b3﹣b4〕+…〔b99﹣b100〕=﹣50d=﹣300…18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，c=3，．〔Ⅰ〕假设sinB=2sinA，求a，b的值；〔Ⅱ〕求a2+b2的最大值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】〔Ⅰ〕通过sinB=2sinA，利用这些道理得到a，b关系式，利用余弦定理即可求a，b 的值；〔Ⅱ〕利用余弦定理以及根本不等式直接求a2+b2的最大值．【解答】解：〔Ⅰ〕因为sin B=2sinA，由正弦定理可得b=2a，…由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，…得9=a2+4a2﹣2a2，…解得a2=3，…所以a=，2a=…〔Ⅱ〕由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得ab=a2+b2﹣9，…又a2+b2≥2ab，…所以a2+b2≤18，当且仅当a=b时，等号成立．…所以a2+b2的最大值为18．…19．某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45〔Ⅰ〕完成下面的频率分布表；〔Ⅱ〕完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；〔Ⅲ〕在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111〕的概率．分组频数频率[41，51〕 2[51，61〕 3[61，71〕 4[71，81〕 6[81，91〕[91，101〕[101，111〕 2【考点】BD：用样本的频率分布估计总体分布；B8：频率分布直方图．【分析】〔I〕先将数据从小到大排序，然后进展分组，找出频数，求出频率，立出表格即可．〔II〕先建立直角坐标系，按频率分布表求出频率/组距，得到纵坐标，画出直方图即可；利用空气质量指数在区间[71，81〕的频率，即可求出a值．〔III〕样本中空气质量质量指数在区间[91，101〕的有3天，记这三天分别为a，b，c，质量指数在区间[101，111〕的有2天，记这两天分别为d，e，列举出根本领件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：〔Ⅰ〕如以下图所示．…〔Ⅱ〕如以下图所示．…由己知，空气质量指数在区间[71，81〕的频率为，所以a=0.02．…分组频数频率………[81，91〕10[91，101〕 3………〔Ⅲ〕设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111〕〞，由己知，质量指数在区间[91，101〕的有3天，记这三天分别为a，b，c，质量指数在区间[101，111〕的有2天，记这两天分别为d，e，那么选取的所有可能结果为：〔a，b〕，〔a，c〕，〔a，d〕，〔a，e〕，〔b，c〕，〔b，d〕，〔b，e〕，〔c，d〕，〔c，e〕，〔d，e〕．根本领件数为10．…事件“至少有一天空气质量指数在区间[101，111〕〞的可能结果为：〔a，d〕，〔a，e〕，〔b，d〕，〔b，e〕，〔c，d〕，〔c，e〕，〔d，e〕．根本领件数为7，…所以P〔A〕=．…20．函数f〔x〕=x|m﹣x|〔x∈R〕，f〔4〕=0．〔Ⅰ〕求m的值，并指出函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设方程f〔x〕=a只有一个实根，求a的取值围．【考点】54：根的存在性及根的个数判断；3D：函数的单调性及单调区间．【分析】〔Ⅰ〕将x=4代入f〔x〕的解析式，解方程可得a的值；由绝对值的意义，讨论x 的围，运用二次函数的性质，可得单调区间；〔Ⅱ〕作出f〔x〕的图象，考虑直线y=a与曲线有一个交点情况，即可得到所求a的围．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=x|m﹣x|，且f〔4〕=0．得4|m﹣4|=0，解得m=4；故f〔x〕=x|4﹣x|，当x≥4时，f〔x〕=x2﹣4x=〔x﹣2〕2﹣4，对称轴x=2在区间[4，+∞〕的左边，f〔x〕在[4，+∞〕递增；当x＜4时，f〔x〕=x〔4﹣x〕=﹣〔x﹣2〕2+4，可得f〔x〕在〔﹣∞，2〕递增；在〔2，4〕递减．综上可得f〔x〕的递增区间为〔﹣∞，2〕，〔4，+∞〕；递减区间〔2，4〕；〔Ⅱ〕画出函数f〔x〕的图象，如下图：由f〔x〕的图象可知，当a＜0或a＞4时，f〔x〕的图象与直线y=a只有一个交点，方程f〔x〕=a只有一个实根，即a的取值围是〔﹣∞，0〕∪〔4，+∞〕．21．在△ABC中，=〔cos+sin，﹣sin〕，=〔cos﹣sin，2cos〕．〔Ⅰ〕设f〔x〕=•，求f〔x〕的最小正周期和单调递减区间；〔Ⅱ〕当x∈[0，]，函数f〔x〕是否有最小值，求△ABC面积；假设没有，请说明理由．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】〔I〕根据平面向量的数量积公式和二倍角公式花间f〔x〕，利用余弦函数的性质得出f〔x〕的周期和单调区间；〔II〕根据x的围得出f〔x〕的单调性，从而得出f〔x〕的最值及其对应的x的值，利用向量法求出AC，BC，∠ACB，代入面积公式即可求出三角形的面积．【解答】解：〔I〕f〔x〕=cos2﹣sin2﹣2sin cos=cosx﹣sinx=cos〔x+〕，∴f〔x〕的最小正周期为T=2π．令2kπ≤x+≤2kπ+π，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∴f〔x〕的单调递减区间是[﹣+2kπ，+2kπ]．k∈Z．〔II〕当x∈[0，]时，x+∈[，]，∴当x+=即x=时，f〔x〕取得最小值〔﹣〕=﹣1．此时，=〔，﹣〕，=〔0，〕，∴||=，||=，∴cos＜＞==﹣，∴sin∠ACB=．∴S△ABC==1．22．设T n是数列{a n}的前n项之积，并满足：T n=1﹣a n〔n∈N*〕．〔Ⅰ〕求a1，a2，a3．〔Ⅱ〕证明数列{}等差数列；〔Ⅲ〕令b n=，证明{b n}前n项和S n＜．【考点】8K：数列与不等式的综合；8C：等差关系确实定．【分析】〔Ⅰ〕分别令n=1，2，3代入计算，即可得到所求值；〔Ⅱ〕当n≥2时，a n=，代入等式，再由等差数列的定义，即可得证；〔Ⅲ〕运用等差数列的通项公式可得=n+1，可得a n=，b n==＜=〔﹣〕，运用数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．【解答】解：〔Ⅰ〕数列{a n}的前n项积为T n，且T n=1﹣a n，∴当n=1时，a1=1﹣a1，解得a1=，当n=2时，a1a2=1﹣a2，解得a2=，当n=3时，a1a2a3=1﹣a3，解得a3=；〔Ⅱ〕证明：当n≥2时，a n=，T n=1﹣a n〔n∈N*〕，即为T n=1﹣，可得﹣=1，那么数列{}为首项为2，1为公差的等差数列；〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅱ〕可得=2+n﹣1=n+1，那么T n=1﹣a n=，可得a n=，b n==＜=〔﹣〕，那么{b n}前n项和S n=b1+b2+b3+…+b n﹣1+b n＜〔1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣〕=〔1+﹣﹣〕=﹣〔+〕＜，故S n＜．。