2021年高中数学课时作业18对数函数及其性质的应用新人教A版必修

课时作业(十八) 对数函数及其性质的应用[学业水平层次]一、选择题1．若log a2＜log b2＜0，则下列结论正确的是( )A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞1【解析】利用函数的图象，在直线x＝1右侧，当0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴，知B正确．【答案】 B2．已知函数f(x)与函数g(x)＝e x互为反函数，则( )A．f(x)＝lg x(x∈R) B．f(x)＝lg x(x＞0)C．f(x)＝ln x(x∈R) D．f(x)＝ln x(x＞0)【解析】∵g(x)＝e x的反函数为y＝ln x(x＞0)，故只有D正确．【答案】 Dπ，c＝π－2，则( )3．(2014·天津高考)设a＝log2π，b＝log12A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞a【解析】 因为π＞2，所以a ＝log 2π＞1.因为π＞1，所以b ＝log 12π＜0.因为π＞1，所以0＜π－2＜1，即0＜c ＜1.所以a ＞c ＞b .【答案】 C4．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0【解析】 ∵函数f (x )＝2＋log 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤181，9上是增函数，∴当x ＝181时，f (x )取最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫181＝2＋log 3181＝2＋log 33－4＝2－4＝－2.【答案】 A 二、填空题5．比较大小log 0.2π________log 0.23.14(填“＜”、“＞”或“＝”)． 【解析】 ∵y ＝log 0.2x 在定义域上为减函数， 且π＞3.14.∴log 0.2π＜log 0.23.14. 【答案】 ＜6．函数y ＝lg(3x＋1)的值域为________．【解析】 ∵3x ＋1>1，又y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴lg(3x＋1)>lg1＝0，∴函数y ＝lg(3x＋1)的值域为(0，＋∞)． 【答案】 (0，＋∞)7．已知log 0.45(x ＋2)＞log 0.45(1－x )，则实数x 的取值范围是________．【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x ＋2＜1－x ，解得－2＜x ＜－12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12三、解答题8．求下列函数的值域 (1)y ＝log 2(x 2－4x ＋6)； (2)y ＝log 2(x 2－4x －5)．【解】 (1)令u ＝x 2－4x ＋6，∵x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2， 又f (x )＝log 2u 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 2(x 2－4x ＋6)≥log 22＝1， ∴函数的值域是[)1，＋∞. (2)∵x 2－4x －5＝(x －2)2－9≥－9， ∴x 2－4x －5能取到所有正实数， ∴函数y ＝log 2(x 2－4x －5)的值域是R.9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，求满足f (x )＞0的x 的取值范围． 【解】 ∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0，∴f (x )＝－f (－x )＝－lg(－x )， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，0， x ＝0，－lg （－x ），x ＜0，由f (x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，lg x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－lg （－x ）＞0， ∴x ＞1或－1＜x ＜0. [能力提升层次]1．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a【解析】 因为1＜e ＜3， 则1＜e ＜e ＜e 2＜10，所以0＜lg e ＜1.则lg e ＝12lg e ＜lg e ，即c ＜a .因为0＜lg e ＜1，所以(lg e)2＜lg e ，即b ＜a .又c －b ＝12lg e －(lg e)2＝12lg e(1－2lg e)＝12lg elg 10e 2＞0， 所以c ＞b .故选B. 【答案】 B2．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a 等于( )A. 2 B ．2C ．2 2D ．4【解析】 ∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[]a ，2a 上是增函数，故log a (2a )－log a a ＝log a 2＝12，∴a 12＝2，∴a ＝4.【答案】 D3．已知log a (3a －1)恒为正数，则a 的取值范围为________． 【解析】 log a (3a －1)＞0可转化为log a (3a －1)＞log a 1.当0＜a ＜1时，0＜3a －1＜1，解得13＜a ＜23；当a ＞1时，3a －1＞1，解得a ＞1.综合以上可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23∪(1，＋∞)． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23∪(1，＋∞) 4．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝⎛⎭⎪⎫log 4x －12，2≤x ≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．【解】 (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1，又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3， 即1≤t ≤3.(2)由(1)得y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－18，1≤t ≤3，当t ＝32时，y min ＝－18；当t ＝3时，y max ＝1.∴－18≤y ≤1，即函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1.。

2021年高中数学 2.2第18课时 对数函数的图象及性质课时作业 新人教A 版必修11．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x ＞－1}B ．{x |x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．∅解析：由题意得M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |x ＞－1}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}，故选C.答案：C2．函数f (x )＝log 2(3x ＋3－x)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵3x ＋3－x>0恒成立，∴f (x )的定义域为R .又∵f (－x )＝log 2(3－x ＋3x)＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，故选B. 答案：B3．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：由图可知a ＞1，而0＜b ＜1,0＜c ＜1，取y ＝1，则可知c ＞b ，∴a ＞c ＞b ，故选D.答案：D4．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )A B C D答案：C5．已知log a 13＞log b 13＞0，则下列关系正确的是( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b解析：由log a 13＞0，log b 13＞0，可知a ，b ∈(0,1)．作出函数y ＝log a x 和y ＝log b x又∵log a 13＞log b 13.∴结合图象易知a ＞b ， ∴0＜b ＜a ＜1. 答案：A6．已知函数f (x )＝|lg x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题可设0＜a ＜1，b ＞1，∴|lg a |＝－lg a ，|lg b |＝lg b ，∴－lg a ＝lg b ，即1a＝b ，∴a ＋b ＝a ＋1a(0＜a ＜1)．又∵函数y ＝x ＋1x(0＜x ＜1)为减函数，∴a ＋1a＞2，故选C.答案：C 7．已知函数y ＝3＋log a (2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)的图象必经过点P ，则P 点坐标________． 解析：∵当2x ＋3＝1即x ＝－1时，log a (2x ＋3)＝0，y ＝3，P (－1,3)． 答案：(－1,3)8．方程x 2＝log 12x 解的个数为________．解析：函数y ＝x 2和y ＝log 12x 在同一坐标系内的图象大致为：由图象可知，函数y ＝x 2和y ＝log 2x 在同一坐标系内的图象只有一个交点，故方程x2＝log 12x 的解的个数为1.答案：19．若实数a 满足log a 2＞1，则a 的取值范围为________． 解析：当a ＞1时，log a 2＞1＝log a a ， ∴2＞a .∴1＜a ＜2；当0＜a ＜1时，log a 2＜0，不满足题意． 答案：1＜a ＜210．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图像求a 的取值范围． 解析：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由图象知：当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)． ∴所求a 的取值范围为0＜a ＜2.B 组 能力提升11.2014·杭州高一检测已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2＜x 3＜x 1B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 1＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 1解析：分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x 2＜x 3＜x 1.答案：A12.2014·北京高一检测函数f (x )＝log a (3x －2)＋2(a ＞0且a ≠1)恒过定点__________．解析：令3x －2＝1得x ＝1.此时f (1)＝log a 1＋2＝2，故函数f (x )恒过定点(1,2)． 答案：(1,2)13.2014·合肥高一检测若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出图形．解析：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)． ∴f (－x )＝lg(1－x )． 又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0， x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的图象如图所示：14．若不等式x 2－log m x ＜0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2内恒成立，求实数m 的取值范围．解析：由x 2－log m x ＜0，得x 2＜log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2＜log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0＜m ＜1.∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14.∴12≤m 14，即116≤m . 又0＜m ＜1， ∴116≤m ＜1， 即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. 15.附加题·选做已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时的x 的值．解析：∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋(2＋log 3x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵函数f (x )的定义域为[1,9]．∴要使y 有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤91≤x ≤9.∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1.令u ＝log 3x ，则0≤u ≤1.又函数y ＝(u ＋3)2－3，在[－3，＋∞)上是增函数．∴当u ＝1时，函数y ＝(u ＋3)2－3有最大值13.即当log 3x ＝1，x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有最大值是13.8M39354 99BA 馺24173 5E6D 幭 37845 93D5 鏕 i 36059 8CDB 賛 40609 9EA1 麡。

高中数学课时作业2．2.2 对数函数及其性质(二)课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( )A ．5 B.15C.1eD.122．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2和y ＝(x )2 B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a xD ．y ＝x 和y ＝log a a x3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．[12，1] B ．[4,16]C ．[116，14] D ．[2,4]4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________. 6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2]C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2)C ．f (－3)>f (－2)D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b6．函数y ＝3x(－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1)D ．y ＝13log x (13≤x <1)二、填空题7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________． 8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________． 9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 010)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 010)的值等于( )A．4 B．8C．16 D．2log4813．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．1．在对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响无论a取何值，对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝log a x(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a<1时函数单调递减，当a>1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．2.2对数函数及其性质(二)双基演练1．A2．D[y＝log a a x＝x log a a＝x，即y＝x，两函数的定义域、值域都相同．]3．C [由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14.] 4．A [∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.] 5．2解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2. 6．(3,1)解析 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a >0且a ≠1，都有y ＝1. 作业设计1．D [因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c .]2．D [∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.] 3．C [∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)．]4．B [函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.]5．B [f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数， 故f (－a )＝－f (a )＝－b .]6．C [由y ＝3x (－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)，故选C.] 7．b ≤1解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1. 又2x ≥2，∴b ≤1.8．[12，1)∪(1,2]解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1， ∴log a x >1或log a x <－1，变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1a当x ＝2时，令|y |＝1，则有log a 2＝1或log a 2＝－1，∴a ＝2或a ＝12.要使x >2时，|y |>1.如图所示，a 的取值范围为1<a ≤2或12≤a <1.9．(0,1)∪(2，＋∞)解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2<2，得0<a <2，所以0<a <1；若a >1，由于y ＝log a x 是增函数，则a 2>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2.10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0，故3－2a >0，即a <32.综上可得，a 的取值范围是1<a <32.11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax，解得a ＝－1或a ＝1(舍)． (2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋xx －1＋12log (x －1) ＝12log (1＋x )，当x >1时，12log (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立，∴m ≥－1.12．C [∵f (x 1x 2…x 2 010)＝log a (x 1x 2…x 2 010)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 010)＝log a (x 21x 22…x 22 010) ＝2log a (x 1x 2…x 2 010)＝2×8＝16.] 13．解数形结合可得0<n <m <1或1<n <m 或0<m <1<n .。

2.2.2 对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质[选题明细表]知识点、方法题号对数函数的定义及性质1,3,8,10对数函数的图象特征2,5,6,12,14 对数函数的定义域、值域问题4,7,11,13反函数9基础巩固1.下列给出的函数:①y=log5x+1;②y=log a x2(a>0,且a≠1);③y=lo x;④y=log 3x;⑤y=log x(x>0,且x≠1);⑥y=lo x.其中是对数函数的为( D )(A)③④⑤(B)②④⑥(C)①③⑤⑥ (D)③⑥解析:①②④不满足对数函数解析式特征,⑤中真数是常数,故只有③⑥是对数函数.选D.2.(2019·云南玉溪一中高一上期中)函数y=log a(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( A )(A)(1,2) (B)(2,2)(C)(2,3) (D)(,2)解析:令3x-2=1,得x=1,又log a(3×1-2)+2=2,故定点为(1,2),选A.3.(2019·吉林舒兰一中高一上学期期中)设ln b>ln a>ln c,则a,b,c 的大小关系为( A )(A)b>a>c (B)a>b>c(C)c>b>a (D)c>a>b解析:由对数函数的图象与性质可知,函数y=ln x在(0,+∞)上为单调递增函数,因为ln b>ln a>ln c,所以b>a>c,故选A.4.(2019·辽宁实验中学高一上期中)已知函数f(x)=log2(1+2-x),函数的值域是( B )(A)[0,2) (B)(0,+∞)(C)(0,2) (D)[0,+∞)解析:因为2-x+1>1,所以log2(1+2-x)>log21,故f(x)>0.故选B.5.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:函数y=log2|x|为偶函数,且x>0时,y=log2x,故选A.6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( A ) (A)x2<x3<x1(B)x1<x3<x2(C)x1<x2<x3(D)x3<x2<x1解析:令a=-1,得ln x1=-1,lg x2=-1,log3x3=-1,故x1=,x2=,x3=,则x1>x3>x2.选A.7.(2019·陕西安康市高一上期中)若函数y=log0.5(a-2x)的定义域为(-∞,2),则a等于( D )(A)(B)(C)2 (D)4解析:由已知得a-2x>0,2x<a,x<log2a=2,a=4,故选D.8.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)log a x,则f(9)= .解析:由对数函数定义知故a=3或a=-1(舍去),则f(x)=log3x,故f(9)=log39=2.答案:2能力提升9.(2018·河南实验中学期中)已知函数f(x)与g(x)=e x互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,若h(a)=1,则实数a 的值为( C )(A)-e (B)-(C)(D)e解析:因为函数f(x)与函数g(x)=e x互为反函数,所以f(x)=ln x.因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x.因为h(a)=1,所以a=,故选C.10.(2019·湖南岳阳一中高一上期中)已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是( A )(A)(,10) (B)(0,)∪(1,+∞)(C)(,1) (D)(0,1)∪(10,+∞)解析:因为f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是减函数,又f(lg x)>f(1),即f(|lg x|)>f(1),则|lg x|<1,故-1<lg x<1,解得<x<10.故选A.11.若函数f(x)=log5(3x-b)(x≥1)的值域是[0,+∞),则b的取值集合是.解析:因为x≥1,所以3x-b≥3-b.又f(x)=log5(3x-b)的值域是[0,+∞),所以3-b=1,故b=2.答案:{2}12.若直线y=t(t>0)与f(x)=|ln x|有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,则x1x2= .解析:由题意知|ln x1|=|ln x2|,假设x1<1<x2,则-ln x1=ln x2,即ln x1+ln x2=0,故ln x1x2=0,因此x1x2=1.答案:113.已知函数f(x)=+的定义域为A.(1)求集合A;(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.解:(1)要使函数有意义,则即解得≤x≤4,即集合A=[,4].(2)因为x∈A,所以-1≤log2x≤2,g(x)=(log2x)2-2log2x-1=(log2x-1)2-2.当log2x=1,即x=2时,g(x)取最小值为-2,当log2x=-1,即x=时,g(x)取最大值为2.探究创新14.若定义一个区间[m,n]的长度为n-m,当函数f(x)=|log4x|在区间[a,b]上的值为[0,1]时,该区间的长度的最小值为.解析:依题意知f(x)=|log4x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],如图,当f(x)=0时,x=1,当f(x)=1时,x=4或,因此定义域为[,1]时,区间长度最小,故b-a的最小值为.答案:。

课时作业18 对数函数及其性质的应用 |基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图像过点(4,0)和(7,1)，则f (x )在定义域上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．奇函数
D ．偶函数
【解析】 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式，
有⎩⎨
⎧
0＝log a (4－m )1＝log a (7－m )，
解得a ＝4，m ＝3， 则有f (x )＝log 4(x －3)．
由于定义域是x >3，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．
【答案】 A
2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )
【解析】 当x >1时，f (x )＝ln(x －1)，
又f (x )的图像关于x ＝1对称，故选B. 【答案】 B
3．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2)
1
设函数若的取值范围是________．
析】由题意得
解得
【答案】(－1,0)∪(1
三、解答题(每小题10
9．求函数y＝(log x)2－
的图象大致是()
若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{
y＝log a|x|的图象大致是A.
即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，1.。

第1课时 对数函数的图象及性质知识点一 对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是{x |x >0}． 形如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二 对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性 质定义域(0，＋∞)值域R过点(1,0)，即当x ＝1时，y ＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三 反函数指数函数y ＝a x和对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R .( )(2)y ＝log 2x 2与log x 3都不是对数函数．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．下列函数中是对数函数的是( ) A ．y ＝log 14x B ．y ＝log 14(x ＋1)C ．y ＝2log 14x D ．y ＝log 14x ＋1解析：形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数才是对数函数，只有A 是对数函数． 答案：A3．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1；故函数y ＝x ln(1－x )的定义域为[0,1)．答案：B4．若f (x )＝log 2x ，x ∈[2,3]，则函数f (x )的值域为________． 解析：因为f (x )＝log 2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以log 22≤log 2x ≤log 23， 即1≤log 2x ≤log 23. 答案：[1，log 23]类型一 对数函数的概念例1 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)； (2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x >0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x .【解析】 (1)中真数不是自变量x ，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．用对数函数的概念例如y ＝log a x(a ＞0且a≠0)来判断． 方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1 若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________. 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1. 又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1. 答案：1,对数函数y ＝log a x 系数为1. 类型二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．【解析】 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <1.∴－1<x <1，∴函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．,真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．方法归纳求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2 函数y ＝log 0.5x －5的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(5,6] C ．(5，＋∞) D ．(－∞，6]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0，log 0.5x －5≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >5，x －5≤1，∴5<x ≤6，∴定义域为(5,6]． 答案：B ,真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0. 类型三 对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，则f (log 32)＝________.(3)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为________．【解析】 (1)A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞1，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜1，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜1，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．(2)依题意可知定点A (－2，－1)，f (－2)＝3－2＋b ＝－1，b ＝－109，故f (x )＝3x－109，f (log 32)＝3log 32－109＝2－109＝89.(3)由题干图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a ＞1，b ＞1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0＜c ＜1,0＜d ＜1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b ＞a ＞1＞d ＞c .【答案】 (1)C (2)89 (3)b ＞a ＞1＞d ＞c(1)由函数y ＝x ＋a 的图象判断出a 的范围． (2)依据log a 1＝0，a 0＝1，求定点坐标．(3)沿直线y ＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大． 方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a >1，还是0<a <1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.跟踪训练3(1)如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35(2)函数y ＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：(1)方法一 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值分别为3，43，35，110，故选A. 方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a 由大到小依次为C 1，C 2，C 3，C 4，即3，43，35，110.故选A.(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A.答案：(1)A (2)A(1)增函数底数a ＞1， 减函数底数0＜a ＜1.(2)先去绝对值，再利用单调性判断.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a ＞0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1) D ．y ＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y ＝log a x ”的形式，A ，B，C全错，D正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x(a>0，且a≠1，x>0)，则2＝log a4＝log a22＝2log a2，即log a2＝1，a＝2.故所求解析式为y＝log2x.答案：A3．设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( ) A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．答案：D4．函数y＝e x的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2xC．f(x)＝ln x D．f(x)＝x e解析：易知y＝f(x)是y＝e x的反函数，所以f(x)＝ln x.答案：C5．已知a＞0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是下图中的( )解析：由函数y＝log a(－x)有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C.又当a＞1时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若f(x)＝log a x＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0a >0a ≠1，∴a ＝5.答案：57．已知函数f (x )＝log 3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f (15)＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f (15)＝log 395＋log 315＝log 327＝3.答案：38．函数f (x )＝log a (2x －3)(a ＞0且a ≠1)，的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________． 解析：令2x －3＝1，解得x ＝2，且f (2)＝log a 1＝0恒成立，所以函数f (x )的图象恒过定点P (2,0)．答案：(2,0)三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3(1－x )； (2)y ＝1log 2x ；(3)y ＝log 711－3x.解析：(1)∵当1－x >0，即x <1时， 函数y ＝log 3(1－x )有意义，∴函数y ＝log 3(1－x )的定义域为(－∞，1)． (2)由log 2x ≠0，得x >0且x ≠1.∴函数y ＝1log 2x 的定义域为{x |x >0且x ≠1}．(3)由11－3x >0，得x <13.∴函数y ＝log 711－3x 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.10．求出下列函数的反函数： (1)y ＝log 16x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x；(3)y ＝πx.解析：(1)对数函数y ＝log 16x ，它的底数为16，所以它的反函数是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x；(2)同理，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x的反函数是对数函数y ＝log 1ex ；(3)指数函数y ＝πx的反函数为对数函数y ＝log πx .[能力提升](20分钟，40分)11．已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图象是下图中的( )解析：由y ＝a x解得x ＝log a y ， ∴g (x )＝log a x . 又∵g (2)<0，∴0<a <1.故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的． 答案：A12．函数f (x )＝ln x ＋31－2x的定义域是________．解析：∵f (x )＝lnx ＋31－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01－2x>0，即－3<x <0.答案：(－3,0)13．已知函数y ＝log 2x 的图象，如何得到y ＝log 2(x ＋1)的图象？y ＝log 2(x ＋1)的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？解析：y ＝log 2x ―――――→左移1个单位y ＝log 2(x ＋1)，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R ，与x 轴的交点是(0,0)．14．已知函数f (x )＝log 2x －1的定义域为A ，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(－1≤x ≤0)的值域为B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{y |y ≤a －1}，且B ⊆C ，求a 的取值范围． 解析：(1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2x －1≥0⇒x ≥2，所以A ＝{x |x ≥2}，B ＝{y |1≤y ≤2}， 所以A ∩B ＝{2}．(2)由(1)知B ＝{y |1≤y ≤2}，若要使B ⊆C ，则有a －1≥2，所以a ≥3. 即a 的取值范围为[3，＋∞)．。

第2课时 对数函数的图象和性质的应用(习题课)对数函数的单调性类型一 利用单调性比较大小 [例1] 比较下列各组数的大小. (1)lo g 1245与lo g 1267;(2)lo g 123与lo g 153;(3)log a 2与log a 3(a>0，且a ≠1). 解:(1)y=lo g 12x 在(0，+∞)上单调递减，又因为45<67，所以lo g 1245>lo g 1267.(2)因为在x ∈(1，+∞)上，y=lo g 15x 的图象在y=lo g 12x 图象的上方，所以lo g 123<lo g 153.(3)当a>1时，y=log a x 为增函数， 所以log a 2<log a 3;当0<a<1时，y=log a x 为减函数， 所以log a 2>log a 3.比较两个对数值大小的方法 (1)log a b 与log a c 型(同底数) ①构造函数y=log a x; ②判断b 与c 的大小关系; ③利用y=log a x 的单调性比较大小.(2)log a c与log b c型(同真数)①在同一平面直角坐标系中作y=log a x与y=log b x的图象;②作直线x=c与两图象分别交于A，B两点;③根据点A，B高低判断对数值的大小.(3)log a b与log c d型(底数不同，真数不同)①取中间值，通常为1，0，log a d或log c b;②把两个对数值与中间值进行比较;③利用不等关系的传递性，间接得到对数值的大小关系.针对训练1:比较下列各组数的大小.(1)log a2.7，log a2.8(a>0，且a≠1);(2)log34，log65;(3)log0.37，log97.解:(1)当a>1时，由函数y=log a x的单调性可知log a2.7<log a2.8;当0<a<1时，同理可得log a2.7>log a2.8.(2)log34>log33=1，log65<log66=1，所以log34>log65.(3)log0.37<log0.31=0，log97>log91=0，所以log0.37<log97.类型二对数不等式解法[例2] (1)解不等式log2(x+1)>log2(1-x);(2)若log a 23<1，求实数a 的取值范围.解:(1)原不等式等价于{x +1>0,1-x >0,x +1>1-x ,解得0<x<1.所以原不等式的解集为(0，1).(2)若a>1，则log a 23<1=log a a ，所以a>1.若0<a<1，则log a 23<1=log a a ，所以0<a<23，综上所述，实数a 的取值范围是(0，23)∪(1，+∞).(1)log a f(x)<log a g(x)，a>1与不等式组{f (x )>0,g (x )>0,f (x )<g (x )同解.(2)log a f(x)<log a g(x)，0<a<1与不等式组{f (x )>0,g (x )>0,f (x )>g (x )同解.(3)特别地，当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0<a<1进行分类讨论.针对训练2:解关于x 的不等式. (1)log 0.1(x+2)>log 0.1x 2; (2)log a (x+1-a)>1.解:(1)原不等式等价于{x +2>0,x 2>x +2,x 2>0解得-2<x<-1或x>2，故原不等式的解集为{x|-2<x<-1或x>2}. (2)①当a>1时，原不等式等价于{x +1-a >0,x +1-a >a ,解得x>2a-1.②当0<a<1时，原不等式等价于{x +1-a >0,x +1-a <a ,解得a-1<x<2a-1.综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a-1}; 当0<a<1时，不等式的解集为{x|a-1<x<2a-1}. 类型三 对数型复合函数的单调性[例3] 求函数f(x)=log a (2x 2-3x-2)的单调区间.解:由2x 2-3x-2>0得函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<-12}.当a>1时，y=log a t 为增函数，t=2x 2-3x-2在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减，所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减.当0<a<1时，y=log a t 为减函数，t=2x 2-3x-2在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减，所以f(x)在(2，+∞)上单调递减，在(-∞，-12)上单调递增.综上可知，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-12);当0<a<1时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-12)，单调递减区间为(2，+∞).解决对数型复合函数单调性问题的思路(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数，即y=log a f(x)型;另一类是内层函数为对数函数，即y=f(log a x)型.①对于y=log a f(x)型复合函数的单调性，有以下结论:在a>1时，函数y=log a f(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性相同，在0<a<1时相反.②研究y=f(log a x)型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t=log a x，则只需研究t=log a x及y=f(t)的单调性即可.(2)研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则.针对训练3:(1)函数f(x)=log3(x2-2x-8)的单调递减区间为( ) A.(-∞，1) B.(-∞，-2)C.(4，+∞)D.(-∞，1](2)函数y=log0.5(5+4x-x2)的单调递减区间是( )A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(-1，2)D.(2，5)解析:(1)由x2-2x-8>0，得x>4或x<-2.由y=log3u在(0，+∞)上为增函数，u=x2-2x-8在(-∞，-2)上为减函数，在(4，+∞)上为增函数，可得函数f(x)=log3(x2-2x-8)的单调递减区间为(-∞，-2).故选B. (2)令t=5+4x-x2>0得-1<x<5，由t=-x2+4x+5知，其对称轴为直线x=2，在(-1，2)上是增函数，在(2，5)上是减函数.又函数y=log 0.5t 在(0，+∞)上是减函数，故函数y=log 0.5(-x 2+4x+5)在(-1，2)上是减函数.故选C.对数型函数的值域与最值[例4] 设f(x)=log a (1+x)+log a (3-x)(a>0，a ≠1)，且f(1)=2. (1)求a 的值;(2)求f(x)在区间[0，32]上的最大值.解:(1)因为f(1)=2，所以f(1)=log a 2+log a 2=log a 4=2，所以a=2. (2)由{1+x >0,3-x >0得x ∈(-1，3)，所以函数f(x)的定义域为(-1，3)，f(x)=log 2(1+x)+log 2(3-x)=log 2[(1+x)·(3-x)]=log 2(-x 2+2x+3)=lo g 2[-(x-1)2+4]， 记t=-(x-1)2+4， 因为x ∈[0，32].所以x=1时，t 有最大值4，当x=0时，t 有最小值3. 所以3≤t ≤4. 所以log 2t ≤log 24=2.所以f(x)在区间[0，32]上的最大值为2.(1)对数函数的值域为(-∞，+∞).(2)求形如y=log a f(x)(a>0，且a ≠1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=log a u(a>0，且a ≠1)，u=f(x)两个函数;③由定义域求u 的取值范围;④利用函数y=log a u(a>0，且a ≠1)的单调性求值域.同理可求y=f(log a x)(a>0，且a≠1)型复合函数的值域.针对训练4:(1)已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3)(0<a<1).①求函数f(x)的定义域;②若函数f(x)的最小值为-2，求a的值.(2)已知函数f(x)=(lo g14x)2-lo g14x+5，x∈[2，4]，求f(x)的最大值及最小值.解:(1)①要使函数有意义，则有{1-x>0,x+3>0,解得-3<x<1，所以定义域为(-3，1).②函数可化为f(x)=log a[(1-x)(x+3)]=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4]. 因为-3<x<1，所以0<-(x+1)2+4≤4.又0<a<1，所以log a[-(x+1)2+4]≥log a4，即f(x)的最小值为log a4.由log a4=-2，得a-2=4，所以a=4-12=12.(2)设t=lo g14x，因为x∈[2，4]，所以t∈[-1，-12]，令g(t)=t2-t+5，t∈[-1，-12]，g(t)的图象开口向上，对称轴为直线t=12，在t∈[-1，-12]上是减函数，所以g(t)min=g(-12)=234，g(t)max=g(-1)=7.所以函数f(x)的最大值为7，最小值为234.指数函数与对数函数的关系[例5] (1)函数y=log 3x 的反函数为y=f(x)，则f(2)等于( ) A.9 B.18 C.32 D.36(2)若函数y=f(x)是函数y=a x (a>0，且a ≠1)的反函数，且f(x)的图象经过点(√23，23)，则a 等于( )A.2B.√2C.√493D.√43解析:(1)因为函数y=log 3x 的反函数为y=f(x)，所以f(x)=3x ，所以f(2)=32=9.故选A.(2)依题意，点(√23，23)在函数y=a x 的反函数的图象上，则点(23，√23)在函数y=a x的图象上，得√23=a 23，解得a=√2.故选B.(1)指数函数与对数函数的关系同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)应用反函数的性质时涉及的知识点①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称;②函数y=f(x)的图象过点(a ，b)是y=f(x)的反函数的图象过点(b ，a)的充要条件;③互为反函数的两函数的单调性相同;④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.针对训练5:(1)函数f(x)与g(x)=a x 互为反函数，且g(x)过点(-2，4)，则f(1)+f(2)等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.14(2)已知函数f(x)=log 2x ，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于( )A.1B.2C.3D.4解析:(1)由题意，指数函数g(x)=a x 的图象过点(-2，4)， 可得4=a -2，解得a=12，故函数g(x)=(12)x ，故其反函数f(x)=lo g 12x ，故f(1)+f(2)=lo g 121+lo g 122=0-1=-1.故选A.(2)由题意，g(x)=2x ，所以g(2)=22=4， 则f(g(2))=f(4)=log 24=2.故选B.对数函数的综合应用[例6] 已知函数f(x)=log a 1-mx x+1(a>0，a ≠1，m ≠-1)是定义在(-1，1)上的奇函数.(1)求f(0)的值和实数m 的值;(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性，并给出证明; (3)若f(12) >0，且f(b-2)+f(2b-2)>0，求实数b 的取值范围.解:(1)f(0)=log a 1=0.因为f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，定义域关于原点对称，结合1-mx x+1>0可知，x=1是1-mx=0的根，1-m=0，m=1，此时f(x)=log a1-x1+x，且f(x)+f(-x)=log a 1-x 1+x+log a1+x 1-x=log a 1=0，故f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以m=1. (2)由(1)知f(x)=log a1-x 1+x，定义域为(-1，1)，∀x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2， 设t=1-x x+1=-(x+1)+2x+1=-1+2x+1，则t 1-t 2=2x 1+1-2x 2+1=2(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1)，因为-1<x 1<x 2<1，所以x 2-x 1>0，(x 1+1)(x 2+1)>0， 所以t 1>t 2.当a>1时，log a t 1>log a t 2，即f(x 1)>f(x 2)， 所以当a>1时，f(x)在(-1，1)上是减函数. 当0<a<1时，log a t 1<log a t 2，即f(x 1)<f(x 2)， 所以当0<a<1时，f(x)在(-1，1)上是增函数.综上所述，当a>1时，f(x)在(-1，1)上是减函数;当0<a<1时，f(x)在(-1，1)上是增函数. (3)由f(b-2)+f(2b-2)>0， 得f(b-2)>-f(2b-2)， 因为函数f(x)是奇函数， 所以f(b-2)>f(2-2b)， 由f(12) =log a 13>0得0<a<1，由(2)得f(x)在(-1，1)上是增函数，所以{b -2>2-2b ,-1<b -2<1,-1<2-2b <1,所以43<b<32，所以b 的取值范围是(43，32).(1)形如f(x)=log a g(x)的函数为奇函数时，利用f(-x)+f(x)=log a 1=0运算比较方便，巧妙利用定义域关于原点对称也可以简化运算，但是要注意检验.(2)讨论形如f(x)=log a g(x)的函数单调性，转化为讨论函数g(x)的单调性，注意对数的底数对单调性的影响，本题把1-x 1+x转化为-1+21+x可以简化运算.针对训练6:设函数f(x)=lg(x+√x 2+1). (1)确定函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在其定义域上的单调性，说明理由.解:(1)要使函数有意义，则x+√x 2+1>0，因为√x 2+1>√x 2=|x|，所以x+√x 2+1>0恒成立，所以定义域为R. (2)∀x ∈R ，-x ∈R ，又因为f(-x)+f(x)=lg(-x+√x 2+1)+lg(x+√x 2+1)=lg 1=0， 所以f(-x)=-f(x)， 所以函数f(x)是奇函数.(3)f(x)在其定义域R 上是增函数.证明:当0≤x1<x2时，有x12<x22，所以√x12+1<√x22+1，所以x1+√x12+1<x2+√x22+1，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，又f(0)=0，且f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在其定义域R上是增函数.典例探究:已知a>2，求证:log(a-1)a>log a(a+1).证明:法一因为log(a-1)a-log a(a+1)=1log a(a-1)-log a(a+1)=1-[log a(a-1)]·[log a(a+1)]log a(a-1).因为a>2，所以log a(a-1)>0，log a(a+1)>0，所以log a(a-1)·log a(a+1)≤[log a(a-1)+log a(a+1)2]2=[log a(a2-1)]24<(log a a2)24=1，所以log(a-1)a-log a(a+1)>0，即log(a-1)a>log a(a+1).法二因为a>2，所以log a(a-1)>0，log a(a+1)>0，所以log(a-1)alog a(a+1)=1log a(a-1)log a(a+1)=1[log a(a-1)]·[log a(a+1)]，因为log a(a-1)·log a(a+1)≤[log a(a-1)+log a(a+1)2]2=[log a(a2-1)]24<(log a a2)24=1，所以1log a(a-1)·log a(a+1)>1，即log(a-1)alog a(a+1)>1，所以log(a-1)a>log a(a+1).应用探究:已知0<t<1，a=log3t，b=log4t，c=log5t，则( )A.4b<5c<3aB.5c<3a<4bC.5c<4b<3aD.4b<3a<5c 解析:由已知可得a=1log t 3，b=1log t 4，c=1log t 5，所以3a-4b=3log t 3-4log t 4=3log t 4-4log t 3log t 3·log t 4=log t 43-log t 34log t 3·log t 4，因为0<t<1，43<34，所以log t 43-log t 34>0，log t 3<0，log t 4<0， 所以3a-4b>0，即3a>4b ， 同理可得4b-5c>0，即4b>5c. 综上，3a>4b>5c.故选C.1.不等式log 2x<12的解集是( B )A.{x|0<x<√22} B.{x|0<x<√2} C.{x|x>√2} D.{x|x>√22}解析:依题意log 2x<log 2212，由于y=log 2x 是定义域上的增函数，故0<x<212.故选B.2.(多选题)下列各组大小的比较，正确的是( AC ) A.log 0.33>log 0.35 B.log 70.5>0 C.ln 3<ln3.001 D.log 23<log 43 解析:由于log 70.5<log 71，故B 不正确. 又log 23>log 22=1，log 43<log 44=1. 故log 23>log 43，故D 不正确.故选AC.3.函数y=log21-x1+x的图象( B )A.关于y轴对称B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于直线y=x对称解析:令f(x)=log21-x1+x ，则1-x1+x>0，所以f(x)的定义域为(-1，1)，且f(-x)+f(x)=log21+x1-x +log21-x1+x=log21=0，即函数y=log21-x1+x为奇函数，故其图象关于原点对称.故选B.4.函数y=lo g12(2x+1)的值域为.解析:因为2x+1>1，函数y=lo g12x是(0，+∞)上的减函数，所以lo g12(2x+1)< lo g121=0，即所求函数的值域为(-∞，0).答案:(-∞，0)[例1] (多选题)对于0<a<1，下列四个不等式中成立的是( ) A.log a(1+a)<log a(1+1a)B.log a(1+a)>log a(1+1a)C.a1+a<a1+1aD.a1+a>a1+1a解析:因为0<a<1，所以a<1a，从而1+a<1+1a，所以log a(1+a)>log a(1+1a)，a1+a>a1+1a.故选BD.[例2] (多选题)下列条件能使log a3<log b3成立的有( ) A.b>a>0 B.1>a>b>0C.b>1a>1 D.1>1a >1b>0解析:要使log a 3<log b 3成立，只要lg3lga <lg3lgb，所以1lga <1lgb，所以0>lg a>lgb 或lg a>lg b>0或lg a<0，lg b>0，解得1>a>b>0或a>b>1或b>1>a>0.故选BC.[例3] 函数f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数，则实数a= . 解析:法一 因为f(x)为偶函数， 所以f(-1)=f(1)，得lg(10-1+1)-a=lg(10+1)+a ，所以a=-12，验证知符合题意，所以a=-12.法二 因为f(x)为偶函数，所以对任意的实数x 都有f(-x)=f(x)， 即lg(10-x +1)-ax=lg(10x +1)+ax ，整理得 lg(10-x +1)-lg(10x +1)=2ax ⇔lg 10-x =2ax ，所以2ax=-x ，所以2a=-1，即a=-12.答案:-12[例4] 已知函数f(x)=kx+log 2(4x +1)(k ∈R)是偶函数. (1)求k 的值;(2)设函数g(x)=log 2(a ·2x -4a)，其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为R ，因为函数f(x)=kx+log 2(4x +1)是R 上的偶函数，所以f(-1)=f(1)，即-k+log2(4-1+1)=k+log2(4+1)，所以-2k=log25-log254=2，解得k=-1，验证知符合题意，所以k=-1.(2)当a>0时，函数g(x)=log2(a·2x-4a)的定义域是(2，+∞)，由题意知，-x+log2(4x+1)=log2(a·2x-4a)在(2，+∞)上有且只有一解，即方程4x+12x=a·2x-4a在(2，+∞)内只有一解;令2x=t，则t>4，因而等价于关于t的方程(a-1)t2-4at-1=0在(4，+∞)上只有一解;设h(t)=(a-1)t2-4at-1，当a=1时，解得t=-14∉(4，+∞)，不合题意;当0<a<1时，h(t)的对称轴t=2aa-1<0，故h(t)在(0，+∞)上单调递减，而h(0)=-1，所以方程(a-1)t2-4at-1=0在(4，+∞)上无解;当a>1时，h(t)的对称轴t=2aa-1>0，故只需h(4)<0，即16(a-1)-16a-1<0，此不等式恒成立.综上，a的取值范围是(1，+∞).[例5] 设函数f(x)=ln x+1x-1.(1)判断函数f(x)在区间(1，+∞)上的单调性，并证明;(2)对于区间[2，4]上的任意一个x，不等式f(x)≥e x+m恒成立，求实数m的取值范围.解:(1)判断结论:函数f(x)=lnx+1x -1在区间(1，+∞)上为减函数.证明:在区间(1，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则1<x 1<x 2， 所以x 2-1>x 1-1>0， 所以0<1x 2-1<1x 1-1，所以1<1+2x 2-1<1+2x 1-1，即x 1+1x 1-1>x 2+1x 2-1>1， 所以lnx 1+1x 1-1>lnx 2+1x 2-1，所以f(x 1)>f(x 2)， 所以函数f(x)=lnx+1x -1在区间(1，+∞)上为减函数.(2)因为f(x)≥e x +m ，所以m ≤f(x)-e x ，记g(x)=f(x)-e x ， 所以g(x)=lnx+1x -1-e x ，x ∈[2，4]，由(1)知，f(x)=ln x+1x -1在(1，+∞)上单调递减，又因为-e x 在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)=ln x+1x -1-e x 在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)=lnx+1x -1-e x 在[2，4]上单调递减，所以g(x)≥g(4)=ln 53-e 4， 所以m ≤ln 53-e 4，所以实数m 的取值范围是(-∞，ln 53-e 4].选题明细表基础巩固1.函数y=ln x，x∈(1，e3]的值域是( B )A.(0，+∞)B.(0，3]C.(-∞，3]D.[3，+∞)解析:由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数，当x∈(1，e3]时，ln 1<ln x≤ln e3，即0<ln x≤3，因此，函数y=ln x(x∈(1，e3])的值域是(0，3].故选B.2.设函数f(x)=log2x，若f(a+1)<2，则a的取值范围为( A )A.(-1，3)B. (-∞，3)C. (-∞，1)D. (-1，1)解析:由题意知，log2(a+1)<2，即log2(a+1)<log24，所以0<a+1<4，解得-1<a<3.即a的取值范围是(-1，3).故选A.3.a=lo g1π，b=log3π，c=log4π，则( A )3A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a解析:由已知a=lo g 13π<lo g 131=0，又b=log 3π=1log π3>0，c=log 4π=1log π4>0，因为log π3<log π4，所以1log π3>1log π4，即b>c.综合得a<c<b. 故选A.4.(2021·四川成都期中)已知函数f(x)=log a x+2(a>0，且a ≠1)在区间[12，4]上的最大值为4，则a 的值为( D )A.12B.2C.√22D.2或√22解析:当a>1时，f(x)在[12，4]上单调递增，f(x)max =f(4)=log a 4+2=4，所以a=2.当0<a<1时，f(x)在[12，4]上单调递减，f(x)max =f(12)=log a 12+2=4，所以a=√22.综上，a 的值为2或√22.故选D.5.已知函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( B ) A.0<a<12B.12<a<1C.0<a<1D.a>1解析:y=x 2-1在区间(2，+∞)上是增函数，所以2a-1∈(0，1)时，函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数， 所以12<a<1.故选B.6.(2021·云南玉溪高一期中改编)已知函数f(x)=log 2(2x-1)，函数f(x)的单调递增区间是 ;若x ∈[1，92]，则函数f(x)的值域是 .解析:因为函数f(x)=log2(2x-1)的定义域为(12，+∞).令t=2x-1，易知t=2x-1在(12，+∞)上单调递增，而y=log2t在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间是(12，+∞).因为函数f(x)=log2(2x-1)在[1，92]上是增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(92)，所以0≤f(x)≤3，故所求函数的值域为[0，3].答案:(12，+∞) [0，3]能力提升7.已知函数f(x)=log2(1+4x)-x，则下列说法正确的是( D )A.函数f(x)在(-∞，0]上为增函数B.函数f(x)的值域为RC.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)是偶函数解析:根据题意，函数f(x)=log2(1+4x)-x，其定义域为R，有f(-x)=log2(1+14x)+x=log2(1+4x)-x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则D正确，C错误;对于A，f(-1)=log252>1=f(0)，f(x)不是增函数，A错误;对于B，f(x)=log2(1+4x)-x=log2(12x +2x)，设t=12x+2x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22=1，即函数的值域为[1，+∞)，B错误.故选D.8.(多选题)已知a=log32，b=ln 2，c=lo g132，d=12，则( AD )A.a<bB.b<cC.a<dD.b>d解析:对于A，因为log3e<log33=1，所以a=log32<log32log3e=ln 2=b，故A正确;对于B，因为b=ln 2>ln 1=0，c=lo g132<lo g131=0，所以b>c，故B错误;对于C，因为2>√3，所以a=log32>log3√3=12=d，故C错误;对于D，因为2>√e，所以b=ln 2>ln √e=12=d，故D正确.故选AD.9.已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(xy)+1对任意的x∈(0，+∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)= . 解析:不妨设f(x)=-log3x+b，因为f(x)+f(y)=f(xy)+1，所以-log3x+b-log3y+b=-log3(xy)+b+1，所以b=1，所以f(x)=-log3x+1.答案:-log3x+1(答案不唯一)10.已知函数f(x)=lo g12(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3，求f(x)单调区间;(2)是否存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数?若存在，求出a 的范围;若不存在，说明理由.解:(1)因为f(-1)=-3，所以a=2.因为f(x)=lo g12(x2-4x+3)，x2-4x+3>0，x<1或x>3.设m(x)=x 2-4x+3，对称轴为直线x=2，所以m(x)在(-∞，1)上为减函数，在(3，+∞)上为增函数， 所以f(x)在(-∞，1)上为增函数，在(3，+∞)上为减函数.(2)设t(x)=x 2-2ax+3，则y=lo g 12t 在(0，+∞)上是减函数，t(x)在(-∞，a)上为减函数，在(a ，+∞)上为增函数，因为f(x)在(-∞，2)上为增函数，则需t(x)在(-∞，a)上为减函数，且t(2)≥0，所以{a ≥2,4-4a +3≥0,所以a ≥2，且a ≤74，不可能同时成立.所以不存在实数a ，使f(x)在(-∞，2)上为增函数.11.设函数f(x)=log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9; (1)求f(3)的值.(2)令t=log 3x ，将f(x)表示成以t 为自变量的函数;并由此，求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x 的值.解:(1)因为函数f(x)=log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9，故f(3)= log 327·log 39=3×2=6.(2)令t=log 3x ，19≤x ≤9，则-2≤t ≤2， 且f(x)=(log 3x+2)(1+log 3x)=t 2+3t+2，令g(t)=t 2+3t+2=(t+32) 2-14，t ∈[-2，2]， 故当t=-32时，函数g(t)取得最小值为-14，即函数f(x)的最小值为-14，此时求得x=3-32=√39;当t=2时，函数g(t)取得最大值为12，即函数f(x)的最大值为12，此时求得x=9.应用创新12.已知f(x)=ln(e x+a)是定义域为R的奇函数，g(x)=λf(x).(1)求实数a的值;(2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围.解:(1)函数f(x)=ln(e x+a)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，即ln(1+a)=0，解得a=0，故函数f(x)=ln e x=x.显然有f(-x)=-f(x)，函数f(x)=x是奇函数，满足条件，所以a=0.(2)由(1)知f(x)=x，g(x)=λx，则λx≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，因为函数y=log2x在x∈[2，3]上单调递增，最小值为log22=1，所以λ≤1，即λ的取值范围为(-∞，1].。

课时作业(二十二) 对数函数的概念与图象[练基础]1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定 2．函数y ＝ln(1－x )的定义域为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞)3．函数y ＝lg(x 2－2x －3)的定义域为( ) A ．(－1,3) B ．(－3,1)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )5．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．6．函数y ＝log a 2x ＋3x ＋1＋2(a >0且a ≠1)的图象经过定点坐标为________．[提能力]7．(多选)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象不可能是( )8．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)9．已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，如果无论a ，b 在给定范围内取任何值，函数y ＝x ＋log a (x －3)的图象与函数y ＝b x －c ＋3的图象总经过同一个定点，求实数c 的值．[战疑难]10．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，求实数a 的取值范围．课时作业(二十二) 对数函数的概念与图象1．解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1，x ＞0)，则2＝log a 4即a 2＝4得a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x . 答案：A2．解析：由题意知1－x >0，得x <1，所以函数的定义域为(－∞，1)．答案：B3．解析：由题意知x 2－2x －3>0，解得：x <－1或x >3.故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：D4．解析：由函数y ＝log a (－x )有意义，知x ＜0，所以该函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C.又当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，所以图象B 适合．答案：B5．解析：要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，所以函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)6．解析：令2x ＋3x ＋1＝1，解得x ＝－2，此时，y ＝2，故函数图象过定点(－2,2)．答案：(－2,2)7．解析：当0<a <1时，函数y ＝a x 过定点(0,1)且单调递减，则函数y ＝1a x 过定点(0,1)且单调递增，函数y ＝log a⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递减，D 选项符合；当a >1时，函数y ＝a x 过定点(0,1)且单调递增，则函数y ＝1a x 过定点(0,1)且单调递减，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递增，各选项均不符合．综上，选ABC.答案：ABC 8.解析：当0<x ≤12时，4x<log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过。

课时分层作业(三十) 对数函数及其性质的应用(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．假设lg(2x －4)≤1，那么x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10， 即2<x ≤7，应选B.]2．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如下图，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．log a 13>log b 13>0，那么以下关系正确的选项是( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <bA [由log a 13>0，log b 13>0，可知a ，b ∈(0,1)，又log a 13>log b 13，作出图象如下图，结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.]4．假设a ＝2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，那么( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [∵a ＝2＞1＞b ＝log 4(3.2)＞0＞c ＝log 2(0.5)，∴a ＞b ＞c .应选A.]5．假设函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，那么a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 B [当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12(舍去)．当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＝－1，a ＝12.]二、填空题6．函数y ＝log(－x 2＋3x ＋4)的值域是________．[－2，＋∞) [－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，∴有0<－x 2＋3x ＋4≤254，∴根据对数函数y ＝log x 的图象(图略)即可得到： log(－x 2＋3x ＋4)≥log 254＝－2，∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]7．假设log a 23<1，那么a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，23<a ，解得0<a <23或a >1，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]8．假设y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．(1,3] [因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，a >1，a >0且a ≠1，解得1<aa 的取值范围是(1,3]．] 三、解答题9．函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )．(1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性．[解] (1)要使函数有意义，那么⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，那么－x ∈(－3,3)． ∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )， ∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． 10．函数y ＝(log 2x －2)⎝⎛⎭⎪⎫log 4x －12，2≤x ≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．[解] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1，又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3. (2)由(1)得y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－18，1≤t ≤3，当t ＝32时，y min ＝－18；当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1，即函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1. [等级过关练]1．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数A [f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg 1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，应选A.]2．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，那么a 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(1，2)C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C [当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象如下图，假设不等式4x＜log a x 恒成立，那么y ＝log a x的图象恒在y ＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x的图象交于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2点时，a ＝22，故虚线所示的y ＝log ax 的图象对应的底数a 应满足22＜a ＜1，应选C. ]3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．－14 [f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，那么原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.]4．设常数a ＞1，实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，假设y 的最大值为2，那么x 的值为________．18[实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3， 化为log a x ＋2log a x ＋log a ylog a x＝－3.令log a x ＝t ，那么原式化为log a y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322＋14.∵a ＞1，∴当t ＝－32时，y 取得最大值2，∴log a 2＝14，解得a ＝4，∴log 4x ＝－32，∴x ＝4－32＝18.]5．函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域；(2)假设函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．[解] (1)要使函数有意义，那么有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4.因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。