高考数学总复习 9-2简单几何体的表面积和体积 新人教B版

基础巩固强化
1.(文)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．πa 2B.73πa 2
C.
113
πa 2D ．5πa 2
[答案] B [解析]
三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O 1、O 2的连线的中点O 处，连接O 1B 、O 1O 、OB ，其中OB 即为球的半径R ，由题意知：O 1B ＝23×3a 2＝3a
3
，所以半
径R 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫3a 32＝7a 2
12
，
所以球的表面积是S ＝4πR 2
＝7πa
2
3
，故选B.
(理)(2012·昆明第一中学模拟)侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC ＝3，若球O 的体积为205
3π，则
这个直三棱柱的体积等于( )
A ．1 B. 2 C ．2 D. 3 [答案] D
[解析] 设球O 的半径为R ，则4πR 3
3＝205π
3
，∴R ＝5，设△ABC 外接圆半径为r ，
BC 边上的高为h ，则h ＝12
－
32
2
＝12，(h －r )2
＋(32
)2＝r 2， ∴r ＝1；设棱柱的高为H ，则R 2
＝r 2
＋(H
2
)2
，
∴H ＝4，∴V 棱柱＝12×3×1
2
×4＝ 3.
2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．2
B ．1 C.23D.1
3 [答案] B
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为
V ＝12
×2×1×2＝1.
3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为( )
A．29cm B．30cm C．32cm D．48cm
[答案] A
[解析]如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内液体体积相等得
9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)，
∴h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm.
[点评] 抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得：π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，∴H＝29(cm)，解题过程就简捷多了．
4.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为( )
A．12个 B．13个
C．14个 D．18个
[答案] B
[解析]由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？
5．(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为
32π
3
，那么这个三棱柱的体积是( )
A．963B．48 3
C．243D．16 3
[答案] B
[解析]已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆等于球的大圆．设底面
正三角形的边长为a，球的半径为R，则a＝23R，又4
3
πR3＝
32π
3
，∴R＝2，a＝43，于
是V＝
3
4
a2·2R＝48 3.
(理)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于( )
A．4πB．3π
C．2πD．π
[答案] A
[解析]
∵AB⊥BC，∴AC为截面圆的直径，∴AC中点为截面圆的圆心．
设D为AC中点，连OD，则OD⊥平面ABC，
∵SA⊥平面ABC，
∴SA∥OD.
连SC，则SC＝SA2＋AC2＝12＋32＝2.
又SB ＝2，BC ＝2，∵SC 2＝SB 2＋BC 2
，
∴∠SBC ＝90°，∵∠SAC ＝90°，∴SC 为球O 的直径， ∵2R ＝2，故R ＝1，∴S 球＝4πR 2
＝4π，选A.
6．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18 [答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S ＝1
2×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，
∴体积V ＝1
3
×9×3＝9.
7.(2011·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
[答案]
2
6
[解析] 由展开图可知，该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，
∴高h ＝
32
2
－
12
2
＝
22
， ∴体积V ＝13×12
×22＝26
.
8．(2012·德州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，其主视图、俯视图、左视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是________．
[答案] 3π [解析]
由主、左视图知，该几何体为锥体，由俯视图知，几何体底面为等腰直角三角形，故几何体为三棱锥，由主、左视图知，几何体有一侧棱与底面垂直，此侧棱在左前方，其直观图如图，由条件知AB 、AC 、AP 两两垂直，且都为1，故它的外接球直径2R ＝12
＋12
＋12
＝3，∴R ＝
32
， ∴球表面积S ＝4πR 2
＝3π.
9．已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1
＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋PA 1的最小值为________．
[答案]5 2
[解析]PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．
CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理得，
A1C＝62＋22－2·6·2·cos135°＝52，故(CP＋PA1)min＝5 2.
[点评] 多面体或旋转体表面上两点的最短距离问题，一般选择恰当的棱或母线剪开展平，转化为平面上两点间线段最短问题解决．
10．(文)如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.
(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC.
(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．。