对称性在积分中的应用
摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果.
关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称
目录
一、引言
二、相关对称的定义
（一）区域对称的定义
（二）函数对称性定义
（三）轮换对称的定义
三、重积分的对称性
（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性
（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性
（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结
参考文献
谢词
一、 引言
积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义.
二、相关的定义
定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对
称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -
),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然
当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）.
定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --,则D a x y +=对称,
称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a -- D ∈，则D 关于直线z y ±=对称.
注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线
对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域.
定义3：(1)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对
称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性.
(2)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同
的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.
(3)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有
轮换对称性.
定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于
a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,
则)(x f 为关于()0,a 中心对称.当且仅当0=a 时有)()(x f x f -=-则)(x f 为奇函数.若
)()(a x f a x f +=-且)()(x a f x a f +-=-则)(x f 既关于a x =对称,又关于()0,a 中心
对称.
定义5若n 元函数),,,,,,(),,,(11121-+≡i x x x x x f x x x f n i i n , (n i ,,2,1 =),
则称n 元函数),,,(21n x x x f 关于n x x x ,,,21 具有轮换对称性.
定义6：若)(),,,(21N n R D x x x p n
n
n ∈⊂∈∀ 有),,,,,,(1111-+i x x x x x p n i i n
D ∈
),,2,1(n i =成立，则称n D 关于),,,(21n x x x p 具有轮换对称性.
三、重积分的对称性
（一）对称性在定积分中的应用
利用函数图形的对称性可简化定积分的计算.在特殊情况下,甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分.因此掌握对称性在积分中的方法是必要的.下面首先给出一个引理,由此得出一系列的结论,并通过实例说明这是结论的应用. 引理 设函数)(x f 在[]h a h a +-,上连续,则有
[]⎰
⎰+--++=h
a h
a h
dx x a f x a f dx x f 0
)()()( (1)
证令t a x +=,有 ⎰
⎰⎰+--+++=h a h
a h h
h
dt t a f dt t a f dx x f 0
)()()( (2)
令u t -=,则
⎰⎰⎰--=--=+0
00
)()()(h
h
h
du u a f du u a f dt t a f （3）
将（3）式带入（2）式,并将积分变量统一成x ,则
[]⎰⎰
-++=+-h
h
a h
a dx dx x a f x a f dx x f 0
)()()(
特别地，令0=a ，就得公式
[]dx x f x f dx x f h
h
h
⎰
⎰--+=0
)()()(
由函数奇偶性的定义及上式，易知
定理1 设函数)(x f 在[]h h ,-上连续，那么
