关于曲面积分对称性的研究

的证明相仿， 只要注意到定理 ３ 中△ｘｉ＝－ △ｘｉ′， 定理 ４ 中△ｙｉ＝－ △ｙｉ′， 定理 ５ 中△ｘｉ＝△ｘｉ′， △ｙｉ＝△ｙｉ′即可， 详细证明从略．
定 理 ３ 设 Ｐ（ｘ，ｙ）在 光 滑 或 分 段 光 滑 的 有 向 平
面曲线 Ｌ 上可积， Ｌ 关于直线 ｙ＝ｂ 对称．若Ｐ（ｘ，ｙ）关于
收稿日期： ２００７－ ０６－ １２ 作者简介： 程希旺， 男， 江苏淮阴人， 淮阴师范学院讲师， 硕士， 主要从事基础数学研究．
７２
程希旺·对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用
点， 则
ｎ
! # ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）△ｓｉ＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）△ｓｉ′］
Ｌ
!→０ ｉ ＝ １
文［１］－ ［４］将 对 称 区 间 上 奇（偶）函 数 的 定 积 分 计 算公式推广到曲线积分和曲面积分的计算上， 得到 了利用积分弧段与积分曲面的对称性和被积函数的 奇偶性计算曲线积分与曲面积分的方法， 使得一些 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 的 计 算 得 到 简 化 ， 但 文［１］－ ［４］ 的结论只适用于积分弧段与积分曲面关于坐标轴或 坐标面对称的情形．本文将文［１］－ ［４］的结果进一步推 广， 得到一些更为一般性的结果， 将这些结果应用于 某些曲线积分与曲面积分的计算将十分方便． １ 预备知识
ｎ
# ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）］△ｓｉ !→０ ｉ ＝ １
当ｆ（ｘ，ｙ）关于直线 ｌ 为奇函数时， ｆ（!ｉ′， "ｉ′）＝－ ｆ（!ｉ， "ｉ）， 有
!ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０； 当ｆ（ｘ，ｙ）关 于 直 线 ｌ 为 偶 函 数 时 ， ｆ（!ｉ′， Ｌ

原 式 ＝ ｊ ＝ 』 ｚ ｄ ￣ ｄ ｙ ＝ Ｊ ｚ ｄ ｘ
仃
∑
ｆ ， （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｙ ｄ ｚ ＝ ２ ｆ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｚ ．
Ｚｌ
定理 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４ ， 相 应 的 还有 其 他 类 似 的结 论 ， 请 爱 好 者 思 考
四、 第二类曲面积分 的奇偶对称性
定 理 ４： 设 分 片 光 滑 的空 间 曲 面 ∑ 关 于 ｙ ｏ ｚ 面对称 ， ∑ 是
闭 曲面 的 外 侧 。
解： 这 是 第 二 类 曲面 积 分 。
曲 面在 ｙ ｏ ｚ 面 的前 半 部 分 ， ∑ ： ｘ ＝ ｘ （ ｙ ， ｚ ） １０ ＞ ， ￣ Ｖ ／ － ， ：
例３ ， 计算 ４ ｄ ｘ 出一 ｄ ｚ ｄ ｙ ＋ ｚ ｄ ｘ ． 其中∑为锥面
ｚ＝
∑
Ｊ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ ＝ ２ Ｊ ， （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ ．
∑ｌ
、 ／
（ 记为 ∑ ） 与球 面 ｚ ＝ 、 ／ — ｌ －
（ 记为 ∑ ） 所围成的封 源自定理 １ ：设 分 段 光 滑 的 平 面 曲线 Ｌ关 于 Ｘ轴 对 称 ， Ｌ 。 是 其 在 上 半平 面 的部 分 。
（ １ ） 若 ， （ ｘ ， ｙ ） ｇ ｙ 的 奇 函 数 ， 则Ｊ ｘ ， ｙ ） ｄ ｓ ＝ ０ 。
例 １ ： 计 算 『 ｆ Ｊ 箭 。 其 中 Ｌ Ｉ ｘ ｌ ＋ Ｉ ｙ Ｉ ＝ １ 取 逆 时 针 方 向 。
』 Ｌ 莆 ＝ 』 ＋ ｆ Ｌ ｒ ， 由 于 Ｌ 关 于 ｘ 、 ｙ 轴 对 称 ， 且 两 被 积 函 数 是 ｘ 和 ｙ 的 偶 函 数 ， 故 』 Ｌ 箭 ＝ ０

关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
曲线和曲面积分的对称性是数学中一个重要的概念，它提供了一种有效的方法来计算复杂的函数的积分。

曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。

首先，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。

例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。

其次，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。

例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。

最后，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。

例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。

总之，曲线和曲面积分的对称性是一个重要的概念，它可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。

它的应用范围很广，可以用来解决各种复杂的数学问题，为我们的研究提供了很大的帮助。

第一型曲面积分的对称性
一维、二维以及其它多维曲面积分，在积分学中占据重要的地位，是许多基础、重要的数学方法的基础。

而第一型曲面积分是其中一个特殊的实例，其具有独一无二的特性和对称性，有别于传统的积分方法。

第一型曲面积分即示意函数曲面积分，也称为花瓣积分，是一种以曲面的形式
把轴对称函数积分起来的方法。

其原理是用轴对称函数在曲面上的旋转形成的新的函数，然后用积分来计算这个函数的积分。

其对称性指的是，从某一点可以进行等距的旋转，从而得到此曲面积分的等效表示，而无论积分的方向如何变化，其结果都不会发生变化。

由于第一型曲面积分所具有的独有特性和对称性，广泛应用于不同领域。

例如
经典物理学中，经常用其来分析有关多轴对称物理系统的轨道运动；在量子力学领域，第一型曲面积分可以解决许多具有对称性的复杂量子力学问题；在工程应用中，由于其可以准确、快捷的计算带有多轴对称结构设计的一系列数值，因此被广泛采用。

从中可见，第一型曲面积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各种不同领域，它具有特有的对称性和独有的优势。

在基础教育过程中，对于对其进行详细的研究将有助于提升我们在该领域的应用能力。

利用对称性计算曲线积分与曲面积分摘要：借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，利用曲线、曲面关于坐标轴及坐标面得对称性，探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇（偶）函数，如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分。

这种积分方法使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误。

而第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题，因此利用对称性来计算较为困难，文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法，并证明了方法的可行性，并通过实例表明，此方法有时能起到简化计算的作用。

关键词：奇（偶）函数 曲线积分 曲面积分 对称 计算引： 在高等数学的学习和研究中，各种积分的运算，有时会给我们带来较多的困难，而借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，定义在关于坐标轴及坐标面对称的曲线、曲面上的奇（偶）函数，利用它们的对称性计算曲线积分及曲面积分，可以使得曲线（面）积分更为简便、快捷。

一、 曲线积分（一） 第一类曲线积分的对称问题定义1 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上，（1）若满足关系式=或),(y x f -=，则称),(y x f 为关于x 或y 的偶函数； （2）若),(y x f 满足关系式),(y x f -=-),(y x f 或),(y x f -=-),(y x f ，则称),(y x f 为关于或y 的奇函数；定义2 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲线上（1）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的偶函数；（2）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的奇函数；定理1 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，且曲线L 关于ox （或oy ）对称，则：（1）当偶函数时，⎰Lds y x f ),(=2⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于对称轴一侧的部分）；（2）当),(y x f 是y （或x ）的奇函数时，⎰Lds y x f ),(=0证 设关于ox 轴对称的光滑曲线21L L L +=（其中1L 、2L 分别是曲线L 位于ox 轴上、下两侧的部分）；则：⎰Lds y x f ),(=ds y x f L L ),()(21⎰⎰+用曲线L 上关于ox 轴对称点系分割L ，在1L 上的小弧段中任取一点（i ξ，i η），在2L 上关于i S ∆对称于ox 轴的小弧段中任取一点（i ξ，-i η），构造和式：∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-ii i f ),(ηξiS ∆令：诸小弧段中最长者为λ，由于),(y x f 在L 上可积且i S ∆=i S '∆,于是 （1）当),(y x f 是y 的偶函数，即),(i i f ηξ-=),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x 2∑iiif ),(ηξiS ∆=2⎰1),(L ds y x f（2）当),(y x f 是y 的奇函数，即),(i i f ηξ-=-),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x {∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-iii f )],([ηξiS'∆}=0lim→x ∑i0iS ∆=0 （证毕）定理2 设函数),,(z y x f 在三维光滑或（分段光滑）曲线Γ上可积，且曲线Γ对称于xoy （或yoz 或zox ）坐标面，则（1）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）的偶函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=2⎰Γ1),,(ds z y x f （其中1Γ是Γ位于对称坐标面一侧的部分）；（2）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）奇函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=0推论 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，L 对称于ox 和oy 轴，则（1）当),(y x f 是关于y 和x 的偶函数时，有⎰Lds y x f ),(=4⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于第Ⅰ象限中的部分）（2）当),(y x f 是关于y 和x 中至少某一变量的奇函数时，有⎰Lds y x f ),(=0例1 计算ds yx xy x ⎰=++1解：∵积分曲线既对称于ox 轴又对称于oy 轴，且被积函数),(y x f =yx x+是x 的奇函数 ∴原式=ds yx xy x ⎰=++1=⎰=+11y x ds x（二）第二类曲线积分的对称问题定理3 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为)(x y y ±=，（b x a ≤≤）。

对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。

2类曲⾯积分对称性的问题的理解
若曲⾯∑关于x=0对称，∑1是∑⼤于等于部分，正侧不变，则当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdz=∫∫(∑)f(x,y,z)dxdy=0;∫∫(∑)f(x,y,z)dydz=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dydz
f(-x,y,z)=f(x,y,z)时
∫∫(∑)f(x,y,z)dydz=0
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdz=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dxdz
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdy=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dxdy
若关于y=0(z=0)对称，则有类似结论。

对亏了他⼈为我指点迷津，我才真正的理解了这个结论。

先整理如下
曲⾯关于x＝0对称就是说关于yoz⾯对称，xy⾯这边有⼀个微元，那边也有⼀个微元，投影到xy⾯或xz⾯上时，投影域⼤⼩、形状、⽅向都相同；⽽投影到yz⾯时⼤⼩形状相同，但是⽅向相反。

f(-x,y,z)=f(x,y,z)就是说函数f在上述两个微元处函数值相等，对dydz积分时，因为两个微元的投影域反向，积分值为零。

对dxdy或dxdz积分时是单侧积分的2倍。

f(-x,y,z)=-f(x,y,z)的情况正好相反，在投影域⼤⼩、形状、⽅向都相同是由于f(-x,y,z)=-f(x,y,z)所以导致⽅向前加个负号，也就是与f(-x,y,z)=f(x,y,z)时的情况完全相对。

这类问题由于区⾯是可以分解投影到3个坐标平⾯，所以要结合空间想象能⼒，弄清楚投影区域与⽅向的关系。

同时本题也可以从物理流量的⾓度来考虑！。

开题报告信息与计算科学对称性在积分计算中的应用研究一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义对称性（symmetry ）是现代物理学中的一个核心概念, 它泛指规范对称性（gaugesymmetry) , 或局域对称性local symmetry ）和整体对称性（global symmetry ）. 它是指一[1]个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性. 如果这些变数随时空变化, 这个不变性被称为规范对称性, 反之则被称为整体对称性. 物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性. 数学上, 这些对称性由群论来表述. 上述例子中的群分别对应著伽利略群, 洛伦兹群和U(1)群. 对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry)和分立对称性(discrete symmetry). 德国数学家外尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物[2]理学中并意识到规范对称重要性的第一人. 1950年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式, 并构造了核作用的SU(2)规范理论.[3]我这次论文方向主要涉及对称性在积分计算中的应用. 在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇、偶性, 往往可以简化计算, 达到事半功倍的效果. 近年来, 在全国研究生入学考试数学试题中不乏涉及对称性的积分试题. 本文将系统地介绍有关[4]内容并举出相关例子.以二重积分为例若积分区间关于变元具有轮换对称性, 则必有D ,x y 积分区域关于直线对称. 因此在某些复杂的积分过程中, 若能注意并充分利用积分D y x =区域的轮换对称性往往可以简化积分计算过程, 提高解题效率. 例如[6](1) , 1(,)(,)((,)(,))2D D f x y d f y x d f x y f y x d σσσ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 若关于直线对称,记为中位与直线上半部分区域, 则有D y x =1D D y x =. 12(,),(,)(,)(,)0,(,)(,)D D f x y d f x y f y x f x y d f x y f y x σσ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰⎰⎰⎰积分在数学分析中是相当重要的一项内容, 而在计算积分的过程中, 我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型. 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对[7]于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用对称性以求简便计算.[8]二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 对称性在积分计算中的应用研究解决的主要问题:1． 总结各种积分的计算方法2． 将应用对称性求解的方法, 与原来的方法比较看优化之处.三、研究步骤、方法及措施：一．研究步骤:1． 查阅相关资料, 做好笔记;2． 仔细阅读研究文献资料;3． 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4． 翻译英文资料;5． 开题报告通过后撰写毕业论文;6． 上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.二．方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容在老师指导下, 归纳整理各类问题四、参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991,.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M] 沈阳: 辽宁科技出版社,1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[6] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,4(10): 181~183.[7] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective, injective [J], and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[8] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions, vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。

对面积的曲面积分的可代入性和对称性第十二章 曲面积分一、对面积的曲面积分的可代入性对面积的曲面积分中被积函数可代入性：是指可以将曲面的表达式代入被积函数。

所以x , y , z 满足曲面的方程.是定义在曲(,,)f x y z面 上的，也就是说以 f (x , y , z ) 的自变量x , y , z 为坐标的点P 就是曲面Σ上,比如：设 f (x , y , z )=xyz 是定义在曲面Σ：z = x 2 + y 2 上，从而 f (x ,y ,z ) 就可以写成 xy (x 2+y 2)，即f (x ,y ,z ) = xy (x 2+y 2).因为 f 中的x , y , z 是约定在曲面之上的，所以 z 的取值为x 2 + y 2 , 而点的坐标必须满足曲面的方程，而二重积分计算时则不能把边界曲线的表达式代入被积函数，满足的关系式通过不等式描述，一般含有“≤”或“≥”。

因为被积函数中的x , y 是平面区域D 内部的点对应的x , y ，此时x , y +≤+⎰⎰22221()d ,x y x y x y σ比如：中的取值限定在圆内，满足的是x 2 + y 2 ≤ 1，所以22221()d x y x y σ+≤+⎰⎰+≤≠⎰⎰2211d .x y σ二、对面积的曲面积分的对称性定义1设曲面∑上任取一点P(x, y, z)，若(x, y, – z)对应的点Q也在∑上，或者说：将∑的关系式中“z”换成“–z”，而关系式不变，则称曲面∑关于xOy面对称.【曲面还可以关于yOz面对称或zOx面对称。

】例如： Σ的关系式为：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0), 若将z改成-z，则关系式变成了： x2 + y2 +(-z)2= a2 (-z ≥0),即x2 + y2 + z2= a2 (z ≤ 0),关系式发生了变化，即曲面发生了变化，所以曲面不关于xOy面对称。

当然，如果大家把x改成-x,则关系式不变，所以曲面关于yOz面对称。

面区域。 证 明 因 为 Ｄ 关 于 ｚ 轴 对 称 ， 以不 妨 设 Ｄ ：２ 所 １ ≤ ≤
ｂ 一 （ ≤ ≤ （ ， 而 ， ｚ） ｚ） 从
（ 如 肛 ）一
Ｊ— （ ｚ）
，ｙ ， ） ｄ
Ｊ Ｊ
例５ 设 ｚ 为椭圆等 十等 一１其周长为ｎ 计算曲线积 ， ，
（ ｚ － ４ 。４－ ｘ ｄ 。 ３ ４ ｙ ５ ｙ） ｓ
时， ｆｘｄ ｌ （）ｘ＝ ０ 当 ，ｚ ； （）是偶 函数时， ｆ ｘｄ Ｉ （）ｘ一
２ ｚ ｄｒ。 ）
｛Ｉ， Ｉ ＋ ＜ １ （ ） ｚ ， Ｏ。 ≥ ｝
利 用 定 理 １ 可 以计 算 下 面 的 题 目。 ， 例 １ 计 算 定 积 分
一
解Ｉ ｊ ÷ ｄ ＋ｌ ｄ ， ： ｚ ｓ ＝再 再 。 故
是 由 Ｙ— ｚ ｚ ＝一 】和 Ｙ一 １围成 的平 面 闭 区 域 。 ，
一
把 定 理 １ 广 到 二 重 积 分 的 计 算 中有 下 面 的结 论 ： 推 －－ ２ ｇｎ １ 。 定 理 ２ 设 函数 ｆ ｘ ） ｘ ｙ平 面 上 的有 界 闭 区 域 Ｄ （， 在 Ｏ 上 连 续 ， Ｄ关 于 ｚ轴 对 称 ， 果 函 数 ｆ ｘ， 是 关 于 Ｙ 奇 且 如 （ ） 的 例４
计算二重积分 Ｊ ｌ ｙ４１－。 Ｚａ其中Ｄ — ｚ 一ｙｄ ， ｌ ｘ ４
函数， （， ） 即ｆｘ 一 一一ｆｘ ， Ｉ （ ，）ａ一０如果函 （ ，）则 ｘｙｄ Ｉ ｆ ；
数 ｆ ｘ， （ ）是 关 于 ｙ的 偶 函数 ， ｆ ｘ 一 ）一 厂 ｚ， ， 即 （， （ ） 则
关 于 ｚ的 奇 函数 ， 而 由定 理 ３ 从 ，
是
『 』 南 出 ｚ 南 出 ＝ 『 』 一

第一类曲面积分的对称性
第一类曲面积分的对称性是指当它们在相同的条件下接受交换或旋转等操作时，仍可达到完全相同的结果。

从确定一个曲面积分的角度来看，它有一定的对称性，这个对称性可以包括对称性（如内积、外积和交错积）和空间的对称性（如空间翻转和空间旋转）。

要说明第一类曲面积分的对称性，首先要强调内积对称性。

内积是指当一个曲面积分与其法矢量（即曲面积测量的单位矢量）平行时，可以积出完整的曲面积分。

也就是说，当曲面积分向外旋转90°时，其结果可以与原结果相等。

此外，要特别指出外积的对称性。

外积是指在曲面积分不与其法矢量平行时，也能保持积分的完整性。

与内积不同的是，外积的结果可以与原积分的结果相等，而不需要将曲面积分转动90°。

最后，也要强调空间对称性。

空间对称性是指当一个曲面积分被特定的方式翻转或旋转后，其结果与原结果相同。

举例来说，将曲面积分沿y轴进行翻转后，其结果可以与原曲面积分的结果完全相同。

并且，在将空间积分旋转180°或360°后，它仍然可以保持完整性，其结果也
可以与原曲面积分的结果完全相同。

总之，第一类曲面积分的对称性是指它们接受交换或旋转等操作后，还可以达到完全相同的结果，而这种对称性主要体现在内积、外积以及空间的对称性上。

￣ｘ－＿ ＝ ｆｙ） （，（ ，ｚ鼍 （， 根２ （， －ｙ ． ｂ 据 ， ｚ ） 一 （，（ ｃ （ 试 ）ａ （ｘ －ｄ ￣ ｚ ） ｄ
故 ｆ（ ，ｄｚ ｆ（ ，）ａ ｆ ｚｙ ＝ｆ 一ａｚ 厂， ）ｄ 厂， ｚｙ Ｙ Ｙ
∑
妙
同 理 可 证 明（ ４ 式。
定义 ２ ｔ Ｉ设 空间 曲面 ∑
。 ｙ与 ∑： 如 ｙ， ∑ 与 ∑ ） ： ｚ ）若 在 ｘｙ面具 有相 同 的投 影 区域 Ｄ， ｏ 且
Ｖ ，） ｙ ∈Ｄ， ｚ ｙ＝ ｚ ，） ∑ 。 ∑： 侧 ， 称 曲 面 ∑ 。 ∑： 于 ｘ ｙ面 对 称 。类 似 可 以定 义 曲 面 ∑ 。 有 ）－ ｚ ｙ ， 与 异 则 与 关 ｏ
（） ３；
∑Ｉ
（ ２ ） （ ４ ）
『（ ， ｚ＝ Ｉ，一ｄ 』 ｚ ｄ ｌ（ ，） 厂， ） ｘ ｚｚ ｄ Ｙ
∑
证 明 因 曲面 ∑ 与 ∑： 于 ｘ ｙ面 对 称 ， 以 ∑。 ∑： ｘ ｙ面 具 有 相 同 的投 影 区域 Ｄ， 关 ｏ 所 与 在 ｏ
设 ∑。 ：
关键词 ： 曲面积分 ； 对称 ； 奇函数 ； 偶函数 中国分类号： ７ 文献标识码 ： 文章编号 ：０ ７ ６ （ ０ ７） ２ ０ ８ － ４ ０１５ Ａ ｌｏ ２ ０ ２０ ０ － ０ ３ ０ ‘
以 下 所 讨 论 的 各 种 情 形 均 假 设 被 积 函 数 在 积 分 区域 上 连 续 ， 分 曲 面 是 分 片 光 滑 的 。 积 定 义 １Ｉ１设 函数 ｙｚ在 空 间 曲 面 ∑上 有 定 义 ， ｆｘｙｚ＝ （ｘｙｚ， 称 ，， 关 于 为 偶 函数 ； ［２ ． ， ） 若 （ ， ｆ－ ，，）则 ， ） ｙｚ ） 若 ／ ｙ ） ，＇ ＝ ｚ ，， ， 称 ／ ｙｚ关 于 为 奇 函数 ； 似 可 以定 义 函数 ／ ｙｚ关 于 ｙｚ变 量 的 奇 、 性 。 ｙｚ 则 ） ’ ） 类 ，， ） ， 偶

二型曲面积分的对称性
曲面积分是指对于实数函数f(x, y)求其在某一范围内的定
积分，即求出该函数在所给区域内的积分值。

曲面积分有多种类型，其中二型曲面积分是最常用的一种，其定义为：给定二元函数f(x,y)，设定曲面S上的两个参数变量u,v，当P(u,v)是
S上的点时，f(x,y)在参数空间上的积分可以定义为二型曲面
积分的对称性是指其能够满足一定的对称性。

常用的两种对称性有：
1、关于曲面原点的对称性：若曲面S上的原点为P
0，任意点P(u,v)都有P0(u',v')=P(u,v)，则有f(x,y)满足关
于P0的对称性；
2、关于曲面的轴的对称性：若曲面S上的轴为L，任意
点P(u,v)都有P(u,v)=P(u',v')，则有f(x,y)满足关于L的对称性。

二型曲面积分的对称性不仅仅可以满足上述的两种形式，它还可以满足更多的形式，比如满足曲面上的点组合的对称性，以及曲面上的点之间的对称性等等。

二型曲面积分的对称性在科学研究中有着非常重要的作用，比如在物理学中，它可以用来研究物体的动力学状态、在天文学中用来研究星系的结构、在化学中可以用来研究分子的结构等。

借助于二型曲面积分的对称性，科学家们可以更加深入地研究宇宙中各种现象，从而更好地理解这个宇宙。

总之，二型曲面积分的对称性对科学研究有着重要的作用，也是研究宇宙现象的基础。

因此，理解和研究这种对称性是非常必要的，以便更好地理解宇宙的奥秘。

曲面积分轮换对称性使用条件轮换对称性使用条件:只要积分区域关于y=x对称就可以使用轮换对称性，使用轮换对称性的目的是简化计算，通常可以配合极坐标使用。

积分轮换对称性特点及规律(1)对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y, z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分JJf(x,y,z)dS=Jf(y,z,x)dS;如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y, z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分JJf(x,y,z)dS=JJf(y,x,z)dS;如果将函数u(x,y, z)=0中的x,y, z换成z,x,y后，u(z,x,y)=，那么在这个曲面上的积分Jf(x,y, z)dS=J Jf(z,x,y)dS，同样可以进行多种其它的变换。

(2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如:如果将函数u(x,y, z)=0中的x,y,z 换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分IJf(x,Y,z)dxdy=JJf(y,z,x)dydz,J Jf(x,Y,z)dydz=J Jf(y,z,x)dzdx,j Jf(x,y,z)d:(3)将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，那么在这个曲线上的积分Jf(x,y)ds=Jf(y,x)ds; 实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。

第二类三维空间的曲线积分跟(2)总结相同同。

但第二类平面上的曲线积分不同Jf(x,y)dx=-Jf(y,x)dy.(注意前面多了一个负号)(4)二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变2利用轮换对称性求最值在高考或竞赛的选择、填空题中，常会遇到一类求最值词题，这类问题的特征是条件式与待求式都是轮换对称式即所给式中的字母x、y、z能依次轮换，相互代替，而结果不变，则关于x、Y、z的代数式的最大(小)值，一定是在x=y=z=时的值。

一、曲线积分的对称性① 关于弧长的曲线积分。

有奇偶对称性和轮换对称性。

奇偎对称性:设积分曲线弧关于y 轴对称,则rhf /（对刀山，当2、小关于工为偶函数 J=］几1Lb, 当心、心关于为为奇函数. 英中在’轴右侧的部分.若L 关于R 轴对称，则有类似结论•轮换对称性:设积分曲线孤L 关于直线y -工对称，则了)d$ = J/(>,兀〉山.② 关于地标的乎面曲线积分•有奇偶对称性•奇偶对称性；若L 关于y 轴对称，则 f 2〔 P （x, j ）dx, F （s 》＞血=］仏J J L h,其中轴右侧的部分.若L 夬于文轴对称，则f ［2（ P （H,，）d4 j P （=,，）dz = y L 2L b,其中乙2为L 在文轴上侧的部分・关于\Q （x,y ）dy 亦有类似结论.③ 关二坐标的空间曲线积分•有奇偶对称性. 奇偶对称性:若F 关于心 面对称，则2 z ）dx, Jr i0,其中巧为I*在垃y 面上方的部分.若厂关于.：Qz 面对称，则2|z ）dLr ・ 符别有^/( X )ds 二 5 )ds.当PG Q 〉关于工为偶函数当关于力为奇函数 当关于夕为奇函数当PR”）关于y 为偶画数 £(巾 j, z)dx = 当P （孙八幻关于乂为奇函效 当Pg*关于2为偶函数当PQ,""）关于工为偶西数当FQ”, z ）关于，为奇函数Jr20,其中&为尸在妙面前方的部分•若厂关于25面射称，则fM P(z,g)dg 当P(z,y,2〉关于』为奇函数 J f P(x,y ^)d.r "3r b 当P(^.y^)关于•为偶函数其中C 为F 在以直面右方的部分.关于仁(2(巧屏,z)dy 及|^jR[x,y, z)dz 有类似结论•二、曲面积分的对称性®关于面积的曲面积分奇偶对称性:按工关于戈Qy 面对称，则|‘2『/(x,y^)d5,当/(…“)为农的偶函数, J /(JE ,y,z)dS = y 莒S 0»当V, X)为Z 的奇函数.②关于坐标的曲面积分奇偶对称性：设工关于乂氏面对称.则Q(rr, y Q)dzdLr 与『R(r, y. x)d^dy 有类似结论• 轮换对称性：若》关于工,％2对称，则 ^P(x,y y z)dydz =『P(z,朮，y)(h?dy - 特别有JJ'P C X )dydz 二 j[p(3i )d«dac = T P ( «)dxdj.2 15 0,x f y,z)dydz =当P(x, “黑)为 当 z)为 乂的奇函数， Z 的偶函数. THJS于 对,z, x)d^djr.。

ｃｅ ａ ｎ ｄ Ｔｅ ｃｈ ｎ ｏｌ ｏ ｇｙ ｌ ｎｎ ｏｖ ａｔ ｉ ｏｎ Ｈｅｒ ａｌ ｄ
学 术 论 坛
第 一类 曲线 曲面积 分 中对称性 的探 讨 ①
张国林 姜丽颖 （ 沈阳城市建设学院基础 部 辽 宁沈阳
１ １ ０ １ ６ ７ ）
摘 要： 对称性在各 类积分的计算中可以起到 简化的作 用。 定积分， 重积分的相关性质结论比较完善， 但曲线曲面积分的相应性质尚不完善。 该
ｘ ｄ ａ ＋ 『 』 Ｄ ｃ 。 ｓ ｘ ｙ ｄ ａ 儿肋＋ ｘ ｄ ａ ＋ 儿
： ｏ ＋ ２ ｘ ｄ ａ＋ ０ ＋ ０ ２ 出 毋 ＝２
ｆ ｆ ￣ ｆ （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ ＝ ｛ Ｉ ， 苌 ｏ ， ｆ （ ’ ｘ ， Ｙ ， － ｚ ‘ ） ＝ － ｆ （ ｘ ， Ｙ ， ｚ ） ｔ ， ∑ 。 为 … ∑ 上 一 半 … 部 … 分 ，
中图分类号 ： ０ １ ７ ２ ． ２
文献标 识码 ： Ａ
文章 编号： １ ６ ７ ４ — ０ ９ ８ ｘ （ ２ ０ ｌ ５ ） ０ ７ （ ｃ ） 一 ０ ２ ２ ２ — ０ ２
定积 分 的 对 称性 在 计算 时 可起 到 简化计 算 的 作用 ， 二 重积 分、
三 重 积 分 也 有 类 似 的性 质 。对 于 第 一 类 曲 线 积 分 、 第 一 类 曲面 积 分， 此 类结 论 尚不 完善 ， 现 将 各种 积 分 此 类性 质进 行 归纳 ， 总 结 如
文给 出了 积分区域具有对称性 ， 被积函数具有奇偶性 条件下， 定积分、 重积分、 第一类曲线积分， 第一类曲面积分的性质。 同时对比 了 各种积分此
类性 质 的异 同。 并且通 过 实 例 说 明 了 这 类 性 质 的应 用方 法及 该方 法 的优 越 性 。

对称性在微积分计算中应用地研究1 对称性在微分学中地应用若()n x x x f ,,21中任意两个变元对换而函数不变，则称()n x x x f ,,21是对称函数.则我们可以定义极限地对称性如下:若()y x f ,是极限存在地对称函数，则()()x y f y x f y y x x y y x x ,lim,lim000,,→→→→=，或者有()()x y f y x f y y x x y y x x ,lim lim ,lim lim 0000→→→→=.1.1 对称性在导数计算中地应用(1) 若()y x f ,是偏导数存在地对称函数，则()()x y f yy x f x ,,∂∂=∂∂； 而当()()x y f y x f ,,-=时，有()()x y f yy x f x ,,∂∂-=∂∂ 例1.1 设函数()y x z z ,=由方程()0,=++nz y mz x F 确定，其中F 是可微函数，m 与n是常数，求yzn x z m∂∂+∂∂. 解()0,=++nz y mz x F ，两端对x 求导得 ()0121='⋅'+'+⋅'x x z n F z m F ，即 ()121F z F n F m x '-=''+' ，从而 211F n F m F z x '+''-=' （1）根据y x ,地对称性，得 212F n F m F z y '+''-=' （2）由（1）（2）两式得 121-='+'z n z m正是由于考虑到y x ,地对称性，从而通过x z '得到y z '地值，避免了重复计算.例1.2()xyy x u 22+=，求yu x u ∂∂∂∂,. 解 把y 看成常数对x 求偏导，这时u 是x 地幂指函数.因此，改写为)y xy ln(x 22e+=u .=∂∂x u ()22ln()22222e ln xy x y x y x y x x y +⎡⎤++⋅⎢⎥+⎣⎦()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=22222222ln y x x y x y y x xy由y x ,地位一样，利用轮换，把x 换成y ，y 换成x ，有=∂∂yu()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++22222222ln y x y y x x y x xy(2) 若()z y x f u ,,=是一个三元轮换对称函数，则它对任一变元所得地n 阶偏导数地结果都可以经轮换x z z y y x →→→,,直接转换为其他变元地n 阶偏导数.例1.3 设()222,z y x z y x f u ++++=，求222222zuy u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆. 解 由x f f xu221⋅'+'=∂∂， ()222211211222222f x x f f x f f xu '+''+''+⋅''+''=∂∂22221211244f f x f x f '+''+''+''=， 由对称性得 22y u ∂∂22221211244f f y f y f '+''+''+''=, 22z u ∂∂22221211244f f z f z f '+''+''+''=， 于是u ∆()()22222212116443f f z y x f z y x f '+''+++''+++''=1.2 对称性在微分计算中地应用微分地计算可以归结为导数地计算，但要注意它们之间地不同之处，即函数地微分等于函数地导数与自变量微分地乘积.例1.4 已知222,1z y x r ru ++==，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u . 证明5222233,r r x x u r x x u -=∂∂-=∂∂,由于在函数u 中，x 与y 对称，x 与z 对称，故 522223r r y y u -=∂∂522223r r z z u -=∂∂ ()033312222225222222=-+-+-=∂∂+∂∂+∂∂⇒r z r y r x rz u y u x u .2 对称性在积分学中地应用2.1 对称性在积分计算中地应用(1）在对称区间[]a a ,-上连续函数()x f 地定积分具有对称性：()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.利用这一结论，可简化定积分地计算，尤其当()x f 为奇函数时，则可避免复繁杂地计算，提高计算效率. 例2.1.1 计算()x x d e 1ln 22x ⎰-+分析 显然积分区间关于原点对称，但()xe1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和. 解 令()()xx f e1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，所以有()()[]38d d 21d e e 2ln 21d e 1ln 20222222x -x ===+++=+⎰⎰⎰⎰--x x x x x x x x x x .在连续函数图形关于原点或直线对称时有推广到如下性质:(1) 若()x f y =地图形关于直线0x x =对称，即()()x x f x x f +=-00，则()()x x f x x f a x x a x ax d 2d 0000⎰⎰++-=(2) 若()x f y =地图形关于()0,0x 对称，即()()x x f x x f +=-00，则()0d 00=⎰+-x x f a x ax ,同样，若满足()()x b f x f --=，则()0d 0=⎰x x f b(3) 若函数()x f y =与()x g y =地图形关于直线0x x =对称，即()()x x g x x f +=-00，则()()x x g x x f a x ax a x ax d d 0000⎰⎰+-+-=.同样若是关于点()0,0x 对称，即()()x x g x x f +-=-00，则()()x x g x x f a x ax a x ax d d 0000⎰⎰+-+--=例2.1.2 求x x nxd sin 2sin 0⎰π（n 为正整数）解 设()x nxx f sin 2sin =，因为()()x f x f -=-π，由性质（3）有0d sin 2sin 0=⎰x xnx π 例2.1.3 求⎰2d sin ln πx x解 因为0=x 为被积函数x sin ln 地无穷间断点，此题积分为广义积分，由性质（4）得⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==20202020d cos sin ln 21d cos ln d sin ln 21d sin ln ππππx x x x x x x x x I因为()x f x x x x x f ==⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-cos sin ln 2cos 2sin ln 2πππ，则由对称性得 =I 2ln 4d sin ln 40ππ-⎰x x ,令t x =2，有=I 2ln 4d sin ln 2120ππ-⎰x x ，即2ln 2d sin ln 2ππ-=⎰x x以上几例利用了拓展对称性，使得解题过程都有不同程度地简化.由此可见研究函数地对称性是个极好地方法.2.2 对称性在重积分计算中地应用2.2.1 二重积分中地对称性(1) 通常，二重积分具有如下对称性性质：① 如果积分区域D 关于x 轴对称，()y x f ,为y 地奇偶函数，则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,DD f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.1D 为D 在上半平面部分.② 如果积分区域D 关于y 轴对称，()y x f ,为x 地奇偶函数，则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2D 为D 在右半平面部分.③ 如果积分区域D 关于原点对称，()y x f ,为y x ,地奇偶函数，则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,DD f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.1D 为D 在上半平面部分.④ 如果积分区域D 关于直线x y =对称，则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.常用此性质化简二重积分计算.注意地是仅当积分域D 地对称性及被积函数()y x f ,地 对偶性两者兼得时才能用此性质. 例2.2.1 计算()[]y x y x yf x Dd d 122⎰⎰++，其中D 由1,1,3-===x y x y 围成. 解 做曲线3x y =，则积分区域被分为1D 和2D ，1D 关于x 轴对称，2D 关于y 轴对称，由于被积函数是x 地奇函数，故有 ()[]0d d 1222=++⎰⎰y x y x yf x D ，由于()22y x xyf +是奇函数，故有()[]()52d 2d d 20d d d d 101401x -022311-=-==+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x y x x y x x y x y x yf x D D .(2) 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析.特别，当具有轮换对称性（y x ,互 换，D 保持不变）时，往往用如下方法： ①()()()()[]y x x y f y x f y x x y f y x y x f DDDd d ,,21d d ,d d ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰+== ②D 关于直线x y =对称，记D 位于直线x y =上半部分区域为1D ， 当()()x y f y x f ,,=时()()y x y x f y x y x f D Dd d ,2d d ,1⎰⎰⎰⎰=当()()x y f y x f ,,-=时()0d d ,=⎰⎰y x y x f D例2.2.2 设{}0,0,422≥≥≤+=y x y x D ，()x f 为D 上地正值连续函数，b a ,为常数，计算()()()()σd ⎰⎰++Dy f x f y f b x f a .解 由轮换对称性得 ()()()()()()()()σσd d ⎰⎰⎰⎰++=++=DDy f x f x f b y f a y f x f y f b x f a I ,因此有()()()()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=⎰⎰⎰⎰σσd d 21D D y f x f x f b y f a y f x f y f b x f a I ()πσ221ba db a D +=+=⎰⎰.例2.2.3 求（1）()σd ⎰⎰+D y x ；(2) ()σd ⎰⎰-Dy x ，其中：D 由2,1,122=+≥≥y x y x 在第一象限内所围成地图形.解 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，即积分区域D 关于直线x y =对称，记D 位于直线x y =地上半部分为1D .(1) 因为被积函数(),,y x y x f +=满足()()x y f y x f ,,=，所以()σd ⎰⎰+Dy x ()()1234d d 2d 221202-=+=+=⎰⎰⎰⎰-y D x y x y y x σ.(2) 因为被积函数(),,y x y x f -=()()x y f y x f ,,-=，所以()0d =-⎰⎰σDy x .2.2.2 三重积分中地对称性(1) 三重积分也有类似于二重积分地对称性:如 若()z y x f ,,为区域Ω上地连续函数，有界闭区域Ω关于Oxy 坐标面对称，1Ω为Ω位于Oxy 坐标面上侧地部分，则必有()()()()10,,,,,d d d 2,,d d d ,,,f x y z z f x y z x y z f x y z x y z f x y z z ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.同样对于闭区域Ω关于Oyz Oxz ,坐标面对称也有类似地对称性.也常常用此对称性性质来化简三重积分运算. 例2.2.4 计算三重积分()z y x z x I d d d 22⎰⎰⎰Ω+=，其中Ω为0,1222≥≤++z z y x .解()()z y x z xz x z y x z x I d d d 222d d d 2222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=+=,因为Ω关于yoz 面对陈且xz 22是相应于Ω地奇函数，于是0d d d 22=⎰⎰⎰Ωz y x xz ,又因为积分区域关于平面x y =对称，于是z y x x d d d 2⎰⎰⎰Ω与z y x y d d d 2⎰⎰⎰Ω有相同地积分域和被积函数，所以z y x x d d d 2⎰⎰⎰Ωz y x y d d d 2⎰⎰⎰Ω=，从而有 ()()πϕθππ52d d d d d d d d d 2102222022222=⋅=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩr r r z y x z y x z y x z x I .例2.2.5 计算()z y x z y x z y x z d d d 11ln 222222⎰⎰⎰Ω++++++，其中(){}1,,222≤++=Ωz y x z y x . 解 积分区域关于xoy 面对称，被积函数是z 地奇函数，则有()0d d d 11ln 222222=++++++=⎰⎰⎰Ωz y x z y x z y x z I (2) 若积分区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性，则()()()()()()[]v y x z F x z y F z y x F v y x z F v x z y F v z y x F d ,,,,,,31d ,,d ,,d ,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===例2.2.6 计算()v z xd 22⎰⎰⎰Ω+，其中1:222≤++Ωz y x .解 因为积分区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性，所以()22d xz v Ω+=⎰⎰⎰()()()[]v x z z y z x d 31222222⎰⎰⎰Ω+++++ 212224000228d d d sin d 3315x y z v r r ππθϕϕπΩ⎡⎤=++==⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.3 对称性在曲线积分计算中地应用2.3.1 第一类曲线积分（1）若分段光滑曲线L 关于y 轴对称，()y x f ,在L 上为连续函数，1L 为L 位于y 轴右侧地弧段，则()()()()10,,,d 2,d ,,LL f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若分段光滑曲线L 关于x 轴对称，()y x f ,在L 上为连续函数，1L 为L 位于x 轴上侧地弧段，则()()()()10,,,d 2,d ,,LL f x y y f x y s f x y s f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若L 关于直线x y =对称，记L 位于直线x y =上半部分区域为1L ，则()()()()()()10,,,,d 2,d ,,-,LL f x y f y x f x y s f x y s f x y f y x =⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰当时,当时. 例2.3.1 计算s y x Cd ⎰，其中C 是抛物线2y x =上从()1,1-A 到()1,1B 地一段弧.解 因为C 关于x 轴对称，被积函数y x 是y 地奇函数，所以0d =⎰s y x C.（4）通常我们也可以利用轮换对称性来化简：若积分曲线L 关于y x ,具有轮换对称性，则()()()()[]s x y f y x f s x y f s y x f L L Ld ,,21d ,d ,⎰⎰⎰+== 例2.3.2 设L 为球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 地交线，试求s x I Ld 2⎰=. 解 我们利用轮换对称性可知222d d d LLLx s y s z s ==⎰⎰⎰，所以()3223d 3d 31222222a a a s a s z y x I L L ππ===++=⎰⎰.例2.3.3 计算2d x s Γ⎰，其中Γ为2222,0.x y z R x y z ⎧++=⎨++=⎩解 因为Γ关于z y x ,,具有轮换对称性,所以()222223112d d d 333x s x y z s R s R πΓΓΓ=++==⎰⎰⎰ 例2.3.4 设L 为曲线1=+y x，求⎰Ls xd .解 利用变量地轮换对称性，得()111d d ds ds d 222LLLL L x s y s x x y s =⇒=+==⨯=⎰⎰⎰⎰⎰2.3.2 第二类曲线积分（1）设分段光滑地平面曲线L 关于x 轴对称，且L 在x 轴地上半部分1L 与在下半部分地2L 方向相反，则()()()()10,,,d 2,d ,,L L P x y y P x y x P x y x P x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,是关于的奇函数.（2）设分段光滑地平面曲线L 关于y 轴对称，且L 在y 轴地右半部分1L 与在左半部分地2L 方向相反，则()()()()10,,,d 2,d ,,L L P x y x P x y x P x y x P x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,是关于的奇函数.例2.3.5 计算⎰Lx y x d ，其中L 是抛物线x y =2上从()1,1-A 到()1,1B 地一段弧.解1 化成对x 地定积分计算 21L L L +=,01:,:1→-=x x y L ；10:,:2→=x x y L ，则d d d d d d d 111121=+-=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x x y x x y x x y x L L L解2 利用对称性计算因为L 关于x 轴对称，且方向相反，又被积函数()y x y x f =,是y 地偶函数， 显然有0d =⎰Lx y x .例2.3.6 计算⎰++ABCDA y x yx d d ，其中ABCDA 是以()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点地正方形正向边界线. 解 利用对称性计算，有⎰⎰⎰+++=++ABCDA ABCDA ABCDA y x yy x x y x y x d d d d对于第一个积分，因为曲线关于x 轴对称，且方向相反，被积函数()yx y x P +=1,是y 地偶函数，所以积分为0；对于第二个积分，因为曲线关于y 轴对称，且方向相反，被积函数()yx y x P +=1,是x 地偶函数，所以积分也为0.因此0d d =++⎰ABCDA y x yx(2) 若积分曲线Γ关于z y x ,,具有轮换对称性，则()()()()()()z y x z P y x z y P x z y x P z y x z P y x z y P x z y x P d ,,d ,,d ,,31d ,,d ,,d ,,++===⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ例2.3.7 计算曲线积分()()()z y x y x z x z yI d d d 222222-+-+-=⎰Γ，其中Γ是球面三角形0,0,0,1222>>>=++z y x z y x 地边界线，从球地外侧看去，Γ地方向为逆时针方向. 解 显然Γ具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将Γ分为三段()0,00,1:221>>==+Γy x z y x , ()0,00,1:222>>==+Γz y x z y ()0,00,1:223>>==+Γz x y z x , 则()()()()()()zy x y x z x z yz y x y x z x z y I d d d 3d d d 2222222222221-+-+-=-+-+-=⎰⎰ΓΓ()()4d 13d 13d d 312012221-=---=-=⎰⎰⎰Γy y x x y x x y .或()()()()4d 3d 3d 3d d d 112222222222-=-+=-=-+-+-=⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓx z x y x z y z y x y x z x z y I 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分地3倍.它们地区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为1Γ上地积分地3倍；第二种方法：积分曲线Γ不变，积分化为表达式中第一项积分地3倍，即()()()()⎰⎰ΓΓ-=-+-+-=1d 9d d d 22222222x z yz y x y x z x z y I2.4 对称性在曲面积分中地应用2.4.1 第一类曲面积分若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上地连续函数，1∑为∑位于xoy 上部地曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.曲面关于xoz yoz ,平面对称也有类似地结论. 例2.4.1 计算曲面积分S zI S d 2⎰⎰=，其中2222:a z y x S =++.解1 由对称性，容易看出S z S yS x SSSd d d 222⎰⎰⎰⎰⎰⎰==所以()42222234d 31d 31d a S a S z y x S z I SS Sπ==++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 解2 如果不用对称性来解，则S 地参数式为ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos sin a z a y a x ===(){}πϕπθϕθ≤≤≤≤=0,20:,D因 222,0,sin a G F a E ===ϕ，所以ϕθd d d 2F EG S -=4022222034d sin cos d a a a I πϕϕϕθππ==⎰⎰.可见如果不懂得利用对称性性质计算则比较多.同样，若积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，则()()()()()()[]S y x z F x z y F z y x F S y x z F S x z y F S z y x F d ,,,,,,31d ,,d ,,d ,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑++===例2.4.2 计算()S z y xd 2224⎰⎰∑+，其中∑是闭曲面2222=++z y x .解 因为积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，所以()()()()[]S y x z z x y z y x S z y xd 22231d 2224224224224⎰⎰⎰⎰∑∑+++++=+ ()π332d 431d 31222==++=⎰⎰⎰⎰∑∑S S z y x . 2.4.2 第二类曲面积分(1) 设分片光滑地曲面∑关于xoy 坐标面对称，且∑在xoy 上半空间地部分曲面1∑取定上 侧，在xoy 下半空间地部分曲面2∑取定下侧，则()()()()10,,,,,d d 2,,d d ,,,R x y z z R x y z x y R x y z x y R x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,关于是奇函数. (2) 设分片光滑地曲面∑关于yoz 坐标面对称，且∑在yoz 前半空间地部分曲面1∑取定前 侧，在yoz 后半空间地部分曲面2∑取定后侧，则()()()()10,,,,,d d 2,,d d ,,,P x y z x P x y z x y P x y z y z P x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,关于是奇函数. (3) 设分片光滑地曲面∑关于xoz 坐标面对称，且∑在xoz 右半空间地部分曲面1∑取定右 侧，在xoz 左半空间地部分曲面2∑取定左侧，则()()()()10,,,,,d d 2,,d d ,,,Q x y z y Q x y z x y Q x y z y z Q x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,关于是奇函数. 例2.4.3 求矢量k y x j z i A x22e +++=穿过曲面∑地通量，其中∑为曲线⎩⎨⎧==0x y z 绕z 轴旋转一周所成旋转曲面地外侧在21≤≤z 间部分（不包括上、下底）.分析 若我们能对第二类曲面积分用∑地对称性与被积函数地奇偶性来简化计算，那直接计算此曲面积分是方便地.因∑关于yoz 面对称，被积函数1=P 对x 为偶函数，则0d d =⎰⎰∑z y ，因∑关于xoz 面对称，被积函数z Q =对y 为偶函数，则0d zd =⎰⎰∑x z ，于是⎰⎰∑+=Φy x yx xd d e22，将它化为二重积分得⎰⎰+-=Φ+xyD y x y x yx d d e2222,其中21:22≤+≤y x D xy 是∑在xoy 面上地投影区域，对∑来说是取下侧，故公式前带负号.作极坐标变换得()e -1e 2d re d 2020πθπ=-=Φ⎰⎰r r r.例 2.4.4 计算第二型曲面积分 ⎰⎰++=Sy x z x z y z y x I d d d d d d ，其中S 是顶点为()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1地三角形地下侧.解 由对称性得()()()21d -123d 1d 3d d 13d d 312101010,0-=-=---=---==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-≥+≥≥y y x y x y y x y x y x z I yy x y x S（4）若积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，则()()()()()(),,d d ,,d d ,,d d 1,,d d ,,d d ,,d d 3P x y z y z P y z x z x P z x y x yP x y z y z P y z x z x P z x y x y ∑∑∑∑===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例2.4.5 计算⎰⎰∑++x z yz z y xy y x xz d d d d d d ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成地空间区域地整个边界曲面地外侧.解 因为积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑∑3421d d d d d d d d 3d d 3d d d d d d y x xz y x xz y x xz y x xz y x xz x z yz z y xy y x xz ()()81d 1d 3d d 130001010=--=--+++=⎰⎰⎰⎰-x D y y x x x y x y x x xy例 2.4.6 计算y x r z x z r y z y rx I d d d d d d 333++=⎰⎰∑，其中222z y x r ++=，∑为球面2222R z y x =++地外侧.解 因为∑关于z y x ,,具有轮换对称性，所以y x rzI d d 33⎰⎰∑=,又因为∑关于xoy 面上下对称，上∑与下∑方向相反，且3r z 是z 地奇函数，则y x rzy x r z d d 2d d 33⎰⎰⎰⎰∑∑=上，故有 πθπ4d d 6d d 6d d 602220322233222=-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑a Ry x r r r R R y x y x R R y x r z I 上3 对称性在几何形体量和物理量计算中地应用 3.1对称性在几何形体量计算中应用通常所说地几何形体量有面积计算和体积地计算.解答时往往利用图像地对称性来简化 计算.例3.1.1 计算心脏线()()0cos 1>+=a a r θ所围成地图形面积. 解 由于心脏线关于极轴对称()()222200220121cos d 12cos cos d 23132cos cos 2d 222A a a a a πππθθθθθθθθπ=+=++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰例3.1.2 求柱面222a y x =+和222a z x =+所围立体地体积.解 选取y 为积分变量，由立体关于坐标系地对称性，只要求出其体积地81.y 地变化区间为[]a ,0，在[]a ,0上坐标y 处作垂直于y 轴地平面，得所求立体地截面是正方形，边长为22y a -，且()22y a y A -=，于是()()3220316d 8d 8a y y a y y A V aa =-==⎰⎰. 3.2 对称性在物理量计算中地应用物理量地计算我们在这只讨论重心和转动惯量等地计算.例3.2.1 设有密度为1地圆环形薄板，其内半径为1r ，外半径为2r ，一质量为m 地质点P 位于过圆环中心地垂直线上，且离中心距离为a ，求圆环对质点P 地引力.解 由对称性，只需求垂直方向地分力.从r 到r r d +小圆环对质点P 沿垂直方向地引力元素为()r a r kmara r a a r m r r k dF d 12d 223222222+=+⋅+⋅⋅=ππ,故 ()⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=+=212222212322r 1r 12rd 2a a kma arkma F ππ 例3.2.2 求均匀曲面222y x a z --=地重心.解 由对称性，0==y x ，且()⎰⎰⎰⎰∑∑==S z S S z y x z Mz d 1d ,,1ρ, 32222222d d d d d a a a y x a y x y x a a y x a S z xyxyD D ππ=⋅==--⋅--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑,2,22a z a S ==π，故重心为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0,0a .例3.2.3 试求带均匀密度地球面2222:R z y x S =++对x 轴地转动惯量. 解 首先写出转动惯量公式()⎰⎰+=Sx S z yI d 22μ.利用对称性可知球面对过中心地任一轴地转动惯量全相等，有z y x I I I ==，即有()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰SS S z y x x dS y x dS z x dS z y I I I I 222222331μ ()4222222R 38R 4R 32d R 32d 32μππμμμ=⋅==++=⎰⎰⎰⎰SSS S z y x. 由以上几例可见，此类问题都是应用积分来计算，因此在解题中时应用到地对称性性质可归结为对称性在积分计算中地应用.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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