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线性泛函分析泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论． 变分法领域里所需泛函的性质是相当特殊的，对一般的泛函并不成立．此外，这些泛函的非线性造成了困难，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的．在Schmidt ，Fischer ，Riesz 为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究．第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论的，是美国数学家E ．H ．Moore ，他从1906年开始这一工作． Moore 认识到，在有限多个未知数的线性方程的理论、无限多个未知数的无限多个线性方程的理论、以及线性积分方程的理论之间，有许多共同的地方．他因此着手建立一种称为“一般分析”(Generl Analysis)的抽象理论，它包含上述具体理论作为特殊情形．他用的是公理方法．我们将不叙述其细节，因为他的影响并不广，而且电没有获得很有效的方法．另外，他的符号语言很奇怪，使以后的人理解起来很困难．在建立线性泛函和算子的抽象理论的过程中，第一个有影响的步骤是由Erhard Sohmidt 和Frechet 在1907年采取的．Hilbert 在他的积分方程的工作中，曾经把一个函数看成是由它相应于某标准正交函数系的Fourier 系数给定的．这些系数以及在他的无穷多个变量的二次型理论中他所赋予这些x i 的值，都是使21n x ∑∞成为有限的序列{x n }．然而，Hilbort 并没有把这些序列看成空间中点的坐标，也没有用几何的语言，这一步是由Schmidt 和Frechet 采取的． 把每一个序列{x 。
}看成一个点，函数就被表现为无穷维空间的点．Sohmidt 不仅把实数而且把复数引入序列{x 0}中．这样的空间从此以后被称为Hilbort 空间．我们的叙述 按照Schmidt 的工作．Schmidt 的函数空间的元素是复数的无穷序列z ＝{z n }，使得.21∞∑∞=＜zp p Schmidt 引入记号;211⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∞=-p p p z z 来表示z ；z 后来就称为z 的范数(norm)．按照Hilbert ，Sehmidt 用记号).,(,),(1-∞==∑z z z 所以z 表示z p p pωω(现在通用的记号是把)),(1p p p z 定义义z -∞=∑ωω．空间中两个元素z 和ω称为正交的，当且仅当.0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ωz Schmidt ；接着证明了广义的Pythagoras 定理：如果z 1， z 2， …，z n 是空间的n 个两两正交的元素，则由∑==n p p z 1ω知 .212p n p z ∑==ω由此可推出n 个两两正交的元素是线性无关的．Schrnidt 在他的一般空间中还得到了Bessel 不等式：如果{z n }是标准正交元素的无穷序列，即ωδ而z z pq q p ,),(=-是任何一个元素，那末21,(-∞=∑p p z ω≤.2ω 此外，还证明了范数的Schwarz 不等式和三角不等式．元素序列{z n }称为强收敛于z ，如果z z n -趋向于0，而每个强Cauehy 序列，即每个使q p z z -趋于0 (当p ，q 趋于0时)的序列，可以证明都收敛于某一元素z ，从而序列空间是完备的．这是一条非常重要的性质．Schmidt 接着引进了(强)闭子空间的概念．他的空间H 的一个子集A 称为闭子空间，如果在刚才定义的收敛的意义下它是闭子集，并且是代数封闭的，后者意指，如果ω1与ω2是A 的元素，那末2211ωωa a +也是A 的元素，其中a 1，a 2是任何复数．可以证明这样的闭子空间是存在的，这只需取任何一个线性无关的元素列{z n }，并取{z n }中元素的所有有限线性组合．全体这些元素的闭包就是一个代数封闭的子空间．现在，设A 是任一固定的闭子空间．Schmidt 首先证明，如果z 是空间的任一元素，则存在唯一的元素ω1和ω2，使得z ＝ω1+ω2，其中ω1属于A ， ω2和A 正交，后者是指ω2和A 的每个元素正交(这个结果，今天称为投影定理；ω1就是z 在A 中的投影)进一步，,min 2z y -=ω 其中y 是A 的变动元素，而且极小值只在21.ωω时达到y =称为z 和A 之间的距离．在1907年，Schmidt 和Frechet 同时注意到，平方可和(Lebesgue 可积) 函数的空间有一种几何，完全类似于序列的Hilbert 空间． 这个类似性的阐明是在几个月之后，当时Riesz 运用在Lebesgue 平方可积函数与平方可和实数列之间建立一一对应的Riesz-Fischer'定理指出，在平方可和函数的集合L 2中能够定义一种距离，用它就能建立这个函数空间的一种几何． L 2中，定义在区间[a ， b]上的任何两个平方可积函数之间的距离这个概念，事实上也是Frechet 定义的，他把它定义为(1) ⎰-b a dx x g x f ,)]()([2其中积分应理解为Lebesgue 意义下的；并且两个函数只在一个0测集上不同时就认为是相等的．距离的平方也称为这两个函数的平均平方偏差．f 和g 的内积定义为⎰=ba dx x g x f g f )()(),(． 使(f ，g) = 0的两个函数f 与g 称为是正交的．Schwarz 不等式 dx x g x f ba )()(⎰≤dx g dx fb a b a ⎰⎰22以及对平方可和序列空间成立的其他性质，都适用于函数空间．特别是，这类平方可和函数形成一个完备的空间．这样，平方可和函数的空间，同这些函数相应于某一固定的完备标准正交函数系的Fourier 系数所构成的平方可和序列的空间，可以认为是相同的．在提到抽象函数空间时，我们应重提一下Riesz 引入的空间L p (1<p<∞)．这些空间对度量pb a p dx f f f f d 12121),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰ 也是完备的．虽然我们很快就要考察抽象空间领域中的其他成就，但下一发展涉及泛函和算子．在刚才引述的对空间L 2的函数引进了距离的1907年的文章中，以及在同年的其他文章中， Frechet 证明了，对于定义在L 2的每一个连续线性泛函U(f)，存在L 2中唯一的一个u(x)，使得对L 2的每个f 都有⎰=ba dx x u x f f U .)()()( 这推广了Hadamard 1903年得到的一个结果．1909年Riesz 推广了这个结果，用Stieltjes 积分表示U(f)，也就是⎰=ba x du x f f U ).()()(Riesz 自己还把这个结果推广到满足下面条件的线性泛函A:对L p 中所有的f)(f A ≤p ba p dx x f M /1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰其中M 只依赖于A ．这样，存在L q 中的一个函数a(x)，在允许相差一个积分为0的函数的意义下是唯一的，使得对L p 中所有的f(2) ⎰=b a dx x f x a f U .)()()( 这个结果称为Riesz 表示定理。
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。
泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间例1 离散的度量空间 例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 是点列{x n }的极限.3. 有界集定义 若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
第三节 连续映射1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ<的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在x 连续.2.定理1 设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节 柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义 设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲1第1章预备知识1.1集合的一般知识1.1.1概念、集合的运算上限集、上极限下限集、下极限1.1.2映射与逆映射1.1.3可列集可列集集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构1.2.1建立实数的原则及实数的序关系阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理上确界sup E（定义1.5）下确界inf E确界原理（定理1.7）1.2.3实数集的度量结构数列极限与函数极限单调有界原理区间套定理Bolzano-Weierstrass定理Heine-Bore定理Cauchy收敛准则1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛逐点收敛（定义1.11）一致收敛（定义1.12）Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质极限与积分可交换次序1.4 Lebesgue积分1.4.1一维点集的测度开集、闭集有界开集、闭集的测度m G m F外测度内测度可测集（定义1.16）1.4.2可测函数简单函数（定义1.18）零测度集按测度收敛1.4.3 Lebesgue积分有界可测集上的Lebesgue积分Levi引理Lebesgue控制收敛定理（性质1.9）R可积、L可积1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理1.5 空间Lp空间（定义1.28）Holder不等式Minkowski不等式（性质1.16）2第2章度量空间与赋范线性空间2.1度量空间的基本概念2.1.1距离空间度量函数度量空间（X，ρ）2.1.2距离空间中点列的收敛性点列一致收敛按度量收敛2.2度量空间中的开、闭集与连续映射2.2.1度量空间中的开集、闭集开球、闭球内点、外点、边界点、聚点开集、闭集2.2.2度量空间上的连续映射度量空间中的连续映射（定义2.7）同胚映射2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性2.3.1度量空间的可分性稠密子集（定义2.9）可分性2.3.2度量空间的完备性度量空间中Cauchy列（定义2.11）完备性完备子空间距离空间中的闭球套定理（定理2.9）闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性列紧集、紧集（定义2.13）全有界集2.4 Banach压缩映射原理压缩映像不动点Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用隐函数存在性定理（例2.31）2.5 线性空间2.5.1线性空间的定义线性空间（定义2.17）维数与基、直和2.5.2线性算子与线性泛函线性算子线性泛函（定义2.18）零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间2.6.1赋范线性空间的定义及例子赋范线性空间Banach空间（定义2.20）2.6.2赋范线性空间的性质收敛性——一致收敛绝对收敛连续性与有界性2.6.3有限维赋范线性空间N维实赋范线性空间3Riesz定理（引理2.2）第3章连续线性算子与连续线性泛函3.1连续线性算子与有界线性算子算子、线性算子、泛函、线性泛函线性算子连续←→有界有解线性算子的范数（定义3.3）有界线性算子空间L(X, Y)L(X, Y)的完备性3.2共鸣定理及其应用有界线性算子列的一致收敛、强收敛稀疏集、第一纲Baire纲定理算子列的一致有界原理（定理3.8）算子范数的有界→强收敛3.3 Hahn-Banach定理次可加正齐次泛函Hahn-Banach定理（定理3.12）Banach保范延拓定理（定理3.14）3.4共轭空间与共轭算子3.4.1共轭空间共轭空间（注定理3.6 p.93）嵌入子空间、等距同构（定义3.7）自反空间（定义3.8）嵌入算子（定理3.15）弱收敛点列（定义3.9）共轭空间上泛函的收敛（定义3.10）线性算子列弱收敛3.4.2共轭算子共轭算子（定义3.12）共轭算子的性质3.5开映射、逆算子及闭图像定理逆算子的有界性开映射Banach开映射定理Banach逆算子定理乘积赋范线性空间闭图像闭算子闭图像定理→算子连续3.6算子谱理论简介复Banach 空间线性算子的正则点谱点：特征值、连续谱、剩余谱正则集——开集谱——有界闭集谱半径（定义3.17）全连续算子（定义3.18）Riesz-Schauder定理4第4章内积空间4.1基本概念内积空间Schwaraz不等式内积空间 Hilbert空间4.2内积空间中元素的直交与直交分解4.2.1直交及其性质直交、直交补（定义4.2）直交投影最佳逼近元极小化向量定理（定理4.2）4.2.2投影定理投影定理（定理4.3）直交分解4.3直交系标准直交系元素x 关于的Fourier级数（定义4.6）Bessel不等式（定理4.5）标准直交系是完全的（定义4.7）Parseval等式（定理4.7）Gram-Schmidt标准正交化法4.4 Hilbert空间上的有界线性泛函4.4.1 Riesz定理Riesz定理4.4.2Hilbert空间上的共轭算子共轭算子（定义4.8）共轭算子的性质4.5自共轭算子自共轭算子（定理4.13）4.6投影算子、正算子和酉算子投影算子（定义4.10）投影算子<->自共轭算子<->幂等算子（定理4.19）正算子（定义4.11）平方根算子（定理4.21）酉算子（定理4.22）。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析概念总结泛函分析是数学的一个分支，研究无限维空间上的函数和函数空间。
它将数学分析的基本概念和方法推广到无限维空间上，通过引入拓扑空间和线性空间的概念，揭示了函数空间的结构和性质。
泛函分析在实际问题的建模和解决中有着广泛的应用，特别是在物理、工程、计算机等领域。
泛函分析的基本概念包括：线性空间、拓扑空间和连续线性泛函等。
线性空间是泛函分析的基础，它包括了向量空间的概念，并满足了一个加法封闭性和一个数乘封闭性的要求。
拓扑空间是泛函分析中用来描述空间结构的工具，它引入了开集和邻域的概念。
通过与度量空间的关系，拓扑空间可以定义连续性的概念，并研究拓扑结构和连续映射的性质。
连续线性泛函是泛函分析的核心概念，它是一个从一个线性空间到标量域的线性映射，并满足了一定的连续性条件。
连续线性泛函可以通过内积和范数的概念进行推广。
泛函分析的基本工具和技巧包括：度量、拓扑结构、收敛性、紧性、完备性、分离等。
度量可以用来度量空间中的两个元素之间的距离，进而衡量连续性、收敛性等性质。
拓扑结构定义了空间中的开集和闭集，通过拓扑性质，可以描述函数空间中的收敛性和连续性等性质。
紧性是指空间中任意无限多的序列必存在收敛子列，体现了空间的紧缩性。
完备性是指空间中任意柯西序列必存在极限元素，体现了空间的完备性。
分离是指通过函数来分离空间中的元素，体现了空间的分立性。
泛函分析的应用领域主要有：变分法、偏微分方程、函数逼近和最优化等。
变分法是通过求泛函的极值来解决实际问题的一种方法，它在物理学、力学、气象学等领域有着广泛的应用。
偏微分方程是描述自然界中的数学模型，通过泛函分析的方法可以研究偏微分方程的解的存在性和唯一性等性质。
函数逼近是将连续函数用离散的函数进行近似表示，通过泛函分析的方法可以计算逼近误差和逼近的收敛性等性质。
最优化是求一个泛函的最大或最小值，通过泛函分析的方法可以寻找最优解的条件和性质。
总之，泛函分析作为数学的一个重要分支，通过推广数学分析的基本概念和方法，研究了无限维空间上的函数和函数空间的结构和性质。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。
他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭对n E 中的向量起作用来达到的。
同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。
把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。
撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。
本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义 3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){},y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。
若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。
对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。
特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。
例3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。
例3.2 [],x C a b ∀∈，定义()()ta Tx t x d ττ=⎰由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。
若令()()[](),ba f x x d x C ab ττ=∀∈⎰C a b上的线性泛函。
则f是[],[定义3.2] 设,X Y 是两个赋范线性空间，:T X X →是线性算子，称T 在x 点连续的，是指若{},n n x X x x ∈→，则()n Tx Tx n →→∞；若T 在X 上每一点都连续，则称T 在X 上连续；称T 是有界的，是指T 将X 中的有界集映成Y 中有界集。
[定理 3.1] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性算子，若T 在某一点()0x D T ∈ 连续，则T 在()D T 上连续。
证明：对()x D T ∀∈，设{}()n x D T ⊂，且()n x x n →→∞，于是()00n x x x x n -+→→∞，由假设T 在0x 点连续，所以当n →∞时，有()000n n T x x x Tx Tx Tx Tx -+=-+→因此，n Tx Tx →，即T 在x 点连续。
由x 的任意性可知，T 在()D T 上连续。
定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。
特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T 连续等价于若n x θ→（X 中零元），则n Tx θ→（Y 中零元）。
例 3.3 若T 是n 维赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 在X 上连续。
证明：在X 中取一组基{}12,,,n e e e ，设()()11,2,3,nm m j j j x x e Xm ==∈=∑且()m x m θ→→∞，即()0m x m →→∞，则()()()12210n m j j x m =⎡⎤→→∞⎢⎥⎣⎦∑从而()()()01,2,3,m j x j n m →=→∞。
于是()()()111max 0nnm m m jj jjj nj j Tx xTe x Tem ≤≤===≤→→∞∑∑因此，()m Tx m θ→→∞，即T 在x θ=处连续，进而T 在X 上每点连续。
[定理 3.2] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性映射，则T 有界的充分必要条件是：存在常数0M >，使不等式成立，即()()Tx M xx D T ≤∈证明：必要性。
因T 有界，所以T 将D 中的闭单位球(){}11B x x θ=≤映成Y 中的有界集，即像集()1TB θ是Y 中的有界集。
记(){}1sup :M Tx x B θ=∈，此时，对每个()()1,,xx D T x B xθθ∈≠∈，由M 的定义有x T M x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭……………………（3.1） 即Tx M x ≤，而当x θ=时，不等式（3.1）变成等式。
故()x D T ∀∈有Tx M x ≤充分性。
设A 是()D T 的任一有界集，则存在常数1M 使()1x M x A ≤∀∈。
由()()Tx M x x D T ≤∈知()1Ty M y MM y A ≤≤∈ 故TA 有界。
证毕。
[定理3.3] 设,X Y 是两个赋范线性空间，T 是从X 的子空间D 到Y 中的线性映射，则T 是连续的充要条件是T 是有界的。
证明：充分性。
设T 有界，则存在常数0M >，使对一切(),x D T Tx M x ∈≤，从而对(){}(),n n x x n x D T ∂→→∞⊂有()()0n n n Tx Tx T x x M x x n -=-≤-→→∞即()n Tx Tx n →→∞。
所以，T 是连续的。
必要性。
若T 连续但T 是无界的，那么对每个n N ∈，必存在()n x D T ∈，使n n Tx n x >，令n n n x y n x =，那么()10n y n n=→→∞，即n y θ→，由T 的连续性，()n Ty n θ→→∞，但是另一方面，1n nn nnn x Tx Ty n x n x =>=，引出矛盾，故T 有界。
定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用(),L X Y 表示X 到Y 的有界线性算子组成的集合。
例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。
例3.4 考察定义在区间[]0,1上的连续可微函数全体，记作[]10,1C ，其中范数定义为()01max t x x t ≤≤=，不难证明，微分算子ddt是把[]10,1C 映入[]0,1C 中的线性算子。
取函数列{}sin n t π，显然，sin 1n t π=，但()sin cos dn t n n t n n dtππππ==→∞→∞ 因此，微分算子是无界的。
[定义3.3] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是从X 到Y 的有界线性算子，对一切x X ∈，满足Tx M x ≤的正数M 的下确界，称为算子T 的范数，记作T 。
由定义可知，对一切x X ∈，都有Tx T x ≤。
[定理3.4] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是从X 到Y 的有界线性算子，则有11sup sup supx Xx Xx Xx x x Tx T Tx Tx xθ∈∈∈=≤≠===证明：由Tx T x ≤，易得1sup x Xx T Tx ∈==……………………………………（3.2）根据T 的定义，对于任给的0ε>，存在非零0x X ∈，使()00Tx T x ε≥-令0x x x '=，则有()0Tx T ε'≥-，因此 ()11sup sup x Xx Xx x T Tx Tx ε∈∈=≤-≤≤令0ε→得 11sup sup x Xx Xx x T Tx Tx ∈∈=≤≤≤……………………（3.3）由式（3.2）和式（3.3），便得11sup sup x Xx Xx x T Tx Tx ∈∈=≤==而supx Xx Tx T xθ∈≠=，由定义易知。
例3.5 在[]1,L a b 上定义算子T 如下()()()[]()1,,xaTf x f t dt f L a b =∀∈⎰（1）把T 视为[]1,L a b 到[],C a b 的算子，求T ； （2）把T 视为[]1,L a b 到[]1,L a b 的算子，求T 。
解：算子T 的线性是显然的，下面分别求T 。
（1）设T ：[][]1,,L a b C a b →，任取[]1,f L a b ∈，由于[],Tf C a b ∈，从而()()()max maxxaa x ba xb Tf Tf x f t dt ≤≤≤≤==⎰()()max xbaaa x bf t dt f t dt f ≤≤≤≤=⎰⎰故T 是有界的，并且1T ≤。
另一方面，取()[]01,,f t t a b b a=∈-，并且 ()0011b baaf f t dt dt b a===-⎰⎰于是0111sup max 1x b aa a x bf T Tf Tf dt dt b ab a ≤≤==≥===--⎰⎰故1T =。
（2）设T ：[][]11,,L a b L a b →，任取[]1,f L a b ∈，由于[]1,Tf L a b ∈，从而()()()bxbx aaaa Tf f t dt dx f t dt dx =≤⎰⎰⎰⎰()()()bb aaf t dt dx b a f≤=-⎰⎰因此，T 是有界的，并且T b a ≤-；另一方面，对任何使得1a b n+<的自然数n ，作函数()1,,10,,n n x a a n f x x a b n ⎧⎡⎤∈+⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪∈+ ⎥⎪⎝⎦⎩ 显然[],n f L a b ∈,且()1b n n af f t dt ==⎰，而()bxn n aaTf f t dt dx =⎰⎰()11110a b a x nnaa aa nnn x a dx ndt dt dx ++++=-++⎰⎰⎰⎰11122b a b a n n n=+--=--所以，又有sup n T Tf b a ≥=-因此，T b a =-。
此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。
一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。
例3.6 设(),K s t 在[][],,a b a b ⨯上连续，定义算子T ：[][],,C a b C a b →为()()(),ba Tx s K s t x t dt =⎰则[][](),,,T L C a b C a b ∈，且(){}max,:baT K s t dt a s b ≤≤≤⎰证明：由于()()()max,ba a sb Tx s K s t x t dt ≤≤=⎰()()max ,max b aa s ba s bK s t dt x t ≤≤≤≤≤⎰(){}max,:baK s t dt a s bx =≤≤⎰故结论成立。
