f(k+1)=f(k)+f(k-1);
k=k+1;
end
数列递推表达式：
f k+1 = f k+ f k –1 ( k = 2，3，……，n-1)
f1=1，f2=1
2．下面程序功能是产生M个平面上的随机点，并对落入某一区域内随机点的数目进行统计。试写出该平面区域的数学表达式。
M=input('input M=');
N=0;
xy=3*rand(M,2);
for k=1:M
x=xy(k,1);y=xy(k,2);
if abs(log(x))+abs(log(y))<=1
plot(x,y,'.r'),hold on
N=N+1;
end
end
9*N/M
平面区域的数学表达式：D={(x，y) | |ln x| + |ln y|≤1}
3．下面程序的功能是利用地球的球面近似模型计算两大城市间的最短飞行航程。试详细说明程序所用的算法原理和步骤。
function d=LL(p,q)
R=6371+10;
thata=[p(1),q(1)];thata=thata*pi/180; fai=[p(2),q(2)];fai=fai*pi/180; x=R*cos(thata).*cos(fai); y=R*cos(thata).*sin(fai); z=R*sin(thata); pq=[x;y;z];p=pq(:,1);q=pq(:,2); alpha=acos((p'*q)/(norm(p)*norm(q)));
d=R*alpha;
设球半径为R ，给出球面上两点p ，q 的经度和纬度，记φ为纬度，θ为经度。直角坐标计算公式为
x = r sin φ cos θ
y = r sin φ sin θ
z = r cos φ
其中，0≤ r ≤+∞，0≤ φ ≤ π，0≤θ≤2π
球面上两点的直角坐标分别为：P 1（x 1，y 1，z 1），P 2（x 2，y 2，z 2），则球面上过P 1和P 2两点的短程线长度计算公式为
L = R ×α
其中，α 是从球心指向P 1，P 2两点的两向量的夹角（弧度单位），即
cos α = (x 1，y 1，z 1)·(x 2，y 2，z 2) / ( ||(x 1，y 1，z 1)|| ||(x 2，y 2，z 2)|| )
三、程序设计（20分）
1.求线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+0
67452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x 的解
MATLAB 命令行
A=[2，1，-5，1；1，-3，0，-6；0，2，-1，2；1，4，-7，6]；
B=[8；9；-5；0]；
X=A\b
2．如果f (x ) 在区间[a ，b ]内有一个零点，且在区间两个端点处满足f (a )f (b ) < 0，则可以用二分法求方程 f (x ) = 0 的根（或函数的零点）。
算法描述如下：
①输入误差限ε0，ε1，计算 y 1 ← f (a )，y 2← f (b )；
②计算x 0 ←0.5(a+b )，y 0←f (x 0)，若|y 0| < ε0，则输出x 0，结束。否则转③；
③若 y 0 y 1< 0，则置b ← x 0，y 2 ← y 0；否则a ← x 0，y 1 ← y 0，转④； z
P
φ O y θ x
④若|b – a |>ε1则转第二步；否则，输出x 0结束。
给定函数f (x ) = x – sin x – 1，根据上面算法编写一个MA TLAB 程序，该程序的功能是求该函数在区间[1.5，2.5]的一个零点。
MATLAB 程序：
f=inline('x-sin(x)-1');
a=1.5;b=2.5;er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=1/2^5;
while er>er0
x0=.5*(a+b);
y0=f(x0)
if ya*y0<0
b=x0;
else
a=x0;
ya=y0;
end
disp([a,b]);er=b-a;k=k+1
end
四、问答（10分）
1． 常用的创建矩阵方法有哪几种？
2． 绘图命令plot 和mesh 有何区别？
答：
1．常用的创建矩阵方法有：冒号法、方栝号直接输入法、文件读入法，以及矩阵编辑器法；
2．绘图命令plot 用于绘平面离散数据的曲线图，mesh 用于绘制空间曲面的网面图
五、数学模型（20分）
假设罐饮料筒为正圆柱体（视上、下为平面），上、下底半径为 r ，高为h ，若体积为V ，上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍。试用数学方法推导：当半径和高度之比是多少时，用料最少？消费市场上常见的可口可乐和百事可乐易拉罐饮料壳大约是 r ：h = 1：4，试分析这种比例是否使用料最省？
解：假设易拉罐侧面厚度为1个厚度单位，则用料数学模型为
S=2 π r h + 4 π r 2
其中，h 表示易拉罐高度，r 表示易拉罐半径。由于易拉罐容量V （体积）为一定数，故有约束条件：π r 2 h = V 。由算术-几何平均不等式，得
322226]222[224πππππππV r V r V r rh r S ⨯≥++
=+= 当r V r π222=
时，不等式左右相等，故S 达到极小值。V=π r 2 h 代入r V r π222=有h r 41=。
