直线与圆
♦知识点归纳直线与方程
1.直线的倾斜角
规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0
范围：直线的倾斜角的取值范围为［0,）
2斜率：k tan (a y)，k R
斜率公式：经过两点R（x i，y i），P2（X2,y2）（X i X2）的直线的斜率公式为k p^
X2 X1
直线方程的几种形式
能力提升
斜率应用
例1.已知函数f（X） log2（X 1）且a b c 0，则理，的大小关系a b c
例2.已知实数x,y 满足y X 2
2x 2( 1 x 1)，试求丄卫的最大值和最小值
x 2
两直线位置关系
直线间的夹角:
两条直线的位置关系
或
B 2y
设两直线的方程分别为:1
；：y k ： b
2或丨二箴
B 1y
C C 0
0 ；当 k 1
k 2 或 A 1B 2
A 2
B 1 时它们
①若 为丨1到12的
角,
ta n
■k2
—或 ta n 1 k 2^
A B 2 A 2 Bl
AA B
1 B 2
②若 为1l 和12的夹
角
，则
tan
k 2 k i
1 k 2k 1
或tan
A B 2 A B 1 A A 2 B 1 B 2
③当1 k 1k 2 0或A 1A 2 B 1B 2 0时，
90° ；直线11到丨2的角 与11和丨2的
夹角
(
7)
相交，交点坐标为方程组
y
k 1x k 2x b 1或Ax
b 2 或 A 2x B 2y
G
C
(?)
；
距离问题
1.平面上两点间的距离公式R(x i, y i),P2(X2, y2)贝U PP2 J(X2 X i) (y2 y
2.点到直线距离公
式
点P(x0,y0)到直线l : Ax By C 0的距离为：d
Ax0 By0 C
3.两平行线间的距离公
式
已知两条平行线直线l i和12的一般式方程为l i : Ax By C1
，I2 : Ax By C2 0 ,则1i与12的距离为d I C1 C2
J A2B2
4.直线系方程：若两条直线1i: Ax B i y 0，I2: A2X B2y C2 0有交点，则过1i与12交点的直线系方程为(Ax B1y G) + (A2X B2y C2) 0 或
(A
2 x B
2
y C
2)+ (A i x B i y C1 )0 (入为常数)
对称冋题
X 1.中点坐标公式：已知点A(X1, yj, B(X2, y2)，则A, B中点H (x, y)的坐标公式为
y
X1 X2
2 * y2
2
点P(x。，y。)关于A(a, b)的对称点为Q(2a X0,2b y。)，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问
题
。
2.轴对点P(a,b) 关于直线Ax By c 0(B 0)的对称点为P'(m,n),则有
n -
b
m -a A - m
—— B 2
，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问
题。
b n
——C 0
2
(1)中心对称:
①点关于点的对称:
该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a, b)关于C(c,d)的对称点(2c a,2d b)
②直线关于点的对称:
I 、在已知直线上取两点，禾U 用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出
直线方程;
①点关于直线对称:
I 、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
n 、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。
如：求点A( 3,5)关于直线l:3x 4y 4 0对称的坐标。
②直线关于直线对称：(设a,b 关于I 对称)
I 、若a,b 相交，则a 到I 的角等于b 到I 的角；若a//l ，则b//l ，且a,b 与I 的距离相等。 n 、求出a 上两个点A,B 关于I 的对称点，在由两点式求出直线的方程。 川、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点，则
P 关于I 的对称点P'的坐标适合a 的方程。
能力提升
0上各找一点M 和N ，使 AMN 的周长最短，并求出周长。
线性规划问题:
(1)设点 P(x 0, y 0)和直线 l : Ax By
C 0 ;②若点P 在直线I 的上方，贝y B(AX 0 By 。 C) 0 ；
③若点P 在直线I 的下方，贝y B(Ax 0 By 0 C) 0 ；
(2)二元一次不等式表示平面区域:
对于任意的二元一次不等式
Ax By C 0( 0),
n 、求出一个对称点，在利用
I i //l 2由点斜式得出直线方程;
『禾U 用点到直线的距离相等。
求出直线方程。 如：求与已知直线11 : 2x 3y 6
0关于点P(1,1)对称的直线丨2的方程。
如：求直线a :2x y 4
0关于l : 3x 4y 1 0对称的直线b 的方程。
例1.点P(2,1)到直线mx y 3
0(m R)的最大距离为
例2.已知点A(3,1)，在直线y x 和y
①若点P 在直线I 上，则Ax 0 By 0
