一元二次方程根的判别式及韦达定理提高训练题二

试题解析：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
3．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣ ，x2= ．
【解析】
试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣ ，x2= ．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某建材销售公司在2019年第一季度销售 两种品牌的建材共126件， 种品牌的建材售价为每件6000元， 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调 ， 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨 ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比， 种品牌的建材的销售量增加了 ， 种品牌的建材的销售量减少了 ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加 ，求 的值.

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.k x k x x 有实根，求方程已知关于0132=--a x a x a x 为一元二次方程，求方程已知关于03)2(2=++-数根？）方程有两个不等的实（数根？）方程有两个相等的实（？）方程只有一个实数根（为何值时，当的方程例：已知关于32101)1(2)2(2m m x m x m x =++---的值。

求没有实数根求的值。

有两个相等的实数根，，有两个不相等的实数根的一元二次方程关于为整数、已知n m n x m x n x m x n x m x x n m ,01)4(06)4(03)7(,,2222=++--=++++=++-+2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 根与系数的关系（韦达定理）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+acx x a bx x 2121常见变形：2212x x += 1211x x +=12(5)(5)x x -- =12||x x -==+3231x x例1、若1x 和2x 分别是一元二次方程03522=-+x x 的两根．（1）求12||x x -（2）求221211x x +（3）求3231x x +变式训练1、212,046x x m x x x 有两个实数根的一元二次方程已知关于=++-（1）的取值范围求m（2）的值求满足若m x x x x ,23,2121+=例2、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ，q = ．变式训练1、。

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=± 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac --2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。

泉州五中初二下奥数讲座（6）——一元二次方程的整数根提高班 号 姓名 供稿人：李锦扬例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例4】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99109910≤≤≤≤y x ，，则y x y x +=+100)(2， 即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例5】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．（“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练B 级1．已知a 、b 为实数，设2006b a -=，如果关于x 的一元二次方程20x ax b ++=的根都是整数，则该方程的根共有( )组． A ．4 B ．6 C ．8 D ．102．已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，则_________=a . 3．若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_________个.4．使方程071222=-++a ax x a 的两根都是整数的所有正数a 的和是______________.（上海市竞赛题）5．已知方程015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非零实数）至少有一个整数根，那么_________=a .（全国初中数学联赛试题）6．设方程03)6(2=-+++m x m x 有两个不同的奇数根，则整数m 的值为________（《学习报》公开赛试题）7．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.（全国初中数学联赛试题）8．当x 为何有理数时，22392-+x x 恰为两个连续的正偶数的乘积？（山东省竞赛题）9．是否存在质数q p ,使得关于x 的一元二次方程02=+-p qx px 有有理数根？（全国初中数学竞赛试题）10．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bcx a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b（1）求a 的值； （2）求k 的值及它对的y x ,的值.参考答案【例1】 ．已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值． 【解答】解：当4k =时，原方程为32320x -+=，所以1x =，符合题意； 当8k =时，原方程为16320x +=，所以2x =-，符合题意；当4k ≠且8k ≠时，原方程化为[(4)8][(8)4]0k x k x ----=，解得184x k =-，248x k=-．k Q 为整数，且1x ，2x 均为整数根，41k ∴-=±，2±，4，8±，得3k =，5，2，6，0，4-，12 或81k -=±，2±，4-，得7k =，9，6，10，12．综上所述，当k 的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数．【例2】 ．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 【解答】解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=． 由于该方程有整数根，则判别式△0…，且是完全平方数．由△2224(229)71160y y y =--=-+…， 解得211616.57y ≈…．于是显然，只有16y =时，△4=是完全平方数，符合要求． 当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时11x =-，23x =-； 当4y =-时，原方程为2430x x -+=，此时31x =，43x =．所以，原方程的整数解为312431241133444 4.x x x x y y y y ==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩ 故选：C ．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根．【解答】解：（1）若0r =，12x =，原方程无整数根；（2）当0r ≠时，122r x x r ++=-，121r x x r-=；消去r 得：121242()17x x x x -++=， 即12(21)(21)7x x --=， 717(1)(7)=⨯=-⨯-Q ， ∴①12211217x x -=⎧⎨-=⎩，解得1214x x =⎧⎨=⎩，114r r -∴⨯=，解得13r =-； ②12217211x x -=⎧⎨-=⎩，解得1241x x =⎧⎨=⎩；同理得：13r =-，③12211217x x -=-⎧⎨-=-⎩，解得1203x x =⎧⎨=-⎩，1r =，④12217211x x -=-⎧⎨-=-⎩，解得1230x x =-⎧⎨=⎩，1r =．∴使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根的r 值是13-或1．【例4】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． 【解答】解：设前后两个二位数分别为x ，y ，2()100x y x y ∴+=+． 222(50)()0x y x y y +-+-=．22244(50)4()4(250099)0b ac y y y y -=---=-…，解得252599y …，当2525y …时，原方程有解．50x y ∴==-250099y ∴-必为完全平方数，Q 完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9． ∵x 的数位是2位，y 是2位．25y ∴=30x ∴=或20，∴所求的四位数为3025或2025． 【例5】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．【分析】反客为主：首先将原方程变形为2(2)2(6)x a x +=+，进而分析2x +，以及a 的取值，得出所有的可能结果．【解答】解：将原方程变形为2(2)2(6)x a x +=+．显然20x +≠，于是22(6)(2)x a x +=+由于a 是正整数，所以1a …，即22(6)1(2)x x ++…所以2280x x +-…， (4)(2)0x x +-…， 所以42(2)x x -≠-剟．当4x =-，3-，1-，0，1，2时，得a 的值为1，6，10，3，149，1 1a ∴=，3，6，10说明从解题过程中知，当1a =时，有两个整数根4-，2； 当3a =，6，10时，方程只有一个整数根．综上所述，当1a =，3，6，10时，关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．法二：()221=481=48n a n a -∆+=设，则代入方程得：()()()22221454250n x n x n -+-+-= ()()12101210=0n x n n x n +++⋅-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦12210821082,21111n n x x n n n n +-=-=--=-=-+++--能力训练1．已知a 、b 为实数，设2006b a -=，如果关于x 的一元二次方程20x ax b ++=的根都是整数，则该方程的根共有( )组． A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【解答】解：由韦达定理得12x x a +=-，12x x b =，则12122006x x x x ++=． 所以，12(1)(1)20079223x x ++==⨯9(223)36693(669)12007(1)(2007)=-⨯-=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-． 易知方程有6组解． 故选：B ．2．已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值． 【解答】解：设两个根为12x x …， 由韦达定理得12126x x a x x a +=-⎧⎨=⎩，从上面两式中消去a 得 12126x x x x ++=， 12(1)(1)7x x ∴++=， ∴121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩，∴1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩，120a x x ∴==或16．3．若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数时k 的值有 5 个． 【解答】解：①当60k -=，即6k =时，则原方程为(117156)540x --⨯+=，解得2x =； ②当90k -=，即9k =时，则原方程为(117159)540x --⨯+=，解得3x =-； ③当60k -≠、90k -≠时，即6k ≠且9k ≠时，196x k =-，269x k=-； ①当61k -=±，3±，9±时，x 是整数，此时7k =、5、3、15、3-；③当91k -=±、2±、3±、6±时，x 是整数，此时10k =、8、11、7、12、15、3． 综合①②知，3k =、15、6、7、9时，原方程的解为整数． 故答案为：5．4．设方程222170a x ax a ++-=的两根都是整数，求所有正数a ．【解答】解：Q 方程有根，2224(17)0a a a ∴-⨯-…，243280a a -+…，21283a …，121x x a ∴+=-；12217x x a=-，Q 两根之和与两根之积均为整数，∴211a=，4，9．又1a -Q 为整数，∴11a=，2，3，1a ∴=，12，13．5. 1,3,5 提示:a x 321-=,ax 512-=.6．设方程2(6)(3)0x m x m +++-=有两个不同的奇数根，则整数m 的取值为 2-或6- ． 【解答】解：设两根为1x 、2x ． 12(6)x x m +=-+Q ，123x x m =-g ， 12129x x x x ∴++=-g ， 12(1)(1)8x x ∴++=-．1x Q 、2x 为奇数，11x ∴+、21x +为偶数， 112x ∴+=，214x +=-或112x +=-，214x +=，11x ∴=，25x =-或13x =-，23x =， 12(6)4x x m ∴+=-+=-或0，2m ∴=-或6-，故答案为：2-或6-．7．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值． 【解答】解：2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=，2222(68)(264)40k k x k k x k -++--+-=， 22(4)(2)(264)(2)(2)0k k x k k x k k --+--+-+=， [(4)(2)][(2)(2)]0k x k k x k -+--++=． (4)(2)0k k --≠Q1214x k ∴=---， 2412x k =---； 1124(1)1k x x ∴-=-≠-+①2242(1)1k x x -=-≠-+②由①②消去k ，得121320x x x ++=g ． 12(3)2x x ∴+=-．由于1x ，2x 都是整数．∴12231x x =-⎧⎨+=⎩，12132x x =⎧⎨+=-⎩，12231x x =⎧⎨+=-⎩，即1222x x =-⎧⎨=-⎩，1215x x =⎧⎨=-⎩，1224x x =⎧⎨=-⎩6k ∴=，3，103． 经检验，6k =，3，103满足题意． 8．当x 为何有理数时，代数式29232x x +-的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 【解答】解：设两个偶数为2n ，22(0)n n +>，则292322(22)x x n n +-=+，即292322(22)0x x n n +--+=．x 为有理数，则方程的△为完全平方数，△2222349[22(22))]36(441)565[6(21)]565n n n n n =+⨯⨯++=+++=++， 设△2m =（不妨设0)m …，22[6(21)](126)(126)56556511135m n m n m n -+=++--==⨯=⨯， 当126565m n ++=时，1261m n --=解得283m =，23n =； 当126113m n ++=时，有1265m n --=解得59m =，4n =；当23n =时，292324648x x +-=⨯，17x =-或1309x =；当4n =时，29232810x x +-=⨯，2x =或419x =-．9．是否存在质数p ．q ，使得关于x 的一元二次方程2px qx p O -+=有有理数根？ 【解答】解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△2224q p n =-=， 规定其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=．（5分） 由于1q n q n -+剟，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数，因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩、24q n q n p -=⎧⎨+=⎩、4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩、22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩、24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩ 消去n ，解得22251,2,,2,2222p p p q p q q q p q =+=+===+．（10分） 对于第1，3种情形，2p =，从而5q =；对于第2，5种情形，2p =，从而4q =（不合题意，舍去）； 对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．又当2p =，5q =时，方程为22520x x -+=，它的根为121,22x x ==，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．（15分）10. 已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bc x a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b（1）求a 的值； （2）求k 的值及它对的y x ,的值.解：(1)2,12=++-=c b a a bc ,则c b ,是一元二次方程01222=+-+-a a t t 的两根, 故0)(4)1(4422≥--=+--=∆a a a a , 即0)1(≤-a a , 又 ∵ 0≥a 且a 为整数, 则1≥a ,∴1===c b a .(2)由条件得0)1(2=++-k x k kx ,又 ∵原方程只有一组解,当0=k 时,1,0==y x , ∴⎩⎨⎧==10y x 符合条件,此时0=k ； 当0≠k 时，01234)1(222=++-=-+=∆k k k k ，解得1,(3121=-=k k 舍），∴12=k ， 即0122=+-x x ， ∴1,1-==y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x ，符合条件，此时k =1。