江苏09年高考数学考点解析：考试说明数学重点解析数学考查知识点未发生变化【考试范围】数学试题由必做题与附加题两部分组成。
选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答。
选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作...数学考查知识点未发生变化【考试范围】数学试题由必做题与附加题两部分组成。
选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答。
选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答。
必做题部分考查内容是高中必修内容和选修系列1的内容，附加题部分考查的内容是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4－1《几何证明选讲》、4－2《矩阵与变换》、4－4《坐标系与参数方程》、4－5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）。
【考试形式及试卷结构】■考试形式：闭卷、笔试。
必做题部分满分为160分。
考试时间120分钟。
附加题部分满分40分，考试时间30分钟。
■试题类型：试题分必做题和附加题两部分。
■内容比例：必做题：由填空题和解答题两种题型组成，填空题14题，约占70分，解答题6题，约占90分。
附加题：由解答题组成，共6题，必做题2题；选做题4题，考生可从中选两题作答。
【试题难易】必做题部分由容易题、中等题、难题组成。
所占分值比例大致为4：4：2；附加题部分由容易题、中等题、难题组成，所占分值比例大致为5：4：1。
【名师解读】章轶群（扬州中学）2009年高考说明与2008年基本没有变化。
在考试内容上，考查学生知识的要求都未发生变化，必做题以及选做题的内容也未发生变化。
【备考建议】1.重视基础复习，特别要熟悉教材。
2.要重视对填空题进行专项训练。
高考数学成功的关键在于填空题，填空题要注意解题方法、技巧的训练和做题时间的控制，14题填空应控制在40分钟之内。
3.解答题方面，可对直线和圆及椭圆、数列、基本不等式以及一元二次不等式进行专项训练。
2009年江苏省南京市某校高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1. cos(−353π)的值是________．2. 抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离为________．3. 已知复数z 1=−1+2i ，z 2=1−i ，z 3=3−2i ，其中i 为虚数单位，它们所对应的点分别为A ，B ，C ．若OC →=xOA →+yOB →，则x +y 的值是________．4. 已知函数f(x)={2x 2+1，x ≤0−2x,x >0，则不等式f(x)−x ≤2的解集是________．5. 若“x ∈[2, 5]或x ∈{x|x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．6. 函数y ＝x −2sinx 在(0, 2π)内的单调增区间为________．7. 在边长为2的正三角形ABC 中，以A 为圆心，√3为半径画一弧，分别交AB ，AC 于D ，E ．若在△ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________． 8. 等差数列{a n }满足：a 1=−8，a 2=−6．若将a 1、a 4、a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 9. 下列伪代码输出的结果是________．10. 过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为________．11. 已知三点(3, 10)，(7, 20)，(11, 24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，则其线性回归方程是________．12. 已知f(x)=x 2−2x ，则满足条件{f(x)+f(y)≤0f(x)−f(y)≥0的点(x, y)所形成区域的面积为________．13. 对于在区间[a, b]上有意义的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意x ∈[a, b]，均有|f(x)−g(x)|≤1，那么我们称f(x)和g(x)在[a, b]上是接近的．若f(x)=log 2(ax +1)与g(x)=log 2x 在闭区间[1, 2]上是接近的，则a 的取值范围是________． 14. 已知数列{a n }满足a n+1+a n −1a n+1−a n +1=n （n 为正整数）且a 2=6，则数列{a n }的通项公式为a n =________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 设集合A 为函数y =ln(−x 2−2x +8)的定义域，集合B 为函数y =x +1x+1的值域，集合C 为不等式(ax −1a )(x +4)≤0的解集．（1）求A ∩B ；（2）若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．16. （理）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有sinA −sinC +√22cos(A −C)=√22．则△ABC 的面积为________．17.如图，以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点A 、C 及另两个顶点为顶点构造四面体．（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）； （2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积与长方体的体积的比．18. 已知圆O:x 2+y 2=1，直线l:y =√33(x +4)．（1）设圆O 与x 轴的两交点是F 1，F 2，若从F 1发出的光线经l 上的点M 反射后过点F 2，求以F 1，F 2为焦点且经过点M 的椭圆方程；（2）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标．19. 已知函数f(x)=√ax 2+bx ，存在正数b ，使得f(x)的定义域和值域相同． （1）求非零实数a 的值；（2）若函数g(x)=f(x)−bx 有零点，求b 的最小值．20. 已知数列a n 、b n 中，对任何正整数n 都有：a 1b n +a 2b n−1+a 3b n−2+...+a n−1b 2+a n b 1=2n+1−n −2．（1）若数列a n 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列b n 是等比数列；（2）若数列b n 是等比数列，数列a n 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列a n 是等差数列，数列b n 是等比数列，求证：∑1a i b in i=1<32．三、附加题部分21. 已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=6，圆C 的参数方程为{x =10cosθy =10sinθ．（1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l被圆截得的弦长．22. 回答小题：(1)设x是正实数，求证：(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．23. 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．（1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．24. 已知数列{a n}满足：a1=2，且a na n+1−a n=n；又数列{b n}满足：b n=2n−1+1．若数列{a n}和{b n}的前n和分别为S n和T n，试比较S n与T n的大小．2009年江苏省南京市某校高考数学三模试卷答案1. 122. 183. 54. [−12，+∞)5. [1, 2)6. (π3,5π3)7. √3π68. −19. 1710. 1:3:511. y=74x+23412. π13. [0, 1]14. 2n2−n15. 解：（1）∵ −x2−2x+8>0，∴ 解得A=(−4, 2)．∵ y=x+1x+1，∴ B =(−∞, −3]∪[1, +∞)； 所以A ∩B =(−4, −3]∪[1, 2)；（2）∵ C R A =(−∞, −4]∪[2, +∞)，C ⊆C R A ，若a <0，则不等式(ax −1a )(x +4)≤0的解集只能是(−∞, −4]∪[1a 2, +∞)，故定有1a 2≥2得a 2≤12解得−√22≤a <0若a >0，则不等式(ax −1a)(x +4)≤0的解集[−4, 1a2]，但C ⊆C R A ，故a ∈⌀． ∴ a 的范围为−√22≤a <0．16. √3417. 解：（1）如四面体A 1−ABC 或四面体C 1−ABC 或四面体A 1−ACD 或四面体C 1−ACD ；---（2）如四面体B 1−ABC 或四面体D 1−ACD ；------------------------- （3）如四面体A −B 1CD 1( )；------------------------- 设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则abc−4×16abcabc=13．---------18.解（1）如图，由光学几何知识可知，点F 1关于l 的对称点F 1′在过点A(−4, 0)且倾斜角为60∘的直线l′上．在△AF 2F 1′中，椭圆长轴长2a =MF 1+MF 2=F 1/F 2=√19， 又椭圆的半焦距c =1，∴ b 2=a 2−c 2=154，∴ 所求椭圆的方程为x 2194+y 2154=1；（2）光线从射出经反射到相切经过的路程最短，即为l′上的点P′到圆O 的切线长最短， 由几何知识可知，P′应为过原点O 且与l 垂直的直线与l′的交点，这一点又与点P 关于l 对称，∴ AP =AP′=2，故点P 的坐标为(−2, 0)． 19. 解：（1）若a >0，对于正数b ，f(x)的定义域为 D =(−∞,−ba ]∪[0,+∞)，但f(x)的值域A ⊆[0, +∞)，故D ≠A ，不合要求． 若a <0，对于正数b ，f(x)的定义域为D =[0,−ba ]． 由于此时[f(x)]max =f(−b2a )=2−a，故函数的值域A =2√−a]．由题意，有−b a =2√−a，由于b >0，所以a =−4．（2）由f(x)−bx =0，即√−4x 2+bx =bx (0<x ≤b4)， 得4x 4−bx 3+b 2=0． 记ℎ(x)=4x 4−bx 3+b 2，则ℎ′(x)=16x 3−3bx 2，令ℎ′(x)=0，x =3b16∈(0,b4] 易知ℎ(x)在(0,3b 16]上递减；在[3b16，b4]上递增． ∴ x =3b 16是ℎ(x)的一个极小值点．又ℎ(b4)=b 2>0，ℎ(0)→b 2>0，∴ 由题意有：ℎ(3b16)≤0， 即4(3b16)4−b(3b16)3+b 2≤0，∴ b 2≥4(316)3，故b min =128√39． 20. 解：（1）依题意数列a n 的通项公式是a n =n ，故等式即为b n +2b n−1+3b n−2+...+(n −1)b 2+nb 1=2n+1−n −2，b n−1+2b n−2+3b n−3+...+(n −2)b 2+(n −1)b 1=2n −n −1(n ≥2)， 两式相减可得b n +b n−1+...+b 2+b 1=2n −1得b n =2n−1，数列b n 是首项为1，公比为2的等比数列．（2）设等比数列b n 的首项为b ，公比为q ，则b n =bq n−1，从而有：bq n−1a 1+bq n−2a 2+bq n−3a 3+...+bqa n−1+ba n =2n+1−n −2，又bq n−2a 1+bq n−3a 2+bq n−4a 3+...+ba n−1=2n −n −1(n ≥2)， 故(2n −n −1)q +ba n =2n+1−n −2 a n =2−q b×2n +q−1b×n +q−2b，要使a n+1−a n 是与n 无关的常数，必需q =2即①当等比数列b n 的公比q =2时，数列a n 是等差数列，其通项公式是a n =nb ；②当等比数列b n 的公比不是2时，数列a n 不是等差数列． （3）由（2）知a n b n =n ⋅2n−1， 显然n =1，2时∑1a i b i n i=1<32当n ≥3时∑1a ib in i=1=11×1+12×2+13×22+14×23++1n×2n−1<11×1+12×2+12×22+⋯+12×2n−1=1+12×2⋅1−(12)n−11−12=32−12n <3221. 解：（1）∵ 直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=6，即ρsinθcos π3−ρcosθsin π3=6，化为直角坐标方程为12y −√32x =6，即√3x −y +12=0．（2）∵ 圆C 的参数方程为{x =10cosθy =10sinθ，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ可得x 2+y 2=100，故圆的普通方程为x 2+y 2=100． （3）圆心(0, 0)到求直线l 的距离等于√3+1=6，半径等于10，由弦长公式可得弦长等于2√102−62=16．22. 证明：(1)∵ x 是正实数，由均值不等式知x +1≥2√x ， 1+x 2≥2x ，x 3+1≥2√x 3，∴ (x +1)(x 2+1)(x 3+1)≥2√x ⋅2x ⋅2√x 3=8x 3（当且仅当x =1时等号成立）； 故(x +1)(x 2+1)(x 3+1)≥8x 3.(2)若x ∈R ，不等式(x +1)(x 2+1)(x 3+1)≥8x 3仍然成立， 当x >0时，由(1)知不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0，∵ (x 3+1)=(x +1)(x 2−x +1)∴ (x +1)(x 2+1)(x 3+1)=(x +1)2(x 2+1)(x 2−x +1) =(x +1)2(x 2+1)[(x −12)2+34]≥0，综上可知，此时不等式仍然成立．23. 该生考上大学的概率为131243；X 的数学期望是389． …24. 解：a n =2n ， S n =n 2+n ； T n =2n −1+n当n =1时，S n =T n ； 当2≤n ≤4时，S n >T n ； 当n ≥5时，S n <T n ．。
高中数学苏大2009年江苏省高考试题 试题 2019.091, 已知函数,0),cos(3)sin()(π<≤-++=a a x a x x f 其中且对于任意实数)()(,x f x f x -=恒成立。
（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的最大值和单调递增区间。
2, 某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可以继续参加科目B 的考试。
每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A 成绩合格的概率均为32，每次考科目B 成绩合格的概率均为21。
假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X 。
（1）求X 的分布列和均值；（2）求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
3, 如图，在三棱锥P-ABC 中，已知PC ⊥平面ABC ，点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上。
（1）求证：AB ⊥平面PBC ；（2）设AB=BC ，直线PA 与平面ABC 所成的角为︒45，求异面直线AP 与BC 所成的角；（3）在（2）的条件下，求二面角C-PA-B 的余弦值。
4, 已知等比数列}{n a 中，432,,a a a 分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且,211=a 公比.1≠q（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）已知数列}{n b 满足nn n S a b ,log 221=是数列}{n b 的前n 项和，求证：当.1,5<≥n n S a n 时5,已知函数)('),(4)(23x f R a ax x x f ∈-+-=是)(x f 的导函数。
（1）当a=2时，对于任意的)(')(],1,1[],1,1[n f m f n m +-∈-∈求的最小值； （2）若存在),0(0+∞∈x ，使,0)(0>x f 求a 的取值范围。
专题8 数学归纳法与证明【考情概览】年份题号考点难度层次考查内容，方式，模型等2018201720162015 23 数学归纳法困难数学归纳法2014 23 数学归纳法困难数学归纳法2013 23 数学归纳法困难数学归纳法201220112010 23 数学归纳法困难数学归纳法2009【真题展示】1. 【2010江苏，23】已知△ABC的三边长都是有理数．（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】解：（1）证明：设三边长分别为a，b，c，cosA＝，∵a，b，c是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数．（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；当n=2时，∵cos2A=2cos2A-1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当n≥k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理数．当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，cos(k+1)A＝coskAcosA−[cos(kA −A)−cos(kA+A)]，cos(k+1)A ＝coskAcosA −cos(k −1)A+cos(k+1)A ， 解得：cos （k+1）A=2coskAcosA-cos （k-1）A∵cosA ，coskA ，cos （k-1）A 均是有理数，∴2coskAcosA-cos （k-1）A 是有理数， ∴cosA ，coskA ，cos （k-1）A 均是有理数． 即当n=k+1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数．2. 【2013江苏，23】设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----644474448L 个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数． 【答案】(1)5；(2)1008 【解析】解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5. (2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)． 由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1,2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j ＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋1)的倍数．又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1,2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008. 3. 【2014江苏，23】已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()222f f πππ+的值；（2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()444n n nf f πππ-+=都成立. 【答案】(1)1-；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知102sin cos sin ()'()()'x x x f x f x x x x===-， 21223cos sin sin 2cos 2sin ()'()()'x x x x xf x f x x x x x x ==-=--+， 所以124()2f ππ=-，23216()2f πππ=-+，故122()()222f f πππ+1=-.（2）由（1）得01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，两边求导可得122()()cos()sin sin()2f x xf x x x x ππ+=+=-=+，类似可得2333()()sin()2f x xf x x π+=+， 下面我们用数学归纳法证明1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对一切*n N ∈都成立， （1）1n =时命题已经成立，（2）假设n k =时，命题成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+， 对此式两边求导可得1'()()'()cos()2k k k k kf x f x xf x x π-++=+1sin()2k x π+=+， 即11(1)()()sin()2k k k k f x xf x x π++++=+，因此1n k =+时命题也成立. 综合（1）（2）等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对一切*n N ∈都成立.令4x π=，得11()()sin()44442n n n nf f πππππ-++=+，所以1()()4442n n nf f πππ-+=. 4．【2015江苏，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，考点：计数原理、数学归纳法【考题预测】1．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n N ++∈，． （1）求1a ， 2a ， 3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 【答案】(1) 122,4,a a == 38,a = (2)见解析【解析】试题分析：（１）利用等式，求出1a ， 2a ， 3a 的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明. 试题解析：（1）1=2a ， 2=4a ， 3=8a ．（2）猜想： =2nn a ．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，则有12301232322222k k k k k k k k kk C C C C a C ++++=++++⋯+=． 则1n k =+时， 123+101112+13+1+11123+12222k k k k k k k k k C C C C a C++++++++=++++⋯+． 由111k k kn n n C C C +++=+得1021320112233123222k k k k k k k kC C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1+122k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1123+1+123+1222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1023+1+1111211222222k k kk k k k k k k k k kC C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭121+10231-1+1+11121+1222222k k k kk k k k k k k kk k kC C C C C C -+++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭． 又()()()()()()()()()()+1+1+1+11121!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2k k k k k k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++121+10231-1+1+111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭， 于是11122k k k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得， =2nn a *n N ∈，． 2．已知函数，记，当．（1）求证：在上为增函数； （2）对于任意，判断在上的单调性，并证明．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）证明：因为，所以，进而得到函数在上为增函数．（2）利用数学归纳法，即可证得对于任意，在上均为增函数．【详解】 （1）证明：因为，所以，因为所以，，所以，所以，所以在上为增函数．（2）结论：对于任意，在上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立； ②假设当n =k 时结论也成立，即在上为增函数，所以当时，在上恒成立．当n =k +1时，，所以 又当时，，，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上为增函数．由①②得证，对于任意，在上均为增函数．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及数学归纳的证明问题，其中认真审题，掌握函数的导函数与原函数的关系，以及数学归纳法的步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 3．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=1sin 12122sin 2n xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（2）201532-【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值 试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k xk x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k xx ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=-()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k xx +-+++=-()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x xx +++=- 1sin 112122sin 2k xx ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-这就是说，当1n k =+时等式也成立. 根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+=1sin 201812122sin 2xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-， 两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=所以232018sin2sin3sin 2018sin6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 201532=-所以2342018sin2sin3sin 4sin 2018sin66666πππππ++++⋅⋅⋅+ 201532=-. 4．已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数， *n N ∈.（1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【试题分析】（１）借助题设条件运用导数知识分别求解；（２）依据题设条件及（１）的结论先猜想结论，再运用数学归纳法分析推证：解：（1）()()()()()()()()'''10212232',a bc ad cx d bc ad cb ad f x f x f x f x ax b ax b ax b ax b ⎡⎤--+-+⎡⎤======⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+++⎢⎥⎣⎦. （2）猜想()()()()11*11!,n n n n a bc ad n f x n N ax b --+-⋅⋅-⋅=∈+.证明：① 当1n =时，由(1)知结论正确；②假设当*,n k k N =∈时，结论正确，即有()()()()1111!k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+.当1n k =+时，()()()()()'11'111!k k k k k a bc ad k f x f x ax b --++⎡⎤-⋅⋅-⋅==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()()()()'1111!k k k abc ad k ax b --+-⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦()()()()211!kk k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+，所以当1n k =+时结论成立，由①②得，对一切*n N ∈结论正确.点睛：数学归纳法是中学数学中重要的证明与自然数有关命题的数学思想方法，运用该方法时，一定要验证初始条件的成立与否，这是推证的基础；其中从,1n k n k ==+到的台阶更是尤为重要。
