双曲线的简单几何性质1

y
图形
. .B2
F1 A1O A2 F2
x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c)
x
F1(0,-c)
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
范围 x ≥ a 或 x ≤ a，y R y ≥ a 或 y ≤ a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
ybx a
第20页，共59页。
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
课外思考:
1.双曲线 x2 y2 1 的两条渐近线的夹角的正切
A1
动画演示
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A2
o a
x
它与yyb x的x位置的变化趋势 :
a
（3）利画用 出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以 草较图准确的
B1
ybx a
ybx a
第5页，共59页。
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
x2 y 2 m(m 0)
第4页，共59页。
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为

经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
总结
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当
双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论， 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)．
经典例题
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
2.中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )
A.2x52 －y92＝1 C.1x020－3y62 ＝1
√B.2x52 －y92＝1 或2y52 －x92＝1
D.1x020－3y62 ＝1 或1y020－3x62 ＝1
经 典 例 题 题型一 根据双曲线方程研究几何性质
例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程． 解：双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，
经典例题
题型三 求双曲线的离心率
跟踪训练3
已知双曲线的一条渐近线方程为 y＝2x，则其离心率为________．
5或
5 2
解析：当焦点在 x 轴上时，ba＝2，这时离心率 e＝ac＝ 1＋22＝ 5.
当焦点在 y 轴上时，ab＝2，即ba＝12，这时离心率 e＝ac＝
1＋122＝
5 2.
当堂达标
小试牛刀
1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线ax22－by22＝1 与ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )

焦点F1 (10,0), F2 (10,0)
课堂练习
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y x, 则双曲线 3 的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角 为 。
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
4、渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为 b 2 y x a 2 ( x 0) a b 它与y x的位置关系 : a
动画演示 y Q b N(x,y’) M(x,y)
B2
A1
o
A2
a x
b 它与y x的位置的变化趋势 : a
2
2
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线: y a x
b
-b
a
o b x
-a
c （5）离心率: e a
例题讲解
例1 :求双曲线 9y 16x
2
2
144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程
解：依题意可设双曲线的方程为 x y 2 1 a2 b
2a 16，即a 8
c 5 又 e , c 10 a 4
b 2 c 2 a 2 10 2 82 36
x2 y 2 双曲线的方程为 1 64 36 3 渐近线方程为y x 4
2.3.2 双曲线简单的
几何性质 (一)
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）

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(1)顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,e=5/4 (2)焦点在Y轴上,焦距为16,e=4/3 (3)求以椭圆 的焦点为顶点,以椭圆 的顶点为焦点的双曲线的方程
X2 Y2 1 8 5
5
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例3 根据已知条件研究双曲线的性质 2 2 x y (1)双曲线 2 2 1的两条渐近线互相垂直, a b 则它的离心率为________
1 (1)焦距为10,渐近线方程为Y= x 2
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(2)P(3,- 3 ),e=
5 2
7
小结 金太阳教育网

双曲线的简单几何性质
x y 2 1 2 a b F1F2 2c
2a 2b
2 2
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标准方程
(a>0,b>0)
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1
注:1.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 2 2 x y 2 1 2 性质 a b
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标准方程
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范围 顶点
x a, y R
A 1( a,0) A 、 2(a, 0) 2a 实轴长； B1( 0,-b) 、 B2( 0,b)
焦点
对称性 离心率
2b-----虚轴长。 (-c, 0),(c, 0)。 2c - - - 焦距
关于x、y轴、 原点对称。 c
e
2
品质来自专业 y x 信赖源于诚信 标 准 方 程 为 双曲线与它的渐进线无限接近 1( a 0, b 0) 2 2 ,但永远不相交 a b 金太阳教育网