高中数学必修二 8 6 3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定 练习(含答案)

8.6.3 平面与平面垂直

第1课时 平面与平面垂直的判定

一、选择题

1．在长方体1111ABCDABCD中，23ABAD，12CC，则二面角1CBDC的大小是（ ）

A．30º B．45º C．60º D．90º

【答案】A

【解析】由题意，作出长方体1111ABCDABCD的图象，

取BD中点为O，连接CE、1CE，

因为1CC平面ABCD，所以C即1C在平面ABCD上的投影，

又BD平面ABCD，所以1CCBD，

因为23ABAD，所以四边形ABCD是正方形，

O为BD中点，所以COBD，又1COCCC，

所以BD平面1COC，又1CO平面1COC，所以1BDCO，

1COC即二面角1CBDC，

又12CC，22232362CO，

所以123tan36COC，130COC.

故选：A

2．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )

A．60 B．30 C．45 D．15

【答案】C

【解析】

由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，

∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．

3．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是 ( )

A．平面EFG∥平面PBC

B．平面EFG⊥平面ABC

C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角

D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角

【答案】D

【解析】对于A，因为点E，F分别是AB,AP的中点，

所以EFPB，

又EF平面PBC，PB平面PBC，

所以EF平面PBC．同理EG∥平面PBC，

又EFEGE,

所以平面EFG∥平面PBC．因此A正确．

对于B，因为,,PCBCPCACBCACC,

所以PC平面ABC． 又FGPB,

所以FG平面ABC，

又FG平面FGE，

所以平面FGE平面ABC．因此B正确．

对于C，由于平面EFG∥平面PBC，且与平面PAB交于EF，PB，∴EFPB

所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角．因此C正确．

对于D，由于FE,GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D不正确．

综上选项D不正确．选D．

4．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD圆柱的底面，则必有（ ）

A．平面ABC平面BCD B．平面BCD平面ACD

C．平面ABD平面ACD D．平面BCD平面ABD

【答案】B

【解析】因为AB是圆柱上底面的一条直径，

所以ACBC，又AD圆柱的底面，所以ADBC，

因为ACADA，所以BC⊥平面ACD.

又BC平面BCD，所以平面BCD平面ACD.

故选：B.

5．（多选题）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60DAB，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）

A．在棱AD上存在点M，使AD平面PMB

B．异面直线AD与PB所成的角为90°

C．二面角PBCA的大小为45° D．BD平面PAC

【答案】ABC

【解析】解：如图，对于A，取AD的中点M，连接,PMBM，∵侧面PAD为正三角形，

PMAD，又底面ABCD是菱形，60DAB，ABD是等边三角形，

ADBM，又PMBMM，PM，BM平面PMB，

AD平面PBM，故A正确.

对于B，AD平面PBM，ADPB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确.

对于C，∵平面PBC平面ABCDBC，//BCAD，BC平面PBM，BCPBBCBM，

PBM是二面角PBCA的平面角，设1AB，则32BM，32PM，

在RtPBM△中，tan1PMPBMBM，即45PBM，故二面角PBCA的大小为45°，故C正确.

对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误.

故选：ABC

6．（多选题）如图，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐵=1，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，∠𝐵𝐶𝐷=45°，将𝛥𝐴𝐵𝐷沿对角线𝐵𝐷折起.设折起后点𝐴的位置为𝐴′，并且平面𝐴′𝐵𝐷⊥平面𝐵𝐶𝐷.给出下面四个命题正确的：()

A．𝐴′𝐷⊥𝐵𝐶 B．三棱锥𝐴′−𝐵𝐶𝐷的体积为√22

C．𝐶𝐷⊥平面𝐴′𝐵𝐷 D．平面𝐴′𝐵𝐶⊥平面𝐴′𝐷𝐶

【答案】CD

【解析】如图所示：𝐸为𝐵𝐷中点，连接𝐴′𝐸 𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐵=1，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵得到∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=45°

又∠𝐵𝐶𝐷=45°故𝛥𝐵𝐶𝐷为等腰直角三角形

平面𝐴′𝐵𝐷⊥平面𝐵𝐶𝐷，𝐶𝐷⊥𝐵𝐷 ，所以𝐶𝐷⊥平面𝐴′𝐵𝐷，所以C正确

𝐸为𝐵𝐷中点，𝐴′𝐸⊥𝐵𝐷则𝐴′𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷 所以𝐴′𝐸⊥𝐵𝐶

如果𝐴′𝐷⊥𝐵𝐶，则可得到𝐵𝐶⊥平面𝐴′𝐵𝐷，故𝐵𝐶⊥𝐵𝐷 与已知矛盾.故A错误

三棱锥𝐴′−𝐵𝐶𝐷的体积为𝑆=13×12×√2×√2×√22=√26 .故B错误

在直角三角形𝐴′𝐶𝐷中，𝐴′𝐶2=𝐶𝐷2+𝐴′𝐷2∴𝐴′𝐶=√3

在三角形𝐴′𝐵𝐶中，𝐴′𝐵=1,𝐵𝐶=2,𝐴′𝐶=√3 满足𝐵𝐶2=𝐴′𝐵2+𝐴′𝐶2∴𝐵𝐴′⊥𝐶𝐴′

又𝐵𝐴′⊥𝐷𝐴′ 所以𝐵𝐴′⊥平面𝐴′𝐷𝐶，所以平面𝐴′𝐵𝐶⊥平面𝐴′𝐷𝐶，故D正确

综上所述：答案为CD

三、填空题

7．在长方体1111ABCDABCD中，12AA，1AD，则平面11BDC与平面111ADC所成的二面角的正弦值是_________.

【答案】255

【解析】画出图像如下图所示，将平面11BDC延展成平面11ABCD，将平面111ADC延展成平面111ABC，平面11ABCD与平面111ABC相交于11CD，且1111111,CDBCCDBC，所以11BCB是平面11BDC与平面111ADC所成的二面角.在11RtBBC中11111,2,5BCBBBC，所以11225sin55BCB.

故答案为：255

8．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点， 当点M满足

时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）

【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)

【解析】连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．

9．如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知3ABBC，将ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值为3；②ABCE；③316BACEVa；④平面ABC平面ADC，其中正确的命题序号为___________．

【答案】③④

【解析】

作出折叠后的几何体直观图如图所示：

∵AB=3a,BE=a,∴AE=2a.

∴2222.2ADAEDEaACCDADa.

∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，

在Rt△ABC中, 2ACtanABCBC,故①不正确；

连结BD，CE，则CE⊥BD，

又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，

∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，

∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，

∴CE⊥AB.故②错误．

三棱锥B−ACE的体积2311113326BACEABCEBCEVVSADaaa.

故③正确．

∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，

∴BC⊥AD，又BC⊥CD，

∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ACD.

故答案为③④．

10．如图所示，在长方体中ABCDEFGH，棱AB与棱HG的位置关系是_________，棱AD与平面DCGH的位置关系是__________，平面ABCD与平面ADHE的位置关系是_________.

【答案】平行 垂直 垂直

【解析】根据长方体的性质可知，棱AB与棱HG平行，棱AD与DC,DH垂直，所以棱AD与平面DCGH垂直，长方体的侧面与底面垂直，故平面ABCD与平面ADHE垂直.

三、解答题

11．已知四棱锥PABCD-的底面ABCD是菱形，120ADC，AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影，N是PC的中点．

（1）求证：平面MPB平面PBC；

（2）若MPMC，直线BN与平面PMC所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析（2）267

【解析】 (1)证明 ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，

且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.

又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，

∴PM⊥平面ABCD，

又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，

而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，

∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，

∴平面MPB⊥平面PBC.

(2)解 过点B作BH⊥MC，连接HN，