高中数学必修二 8 6 2 直线与平面垂直的判定1课时(含答案)

8.6.2直线与平面垂直的判定

导学案

编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波

【学习目标】

1.掌握直线与平面垂直的定义

2.握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直

【自主学习】

知识点1 直线与平面垂直的定义

1．如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，

记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．

直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．

2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，

叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．

知识点2 直线与平面垂直的判定定理

1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．

2．图形语言：如右图所示．

3.符号语言：a⊥α，b⊥α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⊥l⊥α.

知识点3 直线与平面所成的角

1．如图，一条直线l和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，

这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．

2．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．

3．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.

直线与平面所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.

【合作探究】

探究一 直线与平面垂直的定义及判定定理

【例1】下列说法中正确的个数是( )

①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】 D

[解析] 由直线和平面垂直的判定定理知⊥正确；由直线与平面垂直的定义知，⊥正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条直线垂直，故⊥不对，⊥正确．

归纳总结：

1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.

2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.

【练习1】如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )

A．异面 B．平行

C．垂直 D．不确定

【答案】C

解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊥α，

所以BA⊥l，同理BC⊥l，

又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.

因为AC⊥平面ABC，所以l⊥AC.

探究二 直线与平面垂直的证明

【例2】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：

(1)BC⊥平面PAB；

(2)AE⊥平面PBC；

(3)PC⊥平面AEF.

[分析] 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．

[证明] (1)⊥PA⊥平面ABC，BC⊥平面ABC， ⊥PA⊥BC.

⊥⊥ABC＝90°，⊥AB⊥BC.

又AB∩PA＝A，⊥BC⊥平面PAB.

(2)⊥BC⊥平面PAB，AE⊥平面PAB，⊥BC⊥AE.

⊥PB⊥AE，BC∩PB＝B，

⊥AE⊥平面PBC.

(3)⊥AE⊥平面PBC，PC⊥平面PBC，

⊥AE⊥PC.

⊥AF⊥PC，AE∩AF＝A，⊥PC⊥平面AEF.

归纳总结：线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件

【练习2】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：

(1)CD⊥PD；

(2)EF⊥平面PCD.

证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊥平面ABCD，

所以CD⊥PA.

又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. (2)如图，取PD的中点G，连接AG，FG，

又因为F是PC的中点，所以GF綉12CD，

所以GFAE.

所以四边形AEFG是平行四边形，

所以AG⊥EF.

因为PA＝AD，G是PD的中点，

所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，

因为CD⊥平面PAD，AG⊥平面PAD.

所以CD⊥AG.所以EF⊥CD.

因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.

探究三 直线与平面所成的角

【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中．

(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；

(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

[分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．

[解] (1)⊥直线A1A⊥平面ABCD，

⊥⊥A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，

设A1A＝1，则AC＝2， ⊥tan⊥A1CA＝22.

(2)如图，连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

⊥BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊥平面A1B1C1D1，⊥BB1⊥A1C1.

又BB1∩B1D1＝B1，

⊥A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.

⊥⊥A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

在Rt⊥A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，

⊥⊥A1BO＝30°.

即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.

归纳总结：求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：1确定斜线与平面的交点斜足；2通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；3求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形

【练习3】如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.

(1)求证：CD⊥平面PAB；

(2)求直线PC与平面PAB所成的角．

解：解法1：(1)证明：如图，连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.由3AC＝BC知，⊥CAB＝60°，所以⊥ACO为等边三角形．故CD⊥AO.

因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊥平面ABC，所以PD⊥CD，由PD⊥平面PAB，AO⊥平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.

(2)由(1)知⊥CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又⊥AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝3.

在Rt⊥PCD中，PD＝DB＝3，CD＝3，

所以tan⊥CPD＝CDPD＝33，所以⊥CPD＝30°，

即直线PC与平面PAB所成的角为30°.

解法2：(1)证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.

在Rt⊥ABC中，由AB＝4,3AD＝DB，3AC＝BC，得DB＝3，BC＝23，所以BDBC＝BCAB＝32，则⊥BDC⊥⊥BCA，所以⊥BCA＝⊥BDC，即CD⊥AO.

因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

所以PD⊥平面ABC.

又CD⊥平面ABC，所以PD⊥CD. 由PD⊥平面PAB，AO⊥平面PAB，

且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.

(2)由(1)知⊥CPD是直线PC与平面PAB所成的角．

在Rt⊥PCD中，PD＝BD＝3，CD＝BC2－BD2＝3，

所以tan⊥CPD＝CDPD＝33，所以⊥CPD＝30°，

即直线PC与平面PAB所成的角为30°.

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．下列说法中正确的个数是( )

①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；

④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.

A．4 B．2 C．3 D．1

【答案】 B

解析 对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以①②是错误的；易知③④是正确的．

2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．

A．①③ B．② C．②④ D．①②④

【答案】 A

解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面．而②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直．

3．如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是( )

A．l⊂α B．l⊥α

C．l∥α D．l⊂α或l∥α

【答案】 D

解析 结合正方体模型，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内，故选D.