一、数与式的运算
必会的乘法公式
【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2
2
2
2
+++++=++ 证明：2
2
2
2
)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++
ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=
∴等式成立
【例1】计算：2
2
)3
12(+-x x 解：原式=2
2
]3
1)2([+-+x x
9
1
3223822)
2(3
1
2312)2(2)31()2()(234222222+
-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3
3
2
2
))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)
证明: 3
3
3
2
2
2
2
3
2
2
))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3
【公式3】3
3
2
2
))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)
1．计算
（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=
（3）)916141(312
1
2++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =
（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=
2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=
（2）27m 3-81
n 3=
（3）x 3
-125= （4） m 6-n 6=
【公式4】3
3
3
2
2
()33a b a b a b ab +=+++
【公式5】33223
()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：
（1）)416)(4(2
m m m +-+
（2）)4
1101251)(2151(22n mn m n m ++-
（3）)164)(2)(2(24
++-+a a a a （4）2
22
2
2
))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=3
33644m m +=+ （2）原式=3
33
3
8
11251)2
1()5
1
(n m n m -=
- （3）原式=644)()44)(4(6
3
3
22
2
4
2
-=-=++-a a a a a （4）原式=2
2
2
2
22
2
)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+
63362332)(y y x x y x ++=+=
说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式
的结构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、
4、…、10的立方数，是非常有好处的．
【例4】已知2
310x x -+=，求3
3
1
x x +
的值． 解：2
310x x -+= 0≠∴x 31=+∴x
x
原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2
222=-=-++=+-+x x x x x
x x x
说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦
琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】已知0=++c b a ，求
111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0
∴原式=ab
b
a c ac c a
b b
c c b a +⋅
++⋅++⋅
333
()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc
---++=++=- ①
abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+
abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-
abc
abc
说明：注意字母的整体代换技巧的应用．
