2017年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
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第1页（共24页）
2017年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集为R,集合M=｛﹣1,1，2，4｝，N=｛x｜x2﹣2x＞3}，则M∩（∁RN）=（ ）
A．｛﹣1,1，2｝ B．{1,2｝ C．｛4｝ D．｛x|﹣1≤x≤2｝
2．复数（i为虚数单位）的虚部是（ )
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．已知命题p:“m=﹣1”，命题q：“直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直"，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
4．《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺"，则该女第一天共织多少布？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．双曲线mx2+ny2=1(mn＜0）的一条渐近线方程为，则它的离心率为( )
A．2 B． C．或 D．2或
6．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是（ ）
A．3π B．4π C．5π D．
7．在等比数列｛an}中，已知a3，a7是方程x2﹣6x+1=0的两根，则a5=（ ） 第2页（共24页）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．3
8．设,则展开式的常数项为（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．240
9．设x∈［0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，则“a≤5”的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A． B．［3，11] C． D．[1，11］
11．已知圆O的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且，则△ABC的面积最大值为( ）
A．2 B．1 C． D．
12．已知定义在R上的函数f（x)的导函数为f′（x)，对任意x∈R满足f(x）+f′（x）＜0,则下列结论正确的是（ ）
A．2f（ln2）＞3f（ln3） B．2f（ln2)＜3f（ln3） C．2f(ln2）≥3f（ln3） D．2f（ln2）≤3f(ln3）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数，则f（f（3））= ．
14．观察下列式子：,，第3页（共24页） ,
…，根据以上规律，第n个不等式是 ．
15．函数的图象可由函数的图象至少向左平移
个单位长度得到．
16．已知一个三棱锥的所有棱长均为,则该三棱锥的内切球的体积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设函数．
（1）求函数f（x)的单调区间;
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若,c=2,求△ABC面积的最大值．
18．某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学(两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：
(1）学校规定：成绩不低于75分的优秀,请填写下面的2×2联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
甲班 乙班 合计
优秀
不优秀
合计
附:参考公式及数据 第4页（共24页）
P（x2≥k） 0。15 0。10 0。05 0。025 0。010 0。005 0.001
k 2.072 2.706 3。841 5。024 6。635 7。879 10.828
K2=
（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设ξ为抽取成绩不低于95分同学人数，求ξ的分布列和期望．
19．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2,D为棱BB1上一点，E是AB的中点．
（1）若D是BB1的中点，证明:平面ADC1⊥平面A1EC；
（2）若平面ADC1与平面ABC的夹角为45°,求BD的长．
20．已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．
(1）求曲线C的方程；
（2)过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A,B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合)，使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
21．已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=﹣3x2+3且f（0）=﹣1,．
（1)求f（x）的极值；
(2)求证：对任意x1,x2∈（0,+∞），都有f（x1）≤g（x2)．
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极第5页（共24页）
坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：，直线l的参数方程是(t为参数，0≤α＜π）．
(1）求曲线C的直角坐标方程；
(2）设直线l与曲线C交于两点A，B,且线段AB的中点为M(2,2）,求α．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=m﹣｜x+4｜（m＞0），且f(x﹣2）≥0的解集为[﹣3，﹣1]．
(1）求m的值；
（2)若a,b，c都是正实数，且，求证：a+2b+3c≥9．
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2017年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集为R，集合M={﹣1，1,2，4｝，N={x｜x2﹣2x＞3｝，则M∩（∁RN)=（ ）
A．｛﹣1，1，2} B．｛1，2} C．{4} D．{x|﹣1≤x≤2｝
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出N中不等式的解集确定出N，根据全集R，求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．
【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣3)（x+1）＞0，
解得:x＜﹣1或x＞3,即N=（﹣∞，﹣1)∪(3，+∞），
∵全集为R，∴∁RN=［﹣1，3］，
∵M=｛﹣1，1，2，4}，
∴M∩（∁RN）={﹣1，1，2}，
故选:A．
2．复数（i为虚数单位)的虚部是( )
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
【解答】解： =, 则复数(i为虚数单位）的虚部是：﹣1．
故选：B．
3．已知命题p：“m=﹣1"，命题q：“直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直”，则第7页（共24页）
命题p是命题q的（ )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用直线相互垂直与斜率之间的关系解出m，进而判断出结论．
【解答】解：命题q：由直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则﹣×=﹣1，解得：m=±1．
∴命题p是命题q的充分不必要条件．
故选：A．
4．《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺",则该女第一天共织多少布？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设数列｛an},则数列｛an}是等差数列，且S30=390,a30=21，由此能求出结果．
【解答】解:设数列{an}，则数列｛an｝是等差数列，
且S30=390，a30=21, ∴，
即390=15（a1+21)，
解得a1=5．
故选:C．
5．双曲线mx2+ny2=1(mn＜0)的一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即第8页（共24页）
可．
【解答】解：∵双曲线mx2+ny2=1（mn＜0)的一条渐近线方程为y=x， ∴=或=，
∴双曲线的离心率为e===2或，
故选：D．
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是( ）
A．3π B．4π C．5π D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图知，该几何体为半径为1的球体，挖去球体，
结合图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据三视图知，
该几何体为半径为1的球体，挖去球体，
该几何体的表面积为 S=×4πR2+2×πR2=4πR2=4π．
故选：B．
7．在等比数列{an}中，已知a3，a7是方程x2﹣6x+1=0的两根，则a5=（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．3
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出． 第9页（共24页）
【解答】解：∵a3,a7是方程x2﹣6x+1=0的两根，
∴a3•a7=1，a3+a7=6．∴a3＞0，a7＞6．∴a5＞0．
则a5==1．
故选：A．
8．设,则展开式的常数项为（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．240
【考点】二项式系数的性质；定积分．
【分析】利用定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项．
【解答】解: =﹣cosx=﹣（cosπ﹣cos0）=2， 则=展开式的通项公式为:
Tr+1=••
=26﹣r••，
令3﹣r=0得：r=2．
∴展开式中的常数项为24•=240．
故选：D．
9．设x∈[0，3］，执行如图所示的程序框图,从输出的结果中随机取一个数a,则“a≤5”的概率为( )
