2019年高中人教A版数学选修1-1练习：第一章 常用逻辑用语 1.1.2-1.1.3 (附答案解析)
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2019年高中人教A版数学选修1-1练习
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
课后训练案巩固提升
一、A组
1.命题“若an=2n-1,则数列{an}是等差数列”的逆否命题是( )
A.若an≠2n-1,则数列{an}不是等差数列
B.若数列{an}不是等差数列,则an≠2n-1
C.若an=2n-1,则数列{an}不是等差数列
D.若数列{an}是等差数列,则an≠2n-1
答案:B
2.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.以上均不对
解析:由原命题与逆命题的关系知选A.
答案:A
3.命题“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )
A.0 B.2
C.3 D.4
解析:原命题为真,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4个命题是真命题.
答案:D
4.若命题r:“若p,则q”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是( )
A.若p,则q B.若q,则p
C.若p,则q D.若q,则p
解析:命题“若p,则q”的否命题“若p,则q”一定是真命题.
答案:A
5.原命题为:“若α+β≠
,则sin α≠cos
β”,则下列说法正确的是( )
A.与逆命题同为假命题
B.与否命题同为假命题
C.与否命题同为真命题
D.与逆否命题同为假命题
解析:该命题的逆否命题是“若sin α=cos β,则α+β=
”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=
,则sin α=cos β”,显然是真命题,故D项正确.
答案:D
6.有下列四个命题:
①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;
②“对应边平行的两角相等”的否命题;
③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;
④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.
其中的真命题是( )
A.①② B.②③
C.①③ D.③④
解析:①逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;
②否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题; ③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;
④逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.
答案:C
7.命题“若α=β,则sin α=sin β”的等价命题是 .
解析:原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若α=β,则sin α=sin β”的等价命题是“若sin α≠sin β,则α≠β”.
答案:若sin α≠sin β,则α≠β
8.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为 .
答案:在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角
9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:
(1)若x≥10,则2x+1>20;
(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;
(3)在整数中,奇数不能被2整除.
解:(1)逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;
否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;
逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.
(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;
否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;
逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.
(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;
否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;
逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.
10.已知m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.
证明:构造命题p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.
其逆否命题是:若m是奇数,则m2+6m是奇数.
以下证明该逆否命题为真命题.
由于m是奇数,不妨设m=2k-1(k∈Z),
则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k-1)-1,
由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k-1)-1为奇数,即m2+6m是奇数.
因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.
二、B组
1.若命题p的否命题是q,q的逆否命题是r,则r是p的 ( )
A.原命题 B.逆命题 C.否命题 D.逆否命题
答案:B
2.与命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是( )
A.若a,b,c不成等比数列,则b2=ac
B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac
C.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列
D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列
解析:一个命题与它的逆否命题是等价命题,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”,故选D.
答案:D
3.已知命题“若1 解析:因为原命题与逆否命题等价,所以原命题为真命题,因此有 - 解得1≤m≤2. 答案:[1,2] 4.给出下列四个命题: ①“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”的逆否命题; ②“若m=2,则直线x+y=0与直线2x+my+1=0平行”的逆命题; ③“已知a,b是非零向量,若a·b>0,则a与b方向相同”的逆否命题; ④“若x>3,则x2-x-6>0”的否命题. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①中,当a=b=c=0时,b2=ac,此时a,b,c不成等比数列,原命题为假命题,所以它的逆否命题为假命题;易知②为真命题;③中,当a=(0,1),b=(1,1)时,a·b>0,但a与b不同向,所以原命题为假命题,故它的逆否命题为假命题;④中,原命题的逆命题为“若x2-x-6>0,则x>3”,易知它为假命题,所以原命题的否命题为假命题.故选A. 答案:A 5.命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这些命题的真假. 解:逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集. 否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0. 逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是空集. 原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题. 6.导学号59254004求证:若x+y+z>60,则x,y,z中至少有一个大于20. 证明:构造命题:若x+y+z>60,则x,y,z中至少有一个大于20. 其逆否命题是:若x,y,z都小于或等于20,则x+y+z≤60. 由于x≤20,y≤20,z≤20,由不等式的性质可得x+y+z≤20+20+20=60, 因此逆否命题正确,从而原结论正确.
