〔1〕互换矩阵的两行或两列；
〔2〕把某一行同乘〔除〕以一个非零的数；
〔3〕某一行乘以一个数加到另一行。
显然，通过以上三个根本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
应用举例：
例1
例2
课堂练习：
〔1〕假设方程组的解与相等，求的值。
〔3〕解方程组：
矩阵运算
〔对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.〕
1．相等
定义 如果两个矩阵，满足：
(1) 行、列数相同，即 ；
(2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n )，
那么称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B
〔由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.〕例如，矩阵
A =， B =
那么A = B，当且仅当
a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4
而
C =
因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等.
2．加法
定义2.3 设，是两个mn矩阵，那么称矩阵
C =
为A与B的和，记作
C = A + B =
〔由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.〕
同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =
称D为A与B的差.
例1 设矩阵A =， B =，求A + B，A - B.
例2、矩阵，，，假设，，，求的值。
矩阵加法满足的运算规那么是什么？
设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规那么 1. 加法交换律： A + B = B + A；
1 20 2.2矩阵的运算及其性质
课 题 2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念； 2特殊矩阵 时间 分配 教
学 过 程 教学方法 教学手段90ˊ一、导言：矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。二、新授：2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。 应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。 2．矩阵的加法满足下列运算律（设 ， ， 都是 矩阵）： （1） （2） 。
两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。 2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。 2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设 ， ，为 矩阵， ， 为数）： （1） （2） （3） 例3 设 ，
求 。 解： 讲授法 板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：设两个矩阵 ， ，则矩阵 与矩阵 的乘积记为 ，规定 ，其中 2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）： (1)
结合律： （2）分配律： （3）设 是数， 。 例2设 ， ，
求 ， 与 。 解： 从例题中我们可以得出下面的结论： （1）矩阵的乘法不满足交换律。即一般地说， 。 （2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。一般说来， 不能推出 或 。 （3）矩阵2 20 乘法中消去律不成立。即 ，且 ，不能推出 3．设 是一个 阶方阵，定义： （ 是正整数） 称 为 的 次方幂。 由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律： ； ， 时间 分配 教 学 过 程 教学方法 教学手段其中 ， 为正整数。又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个 阶方阵
矩阵的加法和乘法规则
1. 矩阵的加法规则
矩阵加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置上的元素相加得到一个新的矩阵的运算规则。
设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，表示为A =
[aij]m×n，B =
[bij]m×n。则A和B的加法规则为：
A + B = [aij + bij]m×n
新矩阵中的每个元素都是原两个矩阵对应位置上元素的和。
2. 矩阵的乘法规则
2.1 矩阵的数乘规则
矩阵的数乘是指将一个数（标量）和矩阵的每个元素相乘得到一个新的矩阵的运算规则。
设有一个矩阵A，大小为m行n列，表示为A =
[aij]m×n，以及一个数（标量）k。则A的数乘规则为：
kA = [kaij]m×n
新矩阵中的每个元素都是原矩阵对应位置上元素与数k的乘积。
2.2 矩阵的乘法规则
矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C的运算规则。
设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，表示为A = [aij]m×n，B =
[bij]n×p。则A和B的乘法规则为：
AB = [cij]m×p
新矩阵C中的每个元素cij都是通过将A的第i行与B的第j列对应位置上的元素乘积相加而得到。
3. 注意事项
- 矩阵的加法和乘法运算要求参与运算的两个矩阵满足相应的大小要求，即加法要求两个矩阵大小相同，乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
- 矩阵的加法和乘法满足交换律和分配律，但不满足结合律。
- 矩阵的乘法运算中，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，否则乘法运算将无法进行。
通过上述规则，我们可以进行矩阵的加法和乘法运算，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
追求简单的策略，避免使用涉及复杂法律问题的内容。不引用无法确认的内容。
9.2 矩阵的运算
一、新课引入：
小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：
题型
答题
姓 数
名 期中 期末
填空题 选择题 解答题 填空题 选择题 解答题
小王 10 3 2 8 4 4
小李 9 5 3 7 3 3
填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分；
1、观察：
2、思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？
思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩；
3、讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？
二、新课讲授
1、矩阵的加法
（1）引入：记期中成绩答题数为A，期末答题数为B，则：
3592310A 337448B
确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C
68166718BAC
（2）矩阵的和（差）：
当两个矩阵AB、的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵AB、的和（差）,记作：ABAB。
（3）运算律：
加法运算律：ABBA；
加法结合律：ABCABC。
2、矩阵的数乘
（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵：93.5318432AB
（2）矩阵与实数的积：
设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A。
（3）运算律：（R、）
分配律：BABA；AAA)(；
结合律：AAA。
3、例题举隅
例2、已知1683,5231BA，求BA
例3、已知3-74-3,1564BA，求BA-
例4、某公司有三家分厂一月份的水费、电费和燃料费如表所示（单位：元），现在公司限定各分厂的水费、电费、燃料费都至少要节约20％，用矩阵表示这三家分厂各项费用的限定额
