空间向量立体几何导学案

学习过程

一、课前准备

（预习教材P102~ P104，找出疑惑之处）

复习1：

可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？

复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？

复习3：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，

a·b＝

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面

问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

新知：

⑴ 点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.

⑵ 直线：

① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.

② 对于直线l上的任一点P,存在实数t，使得APtAB，此方程称为直线的向量参数方程.

⑶ 平面：

① 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点P,,ab是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)xy,使得OPxayb.

②

空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.

⑷ 平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量n垂直于平面,记作n⊥，那 么向量n叫做平面的法向量.

试试： .

1.如果,ab都是平面的法向量，则,ab的关系

.

2.向量n是平面的法向量，向量a是与平面平行或在平面内，则n与a的关系是 .

反思：

1. 一个平面的法向量是唯一的吗？

2. 平面的法向量可以是零向量吗？

⑸ 向量表示平行、垂直关系：

设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,

的法向量分别为,uv，则

① l∥ma∥bakb

② l∥au0au

③ ∥u∥v

※ 典型例题

例1 已知两点1,2,3,2,1,3AB,求直线AB

与坐标平面YOZ的交点.

变式：已知三点1,2,3,2,1,2,AB1,1,2P,点Q在OP上运动（O为坐标原点）,求当QAQB取得最小值时,点Q的坐标.

小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.

例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

变式：在空间直角坐标系中,已知3,0,0,0,4,0,0,0,2ABC,试求平面ABC的一个法向量.

小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.

※ 动手试试

练1. 设,ab分别是直线12,ll的方向向量，判断直线12,ll的位置关系：

⑴ 1,2,2,2,3,2ab；

⑵ 0,0,1,0,0,3ab.

练2. 设,uv分别是平面,的法向量，判断平面,的位置关系：

⑴ 1,2,2,2,4,4uv；

⑵ 2,3,5,3,1,4uv.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 空间点，直线和平面的向量表示方法

2. 平面的法向量求法和性质.

※ 知识拓展：

求平面的法向量步骤：

⑴设平面的法向量为(,,)nxyz；

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标； ⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组；

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 设2,1,2,6,3,6ab分别是直线12,ll的方向向量，则直线12,ll的位置关系是 .

2. 设2,2,5,6,4,4uv分别是平面,的法向量，则平面,的位置关系是 .

3. 已知n，下列说法错误的是（ ）

A. 若a，则na B.若//a，则na

C.若,m，则//nm D.若,m，则nm

4.下列说法正确的是（ ）

A.平面的法向量是唯一确定的

B.一条直线的方向向量是唯一确定的

C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量

D.若m是直线l的方向向量，//l，则//m

5. 已知1,0,1,0,3,1ABAC，能做平面ABC的法向量的是（ ）

A. 1,2,1 B.11,,13 C.1,0,0 D. 2,1,3

课后作业

1. 在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的一个法向量.

2．已知2,2,1,4,5,3ABAC，求平面ABC的一个法向量.

§3.2立体几何中的向量方法（2）

学习目标

1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；

2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P105~ P107，找出疑惑之处.

复习1：已知1ab，1,2ab，且2mab，求m.

复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？

二、新课导学

※

学习探究

探究任务一：用向量求空间线段的长度

问题：如何用向量方法求空间线段的长度？

新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2aa求出线段长度.

试试：在长方体''''ABCDABCD中，已知'1,2,1ABBCCC,求'AC的长.

反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.

※ 典型例题

例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

变式1：上题中平行六面体的对角线1BD的长与棱长有什么关系？

变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?

探究任务二：用向量求空间图形中的角度

例2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离,ACBD分别为,ab，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.

变式：如图，60的二面角的棱上有,AB两点，直线,ACBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB已知4,6,8ABACBD,求CD的长.

※ 动手试试

练1. 如图，已知线段AB在平面α内，线段AC，线段BD⊥AB，线段'DD，'30DBD，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.

练2. 如图，M、N分别是棱长为1的正方体''''ABCDABCD的棱'BB、''BC的中点．求异面直线MN与'CD所成的角.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2aa；

2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为

利用公式cos,ababab求解.

※ 知识拓展

解空间图形问题时,可以分为三步完成:

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知1,02,1,1,3AB，则AB

.

2. 已知1cos,2ab，则,ab的夹角为 .

3. 若M、N分别是棱长为1的正方体''''ABCDABCD的棱''',ABBB的中点,那么直线,AMCN所成的角的余弦为（ ）

A.32 B.1010 C.35 D.25

4. 将锐角为60边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60的二面角，则,ACBD间的距离是（ ）

A.32a B.32a C.34a D.34a

5.正方体''''ABCDABCD中棱长为a，'13AMAC,N是'BB的中点，则MN为（ ）

A.216a B.66a C.156a D.153a

课后作业

1. 如图，正方体''''ABCDABCD的棱长为1，

,MN分别是''',BBBC的中点，求：

⑴ ',MNCD所成角的大小；

⑵ ,MNAD所成角的大小；

⑶ AN的长度.