空间向量在立体几何中的应用-教案
- 格式：doc
- 大小：1.21 MB
- 文档页数：26
全国名校高二数学寒假辅导，自学优质学案汇编
1 授课主题 第12讲---空间向量在立体几何中的应用
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 ①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;
④能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;
⑤能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理;
⑥能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
(一) 知识框架
(二) 空间向量
空间向量:在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向空间向量的定义与运算空间向量运算几何意义空间向量的坐标表示及运算应用空间向量的运算解决立几问题证明平行、垂直求空间角与距离体系搭建
全国名校高二数学寒假辅导，自学优质学案汇编
2 量．a平行于b记作ba//．当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb。
向量的数量积:已知向量,ab，则||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即ab||||cos,abab。
空间向量数量积的性质：① ||cos,aeaae；② 0abab；③ 2||aaa．
空间向量数量积运算律：①()()()ababab； ②abba（交换律）；
③()abcabac（分配律）。
空间向量基本定理:如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc。若三向量,,abc不共面，我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示；
（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}ijk，以点O为原点，分别以,,ijk的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量 ,,ijk都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；
空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使OAxiyjzk，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．
空间向量的直角坐标运算律：
（1）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
全国名校高二数学寒假辅导，自学优质学案汇编
3 （2）若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则
112233(,,)abababab， 112233(,,)abababab，
123(,,)()aaaaR， 112233abababab，
112233//,,()ababababR，1122330abababab；
222123||aaaaaa，222123||bbbbbb．
夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb．
（3）两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则
2222212121||()()()ABABxxyyzz
或222,212121()()()ABdxxyyzz 。
(三)空间向量在立体几何中的应用
对于垂直问题，一般是利用0abab进行证明；
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式cos||||abab。
平面的法向量的求法：
设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为||arccos||||abab。（注意：线线角的范围[00,900]）
全国名校高二数学寒假辅导，自学优质学案汇编
4 线面角的求法：设n是平面的法向量，AB是直线l的方向向量，则直线l与平面所成的角为||arcsin||||ABnABn（如图）。
二面角的求法：设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则121212,arccos||||nnnnnn就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）
用向量法求距离的公式:设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为||||ABnn（如图）。
点A到平面的距离：||ABndn，其中B，n是平面的法向量。
直线a与平面之间的距离：||ABndn，其中,AaB，n是平面的法向量。
两平行平面,之间的距离：||ABndn，其中,AB， n是平面的法向量。
考点一:空间向量的运算
例1、若a＝(1,5,－1)，b＝(－2,3,5) 典例分析
全国名校高二数学寒假辅导，自学优质学案汇编
5 （1）若//3kabab，求实数k的值；
（2）若3kabab，求实数k的值；
（3）若bak取得最小值，求实数k的值。
【解析】 (1)//3kabab
3kabab设，即(2,53,5)(7,4,16)kkk
由27534516kkk，解得13k；
(2)3kabab，30kabab
(2,53,5)(7,4,16)0kkk，即31060k，解得1063k；
(3)kab2222(2)(53)(5)271638kkkkk
当827k时，kab取得最小值。
考点二：向量法证明平行或垂直
例1、如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC, OAABCD底面,
2OA,M为OA的中点，N为BC的中点
NMABDCO
（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
【解析】作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系
全国名校高二数学寒假辅导，自学优质学案汇编
6 xyzNMABDCOP
22222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0)22244ABPDOMN,
(1)22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MNOPOD
设平面OCD的法向量为(,,)nxyz,则0,0nOPnOD
即 2202222022yzxyz,取2z,解得(0,4,2)n
22(1,,1)(0,4,2)044MNn∵
MNOCD平面‖
(2)设AB与MD所成的角为,
22(1,0,0),(,,1)22ABMD∵
1cos,23ABMDABMD∴∴ , AB与MD所成角的大小为3
(3)设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值,
由 (1,0,2)OB, 得23OBndn.
所以点B到平面OCD的距离为23
考点三：异面直线所成的角
例1、如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2
全国名校高二数学寒假辅导，自学优质学案汇编
7 （1）11BD与1AD能否垂直？请证明你的判断；
（2）当111ABC在[,]32上变化时，求异面直线1AC与11AB所成角的取值范围。
【解析】∵菱形1111ABCD中，1111ACBD于1O，设ACBDO，
分别以11111,,OBOCOO所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，
设2211(,0,0),(0,,0)(1)BaCbab，则11(,0,0),(0,,0),(,0,2)DaAbDa
（1）∵11(2,0,0),(,,2)DBaADab，∴21120DBADa，∴11BD与1AD不能垂直。
（2）∵111ABC[,]32，∴313ba，∵(0,,2)Ab
∴1(0,2,2),ACb211111(,,0),2ABabACABb，
222111||21,||1ACbABab，21112cos,1bACABb
∵221ab，∴设cos,sinab，又313ba，∴3tan1,364
21112cos,1bACABb2242sin1111sinsinsin421csccsc
∵22csc4，∴11156cos,[,]106ACAB
∴直线1AC与11AB所成角的取值范围是56[,]106。
考点四：直线与平面所成的角
例1、如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=90，PA=1，AB=3，AC=2，PA⊥面ABC．
