误差的基本性质与处理

误差的基本性质与处理

第1章绪论1-1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：

研究误差的意义

（1）正确认识误差的性质，分析误差产⽣的原因，以消除或减⼩误差。

（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在⼀定条件下得到更接近于真值的数据。

（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选⽤仪器和测量⽅法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：

（1）讨论形成误差的原因；

（2）各类误差的特征及处理⽅法；

（3）对测量结果进⾏评定。1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？

答1：

测量误差的定义：误差＝测得值－真值。

测量误差的分类：随机误差、系统误差和粗⼤误差。

各类误差的特点：

（1）随机误差：服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性；

（2）系统误差：不服从统计规律，表现为固定⼤⼩和符号，或者按⼀定规律变化；

（3）粗⼤误差：误差值较⼤，明显地歪曲测量结果。

答2：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗⼤误差。系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循⼀定的规律变化（⼤⼩和符号都按⼀定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定⽅式变化；粗⼤误差的特点是可取性。1-3 试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。

答1：

相同点：都是测量值与真值之差。

不同点：误差的绝对值都是正值，⽽绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。

例：某长度的绝对误差为－0.05mm，⽽该误差的绝对值为|－0.05|mm＝0.05mm。

答2：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺⼨和标准尺⼨差别的⼤⼩数量，不反映是“⼤了”还是“⼩了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺⼨和标准尺⼨的差值。+多少表明⼤了多少，-多少表⽰⼩了多少。 (2)就测量⽽⾔,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本⾝标准值未定。1-4 什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的测定值经修正后，能否获得被测量的真值？ 答：

（1）测量误差：测得值与被测量真值之差。

（2）修正值：为消除固定系统误差⽤代数法加到测量结果上的值，是误差的相反数。 （3）经修正后仍然不能得到被测量的真值，理由是修正值本⾝也含有误差。 1-5 测得某三⾓块的三个⾓度之和为180°00＇02＇＇，试求测量的绝对误差和相对误差。 解：真值为180°绝对误差：21802000180''=?-'''?

相对误差：%.000310066018021802=''??'

'=?''

1-6 在万能测长仪上，测量某⼀被测件的长度为50mm ，已知其最⼤绝对误差为1µm ，试问该被测件的真实长度为多少？

解：因为L ＝50mm ，δ＝0.001mm

所以()0010000500..L L ±=±=δmm1-7 ⽤⼆等标准活塞压⼒计测量某压⼒的100.2Pa ，该压⼒⽤更准确的办法测得为100.5Pa ，问⼆等标准活塞压⼒计测量值的误差是多少？

解：以100.5Pa 未约定真值，则⼆等标准活塞压⼒计测量值的绝对误差和相对误差为

绝对误差：100.2Pa －100.5Pa ＝－0.3Pa 相对误差：% (305)

1003

0= 1-8 在测量某⼀长度时，读数为2.31m ，其最⼤绝对误差为20µm ，试求其最⼤相对误差。 解：最⼤相对误差为

%.m

.m

m .m 0008703121020312206=?=-µ

1-9 使⽤凯特摆时，g 由公式()2212

4T h h g +=π

给定。今测出长度（h 1＋h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最⼤相对误差。如果（h 1＋h 2）测出为（1.04220±0.00005）m ，为了使g 的误差能⼩于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？

解：设l ＝（h 1＋h 2），则224T l

g π=

（1）8104904802042301141593442222....T l g =??==πm/s 2

（2）根据相对误差的概念：()l f l l +=10，()T f T T +=10 其中：f l 、f T 分别为l 和T 的相对误差，如此有：()()

()T l T l f f T l f T f l T l g 21411442

00

22200222++≈++==πππ 所以g 的相对误差为：

%.....f f f T l g 05100480

20005

020423010000502=?+=

+=（3）要求0010.g ≤?m/s 2，且（h 1＋h 2）＝（1.04220±0.00005）m 根据T l g f f f 2+=以及gg

f g ?=

可得0000480104220

9001

0...g

g

f g ==

=

因此()000026021.f f f l g T =-=

⼜TT

f T ?=，故000050.Tf T T ==?s 。所以，T 的测量必须精确到0.00005s 。

1-10 检定2.5级（即引⽤误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的⽰值误差2V 为最⼤误差，问该电压表是否合格？

解：因为最⼤误差为2V ，故该表的引⽤误差为%.%522100

2

<= 所以该电压表⽰合格的。

1-11 为什么在使⽤微安表等各种电表时，总是希望指针在全量程的2/3范围内使⽤？ 答：对于⼀个确定的电表，其等级是⼀定的，此时

最⼤绝对误差：%s x x m m ?±=? 最⼤相对误差：%s xx x

x r m

m

x ?±

==

由此可见，随着x （测量读数）增⼤，相对误差减⼩，超过2/3之后，最⼤相对误差在可接受范围内。

所以总是希望指针在全量程的2/3范围内使⽤。1-12 ⽤两种⽅法分别测量L 1＝50mm ，L 2＝80mm 。测得值各为50.004mm 、80.006mm 。试评定两种⽅法测量精度的⾼低。

解：由于使⽤两种不同的⽅法，测量的是两个不同的长度，故只能⽤相对误差进⾏⽐较。L 1：004050004501..=-=δmm ，

511

10850

004

0-?==

.L δ L 2：006050006802..=-=δmm ，

52

2

105780

006

0-?==

..L δ 即：

2

2

11L L δδ>，所以对L 2的测量精度较⾼。 1-13 多级弹道⽕箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km ；在射击场中，优秀射⼿能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶⼼。试评述哪⼀个射击精度⾼？ 解：多级弹道⽕箭：%..001010000

1

0=

射⼿：%..02050

01

0= ⽐较结果表明，多级弹道⽕箭的射击精度较⾼。

1-14 若⽤两种测量⽅法测量某零件的长度L 1＝110mm ，其测量误差分别为±11µm 和±9µm ；⽽⽤第三种测量⽅法测量另⼀种零件的长度L 2＝150mm ，其测量误差为±12µm ，是⽐较三种测量⽅法精度的⾼低。

解：第⼀、⼆种⽅法测量的是同⼀个零件的长度，因此，可以直接⽤其绝对误差进⾏⽐较。根据题意，第⼆种测量⽅法精度⾼于第⼀种。

第三中采⽤了其它⽅法，测量的是另⼀零件的长度，因此，⽤相对误差进⾏⽐较 因为0000801501200008201109.mm

m

.mm m =>=µµ。

所以，第三种⽅法的测量精度最⾼，第⼆种次之，第⼀种最低。1-15 某量值y 由被测量x 表⽰为x x y 24-=，若x 的相对误差为1%时，求y 的相对误差是多少。 解：设x 的相对误差为f x ，则x＝x 0（1+f x ）()()

x x f x f x y +-+=12

1400

()()x x f x f x +-+=12

140

()x f x x 212400+???? ?

-=

所以，y 的相对误差为2f x ＝2%。1-16 如何根据测量误差的特点来减⼩或消除测量误差？

答：（1）随机误差：由于具有抵偿性，可通过多次测量的算术平均值减⼩或消除测量误差。

（2）系统误差：A.找出系统误差产⽣的原因，从根源上消除；B 。找出系统误差的变化规律，在最后结果中加以修正。

（3）粗⼤误差：直接从测量数据中剔除掉。 1-17 什么是有效数字及数字舍⼊有哪些规则？

答：（1）有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左⽅起的第⼀个⾮零数字称为第⼀位有效数字。且从第⼀位有效数字起到最末⼀位数⽌的所有数字，⽆论是零还是⾮零的数字，都叫有效数字。（2）数字舍⼊规则：A.若舍去部分的数值⼤于保留部分的末尾的半个单位，则末尾加1。

B.若舍去部分的数值⼩于保留部分的末尾的半个单位，则末尾不变。

C.若舍去部分的数值等于保留部分的末尾的半个单位，则末尾凑成偶数，即末尾为偶数时不变，末位为奇数时加1。

1-18 根据数据运算规则，分别计算下是结果： （1）3151.0＋65.8＋7.326＋0.416＋152.28＝？ （2）28.13×0.037×1.473＝？ 解：

（1）以65.8为基准，其余各数多取⼀位，则有

原式＝3151.0＋65.8＋7.33＋0.42＋152.28＝3376.83≈3376.8 （2）以28.13为基准，其余各数多取⼀位，则有 原式＝28.13×0.037×1.473＝1.041×1.473=1.5334≈1.53

1-19 在测量实践中有效数字的作⽤以及它与测量精度的关系如何？试举例说明之。

第2章 误差的基本性质与处理2.1试述标准差σ、平均误差θ和或然误差ρ的⼏何意义？

答：从⼏何学的⾓度出发，标准差可以理解为⼀个从 N 维空间的⼀个点到⼀条直线的距离的函数； 从⼏何学的⾓度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度；2.2试述单次测量的标准差σ和算术平均值的标准差x σ,两者的物理意义及实际⽤途有何不同? 2.3 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在[σσ2,2+-]中的概率？

2.4 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g ）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。

【解】】①选参考值00.2360=x ，计算差值00.2360-=-=?i i i x x x x 、0x ?和残差i v 等列于表中。