数字信号处理知识点归纳整理

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第一章 时域离散随机信号的分析

1.1. 引言

实际信号的四种形式:

连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随机序列。 本书讨论的是离散随机序列

()X n ,即幅度和时域都是离散的情况。随机信号相比随机变量多了时

间因素,时间固定即为随机变量。随机序列就是随时间n 变化的随机变量序列。

1.2. 时域离散随机信号的统计描述 1.2.1

概率描述

1. 概率分布函数(离散情况)

随机变量

n X ,概率分布函数: ()()n X n n n F x ,n P X x =≤

(1)

2. 概率密度函数(连续情况)

若

n X 连续,概率密度函数: ()()n n X X n n

F x,n p x ,n x ∂= 数字信号处理知识点归纳整理

2 / 23 ∂ (2)

注意,以上两个表达式都是在固定时刻n 讨论,因此对于随机序列而言,其概率分布函数和概率密度函数都是关于n 的函数。

当讨论随机序列时,应当用二维及多维统计特性。

()()()()1

21

21

2,,,1

21122,,

,1

2

,,,1

2

12,1,,2,

,,,,,,1,,2,

,,,1,,2,

,,N

N

N

x X 数字信号处理知识点归纳整理

3 / 23 X N N N N x X

X N x X

X N N

F x x x N P X x X x X x F x x x N p x x x N x x x

=≤≤≤∂=

∂∂∂

1.2.2 数字特征

1. 数学期望 ()()()()n x

x n n m n E x n x n p x ,n dx ∞

-∞

==⎡⎤⎣⎦⎰ (3)

2. 均方值与方差

均方值: ()()22

n n x n n E X x n p x ,n dx ∞

-∞

⎡⎤=⎣⎦⎰ (4)

方差: ()()()222

2x

n x n x n E X m n E X m n σ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦

(5) 数字信号处理知识点归纳整理

4 / 23 3. 相关函数和协方差函数

自相关函数:()()n

m

**n m n m X ,X n m n m r n,m E X X x x p x ,n,x ,m dx dx

∞∞

-∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ (6)

自协方差函数:

()

()()

()*

*cov ,,n m n

m

n m n X m

X xx X

X

X X E X m X

m r n m m m ⎡⎤

=--⎢⎥⎣

⎦=- (7)

由此可进一步推出互相关函数和互协方差函数。 数字信号处理知识点归纳整理

5 / 23 1.2.3 平稳随机序列

严平稳:N 维概率密度函数或分布函数与时间n 起始位置无关。

宽平稳:均值、方差和均方值与时间无关;二维概率密度函数、自相关函数和自协方差函数与时间间...隔.

有关。 严平稳可以推出宽平稳的条件,反过来不成立。 对于两个随机序列则要求各自平稳且联合平稳。 其相关函数满足: ()

()*xy

yx r m r m =-,()()*

xx xx r m r m =- (8)

()0xy r m =表示互为正交,()()0cov xy x y xy r m m m m =⇒=表示互不相关。

实平稳...

随机序列相关函数、协方差函数的性质: (1) 自相关函数和自协方差函数是偶函数

()()()()()()()()

,cov cov ,cov cov xx xx xx xx xy yx xy yx r m r m m m r m

r m m m =-=-=-=- (9)

(2)

0m =,自相关变为均方值

()2 数字信号处理知识点归纳整理

6 / 23 0xx n r E X ⎡⎤=⎣⎦

(10)

(3)

m →∞,自相关变为均值的平方,即随着时间间隔增大,序列内部相关性愈来愈若

()()2

lim ,lim xx x xy x y m m r m m r m m m →∞

→∞

== (11) (4)

0m =,协方差变为方差

()()()220cov ,cov xx xx x xx x m r m m σ=-=

(12)

1.2.4 平稳随机序列功率谱密度

由1.2.3性质(3)知,m

→∞时,()2

xx x

r m m →,若0x m =则()xx r m 收敛,即平稳随机序列均值为0,自相关函数收敛,存在Z 变换,其收敛域包含单位圆,傅里叶变换存在。

()()()()()

()()() 数字信号处理知识点归纳整理

7 / 23 11212m xx xx m m xx xx c j j m xx xx m j j m xx

xx P z r m z r m P z z dz j P e r m e r m P e e d

ωωπωωππω

π∞

-=-∞-∞

-=-∞-⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩⎧

=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩∑⎰∑⎰ (13)

()j xx P e ω

即为平稳随机序列的功率谱密度。即自相关函数和功率谱互为傅里叶变换对。

(令0m =,()()1

02j

xx xx r P e d π

ωπωπ

-

=

⎰为随机序列平均功率,故称()jP e ω

功率谱 数字信号处理知识点归纳整理

8 / 23 密度)

实、平稳随机序列功率谱性质: (1)

偶函数

()()xx xx P P ωω=-

(14)

1.2.5 各态历经性

平稳随机序列样本的时间平均....依概率趋于序列的集合平均....

,则平稳随机序列具有各态历经性。 前面已经提到,随机序列各统计特征是时间的函数,如均值是时间的函数m x (n )。 时间平均就是对该函数求时间上的平均

∙

:

(

)

()1

21lim N

x x N n N

f n f n N →∞=-=+∑ (15) 1.2.6

特定的随机序列 1. 数字信号处理知识点归纳整理

9 / 23 正态(高斯)随机序列

单变量正态分布概率密度函数:

(

)()22

2exp x p x μσ⎡⎤

-⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦

(16) 正态随机序列()x

n 的N 维(N 个时刻的随机变量)联合概率密度函数可表示为:

()()

()()11212

2

1

122//,,

,exp T N N p x x x π-⎡⎤

=

--∑-⎢⎥⎣⎦

∑

X μX μ (17)

式 数字信号处理知识点归纳整理

10 / 23 1

12

121

2

212

12122

2

2,,,,,

,N

N N N N T

N T

N x x x x x x x x

x x x x x x x x x x μμμσσσσσσσσσ⎡⎤=⎣⎦

⎡⎤=⎣⎦

⎡⎤

⎢

⎥

⎢⎥

∑=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦ 数字信号处理知识点归纳整理

11 / 23 X μ (18)

,,∑X μ分别为样本列向量、均值列向量和协方差矩阵。

2.

白噪声序列

白噪声:随机序列x (n ),在各时刻的随机变量两两互不相关,即

()220cov ,n m nm nm

nm

m n x x m n δσ

σ⎧≠⎪==⎨=⎪⎩ (19)

均值为...0.的平稳..随机白噪声...

功率谱密度 ()2

j xx

P e ω

σ

=。 (20)

若各变量取值服从正态分布,则噪声为高斯白噪声,高斯分布互不相关和相互独立等价。 3.

谐波过程

()()1

cos N 数字信号处理知识点归纳整理

12 / 23 i

i

i

i x n A n ωθ==

+∑ (21)

式i A 和i ω为常数,i θ服从均匀分布且相互独立。

1.2.7

随机信号采样定理

与确定信号有类似结论,即满足奈奎斯特采样定理。

1.3. 随机序列数字特征的估计 1.3.1 估计准则

1. 偏移性

偏移量ˆB E αα⎡⎤=-⎣⎦ 0B =为无偏估计,为lim 0N B →∞

=渐近无偏估计

2. 估计量的方差(有效性)

无偏估计的情况下,有()

2

2ˆˆˆE E ασαα⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦

3. 一致性(均方误差)

估计量的均方误差 ()2

2ˆE E αα