人教版2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(附答案)

湖北省武汉市黄陂区木兰乡朝阳中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（）A．A B．B C．C D．D2．有两个事件，事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（）A．M，N都是随机事件B．M，N都是必然事件C．M是随机事件，N是必然事件D．M是必然事件，N是随机事件3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x＝0C．x2﹣2x+2＝0D．x2+2＝04．在平面直角坐标系中，将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝2x2，则抛物线C的解析式为（）A．y＝2（x+2）2+2B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2+2D．y＝2（x﹣2）2﹣25．如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大⊙O交于点A，B，若AB＝6，则直线l与小⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．从﹣1，﹣2，3三个数中随机取两个数求和作为a，则使抛物线y＝ax2的开口向下的概率是（）A．B．C．D．7．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，，∠APB＝60°，则的长为（）A．B．C．D．8．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则其图象与x 轴的交点坐标不可能是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣1，0）9．如图是某圆弧形桥洞，它的跨度AB＝10，点C在圆弧上，CD⊥AB于点D，AD＝6，，则该圆弧所在圆的半径为（）A．B．6C．D．10．已知m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根．记S1＝，S2＝，…，S t＝（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（共18分）11．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，则a+b的值为．12．一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表：摸球次数3006009001500摸到白球的频数123247365606摸到白球的频率0.4100.4120.4060.404已知袋子里白球有10个，根据表格信息，可估计m的值为．13．某商城今年9月份的营业额为440万元，11月份的营业额达到了633.6万元，则该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是（用百分数表示）．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为．15．若抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）经过点P（﹣2，t），则关于x的不等式m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集是．16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，定长线段EF的端点E，F分别是边AC，BC上的动点，O是EF的中点，连接OB．设AE＝x，CF2＝y，y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示（最高点为（b，4）），当x＝a时，∠OBC最大，则a的值为．三、解答题（共72分）17．已知3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，求m及t的值．18．如图，将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度数．19．在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全相同），其中白球2个，红球、黄球各1个．（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是；（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分．甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率．20．如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆⊙O交CD于点F．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DF＝1，CF＝3，求BC的长．21．如图，在平面直角坐标系网格中，A（1，6），B（5，2），C（8，5），仅用无刻度的直尺按下列步骤完成画图，并回答下列问题：（1）直接写出：AC的长为，△ABC的形状是；（2）△ABC的角平分线AD；（3）过点D作DE⊥AC，垂足为则E；（4）将线段AD绕点P顺时针旋转90°得到线段CH（点A与点C对应），直接写出点P的坐标，并画出线段CH．22．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且广场四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于12m，不大于24m．设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．（1）直接写出：①每一个出口的宽度为m，绿化区较短边长为m（用含x的式子表示）；②y与x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）当出口的宽为多少时，活动区所占面积最大？最大面积是多少？（3）预计活动区造价为50元/m2.若该社区用于建造活动区的经费不超过60000元，当x 为整数时，共有几种建造方案？23．问题背景：（1）如图1，D是等边△ABC外的一点，且∠BDC＝60°，过点A作AE⊥BD于点E，作AF⊥CD于点F．求证：DA平分∠BDF；尝试应用：（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，在其内部作∠ADB＝∠ADC＝135°，E是AB的中点，连接ED，设△ABD的面积为S．求证：S＝AD•DE；拓展创新：（3）如图3，∠POQ＝45°，点B，C分别在OP，OQ上，点A在∠POQ的内部，AE⊥OQ于点E．若△ABC是边长为a的等边三角形，AE＝4，OE＝3+7，则a的值为（直接写出结果）．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）当时，直接写出：点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在（1）的条件下，P是x轴下方抛物线上的一点，且∠PBA＝2∠OCB，求点P到y轴的距离；（3）当﹣2＜t＜1时，若△ABC的外心在x轴上，求代数式的值．参考答案一、选择题（共30分）1．解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：A．2．解：事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环，是随机事件，事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球，是必然事件．故选：C．3．解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，不合题意；B、∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；C、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，不合题意；D、∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程没有实数根，不合题意．故选：B．4．解：∵将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y ＝2x2，∴抛物线C的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2，故选：D．5．解：如图，连接OA，过O作OC⊥AB于C，∵OA＝5，AC＝AB＝3，∴OC＝＝4，∵小⊙O的半径为3＜4，∴直线l与小⊙O的位置关系是相离，6．解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中使抛物线y＝ax2的开口向下（a＜0）的结果有2种，∴使抛物线y＝ax2的开口向下的概率为＝，故选：C．7．解：如图，连接OA，OP，OB，∵P A、PB分别与相切⊙O于点A、B，∴P A＝PB，OA⊥AB，OB⊥PB，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵P A＝，∴∠APO＝∠APB＝×60°＝30°，∴OA＝AP•tan30°＝×＝1．故⊙O的半径长为为1，则的长＝＝π．故选：B．8．解：二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线开口向上，∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大，又∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1，令y＝0，则x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+2，∵m≥﹣1，∴x2＝﹣m+2≤3，∵＞3，故选：A．9．解：如图，取圆心O，连接OA，OB，OC，BC，AC，∵∠ADC＝90°，AB＝10，AD＝6，CD＝2，∴BD＝10﹣6＝4，∴tan∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝30°，∴∠BOC＝2∠CAD＝60°，∴△BOC为等边三角形，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，CD2+BD2＝BC2，即（2）2+42＝BC2，解得BC＝2，∴该圆弧所在圆的半径为2．10．解：∵m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根，∴m+n＝，mn＝1，∴S1＝＝＝＝＝1，S2＝＝＝＝＝1，…，∴S t＝＝1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t2﹣t﹣56＝0，（t﹣8）（t+7）＝0，解得：t＝8或t＝﹣7（舍去）．故选：B．二、填空题（共18分）11．解：∵点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，∴a＝﹣b，∴a+b＝0．故答案为：0．12．解：根据表格信息，摸到白球的频率将会接近0.4，故摸到白球的概率为0.4，所以可估计袋子中球的个数m＝10÷0.4＝25；故答案为：25．13．解：设该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是x，根据题意得：440（1+x）2＝633.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是20%．故答案为：20%．14．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，由旋转得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，如图1，点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，∵BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，∴BD＝＝＝；如图2，点E在边BA的延长线上，∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝5+4＝9，∴BD＝＝＝3，综上所述，线段BD的长为或3，故答案为：或3．15．解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）的对称轴为：x＝1，∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1的对称轴为x＝2，且过点（﹣1，t），∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1还过点（5，t），∵m＜0，∴m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集为：x＜﹣1或x＞5，故答案为：x＜﹣1或x＞5．16．解：∵CF≤EF，当点E与点C重合时等号成立，且EF为定长，∴CF的最大值即为EF的长，根据图象可知，CF2的最大值为4，即CF的最大值为2，∴EF＝2，∵当x＝1时，CF2＝3，∠ACB＝90°，∴CE＝＝1，∴AC＝AE+CE＝1+1＝2，∴BC＝2AC＝4，如图所示，连接OC，∵O是EF的中点，∠C＝90°，∴OC＝EF＝1，∴点O是在半径为1的⊙C上，如图所示，∴当OB与⊙C相切时，∠OBC最大，此时OC⊥OB，过点O作OG⊥BC于点G，此时OB＝，则sin∠OBC＝，即，∴OG＝，∵OG⊥BC，∴∠OGF＝∠C＝90°，∴OG∥AC，∴，即，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝2﹣，即a＝2﹣，故答案为：2﹣．三、解答题（共72分）17．解：∵3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，∴，∴m＝﹣6，t＝3．18．解：将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠E＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，∴∠ADE＝52°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．19．解：（1）球，事件“摸到白球”的概率是＝，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，∴甲同学至少得4分的概率为＝．20．（1）证明：连接GO并延长交BC于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∵G为AD的中点，∴AG＝DG，∴Rt△ABD≌Rt△DCG（HL），∴BG＝CG，∴GE⊥BC，∵AD∥BC，∴OG⊥AD，∵OG是⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；（2）解：连接GF，∵∠DFG+∠CFG＝∠CFG+∠CBG＝180°，∵∠DFG＝∠CBG，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∴∠DGC＝∠DFG，∵∠D＝∠D，∴△GDF∽△CDG，∴＝，∴＝，∴DG＝2（负值舍去），∴BC＝AD＝2DG＝4．21．解：（1）∵AC＝，AB＝，BC＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，故答案为：5，直角三角形；（2）如图，AD为所作；（3）如图，DE为所作；（4）如图，CH为所作．22．解：（1）①由题意得：出口的宽度为：（50﹣2x）m，绿化区较短边长为[30﹣（50﹣2x）]÷2＝（x﹣10）m，故答案为：（50﹣2x），（x﹣10）；②根据题意得，y＝50×30﹣4x（x﹣10），即y与x的函数关系式及x的取值范围为：y＝﹣4x2+40x+1500（13≤x≤19）；故答案为：y＝﹣4x2+40x+1500，13≤x≤19；（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，∵﹣4＜0，13≤x≤19，∴x＝13时，y取最大值，最大值为﹣4×（13﹣5）2+1600＝1344，∴50﹣2x＝50﹣2×13＝24，∴当出口的宽为24m时，活动区所占面积最大，最大面积是1344m2；（3）设费用为w元，由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）＝﹣200x2+2000x+75000，当w＝60000时，﹣200x2+2000x+75000＝60000，解得x＝15或x＝﹣5（舍去），由二次函数性质及13≤x≤19可得，x取15，16，17，18，19时，建造活动区的经费不超过60000元，∴一共有5种建造方案．23．（1）证明：如图1，AC与BD的交点记作点G，∴∠AGB＝∠CGD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABG中，∠ABG+∠AGB＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠ABG+∠CGD＝120°，在△CDG中，∠BDC＝60°，∴∠ACF+∠CGD＝180°﹣∠CDG＝120°，∴∠ABG＝∠ACF，∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴DA是∠BDF的平分线；（2）证明：如图2，过点E作ET⊥ED交BD于点T连接CE交BD于点K．∵点E是AB的中点，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CE⊥AB，AE＝EC＝EB，∴∠BEC＝90°，∴∠EBK+∠BKE＝90°，∵∠CKD＝∠BKE，∴∠EBK+∠CKD＝90°，在△CDK中，∠CDK＝360°﹣∠ADC﹣∠ADB＝90°，∴∠DCE+∠CKD＝90°，∴∠DCE＝∠EBK，∵∠DET＝∠CEB＝90°，∴∠DEC＝∠TEB，∴△CED≌△BET（ASA），∴ED＝ET，∴∠EDT＝∠ETD＝45°，∵∠ADB＝135°，∴∠BDE＝360°﹣135°﹣90°﹣45°＝90°，延长DE至H，使EH＝ED，∴∠AEH＝∠BED，∵AE＝BE，∴△AEH≌△BED（SAS），∴S△AEH＝S△BED，∴S＝S△ABD＝S△ADE+S△BDE＝S△ADE+S△AEH＝S△ADH＝AD•DH＝AD•2DE＝AD•DE；（3）解：在CE的延长线上取一点H，连接AH，使∠AEH＝60°，∵AE⊥OQ，∴∠AEC＝∠AEH＝90°，在Rt△AEH中，AE＝4，∴EH＝4，AH＝8，设CE＝x，则CH＝CE+EH＝x+4，在CO上取一点M使CM＝AH＝8，则OM＝OE﹣CM﹣CE＝3+7﹣8﹣x＝3﹣1﹣x，在△ACH中，∠ACH+∠CAH＝180°﹣∠AHC＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCM+∠ACH＝120°，∴∠BCM＝∠CAH，∴△BCM≌△CAH（SAS），∴BM＝CH＝x+4，∠BMC＝∠CHA＝60°，∴∠OMB＝120°＝∠AHN，在OE的延长线上取一点N，使EN＝AE＝4，∴HN＝EN﹣EH＝4﹣4＝4（﹣1），∠N＝45°＝∠POQ，∴△BOM∽△ANH，∴，∴，∴x＝2，在Rt△ACE中，CE＝2，根据勾股定理a＝AC＝＝2，故答案为：2．24．解：（1）∵，∴y＝﹣x2﹣2x+，当y＝0时，﹣x2﹣2x+＝0，解得x＝或x＝﹣，∴B（，0），令x＝0，则y＝，∴C（0，），故答案为：（，0），（0，）；（2）作O点关于BC的对称点G，连接CG交x轴于点E，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+，设G（m，n），∴n＝﹣m+，∵BO＝BG，∴＝，解得m＝，∴G（，），设直线CG的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，∴E（，0），∴tan∠OCE＝，∵∠COE＝2∠OCB，∠PBA＝2∠OCB，∴∠PBA＝∠COE，过点P作PH⊥x轴交于点H，设P（x，﹣x2﹣2x+），∴＝，解得x＝（舍）或x＝﹣，∴点P到y轴的距离为；（3）∵△ABC的外心在x轴上，∴∠ACB＝90°，当y＝0时，﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2＝0，解得x＝﹣t﹣2或x＝﹣t+1，∵﹣2＜t＜1，∴A（﹣t﹣2，0），B（﹣t+1，0），当x＝0时，y＝﹣t2﹣t+2，∴C（0，﹣t2﹣t+2），∴OC2＝OA•OB，∴（﹣t2﹣t+2）2＝（t+2）•（﹣t+1），∴t2+t﹣1＝0，∴＝﹣1．。

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图的几何体其左视图是（）A．B．C．D．5．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠C的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）7．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒，为使制成的盒身与盒底恰好配套，可设用x张铁皮制盒底，则可列方程为（）A．2×15x＝45（150﹣x）B．15x＝2×45（150﹣x）C．2×15（150﹣x）＝45x D．15（150﹣x）＝2×45x8．方程的解为（）A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣59．已知反比例函数y＝（k≠0）经过点（2，5）和点（1，a），则a的值为（）A．2B．5C．10D．10．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．二、填空题（共30分）11．将59800000用科学记数法表示为．12．函数y＝的自变量x的取值范围是．13．分解因式：x3﹣2x2y+xy2＝．14．不等式组的解集是．15．计算：＝．16．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1），A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．18．在△ABC中，AB＝AC，∠B的角平分线与AC边所夹锐角为60°，则∠A的度数为．19．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为．20．如图，矩形ABCD中，E为BC边上一点，DE交AC于点F，若∠BAC＝2∠DEC，CE ＝15，BE＝9，则线段ED的长为．三、解答题（共60分）21．先化简，再求代数式的值，其中．22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出一个以线段AB为一边的等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形；（2）在图中画一个△BCD，点D在小正方形的顶点上，tan∠CBD＝，且△BCD的面积等于14；（3）连接AD，请直接写出AD的长．23．为了解学生线上学习的需求，某校随机对本校的部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．24．已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，EH⊥CF 于点H，FG⊥AE于点G．（1）求证：GE＝FH；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．25．某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？26．如图，AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E，G为上一点，连接CG交AB于点F，交AD于点H，连接DG，且∠AFH﹣∠GDH＝∠BAD．（1）如图1，求证：AB⊥CD；（2）如图2，若∠ADE＝2∠ADG，求证：＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝BF，AH＝10，求⊙O的半径．27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接AC，tan∠CAO＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，射线BP交y轴正半轴于点N，设点P的横坐标为t，线段ON的长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，过点F作直线FD⊥BP于点D，过点A作AH⊥x轴交直线DF于点H，连接PH交x轴于点E，点G为线段AC上一点，连接PG、GE，PG交y轴于点K，点M为PG延长线上一点，连接MH，延长HM、EG 交于点R，若PF＝AH，MR＝MG，HR＝，求K点的坐标．参考答案一、选择题（共30分）1．解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，故选：A．2．解：A、原式＝a5，故A不符合题意．B、原式＝a6，故B不符合题意．C、原式＝a2+2ab+b2，故C不符合题意．D、原式＝a2﹣b2，故D符合题意．故选：D．3．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．4．解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：B．5．解：∠A＝∠BOC＝×60°＝30°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝30°．故选：B．6．解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1），故选：A．7．解：设用x张铁皮制盒底，则把（150﹣x）张铁皮制盒身，根据题意得：2×15（150﹣x）＝45x．故选：C．8．解：，方程两边都乘（3x﹣2）（x+1），得2（x+1）＝3x﹣2，解得：x＝4，检验：当x＝4时，（3x﹣2）（x+1）≠0，所以x＝4是原方程的解，即原方程的解是x＝4，故选：B．9．解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（2，5）和点（1，a），∴k＝2×5＝a，解得：a＝10．故选：C．10．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．二、填空题（共30分）11．解：59800000＝5.98×107．故答案为：5.98×107．12．解：由题意可知：x+2≠0，解得：x≠﹣2；所以，函数y＝的自变量x的取值范围是x≠﹣2．13．解：x3﹣2x2y+xy2，＝x（x2﹣2xy+y2），＝x（x﹣y）2．故答案为：x（x﹣y）2．14．解：解不等式≤1，得：x≥1，解不等式3x+2≥1，得：x≥﹣，∴不等式组的解集为x≥1．故答案为：x≥1．15．解：原式＝2×﹣2＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣16．解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，∴＝3π，解得：R＝4，所以此扇形的面积为＝6π（cm2），故答案为：6π．17．解：过C1作AB的垂线交AB延长线于C1，∵∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，∵BD＝BC，由旋转性质得：BC＝BC1，∴BD＝5，AD＝BD+AB＝11，∴CD＝＝5，∴AC1＝＝14．故答案为：14．18．解：设∠B的角平分线交AC于点E，当∠BEC＝60°时，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A＝∠BEC，∴（180°﹣∠A）+∠A＝60°，∴∠A＝20°；当∠AEB＝60°时，如图2，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A+∠BEC＝180°，∴（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，∴∠A＝100°，综上所述，∠A的度数为20°或100°．19．解：∵AD为BC边上的高，∴△ABD为Rt△ABD，在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，∴BD＝＝＝6，如图1所示，当点D在BC上时，BC＝BD+CD＝6+1＝7，如图2所示，当点D在BC的延长线上时，BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，故答案为：7或5．20．解：延长DC至G，DC＝CG，连接EG，作DH⊥EG，如图，，设AB＝a，则DC＝CG＝a，∵DC＝CG，CE⊥DG，∴∠GEC＝∠DEC，EG＝ED，∴∠BAC＝∠GED，∵S，EG＝ED，∴，在Rt△ECD中，DE＝，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△EDH中，sin∠GED＝，∵∠BAC＝∠GED，∴sin∠BAC＝sin∠GED，∴，化简整理得：a4﹣800a2﹣90000＝0，解得：a＝10，在Rt△ECD中，DE＝＝5，故答案为5．三、解答题（共60分）21．解：＝＝﹣＝＝﹣，当＝2×﹣2×＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．22．解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△BCD即为所求．（3）AD＝＝4．23．解：（1）18÷20%＝90（人），90﹣24﹣18﹣12＝36（人），答：调查的学生总人数是90人，补全条形统计图如图所示：（2）360°×＝48°，答：扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数为48°；（3）2100×＝560（人），答：该校2100名学生中对“在线阅读”最感兴趣的大约有560人．24．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD：DF＝BC：BE，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形∴AE∥CF，∴∠AEH+∠FHE＝180°，∵EH⊥CF，FG⊥AE，∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEG＝90°，∴四边形EHFG为矩形，∴GE＝FH；（2）∵GF⊥AE，∴∠GAF+∠AFG＝90°，∵AD∥BC，AE∥FC，∴∠AEB＝∠GAF，∠HCE＝∠CFD＝∠GAF，与∠AFG互余的角有：∠F AG、∠AEB、∠DFC、∠FCB．25．解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：这所中学今年至少要购买140本文学书．26．（1）证明：如图（1），连接AC、AG，∵∠AFH﹣∠GDH＝∠BAD，即∠AFH＝∠BAD+∠GDH，∴∠AFH+∠BAD＝2∠BAD+∠GDH，∵∠AFH+∠F AH＝∠HGD+∠GDH，∴∠HGD＝2∠BAD，∵∠HGD＝∠CAD，∴2∠BAD＝∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB，∴，∴AB⊥CD．（2）证明：由（1）得：，∴，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠ADE＝2∠ADG，∴∠ACD＝2∠ADG，∵∠ADG＝∠ACG，∠ACD＝∠ACG+∠GCD，∴∠ACD＝∠GCD，∴．（3）解：连接AC、BC、BG、BD、AG，作HN⊥AG于点N，∵，，∴∠GCD＝∠GBD＝∠ABG＝∠ADG，∠CGB＝∠CDB＝∠BAD＝∠BGD，∴∠ABD＝∠ACD＝∠ADC＝∠AGC，∵∠FCB＝∠GCD+∠BCD，∠F AG＝∠BAD+∠DAG，∠AFG＝∠CFB＝∠ABG+∠CGB，∴∠FCB＝∠F AG＝∠AFG＝∠CFB，∴BF＝BC，AG＝FG，∵AF＝BF，设AF＝4k，BF＝6k，则：AB＝10k，BC＝BF＝BD＝6k，∴AD＝，∴tan∠ABD＝，∴，∵BD＝6k，ED2+EB2＝DB2，∴ED＝EC＝，EB＝，∴EF＝，∴tan∠FCE＝，∴tan∠NAH＝，tan∠NGH＝，∵AH＝1，解直角三角形ANH和直角三角形GNH，得，AN＝4，HN＝2，NG＝，∴AG＝AN+NG＝，∵tan∠ABG＝tan∠FCE＝，∴BG＝11，∴AB2＝AG2+BG2＝（）2+（11）2＝，∴AB＝，∴⊙O的半径为．27．解：（1）在y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）中，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，在直角△AOC中，tan∠CAO＝＝2，∴OC＝2，由已知a＜0，∴C（0，2），代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为；（2）∵点P的横坐标为t，∴P纵坐标为﹣t2+t+2，设直线BP的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+2t+2，令x＝0得y＝2t+2，∴N（0，2t+2），∵线段ON的长为d，N在y轴正半轴，∴d＝2t+2，（3）延长GE到G'，使EG'＝EG，连接HG'，如图：设P（m，﹣m2+m+2），则F（m，0），∴PF＝﹣m2+m+2，BF＝4﹣m，AF＝m+1，∵PF⊥x轴，FD⊥BP，AH⊥x轴，∴∠AFH＝∠DFB＝90°﹣∠PFD＝∠FPB，∴tan∠AFH＝tan∠FPB，∴＝，∴＝，∴AH＝2，H（﹣1，﹣2），∴PF＝AH＝2，即y P＝2，在中，令y＝2得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，2），∵∠AEH＝∠FEP，∠HAE＝∠PFE＝90°，AH＝PF，∴△AEH≌△FEP（AAS），∴PE＝HE，∵∠GEP＝∠G'EH，GE＝G'E，∴△GEP≌△G'EH（SAS），∴PG＝G'H，∠G'＝∠PGE，∵MR＝MG，∴∠R＝∠MGR，∴∠R＝∠MGR＝∠PGE＝∠G'，∴HR＝G'H，∴PG＝HR，∵HR＝，∴PG＝，由A（﹣1，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝2x+2，设G（n，2n+2），而P（3，2），∴（n﹣3）2+（2n+2﹣2）2＝（）2，解得n＝﹣或n＝（G在二象限，舍去），∴G（﹣，1），由P（3，2），G（﹣，1）得直线PG的解析式为，∵点K是直线PG和y轴的交点，当x＝0时，y＝，∴点K坐标为．。

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共40分）1．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．（﹣5，2）3．已知⊙O的半径为3，点M在⊙O上，则OM的长可能是（）A．2B．3C．4D．54．如图所示，在⊙O中＝，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°5．平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（）A．6或10B．3或5C．6D．56．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．34°B．36°C．38°D．40°8．下列说法：①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（）个．A．1B．2C．3D．49．某数学兴趣小组研究二次函数y＝x2+bx+c的图象时，得出如下四个结论：甲：图象与x轴的一个交点为（1，0）；乙：图象与x轴的一个交点为（3，0）；丙：图象与x轴的交点在原点两侧；丁：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；若这四个结论中只有一个是不正确的，则该结论是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．二、填空题（共24分）11．已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根是1，则m＝．12．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD＝．13．在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为6cm，则弦AB的长是cm．14．如图，⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，⊙O的切线P A交OC延长线于点P，则PC的长为．15．在等边△ABC中，AB＝5，点D是AB上的定点，点P是BC上的动点，DP绕点D逆时针旋转60°恰好落在AC上，已知BD＝2，则此时DP＝．16．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD 边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P，若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点：②⊙O的半径是2；③AE＝CE，其中正确的是．（写序号）三、解答题（共86分）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是；（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，且n+2m＝4，求n 的取值范围．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得点O在边AB 上，且⊙O经过B、D两点；并证明AC与⊙O相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′．（1）画出旋转后的三角形；（2）连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数；22．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠CAB，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）依据题意，补全图形；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系并证明；（3）若AB＝10，BC＝8，求CE的长．24．如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D、点F关于AC对称，连结AF 并延长交⊙O于点G．（1）连结OB，求证：∠ABD＝∠OBC；（2）求证：点F、点G关于BC对称．25．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．①求抛物线的解析式；②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；（2）若点P在第一象限，且P A＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c 平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．参考答案一、选择题（共40分）1．解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C．2．解：因为点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，所以对称点的坐标是（﹣2，5），故选：C．3．解：∵点M在⊙O上，⊙O的半径为3，∴OM＝3，故选：B．4．解：∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣30°）＝75°．故选：B．5．解：当点P在圆内时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10，当点P在圆外时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6．故选：A．6．解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连接OP，如图，则OP⊥AP，∵OB＝AB，∴OA＝2OP，∴∠P AO＝30°．故选：D．7．解：由题意得，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，又∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°﹣31°﹣31°＝38°．故选：C．8．解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确．故选：D．9．解：若甲、乙成立，（1+3）÷2＝1，∴图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的交点在原点右侧，故丁结论正确；图象与x轴的交点在原点右侧，故丙结论不正确，符合题意．故选：C．10．解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．二、填空题（共24分）11．解：把x＝1代入方程可得：1﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．12．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°，故答案为：110°．13．解：连接OB．在Rt△ODB中，OD＝6cm，OB＝10cm．由勾股定理得BD＝＝＝8．∴AB＝2BD＝2×8＝16cm．14．解：连接OA，∵AP是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∵∠ABC＝30°，∴∠AOP＝2∠ABC＝60°，∴∠APO＝30°，∵OA＝OC＝1，∴OP＝2OA＝2，∴PC＝OP﹣OC＝1．故答案为：1．15．解：如图，连接PP'，过点D作DE⊥BC，∵DP绕点D逆时针旋转60°，∴DP＝DP'，∠PDP'＝60°，∴△DP'P是等边三角形，∴DP＝PP'，∠DPP'＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵∠BPP'＝∠C+∠PP'C＝∠BPD+∠DPP'，∴∠PP'C＝∠BPD，且DP＝PP'，∠B＝∠C，∴△BDP≌△CPP'（AAS）∴BD＝CP＝2，∴BP＝3，∵∠B＝60°，BD＝2，DE⊥BC，∴BE＝1，DE＝BE＝，∴PE＝2，∴DP＝＝＝，故答案为．16．解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF＝AB＝6，∵矩形ABCD，则，∴，∴DF＝CF，∴F是CD中点；故①正确；②如图，连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴△APO∽△ADF，∴，设OP＝OF＝x，则，解得：x＝2，故②正确；③∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，∴，∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF；∵∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°，∴EF＝2EC，∴AE＝4CE，故③错误；故答案为：①②．三、解答题（共86分）17．解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．解：（1）∵小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，∴小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：＝．19．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，解得m＞﹣1．∵n+2m＝4，∴m＝＞﹣1，解得n＜6，即n的取值范围为n＜6．20．解：如图，⊙O为所作．证明：连接OD，如图，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠ACB，又∠ACB＝90°，∴∠ODA＝90°，即OD⊥AC，∵点D是半径OD的外端点，∴AC与⊙O相切．21．解：（1）旋转后的三角形ACP'如图所示：（2）由旋转可得，∠P AP'＝∠BAC＝50°，AP＝AP'，△ABP≌△ACP'，∴∠APP'＝∠AP'P＝65°，∠AP'C＝∠APB，∵∠BAC＝50°，AB＝AC，∴∠B＝65°，又∵∠BAP＝20°，∴∠APB＝95°＝∠AP'C，∴∠PP'C＝∠AP'C﹣∠AP'P＝95°﹣65°＝30°．22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：，解得：，故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）；（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：这种消毒液每桶实际售价43元．23．解：（1）如图1即为补全的图形．（2）直线DE是⊙O的切线．理由如下：证明：如图2，连接OD，交BC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴．∴OD⊥BC于F．∵DE∥BC，∴OD⊥DE于D．∴直线DE是⊙O的切线．（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝6．∵∠BFO＝∠ACB＝90°，∴OD∥AC．∵O是AB中点，∴OF＝＝3．∵OD＝＝5，∴DF＝2．∵DE∥BC，OD∥AC，∴四边形CFDE是平行四边形．∵∠ODE＝90°，∴平行四边形CFDE是矩形．∴CE＝DF＝2．答：CE的长为2．24．证明：（1）连接OC，∵BD⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∵，∴∠BOC＝2∠BAC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，∴2∠OBC+2∠BAC＝180°，∴∠OBC+∠BAC＝90°，∴∠OBC＝∠ABE，即∠OBC＝∠ABD，（2）连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，∵点D，F关于AC对称，∴EF＝ED，∵BD⊥AC，∴∠AEF＝∠AED＝90°，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴∠EAF＝∠EAD，∠AFE＝∠ADE，即∠GAC＝∠DAC，∵，∴∠DAC＝∠DBC，∵，∴∠GAC＝∠GBC，∴∠DBC＝∠GBC，∵∴∠ADB＝∠BGA，∵∠AFD＝∠BFG，∴∠BFG＝∠AGB，∴△BHF≌△BHG（AAS），∴FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，∴点F，点G关于BC对称．25．解：（1）①∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P的横坐标为1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2．∴y＝x2﹣2x+c，∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点B（3，6），∴6＝32﹣2×3+c，解得：c＝3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3；②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．∴点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），如图1，∵当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，∴﹣1≤m≤1；（2）如图2，由P A＝PO，OA＝c，可得PD＝．∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为P（﹣，），∴＝．∴b2＝2c．∴抛物线y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．可得直线OP的解析式为y＝﹣bx．∵点B是抛物线y＝x2+bx+b2与直线y＝﹣bx的图象的交点，令﹣bx＝x2+bx+b2．解得x1＝﹣b，x2＝﹣．可得点B的坐标为（﹣b，b2）．由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．将点D（﹣b，0）的坐标代入y＝x2+mx+b2，得m＝b．则平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+b2．令y＝0，即x2+bx+b2＝0．解得x1＝﹣b，x2＝﹣b．依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．则BC＝b2．则BC＝OA．又∵BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形．∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形．。

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题：共40分1．如图图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件中，是必然事件的是（）A．实心铁球投入水中会沉入水底B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．打开电视，正在播放《大国工匠》D．抛掷一枚硬币，正面向上3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线P A，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，P A＝5，则弦AB的长是（）A．B．C．5D．55．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．16．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．1B．2C．3D．47．对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标是（﹣1，2）D．当x≥﹣1时，y随x增大而减小8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（）A．30°B．36°C．60°D．72°9．已知a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2﹣a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+5上的点，且y1＞y2．下列命题正确的是（）A．若|x1+2|＜|x2+2|，则a＜0B．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则a＞0C．若|x1+2|＞|x2+2|，则a＜0D．若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则a＞0二、填空题：共24分．11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是．12．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为．13．一个不透明的袋子中放有3个红球和5个白球，这些球除颜色外均相同，随机从袋子中摸出一球，摸到红球的概率为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，且分别交边AB，AC于点E、F，则扇形AEF的面积为．（结果保留π）15．如图，在△ABC中，BA＝BC，D为△ABC内一点，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，延长AE，CD交于点F，若∠ABC＝70°，则∠AFC的度数为．16．如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（x ＞0）的图象关于直线AC对称，且经过B，D两点，若AB＝2，现给出下列结论：①O，A，C三点一定在同一直线上；②点A的横坐标是；③点B的纵坐标是1；④点O关于直线BD的对称点一定在函数y＝的图象上．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：共86分．17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．当AD＝2，AB＝3时，求AC 的长．19．如图，已知反比例函数y＝图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC，AB．（1）求反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为7，求B点的坐标．20．交通拥堵是城市发展中的顽疾．某市从A地到火车站共有两条道路L1和L2，现准备对其中耗时多的一条道路进行拓宽改造，为此市交通局对从A地到火车站的行驶时间进行调查．现随机抽取驾车从A地到火车站的100人进行调查，调查结果如下：行驶时间（分钟）10～2020～3030～4040～5050～60驾行L1的人数51420183驾行L2的人数1416181（1）抽取行驶时间在50～60分钟到达火车站的人进行座谈，从这4人中随机抽取2人现场填写问卷，请用列表或画树状图法求这2人是选择不同道路到火车站的概率；（2）以A地到达火车站所用时间的平均值作为决策依据，试通过计算说明，从A地到火车站应选择哪条道路进行拓宽改造？21．如图，P A，PB是圆的切线，A，B为切点．（1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，P A＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．22．为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16．（1）每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？（2）当进价提高了a元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a的值．23．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF．（1）求证：BD∥AF；（2）若AB＝1，BC＝2，求AH的长．24．如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB＝∠BDC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：PE2＝PB•P A；（3）若BC＝2，△ACD的面积为12，求PB的长．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点y轴上．（1）求抛物线解析式；（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．参考答案一、选择题：共40分．1．解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．2．解：A．实心铁球投入水中会沉入水底，这是必然事件，故A符合题意；B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯，这是随机事件，故B不符合题意；C．打开电视，正在播放《大国工匠》，这是随机事件，故C不符合题意；D．投掷一枚硬币，正面在上，这是随机事件，故D不符合题意；故选：A．3．解：把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，解得m＝2．故选：D．4．解：∵P A，PB为⊙O的两条切线，∴P A＝PB，∵∠APB＝60°，∴△P AB为等边三角形，∴AB＝P A＝5，故选：C．5．解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，∴小球停留在阴影部分的概率是，故选：A．6．解：设这个圆锥底面圆的半径为r，根据题意得×2πr×6＝12π，解得r＝2，即这个圆锥底面圆的半径是2．故选：B．7．解：∵二次函数y＝（x+1）2+2，∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，对称轴是直线x＝﹣1，故选项B中的说法错误；顶点坐标为（﹣1，2），故选项C中的说法正确；当x≥﹣1时，y随x增大而增大，故选项D中的说法错误；故选：C．8．解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴CD＝BC＝＝108°，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣108°）＝36°，故选：B．9．解：当a＞0时，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2﹣a的开口向下，交y轴的负半轴，D选项符合；当a＜0时，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2﹣a的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项；故选：D．10．解：由y＝ax2+4ax+5＝a（x+2）2﹣4a+5知，该抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，A、若|x1+2|＜|x2+2|，则a＜0，此选项正确，符合题意；B、若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则a的符号不能判断，此选项错误，不符合题意；C、若|x1+2|＞|x2+2|，则a＞0，此选项错误，不符合题意；D、若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则a的符号不能判断，此选项错误，不符合题意．故选：A．二、填空题：共24分．11．解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣5）关于原点对称点的点的坐标是（2，5）．故答案为：（2，5）．12．解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．13．解：从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率＝＝．故答案为：．14．解：∵AB＝AC＝，BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，如图，连接AD，∵以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，∴AD⊥BC．∴AD＝BC＝1，则S扇形AEF＝＝．故答案是：．15．解：CF和AB交于点M，∵将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，∴∠BCD＝∠BAE，又∵∠AMF＝∠AFC，∴∠ABC＝∠AFC＝70°．故答案为：70°．16．解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，如图：∵函数y＝的图象关于直线AC对称，∴O，A，C三点在同直线上，且∠COE＝45°，故①正确；∵∠COE＝45°，∴OE＝AE，设OE＝AE＝a，则A（a，a），∵AD＝AB＝2，∴D（a，a+2），B（a+2，a），∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a•（a+2）＝3，解得a＝1或a＝﹣3（舍去），∴点A的横坐标为1，故②错误；∴B（3，1），∴点B的纵坐标是1，故③正确；设直线BD交x轴于G，交y轴于H，作O关于直线BD的对称点为O'，连接O'H、O'G，如图：由a＝1知D（1，3），而B（3，1），∴直线BD为y＝﹣x+4，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝4，∴G（4，0），H（0，4），∴OG＝OH，∵O关于直线BD的对称点为O'，∴OF＝O'F，OF⊥HG，∴HF＝GF，∴四边形HOGO'是正方形，∴O'G＝OH＝4，∴O'（4，4），而4×4≠15，∴O'（4，4）不在y＝的图象上，故④错误，∴正确的有①③，故答案为：①③．三、解答题：共86分17．解：移项，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．18．解：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；∴，即AC2＝AD•AB，∵AD＝2，AB＝3，∴AC2＝2×3＝6，∴AC＝（负值已舍），∴AC的长为．19．解：（1）由题意得，k＝xy＝2×3＝6∴反比例函数的解析式为：y＝．（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b），∵反比例函数y＝的图象经过点B（a，b）∴b＝∴AD＝3﹣．∴S△ABC＝BC•AD＝a（3﹣）＝7，解得a＝，∴b＝＝∴B（，）．20．解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果情况，其中两人选择不同路线的有6种，所以这2人是选择不同道路到火车站的概率为＝；（2）驾行L1的所有人用时的平均数为15×+25×+35×+45×+55×＝35（分），驾行L2的所有人用时的平均数为15×+25×+35×+45×+55×＝38.5（分），∵35＜38.5，∴从A地到火车站应选择驾行L2的道路进行拓宽改造．21．解：（1）如图，圆心O即为所求；（2）由（1）知：CA⊥P A，∴∠CAP＝90°，∵AC＝4，P A＝3，∴PC＝＝5，∵P A＝PB＝3，∴BC＝PC﹣PB＝2，∵OC＝AC﹣OA＝4﹣OA＝4﹣OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理，得OC2＝OB2+BC2，∴（4﹣OB）2＝OB2+22，解得OB＝．∴⊙O的半径为．22．解：（1）设药店的日均利润为w元，由题意得：w＝（x﹣6）y＝（x﹣6）（﹣5x+80）＝﹣5x2+110x﹣480＝﹣5（x﹣11）2+125，∵﹣5＜0，10≤x≤16，∴当x＝11时，w有最大值，最大值为125，∴每包售价定为11元时，药店的日均利润最大，最大为125元；（2）由题意得：w＝（x﹣6﹣a）（﹣5x+80）＝﹣5x2+（110+5a）x﹣480﹣80a，对称轴为x＝﹣＝11+a，∴11+a＝13，解得：a＝4．23．（1）证明：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∵∠ABD＝∠EAF，∴∠AEB＝∠EAF，∴AF∥BD；（2）解：∵BD∥AF，∴∠DEF＝∠AFE，∵∠ADE＝∠AFE，∴∠DEF＝∠ADE，∴EH＝DH，设EH＝x，则DH＝x，AH＝2﹣x，∵∠HEA＝90°，∴x2+12＝（2﹣x）2，解得：x＝，∴AH＝2﹣＝．24．（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BDC＝∠CAB，∠PCB＝∠BDC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠PCB＝∠P AC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△P AC，∴PC2＝PB•P A，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∵∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝45°+∠PCB，∴∠CEB＝∠PCE，∴PC＝PE，∴PE2＝PB•P A；（3）解：作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠BDN，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，又∵∠AMD＝∠BND，∴△AMD≌△DNB（AAS），∴BN＝DM，DN＝AM，∵BC＝2，∠BCN＝45°，∴BN＝CN＝2，∴AM＝DN＝2+MN，CD＝4+MN，∵△ACD的面积为12，∴CD•AM＝24，∴（4+MN）•（2+MN）＝24，解得MN＝2（负值舍去），∴AM＝4，∴AC＝4，由勾股定理得AB＝2，∵△AME∽△BNE，∴，∴BE＝，由（2）知，PE2＝PB•P A，∴（PB+）2＝PB•（PB+2），解得PB＝．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2的顶点y轴上，∴b＝0，∵抛物线y＝ax2﹣2经过点（2，2），∴2＝4a﹣2，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2.（2）①如图1，直线y＝kx+c，当k＝0时，则y＝c，抛物线y＝x2﹣2，当y＝c时，则x2﹣2＝c，解得x1＝﹣，x2＝，∴A（﹣，c），B（，c），∵A、B两点关于y轴对称，且抛物线上的点P使△ABP为等腰直角三角形，∴∠APB＝90°，P A＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上，∴点P为抛物线的顶点（0，﹣2），设AB交y轴于点C，则BC＝PC，∴＝c﹣（﹣2），解得c1＝﹣1，c2＝﹣2（不符合题意，舍去），∴c的值为﹣1．②如图2，直线y＝kx+c，当c＝1时，则y＝kx+1，∵直线y＝kx+1与x轴交于点M（m，0），∴mk+1＝0，∴k＝﹣，∵m＞6，∴﹣＜﹣＜0，∴﹣＜k＜0，设A（x1，x12﹣2），B（x2，x22﹣2），由，得x2﹣2＝kx+1，整理得x2﹣kx﹣3＝0，∵Δ＝k2+12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝k2+6，∵N（0，n），∴AN2＝x12+（x12﹣2﹣n）2，BN2＝x22+（x22﹣2﹣n）2，∵点N在AB的垂直平分线上，∴AN＝BN，∴AN2＝BN2，∴x12+（x12﹣2﹣n）2＝x22+（x22﹣2﹣n）2，整理得（x12﹣x22）（x12+x22﹣2n﹣3）＝0，∵k≠0，∴直线y＝kx+1与x轴不平行，∴A，B两点不关于y轴对称，∴x1≠x2，∴x12﹣x22≠0，∴x12+x22﹣2n﹣3＝0，∴k2+6﹣2n﹣3＝0，∴n＝k2+，∴当k＜0时，n随k的增大而减小，若k＝﹣，则n＝，若k＝0，则n＝，∴点N纵坐标n的取值范围是＜n＜．。

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共40分）1．已知⊙O的半径为8cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm2．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（）A．B．C．D．3．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3D．y＝2x2﹣34．如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（）A．B．C．D．5．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（）A．1cm B．cm C．2cm D．cm6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为（）A．4B．6C．8D．97．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°8．已知抛物线y＝x2+2mx+2022（m为常数）上有三点，点A（﹣m﹣1，y1），点B（﹣m+1.5，y2），点C（2﹣m，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y19．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则的长为（）A．B．C．D．10．如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（）A．5B．18C．3D．17二、填空题（共30分）11．已知线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a和c的比例中项是厘米．12．抛物线y＝x2+2x﹣1的对称轴是．13．小文将学校二维码打印在面积为400cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，她在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为cm2．14．如图，点D是△ABC的重心，延长AD交BC于点O，△DEF是由△ABC经过位似变化得到的，点O是位似中心，则△DEF与△ABC的面积比是．15．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB中，＝2，点D是半径OB的中点，点P从点D出发，沿D→O→A的方向运动到A的过程中（包括D，A点），线段BP，CP与所围成的区域（如图中阴影部分）面积的最小值为．16．图1是某个零件横截面的示意图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，为了求出BC的长度，小艺将一根直尺按图2，图3，图4的三种方式摆放，所测得的具体数据（单位：cm）如图所示，则直尺宽为cm，BC为cm．三、解答题（共80分）17．计算：（1）已知＝，求的值．（2）tan60°+cos245°﹣sin230°．18．一个布袋中有8个红球和16个白球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答）19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，求AC，AB及sin B的值．20．如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC（顶点都在小正方形的顶点上）及格点P，按下列要求画格点三角形．（1）在图1中，画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'．（2）在图2中，画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内（不包括边界）．21．如图，顶点为M的抛物线y＝a（x﹣）2﹣1经过原点O，与x轴正半轴交于点A，对称轴交x轴于点N．（1）求a的值．（2）B是第二象限抛物线上一点，BE∥x轴，交y轴于点C，交对称轴于点D，交抛物线于点E．连结BM交x轴于点F，交y轴于点G．若MF＝FG，求CD：DE的值．22．四边形ABCD内接于⊙O，C为的中点，OC交BD于点M，DG⊥AB于点G．已知CM＝2，OM＝3．（1）求弦BD的长．（2）若sin∠ABD＝，求四边形ABCD的面积．23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计喷灌器喷水口的升降方案素材1随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．素材2为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4m，宽0.8m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．问题解决任务1确定水柱的形状在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．任务2确定喷灌器的位置求出喷灌器OA与围墙的距．任务3拟定喷头升降方案调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．24．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．点E从点A出发沿AD向终点D运动，同时点F从点C出发沿CB向终点B运动，满足AE＝CF＝a，点D'与点D关于直线EF对称，DD'交直线CB于点G．（1）当点D'与点A重合时，求EF的长；（2）若点G在线段BC上；①请直接给出a的取值范围；②当BG＝FC时，求GF的长；（3）以DD'为直径作⊙O．则在点E，F运动过程中，点E是否有可能恰好在⊙O上？若可能，求出a的值；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题（共40分）1．解：∵点P在⊙O上，∴OP＝8cm．故选：C．2．解：根据题意可得，P（从中任取1本书是物理书）＝．故选：B．3．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．故选：A．4．解：OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|＝5，则sin a＝，故选：C．5．解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB＝CD：AC，∴4：6＝DE：3，∴DE＝2cm．∴小玻璃管口径DE是2cm．故选：C．6．解：∵AB＝20，∴OD＝10，∵CD⊥AB，∴DE＝＝，在Rt△DOE中，OE＝＝＝6．故选：B．7．解：连接AC、GE、EC，如图所示：则四边形ACEG为正方形，∴∠EAG＝45°，故选：C．8．解：∵y＝x2+2mx+2022，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∴与对称轴距离越远的点的纵坐标越大，∵1＜1.5＜2，∴y3＞y2＞y1．故选：D．9．解：连接AC，由勾股定理得：AC＝＝，则AE＝AF＝AC＝，∵AB是小正方形的对角线，∴∠EAF＝45°，∴的长度是＝，故选：A．10．解：如图，连接OE，EH，∴OE＝AG，∴点E在以AG为直径的圆上，∵DF∥AE，∴＝，∴AD＝EH，∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，∴AC＝a，CB＝a，∴AD＝DB＝a，∴HE＝AD＝a，∵EF＝DC＝a，∴HF＝＝＝a，∵BE＝b，BE垂直于FG，∴EG＝b，∴FG＝EF+EG＝a+b，∴HG＝＝，∵a＝9，b＝6，∴HG＝＝＝3．故选：C．二、填空题（共30分）11．解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．12．解：∵对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣1，∴对称轴是直线x＝﹣1．故答案为：直线x＝﹣1．13．解：400×0.6＝240（cm2），即黑色部分的面积约为240cm2，故答案为：240．14．解：∵D是△ABC的重心，∴DO：AD＝1：2，∴DO：AO＝1：3，∴△DEF与△ABC的位似比为1：3，∴S△DEF：S△ABC＝1：9，故答案为：1：9．15．解：如图，连接BC，OC，AB，过点C作CH⊥OA于点H．∵∠AOB＝90°，＝2，∴∠BOC＝60°，∠COA＝30°，∴CH＝OC＝1cm，观察图象可知，当点E与点A重合时，阴影部分的面积最小，此时S阴＝S△ACB+S弓形BC＝S△BOC+S△AOC﹣S△AOB+S扇形OBC﹣S△BOC＝×2×1﹣×2×2+＝（﹣1）cm2，故答案为：（﹣1）．16．解：如图3，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，∵DM＝10，DF＝8，∴MF＝＝6，∵EF＝AD＝8，∴EM＝EF﹣MF＝2，∴直尺宽2cm，如图1如图1，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，在AB上截取AG＝8cm，过点G作GH⊥AB交BC于H，则∠AEB＝∠DFC＝90°，DF＝8cm，∵AB＝CD，∠B＝∠C，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF＝8cm，BE＝CF，∵∠BGH＝90°，∴∠BGH＝∠AEB，∵∠HBG＝∠ABE，∴△BHG∽△BAE，∴＝，设BG＝xcm，则AB＝（x+8）cm，∵GH＝2cm，∴＝，∴BE＝4x cm，在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，∴（4x）2+82＝（x+8）2，解得：x＝0（舍去）或x＝，∴BE＝4×＝（cm），∴BC＝2BE+EF＝+8＝cm，故答案为：2cm；cm．三、解答题（共80分）17．解：（1）∵＝，∴4y﹣2x＝3y，∴y＝2x，∴＝，∴的值为；（2）tan60°+cos245°﹣sin230°．＝+（）2﹣（）2＝+﹣＝+．18．解：（1）布袋中有8个红球和16个白球，共24个，故从袋中摸出一个球是红球的概率是P＝；（2）解法一：球的总数不变，改变后，摸出一个球是红球的概率是，故红球有24×＝15个，红球增加的数目及取走白球的数目为15﹣8＝7．答：取走了7个白球．解法二：设取走x个白球，则，解得x＝7．答：取走了7个白球．19．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，∴sin A＝＝，即＝，∴AB＝6，∴AC＝＝＝4，∴sin B＝＝＝．20．解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求；（2）如图2中，△DEF即为所求．21．解：（1）把（0，0）代入y＝a（x﹣）2﹣1得：a﹣1＝0，解得a＝；（2）抛物线y＝（x﹣）2﹣1顶点为M（，﹣1），对称轴为直线x＝，∵OG∥MN，∴△FMN∽△FGO，∴＝，∵MF＝FG，∴MN＝OG＝1，∴G（0，1），由M（，﹣1），G（0，1）得直线MG的解析式为y＝﹣x+1，解得：或，∴B（﹣，3），由抛物线对称轴为直线x＝可知E（，3），∴C（0，3），D（，3），∴CD＝，DE＝3，∴CD：DE＝1：2．22．解：（1）如图，连接OB，∵CM＝2，OM＝3，∴OB＝OC＝2+3＝5，∵C为的中点，∴OC⊥BD，BD＝2BM，∴∠BMO＝90°，∴BM＝＝4，∴BD＝2×4＝8；（2）如图，作直径AN，连接DN，∵DG⊥AB，∴∠DGB＝∠AGD＝90°，∵sin∠ABD＝，∴＝，∵BD＝8，∴DG＝6，∴BG＝＝＝2，∵AN是⊙O的直径，∴∠ADN＝90°，∵∠AND＝∠ABD，∴sin∠AND＝＝，∵AN＝10，∴AD＝，由勾股定理得：AG＝＝＝，∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝×6×（+2）+×8×2＝+6．23．解：（1）如图，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+0.45，把A（0，0.25）代入得：0.25＝a（0﹣2）2+0.45，解得：a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+0.45．（2）令y＝0，得﹣（x﹣2）2+0.45＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴OB＝5，故喷灌器OA与围墙的距离为5m．（3）如图，由题意得：CD＝0.4m，BC＝0.8m，∴D（4.6，0.8），E（5，0.8），设y＝﹣（x﹣2）2+k，把D（4.6，0.8）代入得，0.8＝﹣（4.6﹣2）2+k，解得：k＝1.138，∴y＝﹣（x﹣2）2+1.138，当x＝0时，y＝0.938，∴OA min＝0.938m，设y＝﹣（x﹣2）2+k′，把E（5，0.8）代入得，0.8＝﹣（5﹣2）2+k′，解得：k′＝1.25，∴y＝﹣（x﹣2）2+1.25，当x＝0时，y＝﹣（0﹣2）2+1.25＝1.05，∴OA max＝1.05m，故0.938m≤OA≤1.05m，喷水口距离地面高度的最小值为0.938m．24．解：设DD′与EF交于点N．（1）如图1，由折叠的性质可知AE＝DE，∠AEF＝∠DEF＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝4；（2）①根据点E的运动，当点D与点D′重合时，此时a为满足题意的最大值，如图2﹣1，由折叠可知BE＝DE＝8﹣a，在Rt△ABE中，∠A＝90°，由勾股定理可知，AB2+AE2＝BE2，即42+a2＝（8﹣a）2，解得a＝5；当点E与点A重合时，a最小，如图2﹣2，此时a＝0，故a的取值范围为：0≤a≤5；故答案为：0≤a≤5；②如图3，连接EG，∵AE∥BC，AE＝BG＝CF＝a，∴四边形ABGF是平行四边形，FG＝8﹣2a，DE＝8﹣a，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABGF是矩形，∴∠AEG＝∠BGE＝90°，EG＝AB＝4，∴∠DEG＝∠EGC＝90°，∴∠GEF+∠DEF＝90°，由折叠可知，∠END＝90°，∴∠EDN+∠DEF＝90°，∴∠GEF＝∠EDN，∴△DEG∽△EGF，∴DE：EG＝EG：GF，即（8﹣a）：4＝4：（8﹣2a），解得a＝6﹣2或a＝6+2＞8，舍；∴GF＝8﹣2a＝4﹣4；（3）可能，理由如下：如图4﹣1，当点D′在BC的下方时，由题意可知，OD＝OE＝OD′，∠EOD＝∠EOD′＝90°，∴△EOD，△EOD′是等腰直角三角形，∴∠ODE＝∠DEO＝∠ED′D＝45°∴∠DED′＝90°，设ED′与BC交于点M，∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE＝BM＝a，AB＝EM＝4，∠EMF＝90°，∴△EMF是等腰直角三角形，∴EM＝MF＝4，∴BM＝CF＝2，即a＝2；如图4﹣2，当点D′在BC的上方时，延长D′E交BC于点M，由题意可知，OD＝OE＝OD′，∠EOD＝∠EOD′＝90°，∴△EOD，△EOD′是等腰直角三角形，∴∠ODE＝∠DEO＝∠ED′D＝45°∴∠DED′＝∠AEM＝90°，∠FEM＝45°，∵∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABME，EMCD是矩形，∴AE＝BM＝a，AB＝EM＝4，∠EMF＝90°，DE＝CM＝8﹣a，∴△EMF是等腰直角三角形，∴EM＝MF＝4，∴BF+CM＝4，即8﹣a+8﹣a＝4，解得a＝6；综上，点E是否有可能恰好在⊙O上，此时a的值为2或6．。

人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次阶段性综合测试题（附答案）一、单项选择题（共18分）1．中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2＝14B．（x﹣3）2＝14C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4 3．若气象部门预报明天下雪的概率是85%，下列说法正确的是（）A．明天下雪的可能性比较大B．明天一定不会下雪C．明天一定会下雪D．明天下雪的可能性比较小4．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝﹣2，x2＝4C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝﹣5，x2＝56．截止到2021年3月15日，返乡入乡创业就业规模扩大，全国当年各类返乡入乡创业创新人员由2018年的320万人增加到2020年的1010万人．设我国从2018年到2020年返乡入乡创业创新人员的平均增长率为x，则可列方程为（）A．320（1+2x）＝1010B．320×2（1+x）＝1010C．320（1+x）2＝1010D．320+320（1+x）+320（1+x）2＝1010二、填空题（共24分）7．一元二次方程x2＝﹣x的根是．8．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是．9．抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点是．10．已知抛物线y＝﹣（x+3）2﹣5，当x时，y随x的增大而增大．11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB′C′D′，使得点B′落在边AD上，此时DB′的长为．12．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，则∠ADC的度数是．13．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为cm2．14．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE＝40°，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．三、解答题（共78分）15．解一元二次方程：x2﹣x﹣1＝0．16．已知关于x的方程x2+4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．17．已知抛物线y＝x2﹣kx﹣3k与x轴的一个交点为（﹣2，0）（1）求k的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．18．红红和丁丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面洗匀后放在桌面上．（1）红红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为大于7的概率是．（2）红红先从中抽取一张，丁丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求出红红获胜的概率．19．如图，在7×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．（1）将线段AB绕点C逆时针旋转90°得到线段DE（点A，B的对应点分别为点D，E），请画出线段DE．（2）以AD为对角线作▱AEDF，画出▱AEDF，并直接写出▱AEDF的面积．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE ⊥AB，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．21．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，将边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC．（1）判断△ABP的形状，并说明理由．（2）求CE的长．22．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？23．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜120°）得到△ADE，DE交BC于点F，连接AF，在旋转过程中，有下列对某些四边形状的判断．甲：四边形AFCE可能是矩形；乙：四边形ADCE可能是菱形；丙：四边形ABFE可能是菱形．解答下列问题：（1）上述判断正确的是．（2）请选择一个你认为正确的判断，画出相应的图形，求出此时旋转角a的度数，并给予证明．25．如图，△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°．动点P从点A出发，在AB边上以每秒1cm的速度向终点B匀速运动（点P不与点A，B重合），同时动点Q从点B出发，沿BC边以每秒cm的速度向终点C匀速运动，连接PQ．设运动时间为x（s），△BPQ 的面积为y（cm2）．（1）BP＝cm，点Q到AB的距离为cm．（用含x的代数式表示）（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）当y＝S△ABC时，求x的值．（4）在点P，Q的运动过程中，以PQ为直径作⊙O，⊙O能与AB或BC相切吗？若能，请直接写出x的值；若不能，请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C （0，3）．（1）若抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．①求抛物线的解析式．②点P在对称轴上，若△PBC的面积是6，求点P的坐标．（2）当b≤0，﹣2≤x≤0时，函数y的最大值满足3≤y max≤16，求b的取值范围．参考答案一、单项选择题（共18分）1．解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：B．2．解：移项得：x2+6x＝5，配方可得：x2+6x+9＝5+9，即（x+3）2＝14，故选：A．3．解：若气象部门预报明天下雪的概率是85%，说明明天下雪的可能性比较大，故选：A．4．解：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°，∴∠C＝∠A＝36°．故选：B．5．解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．所以x1＝﹣1，x2＝5．故选：A．6．解：依题意得：320（1+x）2＝1010．故选：C．二、填空题（共24分）7．解：∵x2＝﹣x，∴x2+x＝0，则x（x+1）＝0，∴x＝0或x+1＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．8．解：点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．9．解：∵y＝（x+2）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）．10．解：∵抛物线y＝﹣（x+3）2﹣5，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3；∵x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故答案为：＜﹣3．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝＝4，∴AD＝4，由旋转的性质可知，AB＝AB′＝3，∴DB′＝AD﹣AB′＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣68°＝112°，故答案为：112°．13．解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，∴OA＝OB＝AB＝2cm，∴OH＝OA•cos30°＝2×＝3（cm），∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××＝18（cm）2．故答案为：18．14．解：如图，连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴OD＝CE，DE＝OC，CD∥OE，∵∠CDE＝40°，∴∠DEO＝∠CDE＝40°，在△DOE和△CEO中，，∴△DOE≌△CEO（SSS），∴∠COB＝∠DEO＝40°，∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝，故答案为：．三、解答题（共78分）15．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．16．解：∵方程x2+4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝42﹣4×1×（3﹣a）＝4+4a＞0，解得：a＞﹣1．17．解：（1）根据题意得，4+2k﹣3k＝0，所以k＝4；得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣12；（2）∵x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（6，0）．18．解：（1）从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为大于7的概率是＝，故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中红红获胜的结果有6个，∴红红获胜的概率为＝．19．解：（1）如图，线段DE即为所求；（2）如图，平行四边形AEDF即为所求．四边形AEDF的面积＝2×4＝8．20．（1）证明：连接OD；∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE＝∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵DE＝，∠B＝30°，∠BED＝90°，∴CD＝BD＝2DE＝2，∴OD＝AD＝tan30°•CD＝×2＝2，∴的长为：＝．21．解：（1）△ABP是等边三角形．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，∴△ABP是等边三角形；（2）∵△ABP是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝2，∴DE＝AD•tan30°＝2，∴CE＝2﹣2．22．解：（1）由题意，可设y＝kx+b（k≠0），把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y＝﹣10000x+80000；（2）设利润为W元，则W＝（x﹣4）（﹣10000x+80000）＝﹣10000（x﹣4）（x﹣8）＝﹣10000（x2﹣12x+32）＝﹣10000[（x﹣6）2﹣4]＝﹣10000（x﹣6）2+40000所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．23．解：（1）如图所示．（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）．设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，由抛物线过点A，有16a+3＝2．解得，∴该抛物线的表达式为；（3）解：令y＝0，得．解得，（C在x轴正半轴，故舍去）．∴点C的坐标为（，0）．∴．由，可得．∴小明此次试投的成绩达到优秀．24．解：（1）甲不正确：理由是当AF⊥CF时，DE与BC重合，四边形不存在．乙，丙正确（理由见2中证明）．故答案为：乙，丙；（2）①四边形ADCE可能是菱形．当α＝60°时，四边形ADCE是菱形．理由：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAD＝60°，∴∠CAD＝∠CAE＝60°，∵AD＝AC＝AE，∴△ADC，△AEC都是等边三角形，∴AC＝EC＝CD，∴AE＝AD＝CD＝EC，∴四边形ADCE是菱形．②四边形ABFE可能是菱形．当α＝30°时，四边形ABFE是菱形．理由：如图2中，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝30°∵∠BAD＝∠ADE＝30°，∴AB∥DE，∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝30°，∴AE∥CB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．25．解：（1）由题意可得AP＝xm，BQ＝xcm，∵AB＝8cm，∴BP＝（8﹣x）cm，过Q点作QH⊥AB交于H，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，在Rt△BQH中，HQ＝BQ＝xcm，故答案为：8﹣x，x；（2）过点A作AG⊥BC交于G，∵BA＝8cm，∠B＝30°，∴AG＝4cm，BG＝4cm，∴BC＝8cm，当Q点从B点运动到C点时，x＝8，当P点从A点运动到B点时，x＝8，∴P、Q点同时到达终点，∴0＜x＜8，由（1）知，BP＝（8﹣x）cm，HQ＝xcm，∴y＝×BP×HQ＝（8﹣x）×x＝﹣x2+2x，∴y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（3）由（2）知，AG＝4cm，BC＝8cm，∴S△ABC＝×8×4＝16cm2，∵y＝S△ABC，∴﹣x2+2x＝×16，解得x＝4+2或x＝4﹣2；（4）⊙O能与AB或BC相切，理由如下：如图3，当⊙O与AB相切时，P为切点，此时PQ⊥AB，∴8﹣x＝×x，∴x＝；如图4，当⊙O与BC相切时，Q为切点，此时PQ⊥BC，∴x＝（8﹣x），解得x＝；综上所述：x＝或．26．解：（1）①抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝−＝−2，∴b＝4，又∵抛物线与y轴的交点为（0，3），∴c＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3；②∵抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，令y＝0，则x2+4x+3＝0，解得x＝﹣1或﹣3，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），当点P在直线BC的上方时，∵点P在抛物线的对称轴上，∴设点P的坐标为（﹣2，m），则S△PBC＝S梯形PDOC﹣S△PDB﹣S△COB＝（m+3）×2﹣×1×m﹣×1×3＝6，解得m＝9，∴点P的坐标为（﹣2，9）；当点P在直线m的下方时，设直线BC的解析式为y＝mx+n，∵B（﹣1，0），C（0，3）．∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝3x+3，∴直线BC与抛物线的对称轴的交点为（﹣2，﹣3），∴S△PBC＝S△PEC﹣S△PEB＝×2×（﹣3﹣m）﹣×1×（﹣3﹣m）＝6，解得m＝﹣15，∴点P的坐标为（﹣2，﹣15）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，9）或（﹣2，﹣15）；（2）∵b≤0时，∴−≥0，∴x＝−≥0，∵抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，∴当﹣2≤x≤0时，取x＝﹣2，y有最大值，即y＝4﹣2b+3＝﹣2b+7，∵C（0，3），∴当x＝0时，取x＝0，y有最小值3，∴3≤﹣2b+7≤16，解得：−≤b≤2，又∵b≤0，Δ＝b2﹣12＞0，∴＜﹣2．。

人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题：（共48分）1．﹣5的相反数是（）A．﹣5B．5C．D．﹣2．下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）A．正方体B．四棱锥C．圆柱D．球3．下列运算正确的是（）A．（a3）2＝a6B．a2+a5＝a7C．a2•a4＝a8D．a9÷a3＝a3 4．在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（）A．抽取乙校初二年级学生进行调查B．在丙校随机抽取600名学生进行调查C．随机抽取150名老师进行调查D．在四个学校各随机抽取150名学生进行调查5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形6．如图，已知在⊙O中，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为（）A．26°B．27°C．28°D．32°7．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，则它们的面积比为（）A．2：3B．4：5C．：D．4：98．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多．”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲乙各有多少只羊呢？设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．9．如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）A．1.4米B．3.9米C．4.0米D．16.6米10．甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶（C在AB两地之间），当甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向B地继续行驶，且此刻乙的速度大于甲的速度，到达B地后立即以提高后的速度返回，两车与C地的距离之和y（千米）与甲车行驶的时间t （时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲车的速度是（）A．80km/h B．90km/h C．100km/h D．110km/h11．若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（）A．5B．4C．3D．212．如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（）A．1+B．3﹣C．2﹣2D．2+2二、填空题：（共24分）13．某冠状病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法可将0.00000012表示为．14．计算：＝．15．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，则阴影部分的面积为．16．有4张正面分别标有数字﹣3、1、2、3的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，从中随机抽出2张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是．17．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为．18．每年3﹣6月都是草莓、樱桃、枇杷销售的旺季，水果批发商都会大量采购，为了获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地囤货．4月份某水果批发商统计前半个月销量后发现，草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多，随着气温升高，后半个月水果总销量将在前半个月基础上有所增加，后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44，但草莓由于已过销售旺季，后半个月与前半个月相比，销量有所减少，后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14，则樱桃后半个月新增的销量与后半个月三种水果的总销量之比为．三、解答题：（共78分）19．计算：（1）（a+b）2﹣a（a﹣2b）；（2）÷（﹣a﹣1）．20．如图，已知△ABC满足AB＜BC＜AC．（1）用尺规作图在边AC上确定一点P，使得PB＝PC（不写作法和证明，保留作图痕迹）；（2）若AB＝AP，∠ABC﹣∠A＝37°，求∠C的大小．21．近两年来，国家越来越重视儿童青少年的视力防控工作，2021年3月9日，国家卫生健康委还成立了国家儿童青少年视力健康管理专家咨询委员会．为了宣传近视防控知识，某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A：90≤x ≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．并给出了部分信息：【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%，八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．【二】两个年级学生近视防控知识测评分数统计图：【三】两个年级学生近视防控知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数七年级767573八年级76a73（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对近视防控知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；（3）若分数不低于80分表示该生对近视防控知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数．22．某数学学习小组根据以往学习函数的经验，研究函数y＝的图象和性质．列表如下：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…1m43n1…（1）直接写出m、n的值：m＝．n＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：．（3）已知函数y＝|x+1|的图象如图所示，请结合图象，直接写出方程|x+1|＝的解（精确到0.1，误差不超过0.2）．23．火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．（1）求A套餐的售价是多少元；（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．24．对于一个三位自然数m，如果m满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的百位数字与十位数字之和等于个位数字的两倍，那么称这个数m为“巧数”．对于一个“巧数”m，将m的百位与十位数字对调得到新数n，记F（m）＝．例如：m＝153，因为1+5＝2×3，所以153是一个“巧数”，那么n＝513，所以F（153）＝＝6．（1）写出最小和最大的“巧数”m，并求出对应的F（m）的值；（2）若s是“巧数”，且s＝100x+10y+z（1≤x＜y≤9，1≤z≤9，x，y，z均为整数），规定Q（s）＝，当F（s）与s的个位数字之和是一个完全平方数时，求Q（s）最小值．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线上B，C两点间有一动点P（点P不与B、C两点重合），过点P 作AC的平行线，交BC于点G，求PG的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A，C，M，N为顶点的四边形是以AC为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B 顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+A′C最小时，求S△A′BC．参考答案一、选择题：（共48分）1．解：﹣5的相反数是5．故选：B．2．解：四棱锥的主视图与俯视图不同．故选：B．3．解：A．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；B．a2与a5不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．a2•a4＝a6，故本选项不合题意；D．a9÷a3＝a6，故本选项不合题意；故选：A．4．解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随机抽取150名学生进行调查最具有具体性和代表性，故选：D．5．解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题．B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题．C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题．D、对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形，是假命题．故选：C．6．解：∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠ADC＝90°，∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠ACB＝∠D，∴∠ACB+26°+∠D＝90°，∴∠ACB＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝32°，故选：D．7．解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，∴△A'B'C'∽△ABC，∵△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，∴它们的面积比为4：9，故选：D．8．解：设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意得：，故选：D．9．解：（1）过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作EG⊥AB于G．∴则四边形EF AG是矩形，∴AG＝EF，AF＝EG，Rt△DEF中，i＝tan∠EDF＝1：2.4，∵DE＝6.5米，∴EF＝2.5米，DF＝6米，∵AD＝12米，∴AF＝EG＝AD+DF＝18米，在Rt△CEG中，∠CEG＝45°，∴CG＝EG＝18米，Rt△ABD中，∠ADB＝54°，AD＝12米，∴AB＝AD•tan54°≈12×1.38＝16.56（米），∴BC＝CG+GA﹣AB＝18+2.5﹣16.56＝3.94（米）≈3.9米，即宣传牌BC的高度为3.9米．故选：B．10．解：由图象可知：AC之间的距离为80千米，两车的速度差为：80÷2＝40（千米/小时），设乙车原速度为x千米/小时，则乙车后来速度为2x千米/小时，甲的速度为（x+40）千米/小时，由题意得：3（x+40）﹣80+4x＝460，解得：x＝60，即：乙车原速度为60千米/小时，则乙车后来速度为120千米/小时，甲的速度为100千米/小时．故选：C．11．解：，解不等式①得：x≥﹣1，∴﹣1≤x＜，∵不等式组有解且至多3个整数解，∴﹣1＜≤2，∴﹣3＜m≤6，分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1），∴x＝，∵x﹣1≠0，∴x≠1，∴≠1，∴m≠5，∵方程有整数解，∴m﹣2＝±1，±3，解得：m＝3，1，5，﹣1，∵m≠5，﹣3＜m≤6，∴m＝3，1，﹣1，故选：C．12．解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设C（a，b），则OF＝a，CF＝b，∵四边形ABCO为正方形，∴OA＝CO，∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠COF＝90°，∵AE⊥x轴，∴∠AOE+∠OEA＝90°，∴∠OEA＝∠COF，在△OAE和△COF中，，∴△OAE≌△COF（AAS），∴AE＝OF＝a，OE＝CF＝b，∴A（﹣b，a），∵四边形ABCO为正方形，D是OB的中点，∴D是AC的中点，∴D（），∵点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝ab＝，即a2﹣b2＝4ab，∵B点的纵坐标为4，∴D点纵坐标为，即a+b＝4，联立方程组，解得，，或（舍去），∴k＝ab＝2﹣2．故选：C．二、填空题：（共24分）13．解：0.00000012＝1.2×10﹣7，故答案是：1.2×10﹣7．14．解：＝9﹣1+2﹣＝10﹣．故答案为：10﹣．15．解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，则∠AFB＝90°，如图，∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，∴△ABB′是等边三角形，∴∠ABF＝60°，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝＝1，由勾股定理得：AF＝＝，∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）＝﹣（﹣）＝+，故答案为：+．16．解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的结果有6种，∴抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率为＝，故答案为：．17．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：．18．解：∵前半个月草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多，∴设前半个月草莓、樱桃销量为x，则枇杷销量为（1+）x＝x，∵后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，∴设后半个月樱桃销量为3y，则后半个月枇杷的销量2y，设后半个月草莓销量为z，∵4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44，∴＝，变形化简得y＝x，∵后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14，∴＝，变形化简得z＝x﹣y，∴z＝x﹣×x＝x，∴樱桃后半个月新增的销量与后半个月三种水果的总销量之比为＝＝，故答案为：．三、解答题：（共70分）19．解：（1）原式＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab＝4ab+b2．（2）原式＝÷＝•＝＝＝．20．解：（1）如图，点P为所作；（2）设∠C＝α，∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠C＝α，∴∠APB＝∠C+∠PBC＝2α，∵AB＝AP，∴∠ABP＝∠APB＝2α，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝3α，∵∠ABC+∠A+∠C＝180°，而∠ABC﹣∠A＝37°，∴2∠ABC+∠C＝180°+37°，即6α+α＝217°，解得α＝31°，即∠C＝31°．21．解：（1）由题干数据可知a＝（74+74）÷2＝74，（1﹣32%﹣32%﹣4%）÷2＝16%，∴m＝16，七年级D等级的学生人数为：50×20%＝10（人），E等级的学生人数为：50﹣10﹣12﹣16﹣10＝2（人），补全条形统计图如图：答：a＝74，m＝16；（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；（3）1800×+1700×2×16%＝792+544＝1336（人）．答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人．22．解：（1）将x＝﹣2代入y＝，解得y＝3，∴m＝3，将x＝1代入y＝，解得y＝，∴n＝，故答案为：3，．（2）如图，曲线y＝关于直线x＝﹣1对称．（3）由图象可得x＝0.9或x＝﹣2.9满足题意．故答案为：x＝0.9或x＝﹣2.9．23．解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，解得：x＝120．答：A套餐的售价是120元．（2）依题意得：（120﹣20）（1﹣a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+a%）＝48000，整理得：3.2a2﹣80a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．24．解：（1）设“巧数”m＝（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c是互不相等的整数），则a+b＝2c，∴c＝（a+b），∴a+b必是偶数，当m最小时，a＝1，b＝3，c＝2，即最小的“巧数”m＝132，∴F（m）＝F（132）＝＝4，当m最大时，a＝9，b＝7，c＝8，即最大的“巧数”m＝978，∴F（m）＝F（978）＝＝16；（2）∵s是“巧数”，且s＝100x+10y+z，∴x+y＝2z，∴F（s）＝＝＝＝2z，当1≤z≤4时，F（s）与s的个位数字之和为2z+z＝3z，∵F（s）与s的个位数字之和是一个完全平方数，∴3z是完全平方数，∴3z＝3或12，∵z均为整数，∴z＝1或3，∵1≤x＜y≤9，且x+y＝2z，∴3≤z＜4，∴z＝3，∴x+y＝6，∴Q（s）＝＝＝＝90+，∵x+y＝6，1≤x＜y≤9，∴x最大＝2，Q（s）最小＝90+＝121.5，当5≤z≤9时，F（s）与s的个位数字之和为2z﹣10+z＝3z﹣10，∵F（s）与s的个位数字之和是一个完全平方数，∴3z﹣10是完全平方数，∵5≤3z﹣10≤17，∴3z﹣10＝9或16，∴z＝或，∵z均为整数，∴都不符合题意，即Q（s）最小＝90+＝121.5．25．解：（1）设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），代入点C（0，﹣3）得﹣3a＝﹣3，解得a＝1．∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作GF⊥PE于点F．又OC＝OB＝3，则∠OCB＝∠GEP＝45°．∵AC∥PG∴∠ACB＝∠CGP．即∠ACO+∠OCB＝∠GEP+∠GPE，∴∠ACO＝∠GPE．∴tan∠GPE＝tan∠ACO＝，∴，∴PF＝3GF．又∠GEF＝45°，∴EF＝GF．∴PE＝PF+EF＝4GF．又在Rt△GFP中，由勾股定理得：PG＝．∴PG＝．设点P（t，t2﹣2t﹣3）∵B（3，0），C（0，﹣3）∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，∴点E坐标为（t，t﹣3）∴PE＝y E﹣y P＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，∴PG＝（﹣t2+3t）＝，∵﹣＜0，∴当t＝时，PG有最大值，此时点P（）．（3）依题意，抛物线沿射线BC平移个单位即抛物线向右平移1个单位，向上平移1个单位．平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣3，对称轴为直线x＝2．故设点M（2，m），又A（﹣1，0），C（0，﹣3）．∴AC＝，AM＝，CM＝．由题意知，以AC为腰的等腰三角形△ACM有两种情况：①如图2，当AC＝AM时，m1＝1，m2＝﹣1．M1（2，1），M2（2，﹣1）．由平行四边形对角线互相平分可知：∴N1（3，﹣2），N2（3，﹣4）②如图3，当CA＝CM，m3＝，m4＝﹣3﹣．M3（2，﹣3+），M4（2，﹣3﹣）．∴N3（1，），N4（1，﹣），综上：使以AC为边的菱形的N点有：N1（3，﹣2），N2（3，﹣4），N3（1，），N4（1，﹣）．26．解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，∴∠EBD＝90°，∵∠ABE＝75°，∴∠ABD＝15°，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝30°，∴在直角△BDG中有DG＝＝2，＝，∵∠ACB＝45°，∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，∴BC＝BG+CG＝，∴AC＝BC＝；（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG＝，证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM ⊥AB于M，如图：∴∠END＝90°，由旋转可知∠EBD＝90°，∴∠EDB＝45°∴∠END＝∠EBD＝90°，∴E，B，D，N四点共圆，∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180°∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，∴∠BEN＝∠BDC，∴∠BNE＝45°＝∠BCD，在△BEN和△BDC中，，∴△BEN≌△BDC（AAS），∴BN＝BC，∵∠BAC＝90°，在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，∵∠BAC＝∠END＝90°，∴EN∥AB，∵A是CN的中点，∴F是EC的中点，∵G是BC的中点，∴FG是△BEC的中位线，∴FG∥BE，FG＝BE，∵BE⊥BD，∴FG⊥BD，∵∠ABD＝30°，∴∠BFG＝60°，∵∠ABC＝45°，∴∠BGF＝75°，设AC＝a，则AB＝a，在Rt△ABD中，AD＝，BD＝BE＝，∴FG＝BE，∴FG＝，∵GM⊥AB，∴△BGM是等腰三角形，∴MG＝MB＝，在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，∴MF＝MG，∴MF＝，∴BF＝BM+MF＝，在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，∴FH＝＝a，∴HG＝FG﹣FH＝﹣a＝，又∵CD＝＝，∴＝，∴HG＝；（3）设AB＝a，则BC＝，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，由旋转可知A′B＝AB＝a，∵＝＝，＝＝，∴，又∠A'BN＝∠CBA'，∴△A′BN∽△CBA′，∴＝，∴A'N＝A'C，根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，∵D，N分别是AC，BC的中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，∵AB⊥AC，∴DN⊥AC，∵∠A＝∠A''F A＝∠A''DA＝90°，∴四边形A''F AD是矩形，∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，∵又A''B＝AB＝4，设AF＝x，在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2，∴42＝22+（4﹣x）2，解得x＝．∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''AC＝AB•AC﹣AB•A''F﹣AC•A''D＝×4×4﹣×4×2﹣×4×（4﹣2）＝4﹣4．。

河南省信阳市浉河区吴家店中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一.选择题（满分30分）1．下列是部分星座的符号，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程2x2﹣6x﹣5＝0的一次项系数是（）A．2B．6C．﹣6D．﹣53．如图，AB是⊙O的直径，C为圆内一点，则下列说法正确的是（）A．∠BOC是圆心角B．AC是⊙O的弦C．∠C是圆周角D．4．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+25．则这种商品每天的最大利润为（）A．0.1元B．3元C．25元D．75元5．某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程60+60（1+x）+60（1+x）2＝200，则x表示的意义是（）A．该厂二月份的增长率B．该厂三月份的增长率C．该厂一、二月份平均每月的增长率D．该厂二、三月份平均每月的增长率6．将抛物线y＝2x2+3向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣3）2+5B．y＝2（x﹣3）2﹣1C．y＝2（x+3）2+5D．y＝2（x+3）2﹣17．在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC 绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°8．如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等．则∠A与∠C的数量关系为（）A．∠A＝∠C B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90°D．∠A+∠C＝180°9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO 绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，若点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，4）10．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度y（m）与旋转时x（s）之间的关系可以近似地用y＝﹣x2+bx+c来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时x（s）和离地面高度y（m）的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（）A．172s B．175s C．180s D．186s二.填空题（满分15分）11．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．12．在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为．13．已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD 于点E．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，CB＝5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连接BE，则线段BE的最小值等于．三.解答题（满分75分）16．用恰当的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）．17．某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐．（1）请用列表或画树形图的方法求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率．18．在学完圆的相关知识后，某数学兴趣小组利用课余时间探究过圆外一点作已知圆的切线，下面记录了部分探究过，组员小杜用尺规作图过一点作已知圆的切线．如图，已知⊙O 及⊙O外一点P，求作：过点P的⊙O的切线．①连接OP，作OP的垂直平分线MN交OP于点A；②以A为圆心，OA为半径作⊙A，交⊙O于点B、C；③作射线PB、PC；则射线PB、PC即为所求．请完成以下问题：（1）根据上述步骤，利用尺规作图（保留作图痕迹、不写作法），将图形补充完整；（2）细心的小马同学通过认真观察，发现线段PB和PC满足一定的数量关系，请你将他的“已知”和“求证”补充完整，并证明．已知：如图，PB、PC与⊙O相切于点B、C，求证：19．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》20．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数图象的对称轴；（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；（3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．21．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？22．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…124421…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．23．如图①，现有三张形状大小完全相同的三角形纸片叠合到一起，其中AB＝AC，∠B＝∠C＝α．老师让同学们以“三角形的旋转”为主题，通过小组合作探究，提出问题一展示一集体谈论，解决问题．（1）“希望”小组提出问题：将图1中的△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△DEC，再将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△AFG，连接DG，得到图②，请判断四边形AEDG的形状，并说明理由；（2）“善学”小组提出问题：将图①中的△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△DEC，再将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△AFG，连接AE，DF，DG，得到图③请判断四边形ACDG的形状，并说明理由；老师根据上面小组的探究提出：（3）若α＝75°，则图③中，∠EDF＝．参考答案一.选择题（满分30分）1．解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．2．解：一元二次方程2x2﹣6x﹣5＝0的一次项系数是﹣6．故选：C．3．解：A、顶点在圆心的角叫圆心角，故∠BOC是圆心角，故A选项符合题意；B、弦是连接圆上任意两点的线段，故AC不是⊙O的弦，故B选项不符合题意；C、顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角，故∠C不是圆周角，故C不符合题意；D、根据三角形的三边关系可得AC+OC＞AO＝AB，故D不符合题意．故选：A．4．解：∵﹣0.1＜0，∴当x＝3时，y有最大值，最大值为25，故选：C．5．解：依题意可知：该厂2月份生产口罩60（1+x）万箱，3月份生产口罩60（1+x）2万箱，∴x表示该厂二、三月份平均每月的增长率．故选：D．6．解：将抛物线y＝2x2+3向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣3）2+3+2．即y＝2（x﹣3）2+5．故选：A．7．解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，故选：D．8．解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，故选：D．9．解：作CH⊥x轴于H点，如图，当x＝4时，y＝x＝4，则A（4，4），∴AB＝4，∵△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，∴BC＝BA＝4，∠ABC＝60°，∴∠CBH＝30°，在Rt△CBH中，CH＝BC＝2，BH＝CH＝6，∴OH＝BH﹣OB＝6﹣4＝2，∴C点坐标为（﹣2，2）．故选：A．10．解：把（160，60），（190，67.5）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+9x﹣740，∴该铅球飞行到最高点时，需要的时间为﹣＝180（s），故选：C．二.填空题（满分15分）11．解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，∴共有8个球，∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．故答案为：．12．解：∵点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，∴q＝1，p＝﹣3，则pq的值为：﹣3．故答案为：﹣3．13．解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），∴点A'（2，m），∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，∴m＝＝1，∴A（﹣2，1），∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，故答案为：y＝﹣．14．解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，∴BE＝BC＝2，在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴sin∠AEB＝＝，∴∠AEB＝30°，∴∠EBA＝60°，∴∠EBC＝30°，∴阴影部分的面积：S＝＝π，故答案为：π．15．解：过E作EF⊥BC于F，∵∠C＝∠ADE＝90°，∴∠EFD＝∠C＝90°，∠FED+∠EDF＝90°，∠EDF+∠ADC＝90°，∴∠DEF＝∠ADC，在△EDF和△DAC中，，∴△EDF≌△DAC（AAS），∴DF＝AC＝3，EF＝CD，设CD＝x，则BE2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2，∴BE2的最小值是2，∴BE的最小值是，故答案为：．三.解答题（满分75分）16．解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，∴（x+3）（x﹣1）＝0，则x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；（2）∵3（x﹣1）2＝2（x﹣1），∴3（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（3x﹣5）＝0，∴x﹣1＝0或3x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝．17．解：（1）画树形图为：共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的结果数为2，所以甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率＝＝；（2）甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的结果数为7，所以甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率＝．18．解：（1）作图如下：（2）已知：如图，PB、PC与⊙O相切于点B、C，OC、OB是⊙O的半径，求证：PB＝PC．证明：∵PB、PC与⊙O相切于点B、C，OC、OB是⊙O的半径，∴OC＝OB，∠OCP＝∠OBP＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△OCP≌Rt△OBP（HL），∴PC＝PB．故答案为：OC、OB是⊙O的半径，PC＝PB．19．解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，解得：a＝﹣，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：令y＝0，则﹣（x﹣3）2+3＝0，解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．20．解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝＝2．（2）当x＝2时，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2，∵最小值是7，∴3a﹣2＝7，解得：a＝3．（3）∵该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1在x≤4的范围内有两个不同的实数根，化简得：x2﹣6x+3a+3＝0，Δ＝36﹣4（3a+3）＞0，解得：a＜2，∵x2﹣6x+3a+3＝0在x≤4的范围内有两个不同的实数根，∴x＝4时，y＝16﹣24+3a+3≥0，∴a≥，∴≤a＜2．21．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．22．解：（1）补全图象如图所示：（2）①函数的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）①如图2，∵A、B的纵坐标相同，故AB∥OC，而BC∥OA，则四边形OABC为平行四边形，当y＝2时，即2＝，解得x＝±1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），则AB＝1+1＝2＝OC，则S四边形OABC＝CO•y A＝2×2＝4，②当y＝a时，同理可得：点A、B的坐标分别为（﹣，a）、（，2），则AB＝＝OC，则S四边形OABC＝CO•y A＝•a＝4，③当函数表达式为y＝时，同理可得：点A、B的坐标分别为（﹣，a）、（，2），则AB＝＝OC，则S四边形OABC＝CO•y A＝•a＝2k；故答案为：①4；②4；③2k．23．解：（1）四边形AEDG是平行四边形，理由如下：∵旋转，∴AC＝CD＝AG，AB＝DE，∠GAC＝α，∠DEC＝∠B＝α，∴∠DEC＝∠GAC，∴AG∥DE，∵AB＝AC，∴AG＝DE，∴四边形AEDG是平行四边形；（2）四边形ACDG是正方形，理由如下：∵旋转，∴AC＝CD＝AG，AB＝DE，∠GAC＝90°＝∠ACD，∴AG∥CD，∴四边形ACDG是平行四边形，∵∠GAC＝90°，∴四边形ACDG是矩形，∵AC＝CD＝AG，∴四边形ACDG是正方形；（3）连接GE，∵∠B＝∠ACB＝α＝75°，∴∠BAC＝30°，∵旋转，∴∠CDE＝∠GAF＝30°，AB＝DE＝AC＝CD，∵四边形ACDG是正方形，∴GD＝CD＝AC＝AG，∠GDC＝∠AGD＝90°，∴∠GDE＝60°，DG＝DE，∴△GDE是等边三角形，∴GE＝GD＝AG，∠GDE＝60°，∴∠AGE＝30°，∴∠GAE＝∠GEA＝75°，∴∠F AE＝45°，∵四边形AEDF是平行四边形，∴∠EAF＝∠EDF＝45°，故答案为：45°．。

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、单选题（共30分）1．点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（3，2）2．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（）A．36°B．24°C．48°D．144°3．用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（）A．（x﹣3）2＝11B．（x﹣3）2＝7C．（x﹣6）2＝38D．（x﹣6）2＝34 4．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（）A．3B．C．6D．5．下列事件中是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．同位角相等6．新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（）A．338B．256C．2197D．20287．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC＝25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°8．如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜49．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B 的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45°C．AD＝AC D．AE＝AB+CD 10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（）A．1B．2C．D．二、填空题（共18分）11．抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则抛物线的顶点坐标是．12．若关于x的一元二次方程x2+ax＝0有两个相等的实数根，则a的值为．13．如图，已知圆锥的底面半径为3，圆锥的母线与高的夹角θ为30°，则圆锥的侧面展开图的面积是．14．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A'BC'的位置，点C'在AC上，A'C'与AB相交于点D，则C'D＝．15．已知⊙O半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对的圆周角度数是．16．商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量w（个）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种帽子每天的利润为y（元），则y与x之间的函数关系式为；当销售单价定为元时，每天的利润最大．三、解答题（共72分）17．解一元二次方程：x2﹣2x﹣8＝0．18．为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是；（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．19．如图，AB为⊙O的一条弦．（1）用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的CD的长为2，AB的长为8，求⊙O的半径．20．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．21．如图1，斜坡与水平面夹角α＝30°．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线AC的距离为4米．（1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；（2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水柱能否越过这棵树．22．点P是正方形ABCD所在平面内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图①，当P在CD边上时，直接写出BP与DQ之间的关系是；（2）如图②，当P在正方形内部时，BP与DQ之间有怎样的关系？请说明理由；（3）射线BP交DQ于E，若四边形PCQE是正方形，BC＝2，CP＝1，直接写出BE＝．23．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？24．如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA＝60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．（1）求点A、B的坐标；（2）求抛物线的函数关系式；（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：⊙O是△ABC的外接圆，且，∠ABC＝60°，D为⊙O上一动点．（1）如图1，若点D是的中点，求∠DBA的度数．（2）过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在上，求证：CD＝DE+AE．②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足CD＝DE+AE时，求∠ABD的最大值．参考答案一、单选题（共30分）1．解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：C．2．解：∵∠AOB＝72°，∴∠ACB＝∠AOB＝36°，故选：A．3．解：x2﹣6x﹣2＝0，x2﹣6x＝2，x2﹣6x+9＝2+9，（x﹣3）2＝11，故选：A．4．解：连接OA，如图所示，∵OC⊥AB，OC＝2，OA＝4，∴AB＝2AC，∵AC＝＝＝2，∴AB＝2AC＝4．故选：D．5．解：A、打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》，是随机事件；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；D、同位角相等，是随机事件；故选：C．6．解：设在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，[x（x+1）+x+1]＝169，即（1+x）2＝169，解得x1＝12，x2＝﹣14（舍），∴每轮传染中平均一个人可以传染12个人，∴第三轮传染后感染人数为169+169×12＝2197，故选：C．7．解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，点C是切点，∴∠OCD＝90°．∵∠BAC＝25°，∴∠COD＝50°，∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°．故选：D．8．解：联立，解得，，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＜y2时x的取值范围是x＜0或x＞2．故选：B．9．解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝45°＝∠DAC，△ABC≌△DEC，AD＝AC，∴AE＝AD+DE＝CD+AB，故选项A，B，C正确，D错误，故选：D．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠BCN+∠BNC＝90°，又BN＝AM，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠ABM＝∠BCN，∴∠ABM+∠BNC＝90°，∴∠BPC＝∠BPN＝90°，∴点P的运动轨迹为以BC为直径的一段弧，如图所示，连接AO1交弧于点P，此时，AP的值最小，在Rt△ABO1中，，由勾股定理得，，∴，故选：C．二、填空题（共18分）11．解：∵y＝（x﹣2）2+1∴抛物线的顶点坐标是（2，1）故答案为：（2，1）．12．解：根据题意得Δ＝a2﹣4×0＝0，解得a1＝a2＝0，即a的值为0．故答案为：013．解：∵圆锥的母线与高的夹角θ为30°，底面半径为3，∴圆锥的母线长为6，∴圆锥的侧面展开图的面积＝×2π×3×6＝18π．故答案为18π．14．解：∵∠A＝30°，∴BC＝AC＝×10＝5，∠C＝90°﹣30°＝60°，由旋转的性质，BC＝BC′＝5，∠C＝∠BC'A'＝60°，∴△BCC′是等边三角形，∴CC′＝BC，∠CBC′＝60°，∵∠CBC′＝∠A′C′B＝60°，∴A′C′∥BC，∴∠ADC'＝∠ABC＝90°，∴∠ABC'＝30°，∴C′D＝BC'＝×5＝2.5，故答案为：2.5．15．解：如图所示，∵OC⊥AB，∴C为AB的中点，即AC＝BC＝AB＝，在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝，根据勾股定理得：OC＝＝＝，即OC＝AC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC＝45°，同理∠BOC＝45°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠AOB与∠ADB都对，∴∠ADB＝∠AOB＝45°，∵大角∠AOB＝270°，∴∠AEB＝135°，∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．故答案为：45°或135°．16．解：∵帽子的进价为20元/个，销售单价x（元），∴每件帽子的利润为（x﹣20）元；∴销售这种帽子每天的利润为：y＝（x﹣20）（﹣2x+80），（20≤x≤40），∴y＝﹣2x2+120x﹣1600（20≤x≤40）；配方，得：y＝﹣2（x﹣30）2+200，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝30时，函数y有最大值200；故答案为：y＝﹣2x2+120x﹣1600（20≤x≤40）；30．三、解答题（共72分）17．解：x2﹣2x﹣8＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，∴x﹣4＝0或x+2＝0，∴x1＝4，x2＝﹣2．18．解：（1）∵共有5人，其中男生2人，女生3人，∴从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是；（2）设男生用A表示，女生用B表示，树状图如下所示：由上可得，一共有20种可能性，其中恰好选中一男一女的有12种，所以恰好选中一男一女的概率是＝．19．解：（1）图形如图所示．（2）∵OC⊥AB，∴∠DCB＝∠OCB＝90°，∴BC＝＝4，设OB＝OD＝r，则有r2＝（r﹣2）2+42，∴r＝5，∴⊙O的半径为5．20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵AC＝＝，∴线段AC在旋转过程中扫过的图形面积＝＝．21．解：（1）以点A坐标原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，依题，A（0，0），最高点即抛物线的顶点D（4，4），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，将A（0，0）代入上式，得0＝16a+4，∴，抛物线的解析式为：；（2）∵斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图，∴AE＝2，GF＝2.5，在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，∠BAC＝α＝30°，设EF＝m，则AF＝2m，∴（2m）2＝m2+22，∴，∴，又当x＝2时，y＝﹣×（2﹣4）2+4＝3＜3.5，故从A喷出的水柱不能越过这棵树．22．解：（1）如图①，延长BP交DQ于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，由旋转得CP＝CQ，∠PCQ＝90°，∵点P在CD边上，∴∠DCQ＝∠PCQ＝90°，∴∠BCD+∠DCQ＝180°，∴B、C、Q三点在同一条直线上，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CBP＝∠CDQ，∴∠CBP+∠Q＝∠CDQ+∠Q＝90°，∴∠BEQ＝90°，∴BP⊥DQ，故答案为：BP＝DQ，BP⊥DQ．（2）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由：如图②，点P在正方形ABCD内部，延长BP分别交DQ、DC于点E、点F，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，由旋转得CP＝CQ，∠PCQ＝90°，∴∠BCP＝∠DCQ＝90°﹣∠PCD，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CBP＝∠CDQ，∵∠BFC＝∠DFE，∴∠CDQ+∠DFE＝∠CBP+∠BFC＝90°，∴∠DFE＝90°，∴BP⊥DQ.（3）如图③，四边形PCQE是正方形，且点P在正方形ABCD内部，∵BC＝2，EP＝CP＝1，∠CPE＝90°，∴∠BPC＝180°﹣∠CPE＝90°，∴BP＝＝＝，∴BE＝BP+EP＝+1；如图④，四边形PCQE是正方形，且点P在正方形ABCD外部，∵BC＝2，EP＝CP＝1，∠P＝90°，∴BP＝＝＝，∴BE＝BP﹣EP＝﹣1，综上所述，BE＝+1或BE＝﹣1，故答案为：+1或﹣1．23．（1）证明：连接OD，BD．∵D是圆上一点∴∠ADB＝90°，∠BDC＝90°则△BDC是Rt△，且已知E为BC中点，∴∠EDB＝∠EBD．又∵OD＝OB且∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°．∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OD，BD，AE，OE，∵∠EDO＝∠ABC＝90°，若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又∵BD⊥AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，所以当∠CAB为45°时，四边形AOED是平行四边形．24．解：（1）∵MO＝MA＝1，∠OMA＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OB＝，∴A（1，0），B（0，）；（2）∵BC是切线，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝4，∴C（﹣3，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点A、B、C代入得，，解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+；（3）设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，对称轴为直线x＝﹣1，设点D（﹣1，m），分3种情况讨论：①BC＝BD；＝2，解得m＝±+；②BC＝CD；＝2，解得m＝±2；③BD＝CD；＝，解得：m＝0，∴符合条件的点D的坐标为，（﹣1，+），（﹣1，﹣+），（﹣1，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）．25．解：（1）如图1中，连接BD．∵＝，∴∠BCA＝∠BAC，∵∠ABC＝60°，∴∠BCA＝60°，∵D是的中点，∴∠DCA＝30°，∵，∴∠DBA＝∠DCA＝30°．（2）①过B作BH⊥CD于点H，则∠BHC＝∠BHD＝90°．又∵BE⊥AD于点E，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BHC＝∠BHD，又∵，∴∠BAE＝∠BCH，∵，∴BA＝BC，∴△BEA≌△BHC（AAS），∴EA＝CH，又∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA，又∵，∴∠BCA＝∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，又∠BED＝∠BHD＝90°，BD＝BD，∴Rt△BED≌Rt△BDH（HL），∴DE＝DH，∴DC＝DH+HC＝DE+AE．（2）②连接BO并延长⊙O交于点I，则点D在上．如图：过B作BH⊥CD于点H，则∠BHC＝90°，∠BHD＝90°，又∵BE⊥AD于点E，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BHC＝∠BHD，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAE＝∠BCD，又∵，∴BA＝BC，∴△BEA≌△BCH（AAS）∴EA＝EH，∵，∴∠BDA＝∠BDC，又BD＝BD．∠BED＝∠BHD＝90°，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL）∴ED＝HD，∴CD＝HD+HC＝DE+AE，∵BI是⊙O直径，，∴BI垂直平分AC，∴，∴2∠ABI＝∠ABC＝60°，∴当点D运动到点I时∠ABI取得最大值，此时∠ABD＝30°．。

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共16分）1．在下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若方程x2+kx﹣6＝0的一个根是﹣3，则k的值是（）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．抛物线y＝（x+3）2﹣1的顶点坐标是（）A．（3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）4．如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．如图，在一块长30m，宽20m的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为522m2，依题意列方程（）A．20x+30×2x＝600﹣522B．20x+30×2x﹣x2＝600﹣522C．（20﹣2x）（30﹣x）＝522D．（20﹣x）（30﹣2x）＝5226．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（）A．54°B．56°C．64°D．66°7．投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（）A．的值一定是B．的值一定不是C．m越大，的值越接近D．随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中y与x的部分对应值如表：x…﹣2﹣1012…y…﹣1232﹣1…关于此函数的图象和性质有如下判断：①抛物线开口向下．②当x＞0时，函数图象从左到右上升．③方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分）9．一元二次方程x2﹣9＝0的根为．10．点A（﹣5，3）关于原点的对称点A'的坐标为．11．把抛物线y＝先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是．13．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为．14．如图，P A、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则P A＝cm．15．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则∠CAD的度数是，弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是．16．新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价（a+1）元，重（m﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差元，通过称重其他盲盒，大家发现：称重情况重量大于小林的盲盒的与小林的盲盒一样重重量介于小林和小李之间的与小李的盲盒一样重重量小于小李的盲盒的盲盒个数05094若这些礼物共花费2018元，则a＝元．三、解答题（满分68分）17．解方程．（1）x2﹣8x﹣2＝0；（2）2x2﹣x﹣3＝0．18．2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A志愿者被选中”是事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．19．下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC．作法：如图，①作直径AB；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形．根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规、补全图形：（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC＝∵AB是直径，∴∠ACB＝（）（填写推理依据）．∴△ABC是等腰直角三角形．20．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，求此时方程的解．21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请在图中作出△ABC绕点A逆时针方向旋转90°后得到的图形△A1B1C1：（2）求点C运动到点C1所经过的路径的长（结果保留π）．22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标．（2）直接写出当0＜x＜2时，求y的取值范围．23．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝300m，EF＝50m，求这段弯路的半径．24．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝2，CD＝4，求半径的长．25．某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0 1.0 3.0 5.07.0h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）26．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．27．如图，在等边△ABC中点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．（1）依据题意补全图形；（2）比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；（3）用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，C（0，2），⊙C的半径为1．如果将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）后的对应线段A'B'所在的直线与⊙C相切，且切点在线段A′B′上，那么线段AB就是⊙C的“关联线段”，其中满足题意的最小α就是线段AB与⊙C的“关联角”．（1）如图1，如果A（2，0），线段OA是⊙C的“关联线段”，那么它的“关联角”为°．（2）如图2，如果A1（﹣3，3）、B1（﹣2，3），A2（1，1）、B2（3，2），A3（3，0）、B3（3，﹣2）．那么⊙C的“关联线段”有（填序号，可多选）．①线段A1B1②线段A2B2③线段A3B3（3）如图3，如果B（1，0）、D（t，0），线段BD是⊙C的“关联线段”，那么t的取值范围是．（4）如图4，如果点M的横坐标为m，且存在以M为端点，长度为的线段是⊙C的“关联线段”，那么m的取值范围是．参考答案一、选择题（共16分）1．解：A、绕圆心旋转180°，不能与自身重合，不是中心对称图形，不合题意；B、绕圆心旋转180°，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；C、绕圆心旋转180°，不能与自身重合，不是中心对称图形，不合题意；D、绕圆心旋转180°，能与自身重合，是中心对称图形，符合题意．故选：D．2．解：把x＝﹣3代入方程x2+kx﹣6＝0得：9﹣3k﹣6＝0，解得：k＝1，故选：B．3．解：∵抛物线y＝（x+3）2﹣1，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣1），故选：D．4．解：旋转角是∠BAB′，∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．5．解：设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长（30﹣x）m，宽（20﹣2x）m的矩形，依题意得：（30﹣x）（20﹣2x）＝522，故选：C．6．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝∠BCD＝24°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°．故选：D．7．解：投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性，故选：D．8．解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，∴抛物线的顶点为（0，3），∴y＝3是函数的最大值，∴抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，即当x＜0时，函数图象从左到右上升，所以①正确，②错误；∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，所以③正确．综上所述：其中正确的结论有①③．故选：B．二、填空题（共16分）9．解：x2﹣9＝0，x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3，故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．10．解：点A（﹣5，3）关于原点对称的点的坐标是A'（5，﹣3），故答案为：（5，﹣3）．11．解：将抛物线先向右平移6个单位长度，得：；再向上平移3个单位长度，得：．故答案为：．12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．13．解：第一次打开锁的概率为．14．解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵P A、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴P A＝PB；同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝P A+PB＝10（cm）；∴P A＝PB＝5cm，故答案为：5．15．解：连接CO、OD，CD，∵C、D是这个半圆的三等分点，∴CD∥AB，∠COD＝60°，∴∠CAD的度数为：30°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，CD＝OC＝AB＝6cm，∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，∴S阴影＝S扇形OCD＝π×62＝6πcm2．故答案为：30°，6πcm2．16．解：∵A礼物重m千克，B礼物重（m﹣1）千克，∴A礼物比B礼物重1千克，∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物；或小李的盲盒中为2件B礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物；∴不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差a+1﹣a＝1（元），由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，不可能为2件B礼物，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，∴重量小于小李的盲盒为2件B礼物，∵与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，∴2件B礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物有10盒，2件A礼物有6盒，∴2×4（a+1）+10×a+10（a+1）+2×6a＝2018，解得a＝50，故答案为：1，50．三、解答题（满分68分）17．解：（1）x2﹣8x﹣2＝0，x2﹣8x＝2，x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，∴x﹣4＝，∴x1＝4+3，x2＝4﹣3；（2）2x2﹣x﹣3＝0，（2x﹣3）（x+1）＝0，∴2x﹣3＝0或x+1＝0，∴x1＝，x2＝﹣1．18．解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，∴A，B两名志愿者同时被选中的概率为＝．19．解：（1）如图所示：（2）证明：连接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分线．又∵直线MO交⊙O于点C，∴AC＝BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：BC、90°，直径所对的圆周角是直角．20．解：（1）∵x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根，∴Δ≥0，∴（﹣2）2﹣4×1•（2k﹣1）≥0，解得k≤1；（2）由（1）知k≤1，∵k为正整数，∴k＝1，∴原方程为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，∴x1＝x2＝1．21．解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）∵，∴点C运动到点C1所经过的路径的长为：．22．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．（2）∵抛物线的顶点坐标为（，﹣）．∴函数有最小值y＝﹣，∵x＝2时，y＝0，∴当0＜x＜2时，y的取值范围﹣≤y＜0．23．解：连接OC．设这段弯路的半径为Rm，则OF＝OE﹣EF＝（R﹣50）m，∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×300＝150（m）．根据勾股定理，得OC2＝CF2+OF2，即R2＝1502+（R﹣50）2，解得R＝250，所以这段弯路的半径为250m．24．（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵AC经过⊙为的半径OD的端点D，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线．（2）如图，设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，作OG⊥BE于点G，则BG＝EG，∠OGB＝90°，∵∠ODC＝∠C＝∠OGC＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CE＝2，CD＝4，∴OG＝CD＝4，CG＝OD＝r，∴BG＝EG＝r﹣2，∵OB2＝OG2+BG2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴⊙O的半径长为5．25．解：（1）如图，（2）由（1，4.2）和（5，4.2）可知，抛物线的对称轴为d＝3，当d＝3时，h＝5，∴水柱最高点距离湖面的高度是5米；（3）由图象可得，顶点（3，5），设二次函数的关系式为h＝a（d﹣3）2+5，把（0，3.2）代入可得a＝﹣0.2，∴h＝﹣0.2（d﹣3）2+5；（4）当h＝0时，即﹣0.2（d﹣3）2+5＝0，解得d＝﹣2（舍去）或d＝8，∴正方形的边长为2×（8+1）＝18（米），∴至少需要准备栏杆4×18＝72（米），∴公园至少需要准备72米的护栏．26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故答案为：直线x＝﹣1；（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，∵抛物线顶点在x轴上，即当x＝﹣1时，y＝0，∴3a2﹣a﹣4＝0，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．27．解：（1）如图所示：（2）∠BDE＝∠BPE，理由如下：∵将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，∴PD＝PE，∠DPE＝60°，∴△PDE是等边三角形，∴∠DPE＝∠PDE＝60°，∴∠BPE+∠DPC＝120°，∴∠BPE＝120°﹣∠DPC，∵∠BDP＝∠DPC﹣60°，∴∠BDE＝60°﹣∠BDP＝60°﹣（∠DPC﹣60°）＝120°﹣∠DPC，∴∠BDE＝∠BPE；（3）BD＝BE+BP，理由如下：如图，在BD上截取DF＝BP，连接EF，由（2）可知：∠BDE＝∠BPE，在△DEF和△PEB中，，∴△DEF≌△PEB（SAS），∴EF＝BF，∠EBP＝∠EFD，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠EFB+∠EFD＝2∠EBF+∠DBC＝180°，∴∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF，∵BD＝BF+DF，∴BD＝BE+BP．28．解：（1）如图1，作OD与⊙C相切于点D，∴CD⊥OD，∵sin∠COD＝＝，∴∠COD＝30°，∴∠AOD＝60°，OD＝＜2，∴OA的“关联角”为60°，故答案为：60；（2）如图2，连接OB1，OA2，OB2，OB3，∵OB1＝3＞3，∴A1B1绕O旋转无法与⊙C相切，故A1B1不是⊙C的“关联线段”，∵OA2＝，OB2＝，＜3＜，∴A2B2是⊙C的“关联线段”，∵OA3＝3，∴A3B3是⊙C的“关联线段”，故答案为：②③；（3）如图3，∴B点旋转路线在半径为1的⊙O上，当OD与⊙C相切时，由（1）知，OD＝，∴当t≥时，线段BD是⊙C的“关联线段”，故答案为：t≥；（4）如图4，当m取最大值时，M点运动最小半径是O到过（m，0）的直线l的距离是m，∵CD＝1，M'D＝，∴M'C＝2，∴OM'＝4，∴m的最大值为4，如图5，当m取最小值时，开始时存在ME与⊙C相切，∵CE＝1，ME＝，∴MC＝2，∵0°＜α＜180°，∴m＞﹣2，综上，m的取值为﹣2＜m≤4，故答案为：﹣2＜m≤4．。