线性相关系数r2的计算公式

孟德尔随机化 r2 f统计量计算1. 介绍孟德尔随机化实验设计孟德尔随机化实验设计是一种用于检验处理效应的统计方法，常用于生物学和农学领域。

该实验设计通过在试验区域内随机安排不同处理，比较不同处理对变量的影响，以得出处理效应的主要结论。

2. r2统计量的定义和计算r2统计量，也称为相关系数平方，用于衡量解释变量对因变量变异性的占比。

在孟德尔随机化实验设计中，r2统计量可以帮助评估处理效应的大小。

r2统计量的计算公式如下：r2 = SSR / SST其中，SSR代表回归平方和，表示由模型解释的变异量；SST代表总平方和，表示所有变异的总和。

3. F统计量的定义和计算F统计量用于检验处理效应是否显著，其计算公式为：F = （MSR / dfR）/（MSE / dfE）其中，MSR为均方回归，dfR为回归自由度；MSE为均方误差，dfE 为误差自由度。

4. 孟德尔随机化实验设计中r2和F统计量的意义在孟德尔随机化实验设计中，r2统计量可以帮助研究人员了解处理效应对总变异的贡献程度，进而评估处理效应的大小和重要性。

而F统计量则用于检验处理效应是否显著，帮助确定处理效应是否不只是由于随机因素引起的。

5. 实例分析举例来说，假设研究人员对不同施肥处理对作物产量的影响进行了孟德尔随机化实验设计。

通过对产量数据进行回归分析，得到r2和F统计量的计算结果。

假设r2为0.8，F值为28.4，显著性水平为0.05。

则可以得出施肥处理对作物产量影响显著，并且r2统计量表明处理效应对总变异的贡献程度为80。

6. 结论通过对孟德尔随机化实验设计中r2和F统计量的计算和分析，可以帮助研究人员更好地理解处理效应的大小和重要性，以及对处理效应的显著性进行检验。

这对于实验结果的解释和结论的得出具有重要意义。

在实际研究中，孟德尔随机化实验设计能够降低实验误差并保证结果的可靠性，其重要性不言而喻。

然而，在进行孟德尔随机化实验设计时，需要对r2和F统计量进行详细的计算和分析，以确保实验结果的可靠性和准确性。

相关系数r和r2
相关系数r和r2是统计学中常用的两个量度，用于衡量两个变量之间的相关性。

相关系数r是指两个变量之间的线性相关程度，其取值范围为-1到1之间。

相关系数r2是指两个变量之间的总方差能够被解释的比例，其取值范围为0到1之间。

相关系数r越接近于1或-1，表示两个变量之间的线性相关程度越高；相关系数r越接近于0，表示两个变量之间的线性相关程度越低。

当相关系数r为正数时，表示两个变量具有正相关关系；当相关系数r为负数时，表示两个变量具有负相关关系。

相关系数r2的取值范围为0到1之间，其值越大表示两个变量之间的相关性越强。

当r2为1时，表示两个变量之间的线性关系可以完全被解释；当r2为0时，表示两个变量之间不存在任何线性关系。

总之，相关系数r和r2是用来评估两个变量之间相关性的重要指标，可应用于各种领域的研究中。

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回归评估指标r和r2的关系
回归评估指标中的R和R²都是用来衡量回归模型拟合优度的
指标。

R是指相关系数，它衡量了因变量和自变量之间的线性关系
强度。

R²（R平方）则是确定系数，它衡量了自变量对因变量变化
的解释程度，即拟合优度。

这两个指标之间存在着密切的关系。

首先，R²是R的平方，也就是说R²是R的值的平方。

R²的
取值范围是0到1，表示因变量的变化中有多少百分比可以由自变
量解释。

而R的取值范围是-1到1，表示了自变量和因变量之间的
线性关系强度和方向。

当R为1时，表示完美的正相关关系；当R
为-1时，表示完美的负相关关系；而当R为0时，则表示没有线性
关系。

其次，R²可以被解释为自变量对因变量变化的解释程度，而R
可以被解释为自变量和因变量之间的线性关系强度。

因此，R²可以
被看作是R的平方，表示了自变量对因变量变化的解释程度的平方。

在实际应用中，R²的值越接近1，表示回归模型对观测数据的拟合
程度越好，而R²的值越接近0，则表示回归模型对观测数据的拟合
程度越差。

总的来说，R²和R之间的关系可以用简单的公式来表示，R²
= R²。

这个公式表明了它们之间的直接关系，即R²是R的平方。

因此，当我们讨论回归模型的拟合优度时，通常会同时关注R²和R 这两个指标，以全面评估回归模型的表现。

orr计算方程让我们来了解orr计算方程的原理。

orr计算方程是基于皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）的计算方法。

皮尔逊相关系数是一种用于衡量两个连续型变量之间线性关系强度的统计指标。

它的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示没有线性关系。

orr计算方程的公式如下所示：orr = (r1 - r2) / (1 - r1 * r2)其中，r1和r2分别是两个变量之间的皮尔逊相关系数。

然后，我们来看一下orr计算方程的应用。

orr计算方程广泛应用于各种研究领域，包括医学、心理学、社会学等。

例如，在医学研究中，我们可以使用orr计算方程来分析两个变量之间的相关性，例如血压和心率之间的关系。

在心理学研究中，我们可以使用orr 计算方程来分析两个变量之间的相关性，例如压力和焦虑之间的关系。

在社会学研究中，我们可以使用orr计算方程来分析两个变量之间的相关性，例如收入和教育水平之间的关系。

接下来，我们将介绍如何使用orr计算方程来分析数据。

首先，我们需要收集两个变量的数据。

然后，我们可以使用统计软件或编程语言来计算两个变量之间的皮尔逊相关系数。

一旦我们得到了相关系数，我们就可以将它代入orr计算方程中，来计算orr值。

最后，我们可以根据orr值的大小来判断两个变量之间的相关性强度。

在使用orr计算方程进行数据分析时，我们需要注意一些事项。

首先，我们应该确保所使用的数据是准确和可靠的。

其次，我们应该选择适当的样本大小，以保证分析结果的可靠性。

此外，我们还应该注意相关系数的解释，避免误导性的解读。

orr计算方程是一种常用的分析数据的方法，可以帮助我们了解两个变量之间的相关性。

通过计算皮尔逊相关系数和使用orr计算方程，我们可以得到相关性强度的度量。

这种方法在各个研究领域都有广泛的应用，并可以通过收集准确可靠的数据来进行数据分析。

在使用orr计算方程进行数据分析时，我们应该注意数据的准确性、样本大小的选择以及相关系数的解释，以确保分析结果的可靠性。

相关指数r2范围相关指数r2（也称为确定系数）是统计学中衡量变量之间相关程度的重要指标。

它反映了变量x和变量y之间的线性相关程度，即当变量x发生变化时，变量y也会发生变化的程度，可以体现出一种“事物的关系”。

相关指数R2的取值范围常在[0,1]之间，此指数越大，样本点越接近于一条线曲线，表明变量x与变量y之间存在较强的线性相关关系，所描述的变量之间的拟合程度也就越高；反之，此指数越小，则表明变量x和变量y之间不存在线性相关，也即变量x和变量y之间没有关联性。

因此，计算相关指数R2是衡量变量x和变量y之间线性关系的重要指标，R2的取值范围在[0,1]之间，值越大表明变量x与变量y 之间的线性相关性越明显，以及所描述的变量之间拟合程度也越高；值越小，表明变量x与变量y之间没有明显的线性相关性。

R2全称是回归平方，它是衡量线性回归模型中拟合程度的一种重要指标，它可以反映出拟合模型的准确率，也可以反映出拟合模型的拟合程度。

R2的取值范围在 0 1 之间，当 R2近 1，说明拟合模型的拟合程度较高；当R2远小于 1，则表明拟合模型的拟合程度较低，也表明该模型不太准确，需要更多的数据支持或者参数调整。

R2还涉及到自变量和因变量之间的关系，也就是这两个变量之间的因果关系。

这种中的因果关系可以通过R2来衡量：只要R2值越大，就表明自变量变化的程度就越能够预测出因变量的变化，从而暗示自变量改变会使因变量发生变化，也就是发生因果关系。

R2的取值范围属于[0,1]，一般而言，R2值大于0.8，表示变量x与变量y之间存在较强的线性相关关系；当取值在0.5～0.8之间时，表示变量x与变量y之间存在中等程度的相关程度；当取值小于0.5时，表明变量x与变量y之间不存在线性相关，也就是说变量x和变量y之间没有明显的关联性。

最后，要注意的是，当处理的数据有偏性的时候，R2的取值就不会准确反映变量x和变量y之间的相关度，这时，建议使用另一种衡量变量之间相关程度的指标：即Spearman的等级相关系数（Spearman rank coefficient）。

个性化教学辅导教案学科： 数学 年级： 十一年级 任课教师： 授课时间： 2018 年 月 日教学 课题导函数求参数范围问题教学 目标 1、熟练运用统计案例中的公式进行计算 2、学会分析统计数据 教学 重难点 重点:统计案例公式的运用 难点:数据的分析教学过程§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用【知识要点】 ● 线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系；③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x ． ● 相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系．● 回归分析中回归效果的判定：⑴总偏差平方和：∑=-ni iy y12)(； ⑵残差：∧∧-=i i i y y e ； ⑶残差平方和：21)(∑=∧-ni yi yi ；⑷回归平方和：∑=-ni iy y12)(－21)(∑=∧-ni yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧---=ni i ini i iy yy y R 12122)()(1 ．注：①2R 的值越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R 越接近于1，则回归效果越好。

【例题精讲】【例 1】有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；（5）学生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是．【例 2】某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15检验每册书成本费y与印刷册数倒数1x之间是否具有线性相关关系，如有，求y对x的回归方程．【例 3】营养学家为研究食物中蛋白质含量对婴幼儿生长的影响，调查了一批年龄在两个月到三岁的婴幼儿，将他们按食物中蛋白质含量的高低分为高蛋白食物组和低蛋白食物组两组，并测量身高，得到下面的数据：高蛋白食物组年龄0.2 0.5 0.8 1 1 1.4 1.8 2 2 2.5 2.5 3 2.7身高54 54.3 63 66 69 73 82 83 80.3 91 93.2 94 94低蛋白食物组年龄0.4 0.7 1 1 1.5 2 2 2.4 2.8 3 1.3 1.8 0.2 3身高52 55 61 63.4 66 68.5 67.9 72 76 74 65 69 51 77 身高与年龄近似有线性关系，检验：不同食物的婴幼儿的身高有无差异；若存在，这种差异有何特点?【基础达标】1．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（）A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm以下D．身高在145.83cm左右3．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1的相关指数R 2为0.98B ．模型2的相关指数R 2为0.80C ．模型3的相关指数R 2为0.50D ．模型4的相关指数R 2为0.25 4．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为y ∧=60+90x ，下列判断正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D ．劳动生产率为1000元时，工资为90元5．在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ）A ．残差B ．样本编号C ．xD ．e n 6．通过e 1，e 2，…，e n 来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为（ ）A ．回归分析B ．独立性检验分析C ．残差分析D ．散点图分析 【能力提高】7．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速 x （转/秒）16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数 y （件）11985（1）变量y 对x 进行相关性检验；（2）如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内?8．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y )的数据，建立的回归直线方程如下0.8 4.6y x ∧=+，斜率的估计等于0.8说明 ；成年人受过9年或更少教育的百分比(x )和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(y )之间的相关系数 ．(填“大于0”或“小于0”)一、选择题．1．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ）A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数R 22．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（ ） A ．y ∧=1.23x ＋4 B ．y ∧=1.23x +5 C ．y ∧=1.23x +0.08 D ．y ∧=0.08x +1.233．相关系数r 可用来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，其计算公式为：，则以下正确的命题是（ ）A ．r 只能取正值 C ．r 只有大于0.75 时才认为两个变量有很强的线性相关关系B ．r 可以取任意实数 D ．r 大于0.75 时才认为两个变量有很强的线性相关关系4．在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就（ ）A ．越大B ．越小C ．无法判断D ．以上都不对5．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）()2P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83A ．25％B ．75％C ．2.5％D ．97.5％6．如图所示，有5组(x ，y )数据，去掉其中一组后，剩下的4组数据的线性相关系数最大，则应去掉的一组数据所对应的点是（ ）A ．(3，10)B ．(4，5)C ．(10，12)D ．(1，2)7．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，则线性回归方程为（ ）A ．y ∧=0.08x －1.23 B ．y ∧=0.08x +1.23 C ．y ∧=1.23x － 0.08 D ．y ∧=1.23x +0.08 二、填空题．8．若有一组数据的总偏差平方和为100，相关指数为0.5，则其残差平方和为_________．9．在求两个变量x 和y 的线性回归方程过程中，计算得，则该回归方程是 ．课后练习。

相关系数r和决定系数R2的那些事o协方差与相关系数o决定系数（R方）o参考资料有人说相关系数（correlation coefficient，r rrr）和决定系数（coefficient of determination，R2R2R^2R2，读作R-Squared）都是评价两个变量相关性的指标，且相关系数的平方就是决定系数？这种说法对不对呢？请听下文分解！协方差与相关系数要说相关系数，我们先来聊聊协方差。

在之前的博文《使用Python计算方差协方差相关系数》中提到协方差是计算两个随机变量X XXX和Y YYY 之间的相关性的指标，定义如下：Cov(X,Y)=E[(X−E X)(Y−E Y)]Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]但是协方差有一个确定：它的值会随着变量量纲的变化而变化（covariance is not scale invariant），所以，这才提出了相关系数的概念：r=Corr(X,Y)=Cov(X,Y)σX⋅σY=E[(X−E X)(Y−E Y)]E[X−E X]2√E[Y−E Y]2√r=Corr(X,Y)=Cov(X,Y)σX⋅σY=E[(X−EX)(Y−EY)]E[X−EX]2E[Y −EY]2r = \mathrm{Corr}(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{\mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]}{\sqrt{\mathrm{E}[X - \mathrm{E}X]^2}\sqrt{\mathrm{E}[Y - \mathrm{E}Y]^2}}r=Corr(X,Y)=σX⋅σYCov(X,Y)=E[X−EX]2E[Y−EY]2E[(X−EX)(Y−EY)]对于相关系数，我们需要注意：1.相关系数是用于描述两个变量线性相关程度的，如果r>0r>0r \gt 0r>0，呈正相关；如果r=0r=0r = 0r=0，不相关；如果r<0r<0r\lt 0r<0，呈负相关。

第三节成对数据的统计分析一、教材概念·结论·性质重视1．相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．2．散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．3．正相关和负相关(1)当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关.(2)负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．相关关系与函数关系的区别与联系(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系；②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．(1)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．(2)一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．5．样本相关系数(1)r＝Σni＝1(x i－x)(y i－y)Σni＝1(x i－x)2Σni＝1(y i－y)2＝Σni＝1x i y i－n x yΣni＝1x2i－n x2Σni＝1y2i－n y2，称r为变量x和变量y的样本相关系数．(2)样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：①当r＞0时，称成对样本数据正相关；②当r＜0时，称成对样本数据负相关．(3)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]，样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对数据之间线性相关的程度：①当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；②当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱．6．经验回归方程我们将y^＝b^x＋a^称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，其中(1)经验回归方程不一定都有实际意义．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实际意义．(2)根据经验回归方程进行预报，得到的仅是一个估计值，而不一定是真实发生的值．(3)经验回归直线一定过样本点的中心．7．利用R2刻画回归效果R2的计算公式为R2＝1－∑i＝1n(y i－y^i)2∑i＝1n(y i－y)2，其意义是R2越大，残差平方和∑i＝1n(y i －y^i)2越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．8．独立性检验(1)χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).(2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．(3)应用独立性检验解决实际问题包括以下几个环节：①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界xα值比较；③根据检验规则得出推断结论；④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y 间的影响规律．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．若χ2的值越大，则两个分类变量有关系的把握越大．1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√)(2)通过经验回归方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和变化趋势．(√)(3)经验回归方程y^＝b^x＋a^中，若a^<0，则变量x和y负相关．(×)(4)因为由任何一组观测值都可以求得一个经验回归方程，所以没有必要进行相关性检验．(×)2．(多选题)关于回归分析，下列说法正确的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的也可以是负的C ．在回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．样本相关系数r ∈(－1,1)ABC 解析：选项D 中，样本的相关系数应满足－1≤r ≤1，故D 错误，ABC 都正确．3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的R 2分别如下表：A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁A 解析： R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好．4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：A ．0.600B ．0.828C ．2.712D ．6.004A 解析：根据列联表中的数据，可得χ2＝90×(11×37－34×8)245×45×19×71≈0.600.故选A ．5．若变量y 与x 的非线性回归方程是y ^＝2x －1，则当y ^的值为2时，x 的估计值为________．94解析：由2x－1＝2，得x＝94，即x的估计值为94.考点1相关关系的判断——基础性1. (多选题)下列变量之间的关系是相关关系的是()A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田施肥量和粮食亩产量BCD解析：在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系．一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．2．以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：房屋面积x/m211511080135105销售价格y/万元49.643.238.858.444(2)判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系．如果有相关关系，是正相关还是负相关？解：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有相关关系，并且是正相关．两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验，借助积累的经验进行分析判断．(2)通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．考点2一元线性回归模型及其应用——应用性考向1线性回归分析维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好．而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系．现安排一批实验，获得如下数据：甲醛浓度(g/L)18202224262830缩醛化度(克分26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36子%)(2)求相关系数r(精确到0.01)，并通过样本相关系数判断甲醛浓度与缩醛化度的相关程度和变化趋势的异同．解：(1)画出散点图如图所示．由散点图可以看出，成对数据呈现出相关关系．(2)x＝1687＝24，y＝202.947，Σ7i＝1x i y i＝4 900.16，Σ7i＝1x2i＝4 144，Σ7i＝1y2i≈5 892，所以r＝Σ7i＝1x i y i－7x y⎝⎛⎭⎪⎫Σ7i＝1x2i－7x2⎝⎛⎭⎪⎫Σ7i＝1y2i－7y2≈4 900.16－7×24×202.947(4 144－7×242)×⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 892－7×⎝⎛⎭⎪⎫202.9472≈0.96.由此推断，甲醛浓度与缩醛化度正线性相关，即甲醛浓度与缩醛化度有相同的变化趋势，且相关程度很强．考向2非线性回归分析(2020·南平质检)千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛传知；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报、电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实……此时此刻，5G的到来即将给人们的生活带来颠覆性的变革．“5G 领先”一方面是源于我国顶层设计的宏观布局，另一方面则来自政府高度重视、企业积极抢滩、企业层面的科技创新能力和先发优势．某科技创新公司基于领先技术的支持，丰富的移动互联网应用等明显优势，随着技术的不断完善，该公司的5G经济收入在短期内逐月攀升．业内预测，该创新公司在第1个月至第7个月的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表：时间(月份)1234567收入(百万元)611213466101196(1)为了更充分运用大数据、人工智能、5G 等技术，公司需要派出员工实地检测产品性能和使用状况．公司领导要从报名的五名科技人员A ，B ，C ，D ，E 中随机抽取3个人前往，则A ，B 同时被抽到的概率为多少？(2)根据散点图判断，y ＝ax ＋b 与y ＝c ·d x (a ，b ，c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并根据你判断结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程．(3)请你预测该公司8月份的5G 经济收入． 参考数据：Σ7i ＝1y i Σ7i ＝1lg y i Σ7i ＝1x i y i Σ7i ＝1x i v i100.45 100.54 43.5 10.782535 50.122.823.47i i 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x i ，v i )(i ＝1,2,3，…，n )，其经验回归直线v^＝β^x ＋α^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝Σn i ＝1x i v i －n x vΣni ＝1x 2i －n x2，α^＝v －β^x . 解：(1)从报名的科技人员A ，B ，C ，D ，E 中随机抽取3个人，则所有的情况为{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，B ，E }，{A ，C ，D }，{A ，C ，E }，{A ，D ，E }，{B ，C ，D }，{B ，C ，E }，{B ，D ，E }，{C ，D ，E }，共10种．记“A ，B 同时被抽到”为事件Q ，则事件Q 包含的样本点为{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，B ，E }，共3个，故P (Q )＝310.(2)根据散点图判断，y ＝c ·d x 适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型．由y ＝c ·d x ，两边同时取常用对数得lg y ＝lg(c ·d x )＝lg c ＋x lg d .设lg y ＝v ，所以v ＝lg c ＋x lg d .因为x ＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，所以v ＝17Σ7i ＝1v i ＝17Σ7i ＝1lg y i ＝17×10.78＝1.54，Σ7i ＝1x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，所以lg d ^＝Σ7i ＝1x i v i －7x y Σ7i ＝1x 2i －7x2＝50.12－7×4×1.54140－7×42＝728＝0.25. 把样本中心(4,1.54)的坐标代入v ＝lg c ^＋lg d ^·x ，得1.54＝lg c ^＋0.25×4， 所以lg c ^＝0.54，所以v ^＝0.54＋0.25x ， 所以lg y ^＝0.54＋0.25x ，所以y 关于x 的回归方程为y ^＝100.54＋0.25x ＝3.47×100.25x . (3)当x ＝8时，y ^＝100.54＋0.25x ＝3.47×100.25×8＝347， 所以预测8月份的5G 经济收入为347百万元．非线性回归分析的步骤非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤如下：(2020·广州一模)某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1天到第5天的日产卵数据：第x 天 1 2 3 4 5 日产卵数y (个)612254995Σ5i ＝1x i Σ5i ＝1x 2iΣ5i ＝1(ln y i ) Σ5i ＝1(x i ·ln y i ) 155515.9454.75程为y ＝e a ＋bx (其中e 为自然对数的底数)，求实数a ，b 的值(精确到0.1)．(2)根据某项指标测定，若日产卵数在区间(e 6，e 8)上的时段为优质产卵期．利用(1)的结论，估计在第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据(v 1，μ1)，(v 2，μ2)，…，(v n ，μn )，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝Σni ＝1v i u i －n v uΣni ＝1v 2i －n v2，α^＝u －β^·v .解：(1)因为y＝e a＋bx，两边取自然对数，得ln y＝a＋bx. 令m＝x，n＝ln y，得n＝a＋bm.因为b^＝54.75－5×155×15.94555－5×32＝6.9310＝0.693，所以b≈0.7.因为a^＝n－b^m＝15.945－0.7×3＝1.088，所以a≈1.1，即a≈1.1，b≈0.7.(2)根据(1)得y＝e1.1＋0.7x.由e6＜e1.1＋0.7x＜e8，得7＜x＜697.所以在第6天到第10天中，第8,9天为优质产卵期．从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共10种．其中恰有1天为优质产卵期的有(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,10)，(9,10)，共6种．设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P(A)＝610＝3 5.所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为35.考点3残差分析——基础性(2020·聊城6月高三模拟)2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活．为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定．某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究．现相关数据统计如下表：生猪存栏数量x (千头) 2 3 4 5 8 头猪每天平均成本y (元)3.22.421.91.5x 的线性回归方程y ^(1)＝b^x ＋a ^(计算结果精确到0.01)．(2)研究员乙根据以上数据得出y 与x 的回归模型：y ^(2)＝4.8x ＋0.8.为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：①完成下表(计算结果精确到0.01)(备注：e ^i 称为对于点(x i ，y i )的残差)； 生猪存栏数量x (千头) 2 3 4 5 8 头猪每天平均成本y (元) 3.2 2.4 2 1.9 1.5 模型甲估计值y ^(1)i 残差e ^(1)i 模型乙估计值y ^(2)i 3.2 2.4 2 1.76 1.4 残差e ^(2)i0.140.11212大小，判断哪个模型拟合效果更好．(3)根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元．若按(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问：该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润？请说明理由．(利润＝收入－成本)参考数据：Σ5i ＝1(x i －x )(y 1－y)＝－5.3，Σ5i ＝1(x i －x )2＝21.2. 解：(1)由题知：x －＝4.4，y －＝2.2， b ^＝Σni ＝1(x i －x －)(y i －y －) Σni ＝1(x i －x －)2＝－5.321.2＝－0.25， a ^＝y －－b ^x ＝2.2＋0.25×4.4＝3.30， 故y ^(1)＝－0.25x ＋3.30. (2)①经计算，可得下表： 生猪存栏数量x (千头) 2 3 4 5 8 头猪每天平均成本y (元) 3.2 2.4 2 1.9 1.5 模型甲 估计值y ^(1)i 2.80 2.552.302.051.30 残差e ^(1)i 0.40 －0.15 －0.30 －0.15 0.20 模型乙估计值y ^(2)i 3.2 2.4 2 1.76 1.4 残差e ^(2)i0.140.112＋(0.1)2＝0.029 6.因为Q 1>Q 2，故模型y ^(2)＝4.8x＋0.8的拟合效果更好．(3)若生猪存栏数量达到1万头，由(2)中模型乙可知，每头猪的成本为4.810＋0.8＝1.28(元)，这样一天获得的总利润为 (7.5－1.28)×10 000＝62 200(元)；若生猪存栏数量达到1.2万头，由(2)中模型乙可知，每头猪的成本为4.812＋0.8＝1.2(元)，这样一天获得的总利润为(7.2－1.2)×12 000＝72 000(元)．因为72 000>62 200，所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润．在进行线性回归分析时，要按线性回归分析步骤进行．在求R 2时，通常采用分步计算的方法，R 2越大，模型的拟合效果越好．关于x 与y 有如下数据：x 24568y 30 40 60 50 70(1)y ^＝6.5x ＋17.5；(2)y ^＝7x ＋17.试比较哪一个拟合效果更好． 解：由(1)可得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：y i －y ^i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 y i －y－20－101020所以Σ5i ＝1(y i －y ^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，Σ5i ＝1(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.所以R 21＝1－Σ5i ＝1 (y i －y ^i )2Σ5i ＝1(y i －y )2＝1－1551 000＝0.845. 由(2)可得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：y i －y ^i －1 －5 8 －9 －3 y i －y－20 －10 1020所以Σ5i ＝1(y i －y ^i )2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，所以R 22＝1－Σ5i ＝1(y i －y ^i )2Σ5i ＝1(y i －y )2＝1－1801 000＝0.82.所以R 21＞R 22.所以(1)的拟合效果更好．考点4列联表与独立性检验——综合性某省进行高中新课程改革已经四年了，为了了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查．共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)依据小概率α＝0.001值，能否推断青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上有差异？解：(1)2×2列联表如下所示.赞同不赞同总计老教师101020青年教师24630总计341650由公式得χ2＝50×(10×6－24×10)234×16×20×30≈4.963＜10.828＝x0.001，我们推断H0不成立，即认为青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上有差异，此推断犯错误的概率不大于0.001.(1)利用χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)求出χ2的值．再利用小概率α的值以及对应的临界值来判断有多大的把握判断两个事件有关．(2)解题时应注意准确计算，不可错用公式，准确进行比较与判断．(2020·新高考全国卷Ⅰ)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度(单位：μg/m 3)，得下表SO 2PM2.5[0,50] (50,150] (150,475][0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115]37102150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO 2PM2.5[0,150](150,475][0,75] (75,115]浓度与SO 2浓度有关？解：(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率p ＝64100＝0.64.(2)根据抽查数据，可得2×2列联表如下：SO 2PM2.5[0,150] (150,475] [0,75] 64 16 (75,115]1010χ2＝100×(64×10－16×10)274×26×20×80≈7.484.因为7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．。

可决系数R^2和⽅差膨胀因⼦VIF然⽽很多时候，被筛选的特征在模型上线的预测效果并不理想，究其原因可能是由于特征筛选的偏差。

但还有⼀个显著的因素，就是选取特征之间之间可能存在⾼度的多重共线性，导致模型对测试集预测能⼒不佳。

为了在筛选特征之初就避免陷⼊这样的误区。

介绍⼀种VIF（⽅差膨胀检验）⽅法，来对特征之间的线性相关关系进⾏检验，从⽽选取到独⽴性更好的特征，增强模型的解释能⼒。

1.可决系数R^21.1什么是可决系数可决系数，亦称测定系数、决定系数、可决指数。

与复相关系数类似的，表⽰⼀个随机变量与多个随机变量关系的数字特征，⽤来反映回归模式说明因变量变化可靠程度的⼀个统计指标，⼀般⽤符号“R”表⽰，可定义为已被模式中全部⾃变量说明的⾃变量的变差对⾃变量总变差的⽐值。

1.2总变异的分割⼀个特定数值对于其平均值的偏离，称为离差，⽽⼀变量的各数值对于其平均值的偏离，称为变异。

通常⽤离差平⽅和来描述变异程度。

离差平⽅和⼜简称平⽅和(Sum of square)。

在研究单变量的离中趋势描述时，我们已经接触了离差平⽅和的概念，样本标准差的定义公式中就直接使⽤了上述概念。

平⽅和被相应的⾃由度去除，得到平均平⽅，简称为均⽅(Mean square)。

样本标准差就是被⾃由度(n-1)所平均的x对于离差均⽅的算术平⽅根。

下⾯我们将应⽤平⽅的概念去开发测度⼀个回归⽅程拟合协变关系效果的量数。

先结合图1分析⼀下在因变量y倚⾃变量x回归前提下y值的离差。

y值对其平均数的离差可以看作是由两部分合成的，⼀是y的回归拟合值对平均数的离差()，另⼀是y值对于拟合值的离差()。

前者呈线性变化，在时，=0，x取值越偏离，这⼀离差就越⼤，存在着这样的函数关系：这⼀离差完全是由y倚x的回归关系决定的，因⽽称为已解释离差(Explained deviation)。

后者呈随机变化，与y倚x的回归关系⽆关，因⽽称为未解释离差(Unexplained deviation)。