数学-四川省乐山沫若中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)

高二下学期期中考试理科数学试题考试时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本题共12小题，共60分） 1、已知复数z 满足(13)1i z i +=+，则z =（ ） A ．22B ．2-C ．2D ． 2 2、曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A.45° B.60° C.120° D.135°3、已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)(1+i)z a =-在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y ++= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y --=5、若1()2nx x-的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为（ ） A ．164-B ．132C ．164D ．1128 6、已知命题:,34x x p x R ∀∈<，命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝∧⌝ 7、如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是,(1)'(1)2y kx b f f =+-=若，则b=( )A ．1B ．-1C ．2D ．-28、6名志愿者选4人去“鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（ ）A ．60B ．70C ．80D ．909、把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且,A B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种10、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话． 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不确定 11、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是 （ ） A.5B.25C.35D.012、已知方程ln 1x kx =+在()30,e 上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是A.320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（本题共4小题，共20分）13、由0,1,2,3,4,5可构成不重复的六位偶数的个数为 （用数字作答）．． 14、在()()5211x x +-的展开式中含3x 项的系数是 （用数字作答）． 15、由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为 ． 16、已知奇函数()f x 定义域为()()(),00,,'f x -∞+∞为其导函数,且满足以下条件①0x >时,()()3'f x f x x<；②()112f =；③()()22f x f x =,则不等式()224f x x x<的解集为 ．三、解答题（本题共6小题，共70分）17、（10分）已知在3312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第6项为常数项． （1）求n ；（2）求含2x 项的系数．18、（12分）已知直线1l 为曲线2)(2+-==x x x f y 在点)2,1(处的切线，2l 为该曲线的另外一条切线，且21l l ⊥. （1）求直线1l 、2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 及x 轴所围成的三角形的面积．19、（12分）定义在实数集上的函数2()f x x x =+，31()23g x x x m =-+．（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()()f x g x ≥对任意的[]4,4x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．20、（12分）若函数()34f x ax bx =-+,当2x =时,函数()f x 有极值为43-． （1）求函数()f x 的解析式； （2）若()f x k=有3个解,求实数k 的取值范围．21、（12分）已知函数()11f x nx kx =-+. (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若0)(≤x f 恒成立,试确定实数k 的取值范围;22、（12分）已知函数1)1ln()(+-+=x x x x f . （1）求)(x f 的最小值；（2）求证：对任意的正数a 与b ，恒有abb a -≥-1ln ln ．阶段性测试理科数学(答案)一、选择题（本题共12小题，共60分）1、【答案】A2、【答案】A3、【答案】A4、【答案】D5、【答案】C6、【答案】C 【解析】由题意得，当1x =-时，1134-->，所以命题:,34x x p x R ∀∈<是假命题；因为函数3y x =与21y x =-的图象存在交点，所以命题231,:x x R x q -=∈∃是真命题，所以命题q p ∧⌝为真命题，故选C ． 7、【答案】C8、【答案】A 【解析】若乙被选上，则乙不能去水立方，只能去鸟巢，共有215330C C =种选派方法，若乙不被选上，共有225330C C =种选派方法，所以共有30+30=60种选派方法，故选A.9、【答案】B 【解析】分两步进行分析:？先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624=C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；？计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B. 10、【答案】B【解析】如果甲说的是真话，则乙丙都是真话，与在这三名同学中，只有一人说的是假话，相矛盾，如果甲说的是假话，乙丙说的是真话，那乙就是满分．故选B ．11、【答案】A 【解析】设直线l 与曲线ln(21)y x =-相切与点00(,)P x y 且与直线230x y -+=平行，由02221k x ==-得01x =，所以(1,0)P ，因此直线:220l x y --=，直线:220l x y --=到230x y -+=的距离为555d ==.所以6422465510()()曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是5.12、【答案】C 【解析】设11f x kx g x lnx y kx =+==+（），（），与y lnx =的图象在01（，）一定有一个交点，依题意只需1f x kx g x lnx =+=（），（）在31e （，）上有2个交点即可.作1f x kx g x lnx =+=（），（）的图象如图所示设直线1f x kx =+（）与g x lnx =（）相切于点a b （，）；则211k a b lna k e b ka -⎧⎪⎪⇒=⎨⎪+⎪⎩＝＝＝ 且对数函数g x lnx =（）的增长速度越来越慢，直线1f x kx =+（）过定点01（，） 方程ln 1x kx =+|中取3x e =得32k e -=， ∴则实数k 的取值范围是322e k e --＜＜． 故选C二、填空题（本题共4小题，共20分）13、【答案】312【解析】末尾是0时，有12055=A 种；不是0时，有2种选择，首位有4种选择，中间有44A 种，故有1924244=⨯⨯A 种，共有312192120=+种.14、【答案】-10【解析】含3x 项的系数3322552(1)(1)10C C ⨯-+-=- 15、【答案】92【解析】由22223211119(1,1),(2,4)(2)(2)|2322y x A B S x x dx x x x y x --⎧=⇒-⇒=+-⇒+-=⎨=+⎩⎰． 16、【答案】【解析】0x >时，令()()()343()()0f x xf x f x g x g x x x '-'=⇒=<，又()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数，因为()()22f x f x =，所以()11111142248f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31()14814()4f g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而()2112()8(||)()||444f x x g x g x g x x <⇒<⇒<⇒>⇒解集三、解答题（本题共6小题，共70分） 17、【答案】（1）10n =；（2）454． 试题解析：（1）通项公式为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∵第6项为常数项，∴5r =时，有1003n -=，即10n =. （2）令10223r -=，得2r =，∴所求的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 18、试题解析：（1）因为21y x '=-，所以 1(1)1k f '==，1:1l y x =+；又因为21l l ⊥，所以2121k x =-=-，解得: 切点(0,2),所以2:2l y x =-+（2）由12y x y x =+⎧⎨=-+⎩得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线的交点为13(,)22，1l 与x 轴的交点(1,0)-，2l 与x 轴的交点(2,0)，所以面积1393224S =⨯⨯=19、试题解析：（1）∵2()f x x x =+，∴'()21f x x =+，(1)2f =，∴'(1)3f =， ∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．（2）令323211()()()2333h x g x f x x x m x x x x m x =-=-+--=-+-，∴2'()23h x x x =--，当41x -<<-时，'()0h x >；当13x -<<时，'()0h x <；当34x <<时，'()0h x >，要使()()f x g x ≥恒成立，即max ()0h x ≤，由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =取得，而5(1)3h m -=+，20(4)3h m =-，∵52033m m +>-，∴503m +≤，即53m ≤-．20、试题解析：（1）()2'3f x ax b =-,由题意:()()'212428243f a bf a b =-⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩,解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2'422f x x x x =-=-+，令()'0f x =，得2x =或2x =-，∴当2x <-时，()'0f x >，当22x -<<时，()'0f x <，当2x >时，()'0f x >，因此，当2x =-时，()f x 有极大值283，当2x =时，()f x 有极小值43-，∴函数()31443f x x x =-+的图象大致如图．由图可知:42833k -<<．21、【答案】(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,'1()f x k x=-当0≤k 时'1()0f x k x =->,则()f x 在(0,)+∞上是增函数 ;当0>k 时,若1(0,)x k ∈时有'1()0f x k x=->若1(,)x k ∈+∞时有'1()0f x k x=-<则()f x 在1(0,)k 上是增函数上,在1(,)k+∞上是减函数 .(Ⅱ)由(I)知0≤k 时,()f x 在(0,)+∞上是增函数, 而(1)10,()0f k f x =->≤不成立,故0>k又由(I)知()f x 的最大值为1()f k,要使0)(≤x f 恒成立,则1()0f k≤即可. 10ln ≥≤-k k 得22、解：（1）∵函数∴，由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜0；∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（﹣1，0）所以)f)0(f的最小值为0(x（2）所证不等式等价为而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）≥F（1）=0即，记代入得：得证．。

2018年沫若中学高2016级生物期中考试题班级姓名一、选择题（每题2分，共60分）1.胡萝卜素含有的化学元素有（）A．C、H、O B．C、H C．C、H、O、N D．C、H、N2.下列关于胡萝卜素提取的有关叙述中，不正确的是（）A．萃取胡萝卜素的效率主要取决于萃取温度和时间B．萃取剂选择时要考虑沸点、对人的毒性、易与产品分离等特点C．萃取效率与原料颗粒大小、含水量、紧密程度均呈负相关D．萃取液的浓缩可以直接使用蒸馏装置3.β－胡萝卜素被认定为A类优秀营养色素，关于β－胡萝卜素的说法，不正确的是（）A．β－胡萝卜素属脂溶性维生素A的一种，可治疗因缺乏维生素A而引起的骨质疏松、佝偻病等B．β－胡萝卜素是一种抗氧化剂，可清除体内自由基，抑制自由基生成，具有抗衰老作用C．β－胡萝卜素具有促进免疫细胞增殖，增强免疫细胞功能的作用，故可防治肿瘤、癌症、心脏病等疾病D．β－胡萝卜素摄入量大时，在体内可积累又不会引起中毒，故可作为食品添加剂和营养补充剂4.下列对胡萝卜素的提取过程的叙述，错误的是（）A．萃取过程中应该避免明火加热，采用水浴加热B．为了防止加热时有机溶剂的挥发，还需要在加热瓶口安装冷凝回流装置C．萃取液的浓缩可直接使用蒸馏装置D．在浓缩前，不需要过滤，因为萃取液中没有不溶物5.下列关于细胞与生命活动关系的描述，错误的是()A．引起非典型性肺炎和H5N1禽流感的病原体均无细胞结构，其生命活动与细胞无关B．绿藻、变形虫、酵母菌、草履虫等单细胞生物，只靠一个细胞就可以完成摄食、运动、分裂、应激性等多种生命活动C．缩手反射和膝跳反射的完成均需要多种分化的细胞密切合作D．一切生物的生命活动都是在细胞内或细胞参与下完成6.运动型饮料可为人体提供水和无机盐。

下列有关生物体内水和无机盐的叙述，错误的是()A．生物体内的生化反应必须在水中进行B．自由水参与体内营养物质和代谢废物的运输C．某些无机盐是组成ATP、RNA和纤维素的必需成分D．无机盐在细胞内含量很少，主要以离子形式存在，具有维持机体的渗透压、酸碱平衡及正常生命活动的功能7.中东呼吸综合征(MERS)是由一种新型冠状病毒引起的病毒性呼吸道疾病，下列有关MERS病毒的叙述，正确的是()A．MERS病毒也含有核酸B．MERS病毒是一种生物，在分类上属于原核生物C．MERS病毒只有一种细胞器——核糖体，所以病毒需要营寄生生活D．获取大量MERS病毒的方法是将其接种在营养齐全的培养基上培养8.“绵绵的春雨润醒了小草，润绿了杨树，润开了报春花。

雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题（理科）（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合},1{2a A =，}4,2{=B ，则“2=a ”是“A B ⋂=}4{”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 复数=-+ii11 A ．i -B ．iC ．1D ．1-3. 已知向量），（01,1=a ，)2,0,1(-=b ，且k ＋与-2互相垂直，则k 值是 A ．1B ．51C ．53 D ．57 4.在等比数列{}n a 中， 37,a a 是函数()3214913f x x x x =++-的极值点，则5a = A ．3± B ． -3C ．3D ．45.正方体1111ABCD A B C D 中,1DA 与平面11C CA 所成角的正弦值为A ．12B 2 3D 36.若函数x kx x f ln )(-=在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是 A ．]2,(--∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．[)1,+∞7.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值,则a =A ．1B ．2C ．3D ．-38. 棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AA 1中点，则点B 1到平面BCE 的距离是9.已知函数)()(23R x c x ax x x f ∈+-+=，下列结论错误的是 A.函数)(x f 一定存在极大值和极小值B.若函数)(x f 在),(),,(21+∞-∞x x 上是增函数，则33212≥-x xC.函数)(x f 的值域是RD.函数)(x f 一定存在三个零点 10. 如图， AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在平面， C 是圆周上不同于,A B 两点的一点，且2AB =， 3PA BC ==，则二面角A BC P --的大小为11. 直线l 的方程为Ax ＋By ＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则表示不同直线l 的条数是 12. 定义在R 上的函数()f x 与其导函数()f x '满足()()1xf x f x e ->'+，则下列不等式一定成立的是A ． 552 B ．45 C ．22 D ． 1A ．30︒ C ．60︒B ．45︒ D ．90︒A ．36条B ．30条C ．26条D ．15条A ．()()01f e ef +< B.()()01f e ef +> C ．()()01f e f +< D ．()()01f e f +>二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.长方体1111ABCD A B C D -中， 12AA AB ==， 1AD =，点E 、F 、 G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角为 .14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂33⨯方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜色的涂法种数是_______（用数字作答）. 15.函数xex x f 1ln )(+=的单调递增区间是_________. 16.若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10分)若复数z 满足)2(z i z -=， （1）求复数z ;（2）求|2|i z +-18．(12分) 已知函数3()f x ax bx c =++的图像关于原点对称,且过点(1,1),(2,26). (1)求()f x 的解析式; (2)函数()f x 的单调区间;(3)求函数()f x 在]1,1[-上的最小值.19．(12分) 已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.20．(12分).在四棱锥ABCD P -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，BC AD AD AB //,⊥，E 是线段AB 的中点，⊥PE 底面ABCD ，已知22===BC AB DA .（1）求AP 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得⊥EM 平面PCD .21．(12分)已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.22．（12分）设函数()1e x f x -=-． （1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题参考答案（理科）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBADCADCCA二、填空题13、90； 14、12； 15、),1(+∞； 16、)23,1[. 三、解答题17、（1）i +1； （2）5. 18、（1）x x x f 34)(3-=；（2）在),21(),21,(+∞--∞上递增，在)21,21(-上递减； （3）最小值1)21()1()(-==-=f f x f . 19、（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形， ∴90BEC ∠=，即BE EC ⊥， 又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC '平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥；（2）如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，22(0,,)22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =； 设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =， 由(2,2,0)BC =-，22(0,,)22D C '=-，求得2(1,1,1)n =，∴1212123cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==，∴二面角D BC E '--的余弦值为33. 20、（1）因为⊥PE 底面ABCD ，过E 作BC ES //，则AB ES ⊥，以EB 、EP ES 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(E ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ，)3,0,0(P ，),3,1,1(),0,1,2(-=-=∴PC CD求得平面PCD 的法向量为)3,2,1(=m ，而)3,0,1(=∴AP ，22|48301||,cos |=⋅++=><∴m AP ∴AP 与平面PCD 所成角的正弦值为22（2）设M （x ，y ，z ），由⊥EM 平面PCD 知m EM //，)3,2,(λλλλ==∴m EM ，)3,2,(λλλM ∴,)3,12,1(λλλ--=∴CM ,又),3,1,1(),0,1,2(--=-=CP CD CM CP CD 、、共面， ∴存在唯一实数b a 、使得CP b CD a CM +=，而)3,,2(b b a b a CP b CD a ---=+，⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=-∴bb a ba 331221λλλ，解得83=λ，)833,86,83(M ∴符合题意.21、（1）()1'f x a x=- ∵函数在2x =处的切线与直线230x y +-=平行 ∴1122k a =-=-，解得： 1a =；（2）由（1）得()lnf x x x=-，∴()22f x m x x+=-，即23ln0x x x m-++=设()23ln(0)h x x x x m x=-++>，则()()()22111231'23x xx xh x xx x x---+=-+==列表得：∴当时，()h x的极小值为()12h m=-，又()15ln2,22ln224h m h m⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭∵方程()22f x m x x+=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≥)2()1()21(hhh,解得：5ln224m+≤<；22、（1）证明：注意到1x>-时，10x+>，于是有()1xf xx≥+，即11e1e e e1111x x x xx xxx x x----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e1xg x x=-+，()1x∈-+∞，．()e1xg x'=-，令()0g x'=，得0x=．当x变化时，()()g x g x'，的变化情况如下表：x()1 0-，0()0+∞，()g x'-0+()g x可见()g x 在(]10-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时， ()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1xf x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立． （2）解：由0x ≥时，011x xe ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x xh x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()()2211ee11xxax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11xx ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+． 设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=- 当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1x e ≥，2122a ≤，故()0k x ''≥.所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

沫若中学高二下期半期考试数学文科试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列赋值语句错误的是( )A ．i ＝i －1B ．x*y ＝aC ．k ＝－1k D ．m ＝m 2＋12．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B ．133 C ．103 D ．163 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( )A ．极大值5，无极小值B ．极大值5，极小值－11C ．极大值5，极小值－27D ．极小值－27，无极大值 4．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝7，则输出的值为( )A ．3B ．2C ．5D ．45．某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人、本科生有3 000人、研究生有1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )A ．93人，94人，93人B ．30人，150人，100人C ．65人，150人，65人D ．80人，120人，80人6．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： 15.5,19.5) 4 23.5,27.5) 18 31.5,35.5) 12 39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( ) A ．211 B ．23 C ．12 D ．137．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B. 158C. 165D.728．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，x1，x2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s 21，s 22分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有( )A ．x 1＝x 2，s 21＜s 22B ．x 1＝x 2，s 21＞s 22C ．x 1＝x 2，s 21＝s 22D ．x 1＞x 2，s 21＜s 229．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)10.某车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如下:加工零件数x(个) 10 20 30 40 50 加工时间y(分钟)6469758290经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量,下列判断正确的是 ( )A.成正相关,其回归直线经过点(30,75)B.成正相关,其回归直线经过点(30,76)C.成负相关,其回归直线经过点(30,76)D.成负相关,其回归直线经过点(30,75) 11.某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图,以组距为5将数据分组成5,10),15,20),25,30),35,4040，50)，90，100(a ＋2)x ＋1-2,20,4.50,0.5)，第二组4,4.5 1，e 答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故大于或等于31.5的数据约占2266＝13. 7． B 解析：选B.当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.8． A 本题主要考查茎叶图中均值和方差的计算．根据题意，由甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图，知x 1＝9＋14＋15＋15＋16＋216＝15，x 2＝8＋13＋15＋15＋17＋226＝15，s 21＝16＝373，s 22＝16＝533， 所以s 21＜s 22.9． D 由f (x )的图象知，在(－∞，－1)上f ′(x )>0，在(－1,1)上f ′(x )<0，在(1，＋∞)上f ′(x )>0，又x 2－2x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x 2－2x －3<0的解集为(－1,3)．∴不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．10. 【解析】选B.由表格数据知,加工时间随加工零件的个数的增加而增加,故两变量为正相关, 又由错误！未找到引用源。

2017-2018学年四川省乐山市四校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（每题5分，共60分）1．（5分）某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法2．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19B．20C．21.5D．233．（5分）一个正三棱锥的四个面上分别标有数字﹣2、﹣1、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则函数y=﹣x3+nx在[1，+∞）上为减函数的概率为（）A．B．C．D．14．（5分）秦九韶（1208﹣1261年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县），南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．355．（5分）点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|＜2的概率为（）A．B．C．D．π6．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）7．（5分）设曲线y=ax﹣2ln（x+2）在点（0，f（0））处的切线方程垂直于直线x+2y=0，则a=（）A．0B．1C．2D．38．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则判断框内应补充的条件为（）A．i＞3B．i＞5C．i＞7D．i＞99．（5分）向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件10．（5分）某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[100，120]内的学生人数为（）A．36B．25C．22D．1111．（5分）已知a≥+lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为（）A．1B．e﹣2C．D．012．（5分）已知y=f（x）为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．1B．0C．2D．0或2二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是35，则在第1小组1～16中随机抽到的数是．14．（5分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.95﹣0.15．由以上信息，得到下表中c的值为．15．（5分）已知总体的各个体的值从小到大为：﹣3、0、3、x、y、6、8、10，且总体的中位数为4．若要使该总体的方差最小，则2x﹣y=．16．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中正确结论的序号为．①当x=时函数取得极小值；②f（x）有两个极值点；③当x=2时函数取得极小值；④当x=1时函数取得极大值．三．解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）17．（10分）某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C（x）=200x+（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？18．（12分）央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出表中数据．（1）请画出表中数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程；（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．（相关公式：，）19．（12分）已知函数f（x）=alnx++x（a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．20．（12分）某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．（1）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（2）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？（3）在（2）问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．21．（12分）某校高安文科600名学生参加了12月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语请客，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002， (599)（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4恒值第7行）；12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 3016 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；（3）在外语成绩为良的学生中，已知m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率．22．（12分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点．（2）当x≥时，若关于x的不等式f（x）≥x2+（a﹣3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．2017-2018学年四川省乐山市四校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．（5分）某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．2．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19B．20C．21.5D．23【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．3．（5分）一个正三棱锥的四个面上分别标有数字﹣2、﹣1、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则函数y=﹣x3+nx在[1，+∞）上为减函数的概率为（）A．B．C．D．1【分析】随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则有{﹣2}，{﹣1}，{1}，{2}四种情况，利用导数和函数单调性的关系可得n≤1，即n可取{﹣2}，{﹣1}，{1}三种情况，根据局概率公式计算即可．【解答】解：一个正三棱锥的四个面上分别标有数字﹣2、﹣1、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则有{﹣2}，{﹣1}，{1}，{2}四种情况，∵函数y=﹣x3+nx在[1，+∞）上为减函数，∴y′=﹣x2+n≤0在[1，+∞）上恒成立，∴n≤x2在[1，+∞）上恒成立，∴n≤1，∴n可取{﹣2}，{﹣1}，{1}三种情况，故函数y=﹣x3+nx在[1，+∞）上为减函数的概率为，故选：C．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和古典概率的问题，属于中档题．4．（5分）秦九韶（1208﹣1261年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县），南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．35【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：由已知输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．5．（5分）点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|＜2的概率为（）A．B．C．D．π【分析】求出满足条件的正方形ABCD的面积，以及动点P到定点A的距离PA|≤2对应的平面区域面积，计算面积比即可．【解答】解：作出满足条件的正方形ABCD，如图所示；其中使得动点P到定点A的距离|PA|＜2的平面区域，是以A为圆心半径等于2的扇形ABD内部，如图中阴影所示；∵正方形的面积S=4，扇形ABD的面积S′=π•22=π；∴动点P到定点A的距离|PA|≤2的概率为P=．故选：C．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．6．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．7．（5分）设曲线y=ax﹣2ln（x+2）在点（0，f（0））处的切线方程垂直于直线x+2y=0，则a=（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，求出函数f（x）的导数，计算可得f′（0）的值，由导数的几何意义可得切线斜率k=f′（0）=a﹣1，由直线垂直的判定方法可得a﹣1=2，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，曲线y=ax﹣2ln（x+2），其导数f′（x）=a﹣，有f′（0）=a﹣1，即切线的斜率k=f′（0）=a﹣1，又由切线方程垂直于直线x+2y=0，则有a﹣1=2，解可得a=3；故选：D．【点评】本题考查利用导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，8．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则判断框内应补充的条件为（）A．i＞3B．i＞5C．i＞7D．i＞9【分析】由程序框图，写出每次循环i，S的取值，结合已知输出的结果为S=42即可确定判断框内应补充的条件．【解答】解：由程序框图知：i=1，S=0，S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体；S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体；S=10+32=42，i=5+2=7，满足条件，退出循环体，故判断框内应补充的条件为i＞5故选：B．【点评】本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．9．（5分）向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【分析】利用互斥事件、对立事件的性质直接求解．【解答】解：向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则事件A与B能同时发生，故事件A与B不是互斥事件，故选A和B都不正确；事件B与事件C不能同时发生，但能同时不发生，故事件B与C是互斥而非对立事件，故选项C正确，选项D错误．故选：C．【点评】本题考查互斥事件的判断，考查互斥事件、对立事件的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[100，120]内的学生人数为（）A．36B．25C．22D．11【分析】由该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，求出a=0.020，再求出成绩在[100，120]内的频率，由此能求出成绩在[100，120]内的学生人数．【解答】解：由该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，得：（0.015+a+0.030+a+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.020，成绩在[100，120]内的频率为：1﹣（0.015+0.020+0.010+0.005）×10=0.5，∴成绩在[100，120]内的学生人数为：0.5×50=25．故选：B．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知a≥+lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为（）A．1B．e﹣2C．D．0【分析】利用函数的导数求解函数的最大值然后推出a的最小值即可．【解答】解：a≥+lnx对任意x∈[，e]恒成立，只需求出y=+lnx的x ∈[，e]上的最大值，y′=，令x﹣1=0．可得函数的极值点为x=1，当x∈，y′＜0，函数是减函数；x∈（1，e），y′＞0，函数是增函数，所以函数y=+lnx在x=1时取得最大值：0．a≥+lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为0．故选：D．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．12．（5分）已知y=f（x）为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．1B．0C．2D．0或2【分析】由题意可得，x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg （x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．【解答】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，f（x）+＞0，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0，故选：B．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，属中档题．二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是35，则在第1小组1～16中随机抽到的数是7．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔，进行求解即可．【解答】解：从该校髙二年级全体800名学生中抽50名学生，则样本间隔为800÷50=16，则33〜48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1〜16中随机抽到的数39﹣32=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．14．（5分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.95﹣0.15．由以上信息，得到下表中c的值为9．【分析】利用回归直线经过样本中心，从而求出c的值即可．【解答】解：=5，=．∵回归直线方程为=0.95﹣0.15．∴=5时，=0.95×5﹣0.15=4.6，∴=4.6，解得：c=9．故答案为：9．【点评】本题考查了回归直线方程问题，考查代入求值问题，是一道基础题．15．（5分）已知总体的各个体的值从小到大为：﹣3、0、3、x、y、6、8、10，且总体的中位数为4．若要使该总体的方差最小，则2x﹣y=4．【分析】根据这组数据的中位数的值，得到这组数据的最中间两个数字的和，把方差最小转化为二次函数求最值，则答案可求．【解答】解：由总体的中位数为4，则x+y=8，则平均数为，要使总体方差最小，只需使（x﹣3.5）2+（y﹣3.5）2最小．又∵（x﹣3.5）2+（y﹣3.5）2=（8﹣y﹣3.5）2+（y﹣3.5）2=（4.5﹣y）2+（y﹣3.5）2=2y2﹣16y+32.5，∴当y=4时，（x﹣3.5）2+（y﹣3.5）2取得最小值．又∵x+y=8，∴x=4，y=4，则2x﹣y=4．故答案为：4．【点评】本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量方差的求法，是中档题．16．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中正确结论的序号为②③④．①当x=时函数取得极小值；②f（x）有两个极值点；③当x=2时函数取得极小值；④当x=1时函数取得极大值．【分析】由已知中导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），且为开口朝上的抛物线，分析出函数的单调性，并求出极值点，可得答案．【解答】解：由已知中导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），且为开口朝上的抛物线故当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，函数为增函数；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，函数为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数；故f（x）有两个极值点，当x=1时函数取得极大值，当x=2时函数取得极小值故正确结论的序号为②③④故答案为：②③④【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，熟练掌握函数单调性及极值与导数的关系是解答的关键．三．解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）17．（10分）某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C（x）=200x+（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？【分析】先由题意建立利润L（x）的函数关系式，然后利用导数求函数的最值．【解答】解：设该厂生产x件这种产品的利润为L（x）元，则=，则，则由，解得x=60（件）．又当0≤x＜60时，L'（x）＞0，函数L（x）单调递增，当x＞60时，L'（x）＜0，函数L（x）单调递减，所以x=60是函数L（x）的极大值点，同时也是最大值点，所以当x=60时，L（x）=9500元．因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元．【点评】本题的考点是利用导数解决生活中的优化问题，先建立函数关系，然后利用导数最值，要注意若函数在定义域内只有一个极值点，那么这个极值点也是最值点．18．（12分）央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出表中数据．（1）请画出表中数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程；（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．（相关公式：，）【分析】（1）根据表中数据，画出散点图即可；（2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可；（3）由线性回归方程预测x=9时，=7．【解答】解：（1）根据表中数据，画出散点图如图所示：（2）根据公式，计算x i y i=4×2+5×3+7×5+8×6=106，=（4+5+7+8）=6，=（2+3+5+6）=4，=42+52+72+82=154，则===1；=﹣=4﹣6=﹣2，所以线性回归方程为=x+=x﹣2，（3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为x=9时，雾霾天数为=9﹣2=7天．【点评】本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．19．（12分）已知函数f（x）=alnx++x（a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（1）先求导函数，然后根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y=0垂直则f′（1）=﹣2，从而可求出a的值；（2）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=﹣+1（x＞0）根据题意，有f′（1）=﹣2，所以2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=；（2）f′（x）=（x＞0）（1）当a＞0时，因为x＞0，由f′（x）＞0得（x﹣a）（x+2a）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0得（x﹣a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．所以函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减；（2）当a＜0时，因为x＞0，由f′（x）＞0得（x﹣a）（x+2a）＞0，解得x＞﹣2a；由f′（x）＜0得（x﹣a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜﹣2a．所以函数f（x）在（﹣2a，+∞）上单调递增，在（0，﹣2a）上单调递减．【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．（1）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（2）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？（3）在（2）问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．【分析】（1）利用中位数、平均值的意义即可得出；（2）利用分层抽样，即可求出，（3）利用列举法，古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：（1）女生共14人，中间两个成绩是75和76，它们的平均数为75.5．因此女生的成绩的中位数是75.5．男生的平均成绩（69+76+78+85+87+91）=81（2）成绩不小于80分者为A等的有8人，小于80分者为12人，用分层抽样的方法从A和B中抽取5人，每个人被抽中的概率是=，故A等中抽取×8=2，B等中抽取×12=3，（3）记选中的A等的大学毕业生A1，A2，选中的B等的大学毕业生为B，C，D．从这5人中选2人的所以可能情况为：（A1，A2），（A1，B），（A1，C），（A1，D），（A2，B），（A2，C），（A2，D），（B，C），（B，D），（C，D），共10种．其中至少有1人是A等的结果有7种．因此，至至少有1人是A等的概率是，【点评】熟练掌握中位数、平均值的意义、分层抽样及列举法、古典概型的计算公式是解题的关键．21．（12分）某校高安文科600名学生参加了12月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语请客，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002， (599)（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4恒值第7行）；12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；（3）在外语成绩为良的学生中，已知m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先抽出的5人的编号．（2）由频率=，能求出m，n．（3）由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，由此利用列举法能求出数学成绩优比良的人数少的概率．【解答】解：（1）从第6行第7列的数开始右读，最先抽出的5人的编号依次为：544，354，378，520，384．（2）由，解得m=18，∵8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，解得n=17．（3）由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，∴满足条件的（m，n）有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），（18，17），（19，16），（20，15），（21，14），（22，13），（23，12），（24，11），（25，10），共14种，且每种出现都是等可能的，记“数学成绩优比良的人数少”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），共6种，∴P（M）=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意随机数表法、列举法的合理运用．22．（12分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点．（2）当x≥时，若关于x的不等式f（x）≥x2+（a﹣3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，判断单调性，计算x=0，1的导数值，由零点存在定理即可得证；（2）由题意可得a≤﹣x﹣的最小值，求得g（x）=﹣x﹣的导数，由e x≥x+1＞0，可得g（x）的单调性，求得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：函数f （x）=e x+2x2﹣3x的导数为f′（x）=e x+4x﹣3，在（0，1）递增，可得f′（0）=1﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+4﹣3=e+1＞0，即有函数f （x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（2）当x≥时，若关于x的不等式f （x）≥x2+（a﹣3）x+1恒成立，即为a≤﹣x﹣的最小值，由g（x）=﹣x﹣的导数g′（x）=﹣+，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，可得x＞0，函数y=e x﹣x﹣1递增，x＜0时，函数y递减，则e x﹣x﹣1≥0，且e x≥x+1＞0，则﹣+≥﹣+=＞0，则g（x）在[，+∞）递增，可得g（）取得最小值，且为2e﹣，则a≤2e﹣．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数零点存在定理和参数分离、构造函数法，考查不等式恒成立问题解法，属于中档题．。

高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A. 随机抽样B. 分层抽样C. 系统抽样D. 以上都是2.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i3.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A. 18B. 24C. 30D. 364.设i为虚数单位，则（x-i）6的展开式中含x4的项为（）A. -15x4B. 15x4C. -20ix4D. 20ix45.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A. B. C. D.6.曲线f（x）=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1，则P点的坐标为（）A. （1，3）B. （-1，3）C. （1，3）和（-1，3）D. （1，-3）7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，则一开始输入的x的值为（）A.B.C.D.8.p设η=2ξ+3，则E（η）的值为（）A. 4B.C.D. 19.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A. B. C. D.10.根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜011.若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A. （-∞，]B. （-∞，3]C. [，+∞）D. [3，+∞）12.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为______．14.已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=______．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为______．16.若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x在（0，+∞）上存在公共点，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围18.为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数==，=-19.已知函数，．（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．20.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D'，且平面D'AE⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AD'⊥EB；（Ⅱ）求二面角A-BD'-E的大小．21.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．22.已知函数f（x）=（ax-1）e x（x＞0，a∈R）（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1时，f（x）＞kx-2恒成立，求整数k的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班编号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选：C．学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班学号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．2.【答案】D【解析】解：因为复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A（6，5），B（-2，3）．且C为线段AB的中点，所以C（2，4）．则点C对应的复数是2+4i．故选：D．写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求．本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，有C42C31=18种选法；②，选出的3人为1男2女，有C41C32=12种选法；则男女生都有的选法有18+12=30种；故选：C．根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，②，选出的3人为1男2女，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：（x-i）6的展开式的通项公式为T r+1=•x6-r•（-i）r，令6-r=4，求得r=2，故展开式中含x4的项为•（-i）2•x4=-15x4，故选：A．在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选B．6.【答案】C【解析】解：设P的坐标为（m，n），则n=m3-m+3，f（x）=x3-x+3的导数为f′（x）=3x2-1，在点P处的切线斜率为3m2-1，由切线平行于直线y=2x-1，可得3m2-1=2，解得m=±1，即有P（1，3）或（-1，3），故选：C．设P的坐标为（m，n），则n=m3-m+3，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m的方程，求得m的值，即可得到所求P的坐标．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．【解答】解：第一次输入x=x，i=1第二次输入x=2x-1，i=2，第三次输入x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3，第四次输入x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4＞3，第五次输入x=2（8x-7）-1=16x-15，i=5＞4，输出16x-15=0，解得：x=，故选：C．8.【答案】B【解析】解：由题意可知E（ξ）=-1×+0×+1×=-．∵η=2ξ+3，所以E（η）=E（2ξ+3）=2E（ξ）+3=+3=．故选：B．求出ξ的期望，然后利用η=2ξ+3，求解E（η）即可．本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系写出η的分布列，再由分布列求出期望．9.【答案】B【解析】解：∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1若函数f（x）=x2+ax+b2无零点，则△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为1-=，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为．故选：B．函数f（x）=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b ＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a＞0．故选：B．通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．11.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-tx2+3x，∴f′（x）=3x2-2tx+3，若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，∴t≥（x+）在[1，4]上恒成立，令y=（x+），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，当x=4时，函数取最大值，∴t≥，即实数t的取值范围是[，+∞），由题意可得f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．先求导函数，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=ln x-2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（ln x-ax），则f′（x）=ln x-ax+x（-a）=ln x-2ax+1，令f′（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=ln x-2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax-1与y=ln x的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（ln x-ax），则f′（x）=ln x-ax+x（-a）=ln x-2ax+1，令f′（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，13.【答案】【解析】解：根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，若在含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率P==；故答案为：．根据题意，由简单随机抽样的性质以及古典概型的计算公式可得个体m被抽到的概率P=，化简即可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及随机抽样的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵（1+2i）z=4+3i，∴z=，则|z|=||=．故答案为：．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．15.【答案】【解析】解：将三棱锥D1-EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：将三棱锥D1-EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，进行等体积转化V D 1-EDF=V F -D1ED后体积易求．本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．16.【答案】[，+∞）【解析】解：根据题意，函数y=ax2（a＞0）与函数y=e x在（0，+∞）上有公共点，令ax2=e x得：，设则，由f'（x）=0得：x=2，当x＞2时，f'（x）＞0，函数在区间（2，+∞）上是增函数，所以当x=2时，函数在（0，+∞）上有最小值，所以．故答案为：．由题意可得，ax2=e x有解，运用参数分离，再令，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题．17.【答案】解：（1）：f（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2），由题因为f（x）为偶函数，∴2（1-a）=0，即a=1．（2）∵曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）有两个不相等的实数根，∴△=4（1-a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，∴，∴a的取值范围为（）∪（）．【解析】（1）求出导函数，利用函数的奇偶性求出a即可．（2）求出函数的导数，利用曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，通过△＞0求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．18.【答案】解：（1）根据题意，由表中的数据可得：=100+=100，=100+=100，则有，从而，故物理成绩更稳定；（2）由于x与y之间具有线性相关关系，则==0.5，则=100-0.5×100=50，则线性回归方程为=0.5x+50，当y=115时，x=130；建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．【解析】（1）根据题意，由数据计算数学、物理的平均数、方差，进而分析可得答案；（2）根据题意，求出线性回归方程，据此分析可得答案．本题考查线性回归方程的计算，涉及数据的平均数、方差的计算，属于基础题．19.【答案】解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（-∞，0） 0（0，）（，1）f′（x）- 0+ 0-f（x）极小值极大值∴当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=0，函数f（x）取得极大值点为x=．（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x3+x2，由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[，1）上单调递减，在[0，]上单调递增．∵，∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．②当1≤x≤e时，f（x）=a ln x．当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）max=a．综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．【解析】（1）当x＜1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.【答案】证明：（Ⅰ）∵，AB=4，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥EB，取AE的中点M，连结MD'，则AD=D'E=2⇒MD'⊥AE，∵平面D'AE⊥平面ABCE，∴MD'⊥平面ABCE，∴MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD'E，∴AD'⊥EB；解：（Ⅱ）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A（4，2，0）、C（0，0，0）、B（0，2，0）、，E（2，0，0），从而=（4，0，0），，．设为平面ABD'的法向量，则，取z=1，得设为平面BD'E的法向量，则，取x=1，得因此，，有，即平面ABD'⊥平面BD'E，故二面角A-BD'-E的大小为90°．【解析】（Ⅰ）推导出AE⊥EB，取AE的中点M，连结MD'，则MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD'E，由此能证明AD'⊥EB；（Ⅱ）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD'-E的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，这50路段为中度拥堵的有18个．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1-P（A））3=0.729．P（B）=1-P（）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271．（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．【解析】（Ⅰ）利用（0.2+0.16）×1×50即可得出这50路段为中度拥堵的个数．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1-P（A））3．P（B）=1-P（）=0.271，可得三个路段至少有一个是严重拥堵的概率．（III）利用频率分布直方图即可得出分布列，进而得出数学期望．本题考查了频率分布直方图的应用、互斥事件的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）f′（x）=[ax-（1-a）]e x（x＞0，a∈R），当a≥1时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增；当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减．（2）依题意得（x-1）e x＞kx-2对于x＞0恒成立，方法一：令g（x）=（x-1）e x-kx+2（x≥0），则g′（x）=xe x-k（x≥0），当k≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，且g（0）=1＞0，符合题意；当k＞0时，易知x≥0时，g′（x）单调递增．则存在x0＞0，使得，且g（x）在（0，x0]上递减，在[x0，+∞）上递增，∴，∴，，由得，0＜k＜2，又k∈Z，∴整数k的最大值为1．另一方面，k=1时，，g′（1）=e-1＞0∴x0∈（，1），∈（1，2），∴k=1时成立．方法二：恒成立，令，则，令t（x）=（x2-x+1）e x-2（x＞0），则t′（x）=x（x+1）e x＞0，∴t（x）在（0，+∞）上递增，又t（1）＞0，，∴存在x0∈（，1），使得，且h（x）在在（0，x0]上递减，在[x0，+∞）上递增，∴，又x0∈（，1），∴∈（1，），∴h（x0）∈（，2），∴k＜2，又k∈Z，∴整数k的最大值为1．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，是一道综合题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）方法一：令g（x）=（x-1）e x-kx+2（x≥0），通过讨论k的范围，求出g（x）的最小值，从而确定k的最大值；方法二：分离参数k，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出k的最大值即可．。

2018.04 沫若中学高二下期半期考试化学试卷可能用到的相对原子质量：H—1 Na—23 O-- 16第Ⅰ卷选择题（48分）一、选择题(本题每小题3分，共48分；每小题只有一个选项符合题意)1．将0.1 mol·L－1的NH3·H2O溶液加水稀释，下列说法正确的是()A．c(NH＋4)/c(NH3·H2O)比值减小B．OH－个数将减少C．c(OH－)/c(NH3·H2O)比值减小D．NH＋4浓度将减小2．下列有关叙述正确的是()A．在中和滴定中，既可用标准溶液滴定待测溶液，也可用待测溶液滴定标准溶液B．进行中和滴定操作时，眼睛要始终注视滴定管内溶液液面的变化C．滴定中和热时，两烧杯间填满碎纸的作用是固定小烧杯D．若用50 mL 0.55 mol·L－1的氢氧化钠溶液，分别与50 mL 0.50 mol·L－1的盐酸和50 mL 0.50 mol·L－1硫酸充分反应，两反应的中和热不相等3．下列叙述正确的是()A．95℃纯水的pH<7，说明加热可导致水呈酸性B．pH＝3的醋酸溶液，稀释至10倍后pH＝4L－1的盐酸与等体积水混合后pH＝1C．0.2 mol·D．pH＝3的醋酸溶液与pH＝11的氢氧化钠溶液等体积混合后pH＝74．下列关于实验现象的描述不正确的是()A．把铜片和铁片紧靠在一起浸入稀H2SO4中，铜片表面出现气泡B．用锌片作阳极，铁片作阴极，电解ZnCl2溶液，铁片表面出现一层锌C．把铜片插入FeCl3溶液中，在铜片表面出现一层铁D．把锌粒放入盛有盐酸的试管中，加入几滴CuCl2溶液，气泡放出速率加快5．近来科学家研制了一种新型的乙醇电池(DEFC)，它用磺酸类质子作溶剂，在200 ℃左右时供电，乙醇电池比甲醇电池效率高出32倍且更加安全。

电池总反应式为：C2H5OH＋3O2===2CO2＋3H2O，下列说法不正确的是()A．C2H5OH在电池的负极上参加反应B．1 mol乙醇被氧化转移 6 mol电子C．在外电路中电子由负极沿导线流向正极D．电池正极的电极反应为4H＋＋O2＋4e－===2H2O6．分析如图所示的四个原电池装置，其中结论正确的是A．①②中Mg作负极，③④中Fe作负极B．②中Mg作正极，电极反应式为：6H2O＋6e===6OH―＋3H2↑C．③中Fe作负极，电极反应式为Fe－2e===Fe2＋D．④中Cu作正极，电极反应式为2H＋＋2e===H2↑7．用食用白醋(醋酸浓度约 1 mol·L－1)进行下列实验，能证明醋酸为弱电解质的是() A．白醋中滴入石蕊试液呈红色B．白醋加入豆浆中有沉淀产生C．蛋壳浸泡在白醋中有气体放出D．pH试纸显示白醋的pH为2～38．最近，科学家研制出一种纸质电池，这种“软电池”采用薄层纸片作为载体和传导体，在一边附着锌，在另一边附着二氧化锰。

雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题（理科）（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合},1{2a A =，}4,2{=B ，则“2=a ”是“A B ⋂=}4{”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 复数=-+ii 11 A ．i -B ．iC ．1D ．1- 3. 已知向量），（01,1=，)2,0,1(-=，且k ＋与-2互相垂直，则k 值是 A ．1 B ． 51 C ．53 D ．57 4.在等比数列{}n a 中， 37,a a 是函数()3214913f x x x x =++-的极值点，则5a =A ．3±B ． -3C ．3D ．45.正方体1111ABCD A B C D -中,1DA 与平面11C CA 所成角的正弦值为A ．12B D 6.若函数x kx x f ln )(-=在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．]2,(--∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．[)1,+∞7.若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值,则a =A ．1B ．2C ．3D ．-38. 棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AA 1中点，则点B 1到平面BCE 的距离是9.已知函数)()(23R x c x ax x x f ∈+-+=，下列结论错误的是A.函数)(x f 一定存在极大值和极小值B.若函数)(x f 在),(),,(21+∞-∞x x 上是增函数，则33212≥-x x C.函数)(x f 的值域是RD.函数)(x f 一定存在三个零点10. 如图， AB 是O 的直径， PA 垂直于O 所在平面， C 是圆周上不同于,A B 两点的一点，且2AB =，PA BC =A BC P --的大小为11. 直线l 的方程为Ax ＋By ＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则表示不同直线l 的条数是12. 定义在R 上的函数()f x 与其导函数()f x '满足()()1x f x f x e->'+，则下列不等式一定成立的是 A ．552 B ．45 C ． 22 D ． 1A ．30︒C ．60︒ B ．45︒D ．90︒ A ．36条 B ．30条 C ．26条 D ．15条A ．()()01f e ef +< B.()()01f e ef +> C ．()()01f e f +< D ．()()01f e f +>二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.长方体1111ABCD A BC D -中， 12AA AB ==，1AD =，点E 、F 、 G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角为 .14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂33⨯方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜色的涂法种数是_______（用数字作答）.15.函数x ex x f 1ln )(+=的单调递增区间是_________. 16.若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)若复数z 满足)2(z i z -=，（1）求复数z ;（2）求|2|i z +-18．(12分) 已知函数3()f x ax bx c =++的图像关于原点对称,且过点(1,1),(2,26).(1)求()f x 的解析式;(2)函数()f x 的单调区间;(3)求函数()f x 在]1,1[-上的最小值.19．(12分) 已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.20．(12分).在四棱锥ABCD P -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，BC AD AD AB //,⊥，E 是线段AB 的中点，⊥PE 底面ABCD ，已知22===BC AB DA .（1）求AP 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得⊥EM 平面PCD .21．(12分)已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.22．（12分）设函数()1e x f x -=-．（1）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求实数a 的取值范围雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、 90； 14、12； 15、),1(+∞； 16、)23,1[. 三、解答题17、（1）i +1； （2）5.18、（1）x x x f 34)(3-=；（2）在),21(),21,(+∞--∞上递增，在)21,21(-上递减； （3）最小值1)21()1()(-==-=f f x f .19、（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形，∴90BEC ∠= ，即BE EC ⊥， 又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC ' 平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥；（2）如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B ，C ，22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n = ；设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z = ，由(BC = ，D C '=，求得2(1,1,1)n = ，∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>== ， ∴二面角D BC E '--的余弦值为3. 20、（1）因为⊥PE 底面ABCD ，过E 作BC ES //，则AB ES ⊥，以EB 、EP ES 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(E ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ，)3,0,0(P ，),3,1,1(),0,1,2(-=-=∴求得平面PCD 的法向量为)3,2,1(=，而)3,0,1(=∴，22|48301||,cos |=⋅++=><∴ ∴AP 与平面PCD 所成角的正弦值为22 （2）设M （x ，y ，z ），由⊥EM 平面PCD 知//，)3,2,(λλλλ==∴，)3,2,(λλλM ∴,)3,12,1(λλλ--=∴, 又),3,1,1(),0,1,2(--=-=、、共面，∴存在唯一实数b a 、使得b a +=，而)3,,2(b b a b a b a ---=+，⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=-∴b b a b a 331221λλλ，解得83=λ， )833,86,83(M ∴符合题意.21、（1）()1'f x a x =- ∵函数在2x =处的切线与直线230x y +-=平行∴1122k a =-=-，解得： 1a =；（2）由（1）得()ln f x x x =-，∴()22f x m x x +=-，即23ln 0x x x m -++= 设()23ln (0)h x x x x m x =-++>， 则()()()22111231'23x x x x h x x x x x---+=-+== 列表得：∴当时， ()h x 的极小值为()12h m =-， 又()15ln2,22ln224h m h m ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭∵方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≥0)2(0)1(0)21(h h h ,解得： 5ln224m +≤<；22、（1）证明：注意到1x >-时，10x +>，于是有()1x f x x ≥+，即11e 1e e e 1111x x x x x x x x x x ----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e 1x g x x =-+，()1 x ∈-+∞，．()e 1x g x '=-，令()0g x '=，得0x =．当x 变化时，()()g x g x '，的变化情况如下表：可见()g x 在(]1 0-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时，()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1x f x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立．（2）解：由0x ≥时，011x x e ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x x h x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()()2211ee 11x x ax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11x x ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+． 设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，，则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=-当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1x e ≥，2122a ≤，故()0k x ''≥. 所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

2015-2016学年四川省乐山市沫若中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c都是偶数”，正确的反设为（）A．a，b，c中至少有一个是奇数B．a，b，c中至多有一个是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c中恰有一个是奇数3．（5分）函数f（x）＝2x2﹣lnx的递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，0）及（）C．（）D．（）及（0，）4．（5分）下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|P A|+|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆+＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f （5）+f′（5）＝（）A．2B．1C．D．06．（5分）用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2＝n（4n2﹣1）过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边增加的项为（）A．（2k）2B．（2k+3）2C．（2k+2）2D．（2k+1）2 7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝（）A．5B．6C．7D．88．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）9．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）10．（5分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第6幅图的蜂巢总数为（）A．61B．90C．91D．12711．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣212．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案直接填在题中横线上.13．（4分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝．14．（4分）曲线f（x）＝x2在点（1，）处的切线方程为．15．（4分）如图，阴影部分的面积是．16．（4分）已知P（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得：，所以过P的切线的斜率：试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知z 1＝2+i，•z2＝6+2i，（1）求z2；（2）若z＝，求z的模．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调性．19．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，已知a n＝．（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想S n的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．20．（12分）已知函数f（x）＝+lnx，其中a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥1在x∈（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，直线l1：y＝﹣t2+8t（其中0≤t ≤2，t为常数），l2：x＝2的图象如图所示．（1）根据图象求a、b、c的值；（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（3）若g（x）＝6lnx+m，问是否存在实数m，使得y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．（14分）设函数f（x）＝xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）＝ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y＝f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．2015-2016学年四川省乐山市沫若中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵．∴复数所对应的点（）在第二象限．故选：B．2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c都是偶数”，正确的反设为（）A．a，b，c中至少有一个是奇数B．a，b，c中至多有一个是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c中恰有一个是奇数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c都是偶数”的否定为：“a，b，c中至少有一个是奇数”，故选：A．3．（5分）函数f（x）＝2x2﹣lnx的递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，0）及（）C．（）D．（）及（0，）【解答】解：∵f（x）＝2x2﹣lnx，x＞0∴f'（x）＝4x﹣令f'（x）＝4x﹣＞0，解得x＞∴函数f（x）＝2x2﹣lnx的递增区间是（，+∞）故选：C．4．（5分）下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|P A|+|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆+＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解答】解：A是演绎推理，C、D为类比推理．只有C，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．故选：B．5．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f （5）+f′（5）＝（）A．2B．1C．D．0【解答】解：根据图象知，函数y＝f（x）的图象与在点P处的切线交于点P，f（5）＝﹣5+8＝3，f′（5）为函数y＝f（x）的图象在点P处的切线的斜率，∴f′（5）＝﹣1；∴f（5）+f′（5）＝2．故选：A．6．（5分）用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2＝n（4n2﹣1）过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边增加的项为（）A．（2k）2B．（2k+3）2C．（2k+2）2D．（2k+1）2【解答】解：用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2＝n（4n2﹣1）的过程中，第二步，假设n＝k时等式成立，即12+32+52+…+（2k﹣1）2＝k（4k2﹣1），那么，当n＝k+1时，12+32+52+…+（2k﹣1）2+（2k+1）2＝k（4k2﹣1）+（2k+1）2，等式左边增加的项是（2k+1）2，故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：第一次执行循环体后，S＝，m＝，n＝1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．8．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．9．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x3﹣2016，g′（x）＝f′（x）﹣3x2，∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，∴g（x）＝f（x）﹣x3﹣2016在R上是减函数，且g（﹣1）＝f（﹣1）+1﹣2016＝2015+1﹣2016＝0，故不等式f（x）＜x3+2016的解集为（﹣1，+∞），故选：A．10．（5分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第6幅图的蜂巢总数为（）A．61B．90C．91D．127【解答】解：由于f（2）﹣f（1）＝7﹣1＝6，f（3）﹣f（2）＝19﹣7＝2×6，f（4）﹣f（3）＝37﹣19＝3×6，f（5）﹣f（4）＝61﹣37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），所以f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+…+[f（2）﹣f（1）]+f （1）＝6[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]+1＝3n2﹣3n+1．又f（1）＝1＝3×12﹣3×1+1，所以f（n）＝3n2﹣3n+1．当n＝6时，f（6）＝3×62﹣3×6+1＝91．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，∴函数的导数f′（x）＝﹣3x2+2ax+b，且f′（0）＝b＝0，则f（x）＝﹣x3+ax2，∵x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，∴由f（x）＝﹣x3+ax2＝0解得x＝0或x＝a，由图象可知a＜0，则根据积分的几何意义可得﹣＝﹣（）|＝，即a4＝1，解得a＝﹣1或a＝1（舍去），故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），则f′（x）＝lnx﹣ax+x（﹣a）＝lnx﹣2ax+1，令f′（x）＝lnx﹣2ax+1＝0得lnx＝2ax﹣1，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）＝lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a＝时，直线y＝2ax﹣1与y＝lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），则f′（x）＝lnx﹣ax+x（﹣a）＝lnx﹣2ax+1，令f′（x）＝lnx﹣2ax+1＝0得lnx＝2ax﹣1，可得2a＝有两个不同的解，设g（x）＝，则g′（x）＝，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y＝g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案直接填在题中横线上.13．（4分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝2．【解答】解：因为＝＝，是纯虚数，所以a＝2．故答案为：2．14．（4分）曲线f（x）＝x2在点（1，）处的切线方程为2x﹣2y﹣1＝0．【解答】解：f′（x）＝x当x＝1得f′（1）＝1所以切线方程为y﹣＝x﹣1即x﹣y﹣＝0故答案为：2x﹣2y﹣1＝0．15．（4分）如图，阴影部分的面积是．【解答】解：直线y＝2x与抛物线y＝3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y＝3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则＝＝所以阴影部分的面积为，故答案为：．16．（4分）已知P（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得：，所以过P的切线的斜率：试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为2x﹣y﹣＝0．【解答】解：由双曲线，得到y2＝2x2﹣2，根据题意，两边同时对x求导得：2yy′＝4x，解得y′＝，由P（，），得到过P得切线的斜率k＝2，则所求的切线方程为：y﹣＝2（x﹣），即2x﹣y﹣＝0．故答案为：2x﹣y﹣＝0三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知z 1＝2+i，•z2＝6+2i，（1）求z2；（2）若z＝，求z的模．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R）∵，∴（z﹣i）（a+bi）＝6+2i，即（2a+b）+（2b﹣a）i＝6+2i，∴，解得：a＝2，b＝2，∴z2＝2+2i．（2）∵，∴|z|＝．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝ax2+blnx，∴，∵f（x）在x＝1处有极值，∴，解得a＝，b＝﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝，其定义域为（0，+∞），且f′（x）＝x﹣＝．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：∴函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．19．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，已知a n＝．（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想S n的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．【解答】解：（Ⅰ）∵a n＝，∴S1＝，S2＝，S3＝，猜想S n＝；（Ⅱ）①n＝1时，S1＝成立；②假设n＝k时，成立，即S k＝，则当n＝k+1时，S k+1＝S k+a k+1＝+＝，即当n＝k+1时，结论也成立综上①②知，S n＝．20．（12分）已知函数f（x）＝+lnx，其中a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥1在x∈（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵定义域为（0，+∞）∴f′（x）＝﹣+＝，①当a≤0，f′（x）≥0，恒成立，∴f（x）在定义域（0，+∞）单调递增；②当a＞0，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜a，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴函数f（x）的单调递增区间：（a，+∞），单调递减区间：（0，a）（2）∵f（x）≥1在（0，e]上恒成立，∴+lnx≥1，即a≥﹣xlnx+x任意x∈（0，e]上恒成立，令g（x）＝﹣xlnx+x，x∈（0，e]，∴g′（x）＝﹣lnx，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴g（x）在（0，1]递增，在（1，e]递减，∴g（x）max＝g（1）＝1，∴a≥121．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，直线l1：y＝﹣t2+8t（其中0≤t ≤2，t为常数），l2：x＝2的图象如图所示．（1）根据图象求a、b、c的值；（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（3）若g（x）＝6lnx+m，问是否存在实数m，使得y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由图形知：…（2分）解之，得a＝﹣1，b＝8，c＝0∴函数f（x）的解析式为f（x）＝﹣x2+8x．…（4分）（2）由f（x）＝﹣x2+8x与直线l1：y＝﹣t2+8t联立可得x2﹣8x﹣t（t﹣8）＝0，∴x＝t或x＝8﹣t∵0≤t≤2，∴t＜8﹣t∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t，﹣t2+8t）…（7分）由定积分的几何意义知：S（t）＝[（﹣t2+8t）﹣（﹣x2+8x）]dx+[（﹣x2+8x）﹣（﹣t2+8t）]dx＝﹣．…（9分）（3）令m（x）＝g（x）﹣f（x）＝x2﹣8x+6lnx+m要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数m（x）＝g（x）﹣f（x）＝x2﹣8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点．…（10分）∴m′（x）＝（x＞0）．当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）是增函数；当x∈（1，3）时，m′（x）＜0，m（x）是减函数；当x∈（3，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）是增函数；当x＝1，或x＝3时，m′（x）＝0．∴m（x）最大值＝m（1）＝m﹣7，m（x）最小值＝m（3）＝m+6ln3﹣15．∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即7＜m＜15﹣6ln3．∴存在实数m，使得函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15﹣6ln3）．…（14分）22．（14分）设函数f（x）＝xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）＝ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y＝f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．【解答】（1）解：f′（x）＝lnx+1（x＞0），令f′（x）＝0，得．（2分）∵当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，（3分）∴当时，．（4分）（2）F（x）＝ax2+lnx+1（x＞0），．（5分）①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；（6分）②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；（7分）令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．（8分）综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．（9分）（3）证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）＝t﹣1﹣lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）＝t﹣1﹣lnt＞g（1）＝0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②设h（t）＝tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h′（t）＝lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）＝tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）＝0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．（14分）。

沫若中学2016级高二下期半期考试物理试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，第1至10题只有一个选项是正确的，第11至15题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．1. 下列说法中正确的是A. 带电粒子只受电场力，由静止开始运动，其运动轨迹一定与电场线重合B.C. 洛伦兹力的方向一定与电荷的速度方向垂直，磁场的方向不一定与电荷的运动方向垂直D. 通电直导线垂直于磁场方向放置，B与通电直导线所受的安培力F成正比，与通电导线中的电流I和通电导线置于磁场中的长度L的乘积成反比【答案】C【解析】在匀强电场中，带电粒子只受电场力，由静止开始运动，其运动轨迹一定与电场线重合，A B 错误；由左手定则可知，洛伦兹力的方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向不一定与电荷运动方向垂直，C D 错误；2. 将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是A. 感应电动势的大小与线圈的匝数无关B. 穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大C. 穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大D. 感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同【答案】C【解析】试题分析：解答本题应掌握感应电动势取决于磁通量的变化快慢，与磁通量的变化及磁通量无关．解：由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E=n，即感应电动势与线圈匝数有关故A 错误；同时可知，感应电动势与磁通量的变化率有关，磁通量变化越快，感应电动势越大，故C正确；穿过线圈的磁通量大，但若所用的时间长，则电动势可能小，故B错误；由楞次定律可知：感应电流的磁场方向总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，故原磁通增加，感应电流的磁场与之反向，原磁通减小，感应电流的磁场与原磁场方向相同，即“增反减同”，故D错误；故选C．【点评】感应电动势取决于穿过线圈的磁通量的变化快慢，在理解该定律时要注意区分磁通量、磁通量的变化量及磁通量变化率三者间区别及联第．3. 如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。