高中数学第4章对数运算与对数函数章末综合提升课件

（1）loga (MN ) loga M loga N
（2）loga
M N
loga M
loga
N
（3）loga M n n loga M (n R)
2.对数换底公式：
loga b
logc b (a logc a
0, 且a 1;b 0;c 0, 且c
1).
本课结束
自我探究
仿照上述推理过程，结合指数幂的运算性质
am an
amn
和 (am )n amn
，
推导出对数运算的其他性质.
学习新知
对数的运算性质：
如果 a 0 ，且 a 1，M >0 ，N >0 .那么
（1）loga (MN ) loga M loga N
（2）loga
M N
loga M
loga
2
3
巩固练习
用 lg x ，lg y ，lg z 表示 下列各式.
（1）lg(xyz)
（2）lg xy2
z
（3）lg xy3
z
（4）lg
x y2z
lg x lg y lg z
lg x 2 lg y lg z lg x 3lg y 1 lg z
2 1 lg x 2 lg y lg z 2
2( ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2) ln 4 ln 3 ln 8 ln 3 ln 4 ln 9 ln 8 ln 9
2(1 1 1 1) 23 6
4
课堂小结
1.对数的运算性质：如果 a 0 ，且 a 1，M >0 ，N >0 .那么
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数

引入新知 y loga x (a 0,且a 1)
思考：(1)定义中为什么规定 a 0且a 1 呢？
（2）如何根据对数函数的定义判断一个 函数是否为一个对数函数呢？
①底数a为大于0且不等于1的常数． ②自变量x在真数的位置上，且x的系数是1. ③logax系数是1.
练习：判断以下函数是对数函数的是
8.已知函数f
(x)
loga
x 1(a x 1
0, 且a
1).
(1)求f (x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性.
解：(1) x 1 0, (x 1)(x 1) 0 x 1
x 1或x 1, 定义域为{x | x 1或x 1}
(2)由(1)知定义域为{x | x 1或x 1}关于原点对称
f
(x)
loga
x 1 x 1
loga
x 1 x 1
log
a
x 11
x 1
loga
x 1 x 1
f
(x)
f (x)为奇函数
作业
课本P140页A组第1题
由a a
2 2a 8 0 1 0且a 1
, 0
得a 4
巩固新知 金版P91【跟踪训练】
1.若函数f (x) log(a1) x a2 2a 8是对数函数，则a _4___
由a a
2 2a 8 0 1 0且a 1
, 0
得a 4
2.若对数函数的图象经过点M (8,3)，则f 1 ___-1____
4.4.1 对数函数的概念
BUSINESS
REPORT
复习
计算下列各式的值：
log2 1 0
log2 2 1
log2 4 2 log2 8 3

2 log 2 1 + 2 + 3 + log 2 1 + 2 − 3 ;
lg 27 + lg8 − 3lg 10
;
lg 1.2
1
1
(6)log + log + log ( > 0且 ≠ 1).
(4)
24 × 53
解析： 1 原式 = l g
= l g 104 = 4.
1
1
3
3
3
lg 3 + 2 lg 2 − 1
2
2
lg 3
+ lg 2 − 3 lg 10
3
2
4 原式 =
=
=
.
3 × 22
lg 3 + 2 lg 2 − 1
2
lg 10
5 原式 = 2 log 3 2 − log 3 32 − log 3 9 + 3 log 3 2 − 3 = 5 log 3 2 − 5 log 3 2 − 2 − 3 = −1.
2 1的对数等于0, 即 log 1 = 0. 由0 = 1, 及指数式与对数式的关系可知 log 1 = 0.
3 底数的对数等于1, 即 log = 1. 由1 = , 及指数式与对数式的关系可知 log = 1.
1
(4)底数的倒数的对数等于 − 1, 即log = −1.
例1 计算 log 2 1 25 + log 4 2 5 + log 8 5 log 5 2 + log 25 4 + log125 8 .
解析：原式 = log 2 53 + 22 52 + 22 5 log 5 2 + 22 52 + 53 23

令t=x2-2x-8,则y=ln t(t>0).
∵要求f(x)的单调递增区间,且y=ln t是增函数,
∴根据复合函数的单调性可知,只需求出t=x2-2x-8在定义域内的单调递增区间即
可.
∵x∈(4,+∞)时,t=x2-2x-8为增函数,
∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),故选D.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
第1讲 描述运第动四的章基本指概数念函数与对数函数
已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( B )
第1讲 描述运第动四的章基本指概数念函数与对数函数
思路点拨 可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结合单 调性来判断. 解析 解法一:首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧, 从而排除A,C, 然后,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.故选B. 解法二:若0<a<1,则函数y=ax在其定义域上单调递减且图象过点(0,1),而函数y=loga (-x)在其定义域上单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件; 若a>1,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定 义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.
x∈(0,1)时,y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]
函数y=logax与y= log1x的图象关于③ x轴 对称
a
第1讲 描述运第动四的章基本指概数念函数与对数函数
反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数④ y=logax(a>0,a≠1) 互为反 函数.它们的定义域与值域正好互换. 互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.

第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4．2 对数与对数函数
4.2.2 对数运算法则
(教师独具内容) 课程标准：1.掌握对数运算法则，并能运用对数运算法则进行对数式的 化简、求值与证明.2.掌握换底公式，并能运用换底公式将一般对数化成自然 对数或常用对数． 教学重点：对数运算法则、换底公式． 教学难点：对数运算法则及换底公式的应用.
5．(1)计算：2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋ lg 22－lg 2＋1；
解 (1)原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋ lg 2－12 ＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.
(2)已知 log35＝m,3n＝7，用 m，n 表示 log3245.
解 解法一：设 ax＝by＝cz＝t， ∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct， ∴1x＋1y＋1z＝lo1gat＋lo1gbt＋lo1gct＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0， ∴abc＝t0＝1，即 abc＝1.
解法二：∵a，b，c 是不等于 1 的正数，且 ax＝by＝cz，
金版点睛 利用对数运算法则解决相关问题的思路 (1)利用对数的运算法则解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；② 正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的 和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对 数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． (2)要注意一些常见的结论，如 lg 2＋lg 5＝1，lg a1＝－lg a 等．
a＋b a＋b ＝1＋log18198＝2－a.
解法二：∵18b＝5，∴log185＝b.又∵log189＝a，
于是 log3645＝lolgo1g81981×9825＝2lloogg1188918＋－lologg181589＝a2＋ －ba.

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[教材解难]
1．教材 P130 思考
根据指数与对数的关系，由
y＝12
x 5730
(x≥0)得到 x＝log 1 y(0＜y≤1)．如图，过 y 5730 2
轴正半轴上任意一点(0，y0)(0＜y0≤1)作
x
轴的平行线，与
y＝12
x 5730
(x≥0)的图象有且只有一个交点(x0，y0)．这就说明，对于任意一个
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跟踪训练 2 求下列函数的定义域： (1)y＝lg(x＋1)＋ 31x－2 x；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
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解析：(1)要使函数有意义，
需x1＋－1x＞ ＞00， ， 即xx＞ ＜1－. 1， ∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)．
D.43， 3，110，35
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解析：(1)方法一 作直线 y＝1 与四条曲线交于四点，由 y＝ logax＝1，得 x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底 数小，所以 C1，C2，C3，C4 对应的 a 值分别为 3，43，35，110，故 选 A.
种对称性，就可以利用 y＝log2x 的图象画出 y＝log 1 x 的图象． 2
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3．教材 P138 思考 一般地，虽然对数函数 y＝logax(a＞1)与一次函数 y＝kx(k＞0) 在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着 x 的
增大，一次函数 y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数 y＝

1
2
D.4 =x
(2)D
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激趣诱思
知识(zhī shi)点
拨
二、对数的基本性质
1.负数和零没有(méi yǒu)对数.
2.对于任意的a>0,且a≠1,都有
1
loga1=0,logaa=1,loga =-1.
a
3.对数恒等式aa =
N
.
名师点析1.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
4
(3)log3(lg x)=1.
2
解:(1)由 log8x=- ,得 x=8
3
3
3
4
2
3
-
2
=(23)-3 =2-2,故
3
4
1
x= .
4
(2)由 logx27=4,得 =27,即 =33,
4
3 3
故 x=(3 ) =34=81.
(3)由 log3(lg x)=1,得 lg x=3,故 x=103=1 000.
3
-1 1
(3)e = ;
e
(4)10-3=0.001.
分析利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.
解:(1)
1
1 -3
3
(3)ln =-1.
e
=27.
(2)log464=3.
(4)lg 0.001=-3.
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当堂检测
探究(tànjiū)一
探究(tànjiū)二
§1
对数(duìshù)的概念
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在指数函数 = 2 中, 是自变量, 是的函数, 其定义域是; 而在对数函数 = 2 中, 是自变量, 是的函数,
其定义域是(0, +∞). 我们称对数函数 = ����2 是指数函数 = 2 的反函数, 同时, 也称指数函数 = 2
是对数函数 = 2 的反函数. 习惯上, 对数函数表示为 = ( > 0, 且 ≠ 1), 指数函数表示为 = ( > 0,
1
的定义域是 { ∣ > 1 , 且 ≠ 2} .
2 − 1
2 要使函数式有意义, 需16 − 4 > 0, 解 < 2}.
3 − > 0,
3 要使函数式有意义, 需 − 1 > 0, 解得 1 < < 3 , 且 ≠ 2 . 故函数
对数函数 = 为自然对数函数.
判定一个函数是对数函数的依据
1 形如 = ;
2 底数满足 > 0, 且 ≠ 1;
3 真数是单独的一个;
(4)定义域为(0, +∞).
知识点2 反函数
反函数的定义：指数函数 = 2 和对数函数 = 2 刻画的是同一对变量, 之间的关系, 所不同的是:
3
< 1, 则实数的取值范围为
4
解析： 1 因为 3 < 2 = 3 9 , 且函数 = 3 在 0 +∞ 上单调递增, 所以0 < < 9, 即的取值集合为
2.若 < 0,则0 > > .
1.若 > 1,则0 > > ；
2.若0 < < 1,则 > > 0.
知识点5 基于对数运算的对数型奇偶函数

设计意图：考察函数定义域，加深对对数
函数的概念的理解，改为填空，节省时间，
点到为止。
环节二
（一）对数函数的概念
2.对数函数与指数函数的关系：
互为反函数
设计意图：对数函数的概念比较抽象，利用已经学
过的知识逐步分析，这样引出对数函数的概念过渡
自然，学生易于接受。因为对数函数是指数函数的
反函数，让学生比较它们的定义域、值域、对应法
log .
小结：既不同底数，也不同真数的对数比大
小的方法：找中间量（常用0、1）
环节三
典型例题，巩固达标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(三)同真数的对数比大小(小组合作探究)
例3.比较下列各题中两个值的大小：
() log
(2)log .
log
log .
（学生以小组为单位探究解题方法）
对数函数的定义，在概念理解上，用步步设问、课
堂讨论来加深理解。在对数函数图像的画法上，我
借助多媒体，演示作图过程及图像变化的动画过程，
从而使学生直接地接受并提高学生的学习兴趣和积
极性，很好地突破难点和提高教学效率。
说学法
学法指导
对照比较
学习法：
学习对数
函数,处处
与指数函
数相对照
合作探究
式学习法：
学生通过
看待数学知识，形成一个逻
角度分析之前熟悉的指数变化规律，
辑严密的知识体系．
通过与指数函数的联系更好地理解
对数函数
对数函数的研究内容和方
法既有继承也有发展，借助
性质研究环节不仅研究对数函数
对数函数的研究，可以进一
自身的性质，还增加了同底指对

(1)loga ；(2)loga(x3y5)；(3)loga 3 ．


[解]

(1)loga ＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz．

(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay．
2
(3)loga
3


1
2
1
−
3
1
2
＝loga(x2 )＝logax2＋loga + log
1
7＋ lg
2
1
10＝ ．
2
1
2＋
2
1
5＝ lg
2
2 lg 7 + lg 5
1
2＋ lg
2
5
• 【例3】 计算下列各式的值：
• (2)lg
2
2
5 ＋ lg
3
8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
• [解] 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．
(
)
(× )
(× )
×
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 对数的运算性质
类型2 带有附加条件的对数式求值
类型3 利用对数的运算性质化简、求值
类型1 对数的运算性质
【例1】 (源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：
2

• (3)logaMn＝________(n∈R)．
logaM－logaN
• 提醒 三条运算性质成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0．