【聚焦中考】2015中考数学(陕西省)总复习教学案：专题六 运动型问题范文

专题四 情境应用型问题情境应用问题是以现实生活为背景，取材新颖，立意巧妙，重在考查阅读理解能力和数学建模能力，让学生在阅读理解的基础上，将实际问题转化为数学问题．其主要类型有代数型(包括方程型、不等式型、函数型、统计型)和几何型两大类．解决代数型应用问题：关键是审题，弄清关键词句的含义；重点是分析，找出问题中的数量关系，并将其转化为数学式子，进行整理、运算、解答．解决几何型应用问题：一般是先将实际问题转化为几何问题，再运用相关的几何知识进行解答，要注重数形结合，充分利用“图形”的直观性和“数”的细微性．三个解题方法(1)方程(组)、不等式、函数型情境应用题：解决这类问题的关键是针对背景材料，设定合适的未知数，找出相等关系，建立方程(组)、不等式、函数型模型来解决；(2)统计概率型应用题：解决这类问题：①要能从多个方面去收集数据信息，特别注意统计图表之间的相互补充和利用；②通过对数据的整理，能从统计学角度出发去描述、分析，并作出合理的推断和预测；(3)几何型情境应用题：解决这类问题的关键是在理解题意的基础上，对问题进行恰当地抽象与概括，建立恰当的几何模型，从而确定某种几何关系，利用相关几何知识来解决．几何求值问题，当未知量不能直接求出时，一般需设出未知数，继而建立方程(组)，用解方程(组)的方法去求结果，这是解题中常见的具有导向作用的一种思想．方程型情境应用题【例1】 (2013·温州)某校举办八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，下表为甲、乙、丙三位同学得分情况(单位：分)：(1)按10%，40%，20%，30%折算记入总分，根据猜测，求出甲的总分；(2)本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上(包含80分)的学生获一等奖，现获悉乙、丙的总分分别是70分，80分．甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖？解：(1)由题意，得甲的总分为：66×10%＋89×40%＋86×20%＋68×30%＝79.8； (2)设趣题巧解所占的百分比为x ，数学运用所占的百分比为y ，由题意得⎩⎨⎧20＋60x ＋80y ＝70，20＋80x ＋90y ＝80，解得⎩⎨⎧x ＝0.3，y ＝0.4，∴甲的总分为：20＋89×0.3＋86×0.4＝81.1＞80，∴甲能获一等奖．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用、加权平均数的运用，在解答时建立方程组求出趣题巧解和数学运用的百分比是解答本题的关键．1．(2014·山西)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x 米2，根据题意得：46000－22000x－46000－220001.5x＝4解得：x ＝2000，经检验，x ＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米(2)设人行道的宽度为x 米，根据题意得，(20－3x)(8－2x)＝56，解得：x ＝2或x ＝263(不合题意，舍去)．答：人行道的宽为2米．不等式型情境应用题【例2】 (2014·河北)某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD ，如图①和图②.现有1号、2号两游览车分别从出口A 和景点C 同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车速度均为200米/分．探究：设行驶时间为t 分．(1)当0≤t ≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A 的路程y 1，y 2(米)与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时，t 的值；(2)t 为何值时，1号车第三次恰好经过景点C ？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图②，游客甲在BC 上的一点K(不与点B ，C 重合)处候车，准备乘车到出口A ，设CK ＝x 米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？(含候车时间)决策：已知游客乙在DA 上从D 向出口A 走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA 上一点P(不与点D ，A 重合)时，刚好与2号车迎面相遇．(1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A 用时少，请你简要说明理由；(2)设PA ＝s(0＜s ＜800)米．若他想尽快到达出口A ，根据s 的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？解：探究：(1)由题意，得y 1＝200t ，y 2＝－200t ＋1600，当相遇前相距400米时，－200t ＋1600－200t ＝400，t ＝3，当相遇后相距400米时，200t －(－200t ＋1600)＝400，t ＝5.答：当两车相距的路程是400米时t 的值为3分钟或5分钟(2)由题意，得1号车第三次恰好经过景点C 行驶的路程为：800×2＋800×4×2＝8000，∴1号车第三次经过景点C 需要的时间为：8000÷200＝40分钟，两车第一次相遇的时间为：1600÷400＝4.第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：800×4÷400＝8，∴两车相遇的次数为：(40－4)÷8＋1＝5次．∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为：5次．发现：由题意，得情况一需要时间为：800×4－x 200＝16－x 200，情况二需要的时间为：800×4＋x 200＝16＋x 200，∵16－x 200＜16＋x 200，∴情况二用时较多．决策：(1)∵游客乙在AD 边上与2号车相遇，∴此时1号车在CD 边上，∴乘1号车到达A 的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，∴乘1号车的用时比2号车少．(2)若步行比乘1号车的用时少，s 50＜800×2－s 200，∴s ＜320.∴当0＜s ＜320时，选择步行．同理可得当320＜s ＜800时，选择乘1号车，当s ＝320时，选择步行或乘1号车一样．【点评】现实世界中的不等关系是普遍存在的．许多问题有时并不需要研究他们之间的相等关系，而只需确定某个量的变化范围即可对所研究的问题有比较清楚的认识．本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式，求出所有方案是解题关键．2．(2012·宁波)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：(说明：①费用)已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．(1)求a ，b 的值；(2)随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？解：(1)由题意，得⎩⎨⎧17（a ＋0.8）＋3（b ＋0.8）＝66，①17（a ＋0.8）＋8（b ＋0.8）＝91，②②－①，得5(b ＋0.8)＝25，b ＝4.2，把b ＝4.2代入①，得17(a ＋0.8)＋3×5＝66，解得a ＝2.2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2.2，b ＝4.2. (2)当用水量为30吨时，水费为：17×3＋13×5＝116元，∵9200×2%＝184元，116＜184，∴小王家六月份的用水量可以超过30吨．设小王家六月份用水量为x 吨，由题意，得17×3＋13×5＋6.8(x －30)≤184，6.8(x －30)≤68，解得x ≤40.答：小王家六月份最多能用水40吨．统计与概率型情境应用题【例3】 (2013·潍坊)随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻．某部门对15个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所示：(2)求15个城市的平均上班堵车时间；(计算结果保留一位小数)(3)规定：城市的堵车率＝上班堵车时间上班花费时间－上班堵车时间×100%，比如：北京的堵车率＝1452－14×100%＝36.8%；沈阳的堵车率＝1234－12×100%＝54.5%.某人欲从北京、沈阳、上海、温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率．解：(1)补全的统计图如图所示：(2)平均上班堵车时间＝(14＋12×4＋11×2＋7×2＋6×2＋5×3＋0)÷15≈8.3(分钟)(3)上海的堵车率＝11÷(47－11)＝30.6%，温州的堵车率＝5÷(25－5)＝25%，堵车率超过30%的城市有北京、沈阳和上海．从四个城市中选两个的方法共有6种(北京，沈阳)，(北京，上海)，(北京，温州)，(沈阳，上海)，(沈阳，温州)，(上海，温州)．其中两个城市堵车率均超过30%的情况有3种：(北京，沈阳)，(北京，上海)，(沈阳，上海)所以选取的两个城市堵车率都超过30%的概率P＝36＝12.【点评】此题主要考查了概率公式的应用以及加权平均数的应用和条形图的应用，根据图表得出正确的数据关系是解题关键．第三问先确定堵车率超过30%的城市，再根据概率的意义，用列表或树形图表示出所有可能出现的结果，找出关注的结果，从而求出它的概率．3．(2014·宁夏)如图是银川市6月1日至15日的空气质量指数趋势折线统计图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染．某人随机选择6月1日至6月14日中的某一天到达银川，共停留2天．(1)求此人到达当天空气质量优良的天数；(2)求此人在银川停留2天期间只有一天空气质量是重度污染的概率；(3)由折线统计图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大．(只写结论)解：(1)此人到达当天空气质量优良的有：第1天、第2天、第3天、第7天、第12天，共5天(2)此人在银川停留两天的空气质量指数是：(86，25)，(25，57)，(57，143)，(143，220)，(220，158)，(158，40)，(40，217)，(217，160)，(160，128)，(128，167)，(167，75)，(75，106)，(106，180)，(180，175)，共14个停留时间段，期间只有一天空气质量重度污染的有：第4天到、第5天到、第7天到及第8天到．因此，P(在银川停留期间只有一天空气质量重度污染)＝414＝2 7(3)根据折线图可得从第5天开始的第5天、第6天、第7天连续三天的空气质量指数方差最大．几何型情境应用题【例4】(2013·铜仁)为了测量旗杆AB的高度．甲同学画出了示意图①，并把测量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD＝a，CA＝b，CE＝c；乙同学画出了示意图②，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE＝m，AE ＝n，∠BDC＝α.(1)请你帮助甲同学计算旗杆AB 的高度(用含a ，b ，c 的式子表示)；(2)请你帮助乙同学计算旗杆AB 的高度(用含m ，n ，α的式子表示)．解：解：(1)∵DC ⊥AE ，BA ⊥AE ，∴△ECD ∽△EAB ，∴CD AB ＝CE AE ，即：a AB ＝c c ＋b，∴AB ＝a （c ＋b ）c ＝a ＋ab c(2)∵AE ⊥AB ，DC ⊥AB ，DE ⊥AE ，∴DC ＝AE ＝n ，AC ＝DE ＝m ，在Rt △DBC 中，BC CD＝tan α，∴BC ＝n·tan α，∴AB ＝BC ＋AC ＝n ·tan α＋m【点评】 本题考查了相似三角形的应用及解直角三角形的应用，解决本题的关键是根据题目的条件判定相似三角形．4．(2014·德州)问题背景：如图①：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG ＝BE.连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是__EF ＝BE ＋DF__；探索延伸：如图②，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解：问题背景：EF ＝BE ＋DF ；探索延伸：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．证明如下：如图，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝BE ∠B ＝∠ADG AB ＝AD，∴△ABE ≌△ADG(SAS )，∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ∠EAF ＝∠GAF AF ＝AF，∴△AEF ≌△AGF(SAS )，∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF ；实际应用：如图，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°＋90°＋(90°－70°)＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EAF ＝12∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC ＋∠OBC ＝(90°－30°)＋(70°＋50°)＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE ＋BF 成立，即EF ＝1.5×(60＋80)＝210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里试题 为了鼓励居民节约用水，我市某地水费按下表规定收取：(1)式是：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ （0≤x ≤10）， （x ＞10）； (2)若小华家4月份付水费17元，问他家4月份用水多少吨？(3)已知该住宅小区100户居民5月份交水费1682元，且该月每户用水量不超过15吨(含15吨)，求该月用水量不超过10吨的居民最多可能有多少户？错解 (1)1.3x ；13＋2(x －10)(2)设小华家4月份用水量为x 吨，∵17＞1.3×10，∴小华家4月份用水量超过10吨，由题意，得1.3×10＋(x －10)×2＝17，2x ＝24，x ＝12，即小华家4月份用水12吨．(3)由题意，要求这个月用水量不超过10吨的居民最多的户数，则假设每户用水量均用了10吨，即1.3×1000＝1300，那么1682－1300＝382(元)．表明当每户用10吨水时，还有一部分用户又用了382元的水，则按15吨的用水量去计算用户数，那么余下的表示不超过10吨的用户数，此时不超过10吨的用户数将达到最多，即382÷[(15－10)×2]＝38.2(户)，四舍五入取38户．故不超过10吨的用户数为100－38＝62(户)．剖析 此题在第(3)问的分析中，没有按题意建立不等式去求解，则容易造成与实际情况脱轨．若不超过10吨用水量的居民有62户，则即使这62户都用了10吨水，总水费为13×62＝806(元)；还有38户即使都用了15吨水，其总水费仅为：38×[13＋(15－10)×2]＝874(元)．那么这100户居民的总水费仅为806＋874＝1680(元)＜1682(元)．问题出在每户用水超过10吨时不能用四舍五入的方式取整数解，而应该取大于38.2的整数解，即39户．故这个月用水量不超过10吨的居民最多为100－39＝61(户)．正解(1)1.3x；13＋2(x－10)(2)设小华家4月份用水量为x吨．∵17＞1.30×10，∴小华家4月份用水量超过10吨．由题意得1.3×10＋(x－10)×2＝17，∴2x＝24，∴x＝12(吨)．即小华家4月份的用水量为12吨．(3)设该月用水量不超过10吨的用户有a户，则超过10吨不超过15吨的用户为(100－a)户，由题意得13a＋[13＋(15－10)×2](100－a)≥1682，化简得10a≤618，∴a≤61.8.故正整数a的最大值为61.即这个月用水量不超过10吨的居民最多可能有61户．。

专题七 综合型问题综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这类题目难度大，考查知识多，解这类习题的关键就是善于利用几何图形的有关性质和代数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．值得注意的是，近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力，力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去．一个趋势代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等．经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式问题等．三个步骤解综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、运动观点等数学思想方法，能更有效地解决问题．代数型综合题【例1】 (2013·沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝825x 2＋bx ＋c 经过点A(32，0)和点B(1，22)，与x 轴的另一个交点为C. (1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 在对称轴的右侧，x 轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D 的坐标． (3)在(2)的条件下，连接BD ，交抛物线对称轴于E ，连接AE.判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．解：(1)将A(32，0)，B(1，22)代入y ＝825x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧825×94＋32b ＋c ＝0，825＋b ＋c ＝22， ∴b ＝－82，c ＝4225，∴y ＝825x 2－82x ＋4225. (2)当∠BDA＝∠DAC 时，BD ∥x 轴．∵B(1，22)， ∴当y ＝22时，22＝825x 2－82x ＋4252， 解得x 1＝1，x 2＝4，∴点D 的坐标为(4，22)．(3)四边形OAEB 是平行四边形． 理由如下：抛物线的对称轴是x ＝52， ∴BE＝52－1＝32.∵A(32，0)，∴OA ＝BE ＝32.又∵BE∥OA，∴四边形OAEB 是平行四边形 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、平行四边形的判定等知识点．1．(2014·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(1，－1)，且对称轴为直线x ＝2，点P ，Q 均在抛物线上，点P 位于对称轴右侧，点Q 位于对称轴左侧，PA 垂直对称轴于点A ，QB 垂直对称轴于点B ，且QB ＝PA ＋1，设点P 的横坐标为m.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式； (2)求点Q 的坐标(用含m 的式子表示)；(3)请探究PA ＋QB ＝AB 是否成立，并说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(1，－1)，且对称轴为在线x ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－1－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝2.∴这条抛物线所对应的函数关系式y ＝x 2－4x ＋2 (2)∵抛物线上点P 的横坐标为m ，∴P(m ，m 2－4m ＋2)，∴PA ＝m －2，QB ＝PA ＋1＝m －2＋1＝m －1，∴点Q 的横坐标为2－(m －1)＝3－m ，点Q 的纵坐标为(3－m)2－4(3－m)＋2＝m 2－2m －1，∴点Q 的坐标为(3－m ，m 2－2m －1) (3)PA ＋QB ＝AB 成立．理由如下：∵P(m，m 2－4m ＋2)，Q(3－m ，m 2－2m －1)，∴A(2，m 2－4m ＋2)，B(2，m 2－2m －1)，∴AB ＝(m 2－2m －1)－(m 2－4m ＋2)＝2m －3，又∵PA ＝m －2，QB ＝m －1，∴PA ＋QB ＝m －2＋m －1＝2m －3，∴PA ＋QB ＝AB几何型综合题【例2】 (2014·咸宁)如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为(－4，4)．点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P 到达点O 时，点Q 也停止运动．连接BP ，过P 点作BP 的垂线，与过点Q 平行于y 轴的直线l 相交于点D.BD 与y 轴交于点E ，连接PE.设点P 运动的时间为t(s )．(1)∠PBD 的度数为__45°__，点D 的坐标为__(t ，t)__(用t 表示)； (2)当t 为何值时，△PBE 为等腰三角形？(3)探索△POE 周长是否随时间t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．解：(1)如图1，由题可得：AP ＝OQ ＝1×t ＝t(秒)∴AO＝PQ.∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ＝BC ＝OC ，∠BAO ＝∠AOC ＝∠OCB ＝∠ABC＝90°.∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BPA＝90°－∠DPQ＝∠PDQ.∵AO＝PQ ，AO ＝AB ，∴AB ＝PQ.在△BAP 和△PQD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAP＝∠PQD ∠BPA＝∠PDQ AB ＝PQ，∴△BAP ≌△PQD.∴AP ＝DQ ，BP ＝PD.∵∠BPD＝90°，BP ＝PD ，∴∠PBD ＝∠PDB＝45°.∵AP ＝t ，∴DQ ＝t.∴点D 坐标为(t ，t)．故答案为：45°，(t ，t)． (2)①若PB ＝PE ，则∠PBE＝∠PEB＝45°.∴∠BPE ＝90°.∵∠BPD ＝90°，∴∠BPE ＝∠BPD.∴点E 与点D 重合．∴点Q 与点O 重合．与条件“DQ∥y 轴”矛盾，∴这种情况应舍去．②若EB ＝EP ，则∠PBE＝∠BPE＝45°.∴∠BEP ＝90°.∴∠PEO ＝90°－∠BEC＝∠EBC.在△POE 和△ECB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PEO＝∠EBC∠POE＝∠ECB EP ＝EB，∴△POE ≌△ECB.∴OE ＝BC ，OP ＝EC.∴OE＝OC.∴点E 与点C 重合(EC ＝0)．∴点P 与点O 重合(PO ＝0)．∵点B(－4，4)，∴AO ＝CO ＝4.此时t ＝AP ＝AO ＝4.③若BP ＝BE ，在Rt △BAP 和Rt △BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BCBP ＝BE ，∴Rt △BAP ≌Rt △BCE(HL )．∴AP＝CE.∵AP＝t ，∴CE ＝t.∴PO＝EO ＝4－t.∵∠POE＝90°，∴PE ＝PO 2＋EO 2＝2(4－t)．延长OA 到点F ，使得AF ＝CE ，连接BF ，如图2所示．在△FAB 和△ECB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ∠BA F ＝∠BCE＝90°AF ＝CE ，∴△FAB≌△ECB.∴FB ＝EB ，∠FBA ＝∠EBC.∵∠EBP＝45°，∠ABC ＝90°，∴∠ABP ＋∠EBC＝45°.∴∠FBP ＝∠FBA＋∠ABP ＝∠EBC ＋∠ABP ＝45°.∴∠FBP ＝∠EBP.在△FBP 和△EBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BE∠FBP＝∠EBP BP ＝BP，∴△FBP ≌△EBP.∴FP ＝EP.∴EP ＝FP ＝FA ＋AP ＝CE ＋AP.∴EP＝t ＋t ＝2t.∴2(4－t)＝2t.解得：t ＝42－4∴当t 为4秒或(42－4)秒时，△PBE 为等腰三角形．(3)∵EP＝CE ＋AP ，∴OP ＋PE ＋OE ＝OP ＋AP ＋CE ＋OE ＝AO ＋CO ＝4＋4＝8.∴△POE 周长是定值，该定值为8.【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及分类讨论的思想等知识，综合性强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形(其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交)是解决本题的关键．2．(2014·绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l 平行x 轴，交y 轴于点A ，第一象限内的点B 在l 上，连接OB ，动点P 满足∠APQ＝90°，PQ 交x 轴于点C.(1)当动点P 与点B 重合时，若点B 的坐标是(2，1)，求PA 的长．(2)当动点P 在线段OB 的延长线上时，若点A 的纵坐标与点B 的横坐标相等，求PA∶PC的值．(3)当动点P 在直线OB 上时，点D 是直线OB 与直线CA 的交点，点E 是直线CP 与y 轴的交点，若∠ACE＝∠AEC，PD ＝2OD ，求PA∶PC 的值．解：(1)∵点P 与点B 重合，点B 的坐标是(2，1)，∴点P 的坐标是(2，1)．∴PA 的长为2. (2)过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M ，过点P 作PN⊥y 轴，垂足为N ，如图1所示．∵点A 的纵坐标与点B 的横坐标相等，∴OA ＝AB.∵∠OAB＝90°，∴∠AOB ＝∠ABO＝45°.∵∠AOC ＝90°，∴∠POC ＝45°.∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴PM ＝PN ，∠ANP ＝∠CMP＝90°.∴∠NPM ＝90°.∵∠APC ＝90°.∴∠APN ＝90°－∠APM ＝∠CPM.在△ANP 和△CMP 中，∵∠APN ＝∠CPM，PN ＝PM ，∠ANP ＝∠CMP，∴△ANP ≌△CMP.∴PA ＝PC.∴PA：PC 的值为1∶1. (3)①若点P 在线段OB 的延长线上，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M ，过点P 作PN⊥y 轴，垂足为N ，PM 与直线AC 的交点为F ，如图2所示．∵∠APN ＝∠CPM ，∠ANP ＝∠CMP，∴△ANP ∽△CMP.∴PA PC ＝PNPM.∵∠ACE＝∠AEC，∴AC ＝AE.∵AP⊥PC，∴EP ＝CP.∵PM∥y 轴，∴AF ＝CF ，OM ＝CM.∴FM＝12OA.设OA ＝x ，∵PF∥OA ，∴△PDF ∽△ODA.∴PF OA ＝PD OD ，∵PD ＝2OD ，∴PF ＝2OA ＝2x ，FM ＝12x.∴PM＝52x.∵∠APC＝90°，AF ＝CF ，∴AC ＝2PF ＝4x.∵∠AOC＝90°，∴OC ＝15x.∵∠PNO＝∠NOM＝∠OMP＝90°，∴四边形PMON 是矩形．∴PN＝OM ＝152x.∴PA：PC ＝PN∶PM＝152x∶52x ＝155.②若点P 在线段OB 的反向延长线上，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M ，过点P 作PN⊥y 轴，垂足为N ，PM 与直线AC 的交点为F ，如图3所示．同理可得：PM ＝32x ，CA ＝2PF ＝4x ，OC ＝15x.∴PN＝OM ＝12OC ＝152x.∴PA∶PC＝PN∶PM ＝152x∶32x ＝153.综上所述：PA∶PC 的值为155或153.代数和几何型综合题【例3】 (2013·宁波)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(0，4)，点B 的坐标为(4，0)，点C 的坐标为(－4，0)，点P 在射线AB 上运动，连接CP 与y 轴交于点D ，连接BD.过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连接EF ，BF.(1)求直线AB 的函数解析式；(2)当点P 在线段AB(不包括A ，B 两点)上时． ①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE ＝x ，DF ＝y.请求出y 关于x 的函数解析式；(3)请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B ，D ，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：(1)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋4，代入(4，0)得：4k ＋4＝0，解得：k ＝－1，则直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①由已知得：OB ＝OC ，∠BOD ＝∠COD＝90°，又∵OD ＝OD ，∴△BDO ≌△COD ，∴∠BDO ＝∠CDO，∵∠CDO ＝∠ADP ，∴∠BDE ＝∠ADP，②连接PE ，∵∠ADP 是△DPE 的一个外角，∴∠ADP ＝∠DEP＋∠DPE，∵∠BDE 是△ABD 的一个外角，∴∠BDE ＝∠ABD＋∠OAB，∵∠ADP ＝∠BDE，∠DEP ＝∠ABD，∴∠DPE ＝∠OAB，∵OA ＝OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，∴∠DPE ＝45°，∴∠DFE ＝∠DPE＝45°，∵DF 是⊙Q 的直径，∴∠DEF ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴DF ＝2DE ，即y ＝2x ；(3)当BD∶BF＝2∶1时，过点F 作FH⊥OB 于点H ，∵∠DBO ＋∠OBF＝90°，∠OBF ＋∠BFH＝90°，∴∠DBO ＝∠BFH ，又∵∠DOB＝∠BHF＝90°，∴△BOD ∽△FHB ，∴OB HF ＝OD HB ＝BDFB＝2，∴FH ＝2，OD ＝2BH ，∵∠FHO ＝∠EOH＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH 是矩形，∴OE ＝FH ＝2，∴EF ＝OH ＝4－12OD ，∵DE ＝EF ，∴2＋OD ＝4－12OD ，解得：OD ＝43，∴点D 的坐标为(0，43)，∴直线CD 的解析式为y ＝13x ＋43，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋43，y ＝－x ＋4得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，则点P 的坐标为(2，2)；当BD FB ＝12时，连接EB ，同(2)①可得：∠ADB＝∠EDP，而∠ADB＝∠DEB＋∠DBE，∠EDP ＝∠DAP＋∠DPA，∵∠DEB ＝∠DPA，∴∠DBE ＝∠DAP＝45°，∴△DEF 是等腰直角三角形，过点F 作FG⊥OB 于点G ，同理可得：△BOD∽△FGB，∴OB GF ＝OD GB ＝BD FB ＝12，∴FG ＝8，OD ＝12BG ，∵∠FGO ＝∠GOE ＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFG 是矩形，∴OE ＝FG ＝8，∴EF ＝OG ＝4＋2OD ，∵DE ＝EF ，∴8－OD ＝4＋2OD ，OD ＝43，∴点D的坐标为(0，－43)，直线CD 的解析式为：y ＝－13x －43，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －43，y ＝－x ＋4，得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－4，∴点P 的坐标为(8，－4)，综上所述，点P 的坐标为(2，2)或(8，－4)【点评】此题考查了一次函数、矩形的性质、圆的性质的综合，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组，注意数形结合思想的应用．3．(2014·广安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于点A(－4，0)，B(－1，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限的抛物线上有一动点D.①如图(1)，若四边形ODAE 是以OA 为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE 的面积为6时，请判断平行四边形ODAE 是否为菱形？说明理由．②如图(2)，直线y ＝12x ＋3与抛物线交于点Q ，C 两点，过点D 作直线DF⊥x 轴于点H ，交QC 于点F.请问是否存在这样的点D ，使点D 到直线CQ 的距离与点C 到直线DF 的距离之比为5∶2？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点A(－4，0)，B(－1，0)代入解析式y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋3＝0a －b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝154，∴抛物线的解析式为：y ＝34x 2＋154x ＋3.(2)①如答图1，过点D 作DH⊥x 轴于点H.∵S ▱ODAE ＝6，OA ＝4，∴S △AOD ＝12OA·DH＝3，∴DH ＝32.因为D 在第三象限，所以D 的纵坐标为负，且D 在抛物线上，∴34x 2＋154x ＋3＝－32，解得：x 1＝－2，x 2＝－3.∴点D 坐标为(－2，－32)或(－3，－32)．当点D 为(－2，－32)时，DH 垂直平分OA ，平行四边形ODAE 为菱形；当点D 为(－3，－32)时，OD ≠AD ，平行四边形ODAE不为菱形．②假设存在．如答图2，过点D 作DM⊥CQ 于M ，过点C 作CN⊥DF 于N ，则DM∶CN＝5∶2.设D(m ，34m 2＋154m ＋3)(m ＜0)，则F(m ，12m ＋3)．∴CN ＝－m ，NF ＝－12m∴CF＝CN 2＋NF 2＝－52m.∵∠DMF ＝∠CNF ＝90°，∠DFM ＝∠CFN，∴△DMF ∽△CNF ，∴DF CF ＝DM CN ＝52，∴DF ＝52CF ＝－54m.∴DN＝NF ＋DF ＝－12m －54m ＝－74m.又DN ＝3－(34m 2＋154m ＋3)＝－34m 2－154m ，∴－34m 2－154m ＝－74m ，解得：m ＝－83或m ＝0(舍去)∴34m 2＋154m ＋3＝－53，∴D(－83，－53)．综上所述，存在满足条件的点D ，点D 的坐标为(－83，－53)试题 如图，点O 是坐标原点，点A(n ，0)是x 轴上一动点(n ＜0)，以AO 为一边作矩形AOBC ，使OB ＝2AO ，点C 在第二象限，将矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90°得矩形AGDE ，过点A 的直线y ＝kx ＋m(k≠0)交y 轴于点F ，FB ＝FA ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点E ，F ，G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作x 轴的垂线，垂足为点M.(1)求k 的值；(2)点A 的位置改变时，△AMH 的面积和矩形AOBC 的面积比是否改变？说明你的理由． 错解 (1)由OB ＝2AO ，得B(0，2n)．当x ＝0时，y ＝m ，即F(0，m)，∴FB ＝2n －m.在Rt △AOF 中，AF 2＝m 2＋n 2.又∵FB＝AF ，∴m 2＋n 2＝(2n －m)2，化简得m ＝34n.又由y ＝kx ＋m ＝kx ＋34n 过点A(n ，0)，得0＝kn ＋34n ，∴k ＝－34.(2)因为当A 点的位置改变时，△AMH 的面积与矩形AOBC 的面积都在改变，所以它们的面积比要改变．剖析 在第(1)问中运用方程思想找出m 与n 的关系，再代入A 点坐标，算出k 值的思路是对的，但由于混淆坐标与距离的概念，将B 点坐标确定为(0，2n)，没有考虑到A 点在x 轴负半轴上，n ＜0，B 点在y 轴的正半轴上，故B 点坐标应为(0，－2n)，此错误导致后面求k 值出错．第(2)问中根据A 点位置改变使△AMH 和矩形AOBC 的面积改变，判断面积比改变也考虑不深入，此问可根据题中所给条件，先将△AMH 和矩形AOBC 的面积用含变量n 的代数式表示出来(显然图形的面积与点A 的位置即n 的大小有关)，再求出两个图形面积的比值，若比值为常数，则面积比不随点A 的位置的改变而改变；若比值为与n 有关的式子，则面积比要随A 点位置的改变而改变．平面内两点A(x ，y)，B(x 2，y 2)的距离为AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，若A ，B 在平行于坐标轴的同一条直线上，则AB ＝|x 1－x 2|或AB ＝|y 1－y 2|.正解 (1)∵BO＝2AO ，A 点坐标为(n ，0)，∴B 点坐标为(0，－2n)(n ＜0)．当x ＝0时，y ＝kx ＋m ＝m ，即点F 坐标为(0，m)，∴FB ＝－2n －m.在Rt △AOF 中，AF 2＝m 2＋n 2，又FB ＝AF ，∴m 2＋n 2＝(－2n －m)2，化简得m ＝－34n.又∵直线y ＝kx ＋m ＝kx －34n 过点A(n ，0)，∴kn －34n ＝0，∴k ＝34.(2)由已知，得AG ＝AO ，EA ＝BO ，则G 点坐标为(n ，－n)，E 点坐标为(3n ，0)，将E ，G ，F 三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9an 2＋3bn ＋c ＝0，an 2＋bn ＋c ＝－n ，c ＝－34n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14n，b ＝－12，c ＝－34n ，抛物线解析式为y＝14n x 2－12x －34n.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14n x 2－12x －34n ，y ＝34x －34n ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5n ，y ＝3n ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－34n ，∴H 点坐标为(5n ，3n)，∴HM ＝－3n ，AM ＝n －5n ＝－4n ，∴S △AMH ＝12HM·AM＝6n 2.又∵S 矩形AOBC ＝AO·OB ＝2n 2，∴S △AMHS 矩形AOBC ＝错误!＝3，是常数．∴△AMH 与矩形AOBC 的面积比不随点A 的位置改变而改变．。

中考数学总复习的教案5篇中考数学总复习的教案篇1一、第一轮复习【3月初—4月中旬】1、第一轮复习的形式：“梳理知识脉络，构建知识体系”————理解为主，做题为辅(1)目的：过三关①过记忆关必须做到：在准确理解的基础上，牢记所有的基本概念(定义)、公式、定理，推论(性质，法则)等。

②过基本方法关需要做到：以基本题型为纲，理解并掌握中学数学中的基本解题方法，例如：配方法，因式分解法，整体法，待定系数法，构造法，反证法等。

③过基本技能关应该做到：无论是对典型题、基本题，还是对综合题，应该很清楚地知道该题目所要考查的知识点，并能找到相应的解题方法。

(2)宗旨：知识系统化在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构。

①数与代数分为3个大单元：数与式、方程与不等式、函数。

②空间和图形分为5个大单元：几何基本概念(线与角)与三角形，四边形，圆与视图，相似与解直角三角形，图形的变换。

③统计与概率分为2个大单元：统计与概率。

(3)配套练习以《中考精英》为主，复习完每个单元进行一次单元测试，重视补缺工作。

2、第一轮复习应注意的问题(1)必须扎扎实实夯实基础中考试题按难：中：易=1：2：7的比例，基础分占总分的70%，因此必须对基础数学知识做到“准确理解”和“熟练掌握”，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。

(2)必须深钻教材，不能脱离课本。

(3)掌握基础知识，一定要从理解角度出发。

数学知识的学习，必须要建立逻辑思维能力，基础知识只有理解透了，才可以举一反三、触类旁通。

相对而言，“题海战术”在这个阶段是不适用的。

(5)定期检查学生完成的作业，及时反馈对于作业、练习、测验中的问题，将问题渗透在以后的教学过程中，进行反馈、矫正和强化。

二、第二轮复习【4月中旬—5月初】1、第二轮复习的形式第一阶段是总复习的基础，侧重双基训练，第二阶段是第一阶段复习的延伸和提高，侧重培养学生的数学能力。

第二轮复习时间相对集中，在第一轮复习的基础上，进行拔高，适当增加难度;主要集中在热点、难点、重点内容上，特别是重点;注意数学思想的形成和数学方法的掌握，这就需要充分发挥教师的主导作用。

专题一选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，选择题的数目增加到8题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考典例剖析考点一：直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。

运用此种方法解题需要扎实的数学基础.例1根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x -2 0 1y 3 p 0A．1 B．-1 C．3 D．-3对应训练1．若y=(a+1)x a2-2是反比例函数，则a的取值为（）A．1 B．-l C．±l D．任意实数考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。

使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.例2 如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．对应训练2．如图，已知A、B是反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点三：逆推代入法将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.例3下列四个点中，在反比例函数y＝−6x的图象上的是（）对应训练3．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（）A．y=2x B．y=-2x C．y＝12x D．y＝−12x考点四：直观选择法利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。

第9讲不等式与不等式组陕西《中考说明》陕西2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1不等式(组)的解法1.探索不等式的基本性质；2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；3.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集2014 选择题 5 3 解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集2013 选择题 4 3 解一元一次不等式组1.7%考点2不等式的实际应用1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的2012 填空题14 3一元一次不等式的实际应用0.8%意义；2.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题从上表分析可知，陕西省连续三年都对本节知识进行了考查，考查的主要知识点为：1.一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示解集；2.一元一次不等式组的解法；3.一元一次不等式的应用，题型为选择或填空题，分值为3分，难度不大，2014年陕西中考说明中删除了对不等式组的应用的考查，因此在复习中，不等式组的应用不作为重点．预计在2015年的中考中，对于不等式组的解法可能会在选择或填空中考查，也可能会考查解集在数轴上的表示．1．定义(1)用__不等号__连接起来的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知数的值叫做__不等式的解__；(3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做__不等式的解集__； (4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式． 2．不等式的基本性质(1)不等式两边都__加上(或减去)__同一个数或同一个整式，不等式仍然成立；若a ＞b ，则a±c ＞b±c.(2)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__正数__，不等式仍然成立；若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ，a c ＞bc.(3)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__负数__，改变不等号的方向，改变后不等式仍能成立；若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bc ，a c ＜bc.3．解一元一次不等式(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式；(2)一般步骤：去分母、__去括号__、移项、__合并同类项__、系数化为1；(注意不等号方向是否改变)(3)解集在数轴上的表示x<ax>a x ≤a x ≥a4.不等式的应用(1)列不等式解应用题的基本步骤：①__审题__；②__设元__；③找出能够包含未知数的__不等量关系__；④__列出不等式(组)__；⑤__解不等式(组)__；⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；⑦写出答案．(2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要能理解这些词的含义．注：表示不等关系的关键词与不等号的对应情况：“至少”―→“≥”，“至多”―→“≤”，“不低于”―→“≥”，“不高于”―→“≤”，“不小于”―→“≥”，“不大于”―→“≤”．5．解不等式组(1)一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集；(2)几种常见的不等式组的解集(a<b ，且a 、b 为常数)：不等式组(a<b)图示解集 口诀 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x ≥b x ≥b 同大取大 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a x ≤b x ≤a 同小取小 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x ≤ba ≤x ≤b大小、小大中间找⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a x ≥b无解小小、大大找不到正确使用空心圆圈“。

第8讲列方程(组)解应用题某某《中考说明》某某2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重方程(组)的实际应用，列出方程或方程组并求解，，列出方程；3.体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；4.经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程————————————由上表可知，我省近三年的中考试题中有关方程(组)的实际应用的考查明显有所淡化，虽然近三年对本节的内容未考查到，但由于其是中考需要掌握的内容，而且曾在2011年第14题考查了一元一次方程的实际应用，涉及商品销售打折问题，题型为填空题，分值为3分，因此在2015年的中考试题可能会考查到其相关知识，因此在复习中不容忽视．1．列方程(组)解应用题的一般步骤(1)__审题__；(2)__设元__；(3)找出包含未知数的__等量关系__；(4)__列出方程(组)__；(5)__求出方程(组)的解__；(6)__检验并作答__．2．各类应用题的等量关系(1)行程问题：路程＝速度×时间；相遇问题：两者路程之和＝全程；追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程． (2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间． (3)几何图形问题：面积问题：S 长方形＝ab(a ，b 分别表示长和宽)； S 正方形＝a 2(a 表示边长)； S 圆＝πr 2(r 表示圆的半径)； 注：面积问题常见形式归纳如下：①如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白部分宽一样为x ，则阴影的面积表示为(a －2x)(b －2x)．②如图2所示的矩形ABCD 长为b ，宽为a ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积为(a －x)(b －x)．③如图3所示的矩形ABCD 长为b ，宽为a ，阴影道路的宽为x ，则空白部分面积的和可以转化为(a －x)(b －x)．体积问题：V 长方体＝abh(a ，b ，h 分别表示长、宽、高)； V 正方体＝a 3(a 表示边长)；V 圆锥＝13πr 2h(r 表示底面圆的半径，h 表示高)；其他几何图形问题：如线段、周长等．(4)增长率问题：如果基数用a 表示，末数用A 表示，x 表示增长率，时间间隔用n 表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n＝A.(5)利润问题：利润＝销售价－进货价＝标价×折扣(x10)－进货价(x 表示打x 折)；利润率＝利润进货价；销售价＝(1＋利润率)×进货价． (6)利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息．一种思想方法方程思想是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算．这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．两种设元方法(1)直接设元．在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，再用这个未知数表示另一个未知量．这种设未知数的方法叫做直接设元法．(2)间接设元．如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．三个注意列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须注意：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等．方程(组)的应用【例1】 (2014·呼和浩特)为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4，5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4，5月份的电费分别为多少元．解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧180x ＋150y ＝213，180x ＋60y ＝150，解得则4月份电费为160×0.6＝96(元)，5月份电费为180×0.6＋230×＝108＋161＝269(元)．即这位居民4月份的电费为96元，5月份的电费为269元【点评】 本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．1．(2014·某某)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次 每户每月用电数(度)执行电价(元/度)第一档 小于等于200 第二档 大于200小于400 第三档大于等于400例如：一户居民7月份用电420度，则需缴电费420×＝357(元)．某户居民5，6月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于400度．问该户居民5，6月份各用电多少度．解：当5月份用电量为x 度≤200度，6月份用电(500－x)度，由题意，，解得x ＝190，∴6月份用电500－x ＝310度．当5月份用电量为x 度＞200度，6月份用电量为(500－x)度，由题意，得＋(500－x ，300，原方程无解．∴5月份用电量为190度，6月份用电310度分式方程的应用【例2】 (2013·某某)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元，请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x. 解：(1)(4000＋25x)元(2)购买每副乒乓球拍用去了x 元，则购买每副羽毛球拍用去了(x ＋20)元，由题意得2000x ＝2000＋25x x ＋20，解得x 1＝40，x 2＝－40，经检验，x 1，x 2都是原方程的根，但x ＞0，∴x【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．2．(2014·威海)端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为(1＋20%)x 元，由题意得300（1＋20%）x ＋400x ＝260，，，(1＋20%)x ＝3，则买甲粽子为3003＝100个，乙粽子为4002.5，甲、乙两种粽子各购买100个、160个一元二次方程的应用【例3】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？解：设每件衬衫应降价x 元，可使商场每天盈利2100元，根据题意得(45－x)(20＋4x)＝2100，解得x 1＝10，x 2＝30，因应尽快减少库存，30元【点评】 (1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．3．(2014·某某)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米．解：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5.则100－4x ＝20或100－4x ＝80.∵80＞25，∴x 2＝5舍去．即AB ＝20，BC ＝20.答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米试题 甲、乙两人分别从相距30千米的A ，B 两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B 地所剩的路程是乙到A 地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．错解解：设甲的速度为每小时x 千米，乙的速度为每小时y 千米，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝30－3，30－（3＋2）x ＝2[30－（3＋2）y]，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5.答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米．剖析(1)一道应用题，究竟列一元一次方程予以解决为好，还是列二元一次方程组为好，要具体分析．一般来说，列一元一次方程时，在列方程的思考上，难度稍大；而列方程组，由于把思考量分摊到两个方程上，降低了列方程的难度，但解方程过程的运算量较大．因此，对于思考量较低或中等的应用题，列一元一次方程为宜；对于思考量或思考难度都很大的应用题，列方程组解决为宜．(2)有些应用题，由于题目所给条件比较隐蔽，符合题意的情况有多种，解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样不致于失解，否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误；(3)分类的思想方法实质上就是按照数学对象的共同性质和差异性，将其区分为不同种类的思想方法，分类讨论的思想方法在代数中应用极其广泛，例如实数的分类，代数式的分类，方程和函数的分类等等，可以把整个代数看作一个分类讨论的系统．解此类问题强调：要有分类意识；找出科学的分类标准；分类时满足不重复、不遗漏、最简单原则．正解解：设甲的速度为每小时x 千米，乙的速度为每小时y 千米．①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝30－3，30－（3＋2）x ＝2[30－（3＋2）y]，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5. ②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝30＋3，30－（3＋2）x ＝2[30－（3＋2）y]，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝513，y ＝523.答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米；或甲的速度为每小时513千米，乙的速度为每小时523千米．。

第2讲整式及其运算某某《中考说明》某某2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1整式的相关概念，，找到所需要的公式，————————————考点2乘法公式1.了解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2的几何背景，并能进行简单计算；2.会推导乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2————————————考点3整式的运算1.会进行简单的整式加、减运算；2.会进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式相乘)2012 选择题 3 3 积的乘方%题，必须牢固掌握幂的运算的方法．由上表可知，我省近三年的中考试题中有关整式及其运算的考查明显有所淡化，在2013年和2014的中考中虽然未考查到，但由于其是中考需要掌握的知识，因此在2015年可能会考查到其相关知识，因此在复习中也不容忽视．1．代数式及求值(1)概念：用__基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)__把数或表示数的__字母__连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；(3)代数式的值：用__具体数__代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；(4)代数式求值的步骤：(1)代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；(2)计算．2．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，数字因数叫做__单项式的系数__．单独的数、字母也是单项式．3．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个__多项式的次数__，其中不含字母的项叫做__常数项__．4．整式：__单项式和多项式__统称为整式．5．同类项：多项式中所含__字母__相同并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．6．幂的运算法则(1)同底数幂相乘：__a m·a n＝a m＋n(m，n都是整数，a≠0)__；(2)幂的乘方：__(a m)n＝a mn(m，n都是整数，a≠0)__；(3)积的乘方：__(ab)n＝a n·b n(n是整数，a≠0，b≠0)__；(4)同底数幂相除：__a m÷a n＝a m－n(m，n都是整数，a≠0)__．7．整式加减整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__指数__都不变．8．整式乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝__ma＋mb__；多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝__ac＋ad＋bc＋bd__.9．乘法公式(1)平方差公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__；(2)完全平方公式：__(a±b)2＝a2±2ab＋b2__．10．整式除法单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．一座“桥梁”用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后续学习的基础，用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特征．只有借助字母，才能把一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来．用字母表示数：(1)注意字母的确定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的限制性．二种思维方法法则公式既可正向运用，也可逆向运用．逆向运用和灵活变式运用既可简化计算，又能进行较复杂的代数式的大小比较．当直接计算有较大困难时，考虑逆向运用，可起到化难为易的功效．三种数学思想(1)观察、比较、归纳、猜想的数学思想观察才能获取大量信息，成为智慧的源泉，比较才能发现信息的异同；通过归纳使共同点浮出水面，总结归纳的结果获得猜想、有所发现，这就是归纳的思想，也是数学发现的重要方法．(2)整体思想在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处理．借助“整体思想”，可以拓宽解题思路，收到事半功倍之效．整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母a和b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，如(x －2y ＋z)(x ＋2y －z)＝[x －(2y －z)][x ＋(2y －z)]＝x 2－(2y －z)2＝x 2－4y 2＋4yz －z 2.(3)数形结合思想在列代数式时，常常能遇到另外一种类型的题：给你提供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的代数式，也能用图形验证整式的乘法和乘法公式．(2012·某某)计算(－5a 3)2的结果是( D )A ．－10a 5B ．10a 6C ．－25a 5D ．25a 6同类项的概念及合并同类项【例1】 若－4x ay ＋x 2y b＝－3x 2y ，则a ＋b ＝__3__．【点评】 (1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．1．(1)(2012·某某)已知12x n －2m y 4与－x 3y 2n 是同类项，则(mn)2010的值为( C )A ．2010B ．－2010C ．1D ．－1(2)(2014·某某)化简－5ab ＋4ab 的结果是( D )A ．－1B ．aC ．bD ．－ab整式的混合运算及求值【例2】 (2014·某某)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2＝1＋14＝54【点评】 注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．2．(2012·某某)化简2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]，若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解：2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]＝2(m 2－m ＋m 2＋m)(m 2－m －m 2－m)＝－8m 3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m 相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等乘法公式【例3】 (2013·义乌)如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两X 纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分面积为S 1，图②中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 的代数式表示S 1和S 2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．解：(1)S 1＝a 2－b 2；S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b) (2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【点评】 (1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： ①a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ； ③(a ＋b)2＝(a －b)2＋4ab ； ④(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab.注意公式的变式及整体代入的思想．(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则．3．(1)整式A 与m 2－2mn ＋n 2的和是(m ＋n)2，则A ＝__4mn__. (2)(2014·某某)已知多项式A ＝(x ＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3. ①化简多项式A ；②若(x＋1)2＝6，求A的值．解：①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x＋x－x2－3＝3x＋3②(x＋1)2＝6，则x＋1＝±6，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝±3 6试题计算①x3·x5；②x4·x4；③(a m＋1)2；④(－2a2·b)2；⑤(m－n)6÷(n－m)3.错解①x3·x5＝x3×5＝x15；②x4·x4＝2x4；③(a m＋1)2＝a2m＋1；④(－2a2·b)2＝－22a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(m－n)6－3＝(m－n)3.剖析幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)是学习整式乘除的基础，对幂运算的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或那样的错误．针对具体问题要分清问题所对应的基本形式，以便合理运用法则，对符号的处理，应特别引起重视．正解①x3·x5＝x3＋5＝x8；②x4·x4＝x4＋4＝x8；③(a m＋1)2＝a(m＋1)×2＝a2m＋2；④(－2a2·b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3.。