人教版高中数学《相互独立事件同时发生的概率》教案导学案

§10.7 相互独立事件同时发生的概率（2）目的要求1．能正确分析复杂事件的构成；2．能综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式解决一些实际问题。

教学过程（一）复习方法：求解较复杂事件概率正向思考与反向思考法。

教学思想：分类与等价转化的教学思想。

（二）举例例1．讲解可按以下步骤进行。

1．学生思考，教师启发：记事件A：甲射击1次，击中目标；事件B：乙射击1次，击中目标。

A、B两事件互斥吗？是两个独立事件吗？A、B同时发生的概率怎样计算？由学生解答第（1）题。

2．对第（2）题，可提出以下问题引导学声思考。

（1）“恰有1人击中目标”的意义是什么？1人击中，另1人不射击符合要求吗？（2）“恰有1人击中目标”包括几种情况？怎样用事件A、B表示。

（仍由学生解答）3．对于第（3）题首先让学生分析：“至少有1人击中目标”包括几种情况？试一一列举出来，并用事件A、B表示所列举的各个事件，让学生探用正向思考的方法解答。

然后老师启发：“至少有1人击中目标”的对立事件是什么？能否用反向思考的方法解答。

学生解答后，教师归纳小结如下：在概率应用题中要注意分析已知事件的关系，用正向或反向思考的方法将较复杂的事件分解为相对简单的一些事件的和事件或转化为简单的对立事件。

逆向思考在解决带有词语“至多”与“至少”的问题时的应用，常常能使问题的解答更简便。

变式：甲、乙、丙3人各射击1次，3人击中的概率都是0.6，求其中恰有1人击中目标的概率和目标被击中的概率。

（3⨯0.6⨯0.42=0.228，1-0.43=0.936。

）例2．1．记这段时间内开关JA、JB、JC能够闭合为事件A、B、C，判断事件A、B、C的关系。

（互斥还是相互独立）2． 事件构成分析：弄清“线路正常工 作”的含义，正向思考可分为几类，试用A,B,C 表示出来，反向思考，写出其，对立事件，A,B,C 表示。

3． 选择最优解法，完成本题。

变式1：如图10—15，加上1个开关D J ，此开关闭合的概率乃为7.0，计算这段时间内线路正常工作的概率。

相互独⽴事件同时发⽣的概率（说课教案）相互独⽴事件同时发⽣的概率（第⼀课时）武夷⼭市第⼀中学张俊玲⼀、教学⽬标1.1 教材分析《相互独⽴事件同时发⽣的概率（⼀）》是⾼中数学第⼆册（下）第⼗章第七节的第⼀课时。

这节课是在学⽣学习了排列、组合、等可能性事件概率、互斥事件概率的基础上进⾏的。

通过本节学习不仅要让学⽣掌握相互独⽴事件的定义及其同时发⽣的概率乘法公式和公式的应⽤，为后⾯学习独⽴重复试验等概率知识以及今后升⼊⾼⼀级院校学习相关知识奠定良好基础，更重要的是培养学⽣关爱⼈⽂、虚⼼求教的精神与从正反两个⽅⾯考虑问题的辩证思想。

1.2 学情分析由于在我执教的⾼⼆班级中，农村学⽣较多，他们的特点是勤学好问，基础知识相对扎实，但是知识⾯较窄。

为了拓展学⽣知识⾯，锻炼学⽣的探究能⼒，我在课堂上⼀般采取以探究为主导策略的教学模式。

经过⼀个多学期的锻炼，学⽣基本上能适应这种教学模式，并对探究性课题的学习有较⼤的兴趣。

1.3教学⽬标根据本节所处的地位与作⽤,结合学⽣的具体学情,确定本节课的教学⽬标如下：认知⽬标：理解相互独⽴事件的意义，掌握相互独⽴事件同时发⽣的概率乘法公式，并能应⽤该公式计算⼀些独⽴事件同时发⽣的概率，进⼀步理解偶然性与必然性之间的辩证关系。

能⼒⽬标：培养学⽣的动⼿能⼒、探究性学习能⼒、创新意识和实践能⼒，发展学⽣“⽤数学”的意识和能⼒，提⾼熟练使⽤科学计算器的能⼒。

情感⽬标：培养学⽣关注⼈⽂、虚⼼求教的情感，帮助学⽣体验数学学习活动中的发现与快乐，激发他们的学习兴趣。

⼆、重点、难点2.1教学重点：概念教学、探究公式、应⽤公式。

2.2教学难点：理解概念、探究公式、应⽤公式解决实际问题。

三、教学⽅法与教学⼿段3.1教学⽅法：探究法、讲授法、启发式教学。

3.2教学⼿段：采⽤多媒体辅助教学。

四、教学过程4.1创设情境，让学⽣的思维“动”起来[问题]“三⼈⾏,必有吾师”出⾃哪⾥？如何解释？你从中得到什么启发？从数学的⾓度，你能做出解释吗？[设计说明]：通过多媒体声、形、⾊将问题引⼊，让学⽣体验学科整合的魅⼒，制造悬念，让他们以极⼤的兴趣投⼊新⼀课的学习。

相互独立事件同时发生的概率教案----相互独立事件及其同时发生的概率山西省平遥中学 常毓喜【教学目的】1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率；2．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必定性之中的辨证唯物主义思想；【教学重点】用相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率；【教学难点】互斥事件与相互独立事件的区不；【教学用具】投影仪、多媒体电脑等。

【教学过程】一、提出咨询题有两门高射炮，每一门击中侵犯我领空的美军侦察机的概率均为0.7，假设这两门高射炮射击时相互之间没有阻碍。

假如这两门高射炮同时各发射一发炮弹，那么它们都击中美军侦察机的概率是多少？〔板书课题〕二、探究研究明显，依照课题，本节课要紧研究两个咨询题：一是相互独立事件的概念，二是相互独立事件同时发生的概率。

〔一〕相互独立事件1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个数字组成的，买彩票时能够在这31个数字中任意选择其中的7个，假如与运算机随机摇出的7个数字都一样〔不考虑顺序〕，那么获一等奖。

假设有甲、乙两名同学前去抽奖，那么他们均获一等奖的概率是多少？〔1〕假如在甲中一等奖后乙去买彩票，那么也中一等奖的概率为多少？〔P=1311C 〕 〔2〕假如在甲没有中一等奖后乙去买彩票，那么乙中一等奖的概率为多少？〔P=1311C 〕 2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。

设第1次取出的球是白球叫做事件A ，第2次取出的球是白球叫做事件B 。

〔1〕假设第1次取出的球不放回去，求事件B 发生的概率；〔假如事件A 发生，那么P 〔B 〕=74；假如事件B 不发生，那么P 〔B 〕=75〕 〔2〕假设第1次取出的球仍放回去，求事件B 发生的概率。

〔假如事件A 发生，那么P 〔B 〕=85；假如事件B 不发生，那么P 〔B 〕=85〕 相互独立事件：假如事件A 〔或B 〕是否发生对事件B 〔或A 〕发生的概率没有阻碍，如此的两个事件叫做相互独立事件。

【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。

§10.7相互独立事件同时发生的概率（3）目的要求1.理解独立重复试验的概念，明确它的实际意义；引出n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，并了解次公式与二项式定理的内在联系。

教学过程（1）创设情境，引出课题1.老师引言：我们已经学习了互相独立事件同时发生的概率。

同时还要求我们能够判断出怎样的事件是相互独立事件。

下面我们来观察一组试验，并请确定它们每次试验之间的关系，按要求求出概率。

2.问题：（1）在投掷一枚硬币一次时，正面向上的概率为ｐ，那么反面向上的概率是多少？(1-ｐ) （2）在投掷一枚硬币两次时，第一次反面向上的概率是多少？第二次反面向上的概率又是多少？(都是1-ｐ)（3）投掷一枚硬币n次时，第k次反面向上的概率会是多少？(1≤k≥n，k∈Ｎ﹡)（4）在投掷一枚硬币n次时，第m次出现正面向上，对第k次出现反面向上的概率有没有影响？ (没有)（4）在投掷一枚硬币n次时，其中任何两次之间出现正面或反面的事件是相互独立的还是互斥的？引出课题：独立重复试验(二)新知探究1、独立重复试验是指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。

2、练习：（1）判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？ａ依次投掷四枚质地不同的硬币。

（不是）ｂ某人射击，击中目标的概率是稳定的；他连续射击了十次。

（是）ｃ口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次从中抽取5个球。

（不是）引导学生分析出：ａ是试验的条件不同。

ｃ是试验的结果有三种。

然后归纳出独立重复试验的基本特征：（1）每次试验是在同样条件下进行。

（2）各次试验中的事件是相互独立的。

（3）每次试验都只有两种结果、即某事件要么发生要么不发生。

3、n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率问题：（5）某射手射击一次时，击中目标的概率为р，他连续射击4次。

是不是独立重复试验？（是）（6）问射击4次时，恰好第一枪未击中的概率是多少？P(1)=(1-ｐ)·ｐ·ｐ·ｐ=(1-ｐ)ｐ3 （8）问射击4次时，恰好第二枪未击中的概率是多少？恰好第三枪未击中的概率是多少？恰好第四枪未击中的概率是多少？P(2)=ｐ(3)=ｐ(4)=(1-ｐ) ｐ3（9）某射手射击4次时，恰有三枪击中时，共有几种情况？（10）某射手射击4次时，恰有三枪击中的概率是多少？（11）请思考，某射手射击4次时，恰有两枪击中的概率是多少？恰有一枪击中的概率又是多少？（12）若射手射击6次，恰有三枪击中的概率是多少？（13）若某射手射击n次，那么恰有k枪击中的概率是多少？通过引导学生正确解决上面问题，然后归纳出n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式：knkknnppckP--=)1()(或k nkknnqpckP-=)(（其中q=1-p,一次试验中事件发生的概率为p）4、例题：教科书例3。

第周年月日星期姓名相互独立事件同时发生的概率㈠1、判断下列事件A与B是否是独立事件。

⑴运动员甲射击一次，A：射中9环；B：射中8环”。

⑵甲乙两名射手分别同时向一个目标射击，A：甲击中目标；B：乙没有击中目标”。

⑶A：学生甲期中考试数学成绩是100分B：学生乙期中考试数学成绩是100分⑷A：学生甲期中考试数学成绩是100分B：学生甲期末考试数学成绩是100分⑸袋子中装有3个黑球，2个白球，从中摸出2只，A：第一次摸出的是黑球；B：第二次摸出是白球⑹袋子中装有3个黑球，2个白球，从中先摸出一个球，放回后再摸出一个球，A：第一次摸出的是黑球；B：第二次摸出是白球2、如果事件A与B相互独立，则下列事件相互独立的是____________。

⑴A与A⑵A与B⑶A与B⑷A与B3、若相互独立事件A、B发生的概率分别为0.3、0.6，则P(A B)⋅=____。

4、在甲盒中装有200个螺钉，其中160个为A型的，在乙盒子中装有240个螺母，其中180个是A型的，若从甲盒子中取1个螺钉，从乙盒子中取1个螺母，则能配成A型螺栓的概率是（）A、120B、1516C、35D、19205、有一道竞赛题，A生解出的概率为12，B生解出的概率为13，C生解出的概率为14，则A、B、C三人独立解答此题，只有1人解出的概率是（）A、124B、1124C、1724D、16、甲袋中装有8个白球，4个红球；乙袋中装有6个白球，6个红球，从每个袋中任意摸取一个球，则取得的两球是同色球的概率是____________。

5、甲乙二人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：⑴2人都击中目标的概率；⑵其中恰有1人击中目标的概率；⑶至少有1人击中目标的概率。

8、在某段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：⑴甲、乙两地都下雨的概率；⑵甲、乙两地都不下雨的概率；⑶其中至少一个地方下雨的概率。

相互独立事件同时发生的概率（2）一、课题：相互独立事件同时发生的概率(2)二、教学目标：1．能正确分析复杂事件的构成；2．能综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率的乘法公式解决一些实际问题。

三、教学重、难点：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和反向思考。

正向思考的一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件；反向思考就是转化为求它的对立事件的概率。

四、教学过程：（一）复习：互斥事件、对立事件和相互对立事件的概念。

（二）新课讲解：例1 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。

假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。

根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是[][][]()()()()1()1()1()(10.7)(10.7)(10.7)0.027P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常 工作的概率。

（1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

方法一：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0.847P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且 A J 与B J 至少有1个开的情况。

11.34互相独立事件同时发生的概率（4）
教学目标：1．巩固相互独立事件以及独立重复试验的概念；
2．能应用相互独立事件的概率的乘法公式和n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式解决一些应用问题。

教学重、难点：事件的概率的简单综合应用。

教学过程：
一、复习：
1．互斥事件有一个发生、对立事件、相互独立事件同时发生和独立重复试验的概率。

2．练习：
（1）从次品率为0.05的一批产品中任取4件，恰好2件次品的概率为
（2）设3次独立重复试验中，事件A发生的概率相等。

若A至少发生一次的概
率为19
27
，则事件A发生的概率为．
（3）将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现1
k+次正面的概率，那么k的值为．
（4）在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围为．
二、新课讲解：
例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．
（2）按比赛规则甲获胜的概率．
例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8．
（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？
（lg20.3010
=）
（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．
三、作业：同步练习 11034。

11.31互相独立事件同时发生的概率（1）教学目标：1.了解相互独立事件的意义；2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念；3．理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式。

教学重、难点：相互独立事件的意义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式；事件的相互独立性的判定。

教学过程：一、复习引入：1．复习互斥事件的意义及其概率加法公式：互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+ 对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-2．问题1：甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上。

问题2：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球。

提问1：问题1、2中事件A 、B 是否互斥？可以同时发生吗？提问2：问题1、2中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？二、新课讲解：1．相互独立事件的定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

说明：若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

2．相互独立事件同时发生的概率：问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。

于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果。

同时摸出白球的结果有32⨯种。

所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

高三数学第一轮复习讲义（74） 2005.1.8相互独立事件的概率一．复习目标： 1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率；2．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率．二．知识要点：1．相互独立事件的概念： ．2．,A B 是相互独立事件，则()P A B ⋅= ．3．1次试验中某事件发生的概率是P ，则n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是 ． 三．课前预习：1．下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”，（2）甲、乙二运动员各射击一次， “甲射中10环”与“乙射中9环”，（3）甲、乙二运动员各射击一次， “甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”，（4）甲、乙二运动员各射击一次， “至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 （1），（3） ．相互独立事件的有 （2） ．2．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯； ③他至少击中目标1次的概率是410.1-，其中正确结论的序号 ①③ ．3．100件产品中有5件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是 893990 、 361400． 4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 （ ）()A 29200 ()B 725()C 7125 ()D 718 5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 （ ）()A 甲多 ()B 乙多 ()C 一样多 ()D 不确定四．例题分析：例1．某地区有5个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响．（1）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率． 解：设5个工厂均选择星期日停电的事件为A ． 则511()716807P A ==． （2）设5个工厂选择停电的时间各不相同的事件为B ． 则575360()72401A PB ==， 至少有两个工厂选择同一天停电的事件为B ，3602041()1()124012401P B P B =-=-=． 小结：5个工厂均选择星期日停电可看作5个相互独立事件．例2．某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A 产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A 产品中有2件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．解: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为410C 种，其中次品数不超过1件有431882C C C +种， 被检验认为是合格的概率为431882410C C C C +1315=． (2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验， 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为1315， 故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为121313C (1)1515⋅⋅-52225=． 答：该盒产品被检验认为是合格的概率为1315；两次检验得出的结果不一致的概率为52225．例3．假定在n 张票中有2张奖票（2n ≥），n 个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，（1）分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，（2）求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率．解：记事件A ：第一个抽票者抽到奖票，记事件B ：第一个抽票者抽到奖票，则（1）2()P A n =，112122()n n A A P B A n-⋅==，（2）2222()(1)n A P AB A n n ==- 小结：因为()()P A P B ≠()P AB ，故A 与B 是不独立的．例4． 将一枚骰子任意的抛掷500次，问1点出现（即1点的面向上）多少次的概率最大？ 解：设r P 为500次抛掷中1点出现r 次的概率，则50050011()(1)66r r r r P C -=-， ∴11500(1)500*150050011()(1)50066()115(1)()(1)66r r r r r r rr C P r r N P r C ++-++---==∈+-， ∵由*5001,()5(1)r r N r ->∈+，得82r ≤， 即当82r ≤时，1r r P P +<，r P 单调递增，当83r ≥时，1r r P P +>，r P 单调递减， 从而83P 最大．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )()A 5216 ()B 25216 ()C 31216 ()D 912162．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为： （ ）()A 2140 ()B 1740 ()C 310 ()D 71203．一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是 ；4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。

§10.7 相互独立事件同时发生的概率目的要求1.了解相互独立事件的意义,注意弄清事件的意义“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念.2.理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式.教学过程(一)复习旧知识复习互斥事件及其概率加法公式(二)事物演示,引概念课前准备好教具,可叫一些同学上台动手演示.演示1:甲、乙两人各掷一枚硬币事件A:甲掷一枚硬币,正面向上事件B:乙掷一媒硬币,正面向上演示2:甲坛子里有3个白球,2个黑球;乙坛子里有2个白球,2个黑球. 事件A:从甲坛子里摸出一个球,得到白球事件B：从乙坛子里摸出一个球，得到白球设问1：演示1、2中事件A、B是否互斥？（不互斥）设问2：演示1、2中事件A、B可以同时发生吗？（可以）设问3：演示1中P（A）=？P（B）=？事件A发生与否对P（B）有无影响？（P（A）=21，P（B）=21，无影响。

）判断演示2中事件A发生与否对P（B）有无影响，事件B发生与否对P（A）有无影响？（均无影响。

）导出课题：相互独立事件同时发生的概率。

投影出：相互独立事件的意义。

练习1（投影仪）（1）判断演示2中A与B，A与B，A与B是否相互独立。

（2）若事件A与B相互独立，则下列不相互独立的事件为（）（A）A与B（B）BA与（C）B与B（D）B 与A 选C（3）篮球比赛中，“罚球二次"中事件A：第一次罚球，球进了；事件B：第二次罚球，球也进了。

判断A与B是否相互独立。

（相互独立）（4）篮球比赛中，“一加一罚球"中事件A：第一次罚球，球进了与事件B：第二次罚球，球进了是否相互独立。

（不相互独立）归纳：如果事件A与B相互独立，那么也相互独立与、与、与BABABA。

（三）类比猜想、探索公式问题：在演示2中计算：从甲、乙两坛子里分别摸出一个球，它们都是白球的概率。

设问4：此时摸出了几个球？这个事件发生是，事件A 、B 是否发生？得出：此事件发生时，A 、B 都发生了，即A 、B 同时发生，故该事件记为A ·B ，也叫事件A 、B 的积事件。

§11．2 相互独立事件同时发生的概率（4）【课 题】相互独立事件同时发生的概率（4）【教学目标】1．巩固相互独立事件以及独立重复试验的概念；2．能应用相互独立事件的概率的乘法公式和n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式解决一些应用问题．【教学重点】事件的概率的简单综合应用．【教学难点】事件的概率的综合应用．【教学过程】一、复习引入：1．事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的．2．互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥．3．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-4．互斥事件的概率的求法：如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++．5．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．6．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． 7．独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验．8．独立重复试验的概率公式：k n k k n n P P C k P --=)1()(．二、讲解范例：例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次．∴从低层到顶层停不少于3次的概率3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大． 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”． ①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负．∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2n P B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n<，两边取常用对数得，lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-，∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==． 答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384三、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行试验直至第n 次才取得(0)r r n ≤≤次成功的概率为（ ）A.(1)r r n r n C p p --B. 11(1)r r n r n C p p ----C. (1)r n r p p --D. 111(1)r r n r n C p p ----- 2．在数学选择题给出的4个答案中，恰有1个是正确的，某同学在做3道数学选择题时，随意地选定其中的正确答案，那么3道题都答对的概率是（ ） A.18 B.314 C.164 D.123．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是（ ） A.[)0.4,1 B.(]0,0.4 C.(]0,0.6 D.[)0.6,14．一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在3次测量中，恰好出现2次正误差的概率是 ；恰好出现2次负误差的概率是 ．5．有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9（cm ），从中任取三条，它们能构成一个三角形的概率是 ．6．某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为90%，他在5天乘车中，此班次公共汽车恰好有4天准时到站的概率是 ．7．某城市的发电厂有5台发电机组，每台发电机组在一个季度里停机维修率为14．已知两台以上机组停机维修，将造成城市缺电．计算：⑴该城市在一个季度里停电的概率；⑵该城市在一个季度里缺电的概率．8．将一枚均匀硬币抛掷5次．⑴求第一次、第四次出现正面，而另外三次都出现反面的概率；⑵求两次出现正面，三次出现反面的概率9．某公司聘请6名信息员，假定每个信息员提供的正确信息的概率均为0.6，并按超过一半信息员提供的信息作为正确的决策，求公司能作出正确决策的概率10.（1）从次品率为0.05的一批产品中任取4件，恰好2件次品的概率为 ．（2）设3次独立重复试验中，事件A 发生的概率相等若A 至少发生一次的概率为1927，则事件A 发生的概率为 ．（3）将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现1k +次正面的概率，那么k 的值为 ．（4）在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围为答案：1. B 2. C 3. A 4. 223113228C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ ，38 5. 0.3 6. 0.32805 7.⑴()5511541024P ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ⑵()()()55513345512P P P ++=； 8. ⑴2311112232P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑵232251152216P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；9. ()()()6664560.54432P P P ++= 10.⑴22240.05(10.05)C ⨯⨯-⑵13⑶2 ⑷0.41p ≤< 四、小结 ：（1）求事件和的概率的方法是首先判断事件和中的每个事件之间是否两两互斥，如果互斥，求出每个事件的概率，最后利用互斥事件有一个发生的概率公式即可．如果不互斥必须通过其他途径变形求解．（2）求事件积的概率的方法是首先判断积中的每个事件之间是否相互独立，如果它们是相互独立事件，求出每个事件的概率，最后利用相互独立事件同时发生的概率公式即可，特别是独立重复试验恰好发生k 次的概率可用k n k k n k P P C k P --=)1()(求解互独立事件，则将它们转化为相互独立事件的积与互斥事件的和的混合形式求解．五、课后作业：六、板书设计（略）．八、教学后记：。

相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件2独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为k n A B B A ⋅A B A B B A +A B B A ⋅A B B A +.1 k 5212115+k 2121k 515+k 31615194901549531614519012131412132432131432132412411241131313131274274A B 10653A 5210452B 535352256256A B A B A B 5253256A B 2562519251910710321108541005910059215727211282165554416312821163A B A A B A.0.120.88 535345535331251053312510532333A B B A B A B A A B A B A B A B 2723C C 291415C C C 635271413C C C 2925C C 6310635631063152154112192⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P 8932911323141314132D 3243316565B A A B k n 的m 个盒子内，求1号盒恰有r 个球的概率解法一：个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为m 1r n r n m 1m 1n r n r n m m --⋅)1(C r n －1）n －r ，故所求概率P （A ）=n r n r n m m --)1(C答：1号盒恰有r 个球的概率为n r n r n m m --)1(C【例2】 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生次（≥2）的概率同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生次（≥1）的概率，由此建立不等式求解解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 2（1－P ）2C 34P 3（1－P ）C 44P 4=6P 2（1－P ）24P 3（1－P ）P 42引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）C 22P 2=2P （1－P ）P 2①② ③要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2（1－P ）24P 3（1－P ）P 4≥2P （1－P ）P 2化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0所以3P －2≥0，即得P ≥32 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全。