3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在
{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R
中，若
（a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的；
（b ） 存在()x ϕ，使得
()a
x dx ϕ+∞
⎰收敛，且
(,)(),
[,)f x t x x a ϕ≤∈+∞；
则反常积分(,)a
f x t dx +∞
⎰
关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分
(,)a
f x t dx +∞
⎰
关于t T ∈一致
收敛.
我们称定理中的()x ϕ为(,)f x t 的优函数.
Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在
{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R
中，若
（a ） 若反常积分
(,)a
f x t dx +∞
⎰
关于t T ∈一致收敛；
（b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得
(,)g x t L ≤；
则反常积分
(,)(,)a
f x t
g x t dx +∞
⎰
关于t T ∈一致收敛.
Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在
{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R
中，若
（a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分
(,)A
a
f x t dx ⎰关于t T ∈
一致有界，亦即，0M
∃>（与A 、t 无关），使得
(,)A
a
f x t dx M ≤⎰；
（b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且
lim (,)0x g x t →+∞
=
关于t T ∈一致成立；
则反常积分
(,)(,)a
f x t
g x t dx +∞
⎰
关于t T ∈一致收敛.
补充例9 试证反常积分 ()
20
sin u x
e
x dx α+∞
-+⎰，0α>为常数，关于[)0,u ∈+∞一致收敛.
证 0α
>，由
()2sin u x
x e
x e α
α-+-≤， [),0,x u ∀∈+∞， （*）
而
1
1
x
x
e
dx e
ααα
α
+∞
+∞
--=-
=
⎰
收敛，故由Weierstrass 判别法知反常积分
()
20
sin u x
e
x dx α+∞
-+⎰
关于 [)0,u ∈
+∞ 一致收敛；
补充例10 试证反常积分 ()20
sin u x
e
x du α
+∞
-+⎰，0α≥为常数，关于[)0,x ∈+∞一致收敛.
证 0α
≥，由
()
22
sin sin u x
x
u x A
A
e
x du e
x e du
αα+∞
+∞
-+--=⎰
⎰，
作变量代换t x u =，上式右边成为
2
sin x t xA
e x
e dt x
α+∞
--⎰
. ？ （**）
注意到
00sin sin lim lim 0x x x x e x x e x x x
αα--→+→+== 与
2
2
2
t t
xA
e
dt e dt π
+∞
+∞
--<
=⎰
⎰，
积分
2
2
t e dt π
+∞
-=⎰是著名的欧拉积分，我们将在下面计算它.
于是，对于（**），0ε
∀>，0δ∃>，当()0,x δ∈时，有
sin 2x e x x αε
π
-<；
进而，0A ∀>
，()0,x δ∈，有
()
22
2sin sin 2
u x
u
x
x
A
A
e
x du e
x e du α
αε
π
επ
+∞
+∞
-+--=<
⋅
=⎰
⎰；
显然，0x
=上述不等式也成立，因此，对于0A ∀>、[)0,x δ∈时，
()
2sin u x
A
e
x du αε+∞
-+<⎰.
另一方面，[),x δ∀∈
+∞，由
()()
222
sin u x
u u
e
x e
e α
αδ
δ-+-+-≤≤
与
2
u e
du δ+∞
-⎰收敛（欧拉型积分）
，故由Weierstrass 判别法，知反常积分()20
sin u x
e
x du α
+∞
-+⎰在
[),x δ∀∈+∞中一致收敛. 联合关于[)0,x δ∈与[),x δ∈+∞的结果，补充例10得证.
补充例11 试证反常积分
sin x u
x
e dx x
+∞
-⎰ 关于[)0,u ∈+∞一致收敛. 证 由
sin x
dx x
+∞
⎰
收敛，因此关于[)0,u ∈+∞一致收敛； 另一方面，(),x u g x u e -= 关于[)0,x ∈+∞单调递减，且在()[)[),0,0,x u ∈+∞⨯+∞中
一致有界
01x u e -≤≤，
Abel 判别法便证明了例11.
补充例12 试证反常积分
sin 0
sin 2x x
e dx x
λ
+∞
⎰ 关于()0,λ∈+∞一致收敛.
