函数的单调性知识点和题型归纳
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●高考明方向
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
★备考知考情
1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用.
2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P15
注意:
研究函数单调性必须先求函数的定义域,
函数的单调区间是定义域的子集
单调区间不能并!
知识点一函数的单调性
1.单调函数的定义
2.单调性、单调区间的定义
若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间.
注意:
1、《名师一号》P16 问题探究 问题1
关于函数单调性的定义应注意哪些问题
(1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值.
(2)函数的单调区间必须是定义域的子集;
(3)定义的两种变式:
设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1 1212 ()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数; 1212()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点例1 规律方法 (1)定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x1、x2∈D,且x1 ②作差f(x1)-f(x2),并适当变形 (“分解因式”、配方成同号项的和等); ③依据差式的符号确定其增减性. (2)导数法: 设函数y=f(x)在某区间D内可导.如果f′(x)>0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)在区间D内为减函数. 注意:(补充) (1)若使得f′(x)=0的x的值只有有限个, 则如果f′(x)0 ≥,则f(x)在区间D内为增函数; 如果f′(x) 0 ≤,则f(x)在区间D内为减函数.(2)单调性的判断方法: 《名师一号》P17 高频考点例2 规律方法 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 (补充)单调性的有关结论 1.若f (x ),g (x )均为增(减)函数, 则f (x )+g (x )仍为增(减)函数. 2.若f (x )为增(减)函数, 则-f (x )为减(增)函数,如果同时有f (x )>0, 则()1f x 为减(增)为增(减)函数. 3.互为反函数的两个函数有相同的单调性. 4.y =f [g (x )]是定义在M 上的函数, 若f (x )与g (x )的单调性相同, 则其复合函数f [g (x )]为增函数; 若f (x )、g (x )的单调性相反, 则其复合函数f [g (x )]为减函数. 简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 函数单调性的应用 《名师一号》P17 特色专题 (1)求某些函数的值域或最值. (2)比较函数值或自变量值的大小. (3)解、证不等式. (4)求参数的取值范围或值. (5)作函数图象. 二、例题分析: (一) 函数单调性的判断与证明 例1.(1)《名师一号》P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确 (1)函数f (x )=2x +1在(-∞,+∞)上是增函数.( ) (2)函数f (x )=1x 在其定义域上是减函数.( ) (3)已知f (x )=x ,g (x )=-2x ,则y =f (x )-g (x )在定义域上是增函数.( ) 答案: √ × √ 例1.(2)《名师一号》P16 高频考点 例1(1) (2014·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=x+1 B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=(x+1) 答案:A. 例2.(1)《名师一号》P16 高频考点例1(2) 判断函数f(x)= ax x+1 在(-1,+∞)上的单调性,并证明. 法一:定义法 设-1 则f(x1)-f(x2)= ax 1 x 1 +1 - ax 2 x 2 +1 =ax 1 x 2 +1-ax2x1+1 x 1 +1x2+1 = a x 1 -x2 x 1 +1x2+1 ∵-1