《函数的表示法》典型例题剖析题型1 函数解析式的求法例1、（1）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（2）已知1)f x =+()f x 的解析式；（3）已知()2()1f x f x x +-=+，求()f x 的解析式（4）设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对任意的实数x ，y ，有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式.解析 第（1）题已知()f x 是一次函数，可用待定系数法求解.第（2）题可用配凑法或换元法求解.第（3）题可用方程组法求解第.（4）题可用赋值法求解.答案 （1）由题意可设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， 2,2,7.517.a ab b a =⎧∴∴==⎨+=⎩ ()27f x x ∴=+.（2）方法一（配凑法）：2(1)1)11)f x x +=+=-，2()1(1)f x x x ∴=-.方法二（换元法）：1(1)t t =，则2(1)(1)x t t =-，22()(1)1(1)f t t t t ∴=-+=-.2()1(1)f x x x ∴=-.（3）因为()2()1f x f x x +-=+，以x -替换x ，得()2()1f x f x x -+=-+，由以上两式可解得1()3f x x =-+.（4）方法一：设x y =，得(0)()(21)f f x x x x =--+.(0)1,()(21)1f f x x x x =∴--+=，即2()1f x x x =++.方法二：令0x =，则(0)(0)(01)f y f y y -=--+，即2()1(1)1f y y y y y -=--=-+.令y x -=，则有2()1f x x x =++.方法归纳（1）若已知函数类型，可用待定系数法求解.（2）若不清楚函数类型，比如已知(())f g x 的解析式，求()f x 的解析式，可采用配凑法和换元法.配凑法是将(())f g x 右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；换元法是令()g x t =，然后解出x ，即用t 表示x ，然后代入(())f g x 中即可求得()f t ，从而求得()f x 的解析式.（3）构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式.（4）对于给出了函数所满足的某些性质，但不知道函数解析式的问题，我们称为抽象函数.解决抽象函数的有关问题的基本方法是：给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，减少变量个数，找到解题规律，达到求出函数的解析式的目的.至于给变量赋予怎样的特殊值，则应根据题目的结构特征来确定.变式训练1 （1）设21111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =_______. （2）已知()f x 是一次函数，且(())43f f x x =+，则()f x =_______.（3）设函数()f x 满足1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，则()f x =_______. 答案 （1）22(1)x x x -≠ （2）21x +或23x --（3）123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭点拨 （1）方法一：21111121f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2()2f x x x ∴=-. 2110,11,()2(1)f x x x x x x≠∴+≠∴=-≠. 方法二：令11t x +=，则110,1t t x=-≠∴≠, 222()(1)12,()2(1)f t t t t f x x x x ∴=--=-∴=-≠.（2）可设()(0)f x ax b a =+≠,2(())()()43f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=+,24,3,a ab b ⎧=∴⎨+=⎩解得2,1a b =⎧⎨=⎩或2,3.a b =-⎧⎨=-⎩ 故()21f x x =+或()23f x x =--.（3）对任意x ∈R 且0x ≠都有1()2f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立，∴对于1x ∈R ，有112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 两式组成方程组1()2,112().f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩①②2⨯-②①得12()3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 题型2 函数的图象及其应用例2、已知函数2()2||f x x x =-+.（1）画出函数()f x 的图象；（2）确定函数()f x 的定义域和值域.解析 （1）利用描点法作出函数()f x 的图象，（2）根据图象确定函数()f x的值域.答案 （1）如图所示.（2）定义域为R ，值域为(,1]-∞.方法指导 由函数的解析式画函数图象.通过分析解析式的形式，选择恰当的方法画函数图象，一般画函数图象的方法有：描点法、图象变换法.变式训练2 作出下列函数图象：（1）()1(,22)f x x x x =-∈-Z 且；（2）2()2||1f x x x =--；（3）2()34f x x x =+-.答案 （1）如图（1）所示（2）先作221y x x =--的图象，保留y 轴右边的图象，再将它对称翻折到y 轴左边即可.如图（2）所示.（3）先作234y x x =+-的图象，保留x 轴上方的图象，将下方图象对称到x 轴的上方即可如图（3）所示.点拔 （1）利用描点法画函数图象.（2）利用图象变换法，根据函数()||y f x =的图象与函数()y f x =的图象的关系.（3）利用图象变换法，根据函数|()|y f x =的图象与函数()的图象的关系.y f x规律方法总结1.函数的表示方法是函数的表示形式，我们通过它把运动变化的量之间的关系表达出来，在实际中应用非常广泛，是中学数学的重要内容求函数解析式的方法有代人法、待定系数法、拼凑法换元法、方程组法、赋值法等.2.函数的图象不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.3.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，可以通过它来直观地研究函数的性质，也是数形结合法解题的有力工具，要切实掌握好.作函数图象的要点：①在定义域内作图；②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线画出来衬托整个图象；③宜标出某些关键点.例如，图象的顶点，端点和与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点，还是空心点；④若函数是分段函数，则应在同一直角坐标系中分段画出.核心素养园地例、中国网通为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种MN CD）.方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间关系如图所示（//（1）若通话时间为2小时，应按方案A，B各付话费多少元？（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？解析（1）结合图象建立应付话费与通话时间之间的函数关系式，方案A，方案B都是分段函数形式，然后根据函数关系式计算通话时间为2小时时，两种方案各付的话费.（2）根据第（1）问的函数关系式可以得出方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元.（3）结合两个函数关系式分析.答案设方案A与方案B中应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系式分别为1198,060,60A x y k x b x <<⎧=⎨+⎩，和22,500168,0500.B k x b x y x +⎧=⎨<<⎩， 由图知11119860230500,,k b k b =⨯+⎧⎨=⨯+⎩解得113,1080,k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又21223,50016810k k k b ==+=，所以218b =， 所以，方案A 与方案B 中应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系式分别为98,(0,60),380,[60,),10A x y x x ∈⎧⎪=⎨+∈+∞⎪⎩ 318,[500,),10168,(0,500).B x x y x ⎧+∈+∞⎪=⎨⎪∈⎩ （1）若120x =（分钟），则31208011610A y =⨯+=（元），168B y =（元）. （2）由题意可知方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元.（3）由38016810x +=，得8803x =， 所以通话时间在大于8803分钟的范围内时，方案B 才会比方案A 优惠. 讲评 这是一个和我们日常生活息息相关的问题，解决问题的关键是根据文字表述，结合图形信息，建立函数模型.由图象可以看出这是一个分段函数模型.根据图象的形状，分析函数模型的类型，利用待定系数法求解函数模型.如果能正确求解出这个函数模型，那么可以认为达到数学建模、直观想象、数学抽象、数学运算核心素养水平一的要求；如果能利用函数模型解决第（2）（3）题，那么可以认为达到直观想象、数学运算核心素养水平二的要求.。
