专题10：直线与圆、圆与圆

专题 10：直线与圆、圆与圆（两课时）

班级 姓名

一、课前测试

1．已知过定点 P(1，2)的直线 l 交圆 O：x2＋ y2＝9 于 A，B 两点，若 AB＝ 4 2，则直线 l 的方程为 ；

当 P 为线段 AB 的中点时，则直线 l 的方程为 ．

答案： x＝ 1 或 3x－ 4y＋ 5＝ 0； x＋ 2y－ 5＝ 0．

2．过点 P(1，0)作圆 C： (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 9 的两条切线，切点分别为 A、B，则切线方程为 ；

切线长 PA 为 ；直线 AB 的方程为 ．

答案： x＝ 1 或 5x＋ 12y－5＝ 0； 2；3x＋ 2y－ 7＝ 0．

3．圆 C： x2＋ (y－ 2)2＝ R2(R＞0)上恰好存在 2 个点，它到直线 y＝ 3x－ 2 上的距离为 1，则 R 的取值范围

为 ．

答案： 1＜ R＜ 3．

4．经过三点 A(4， 3)， B(5， 2)， C(1，0)的圆的方程为 ．

答案： x2＋ y2－ 6x－ 2y＋5＝ 0．

5．已知圆 C1 ：x2＋ y2－ 2mx＋ 4y＋ m2－ 5＝ 0 和圆 C2：x2＋ y2＋ 2x－ 2my＋m2－ 3＝ 0，若两圆相交，实数 m

的取值范围为 ，若两圆相切，实数 m 的取值为 ．

答案： － 5＜m＜－ 2 或－ 1＜ m＜2；－ 5、－ 2、－ 1、 2．

6．已知圆 O1 ：x2＋ y2－ 4x－ 2y－4＝ 0 与圆 O2：x2＋ y2－ 6x＋ 2y＋ 6＝ 0 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方

程为 ，公共弦 AB 长度为 ．

答案： x－ 2y－ 5＝ 0；4．

7．已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 y2 6x 5 0 相交于不同的两点 ， ，则线段 的中点

的轨迹 C 的方程为 ．

答案： (x－ 3)2+y 2=9 (5

2 4 3

二、方法联想

1．相交弦问题

1．圆心角 θ、弦长 L 、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式．

L 2 2 2 θ L θ 如： ( ) ＋ d ＝ R ， d＝Rcos ， ＝ Rsin ．

2 2 2 2

2．相交弦的垂直平分线过圆心．

3．过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直．

变式： (1)直线 l1 (x－ 2) 2＋ (y－ 3)2＝ 4 相交于 M ， N 两点，若 MN ≥2 3，则 k ： y＝ kx＋ 3 与圆 C：

的的取值范围是 ________．

[ － 3 3

答案： 3 , 3 ] (已知弦长范围，求参数取值范围 )

(2) 过点 P(－ 4,0)的直线 l 与圆 C： (x－ 1)2＋ y2＝ 5 相交于 A， B 两点，若点 A 恰好是线段 PB 的中点 ， 则直线 l 的方程为 ________．

答案： x±3y＋ 4＝ 0 (已知弦的性质，求直线方程 )

(3)已知直线 l ：mx＋ y＋ 3m－ 3＝ 0 与圆 x2＋ y2 ＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线交 x 轴

于 C，D 两点，若 AB＝ 2 3，则 CD ＝ ．

答案： 4(已知弦长，求直线方程及有关量的取值 ) 2＋ (y－ 30)2＝ r2 1 2＋(y－ 6)2 ＝25，圆 C2

.若圆 (4)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C ：(x＋ 1) ： (x－ 17)

C2 上存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A，B，满足 PA＝ 2AB，则半径 r 的取

值范围是 ________．

答案： [5 ，55] ( 弦长的最值问题 )

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2．相切问题 B

1．位置判断：方法 1：利用 d＝ r ；方法 2：在已知切点坐标的情况下，

利用圆心和切点的连线与切线垂直． C

2．如图，在 Rt△ PAC 中，切线长 PA＝ PC 2－R2；

当圆外一点引两条切线时，

1． P、 A、B、 C 四点共圆 (或 A、 B、 C 三点共圆 )，其中 PC 为直径； P A

2．两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．

3． PC 为∠ APB 的平分线，且垂直平分线段 AB．

变式： (1)在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0)为圆心且与直线 mx－ y－ 2m－ 1＝ 0(m∈ R) 相切的所有圆中，

半径最大的圆的标准方程为 ________．

答案： (x－ 1)2＋y2＝ 2． (已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值 )

(2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋ (y－3)2＝ 2，点 A 是 x 轴上的一个动点， AP，AQ 分

别切圆 C 于 P， Q 两点，则线段 PQ 的长的取值范围是 ________．

答案： [2

) 3 14,2 2)(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化

(3) 已知圆 M ：( x－ 1)2 ＋(y－1)2＝ 4，直线 l ：x＋ y－ 6＝ 0，A 为直线 l 上一点． 若圆 M 上存在两点 B ， C，使得∠ BAC＝60°，则点 A 横坐标的取值范围是 __________ ．

答案： [1， 5] (∠ BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题 )

A

3．圆上点到直线距离问题

(1) 当直线与圆相离时，如图： C

圆上点到直线距离，在点 A 处取到最大值 d＋ R，在点 B 取到最小值 d－ R． B

(2) 当直线与圆相交时，如图：

优弧上点到直线距离，在点 A 取到最大值 d＋ R，

A 劣弧上点到直线距离，在点 B 取到最大值 R－ d．

4．外接圆问题 C

方法 1：三点代入圆的一般方程 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F ＝ 0，求解 D、 E、 F ． B

方法 2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心．

方法 3：直角三角形外接圆的直径为斜边．

优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法 3；若只涉及圆心，可用方法 2；方法 1 可直接求出圆心和半径．

变式： (1) 平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x) ＝x2＋2x＋b 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C，则 C 的方程是 ________．

答案： x2＋y2＋ 2x－ ( b＋ 1) y＋b＝ 0 (设而不求法求外接圆方程 )

(2) 已知圆 O：x2＋ y2＝4，点 M(4,0)，过原点的直线 (不与 x 轴重合 ) 与圆 O 交于 A，B 两点，则 △ ABM 的外接圆的面积的最小值为 ________．

答案： 25

)

4 π(求外接圆半径的最值

5．两圆位置关系问题

位置关系 d 与 r1， r 2 的关系 公切线条数

外离 d＞ r1 ＋ r2 4

外切 d＝ r1＋ r2 3

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相交 |r 1－ r 2|＜ d＜ r 1＋ r 2 2

内切 d＝ |r 1－ r2| 1

内含 0＜ d＜|r1 －r 2| 0

6．两圆相交问题

(1) 两圆的方程相减可得相交弦的直线方程． (2) 两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦．

7．两圆相切问题

两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点．

变式： (1)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 ( x－1) 2＋ (y－ 1)2＝ 9，直线 l： y＝ kx＋ 3 与圆 C 相交于 A，B 两点， M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心， 2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，则实数 k 的取值范

围为 ________．

3

答案： [－ 4,＋∞ ) ( 已知两圆位置关系，求参数取值范围 )

(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O： x2＋ y2＝ 1， O1： (x－ 4)2＋ y2＝ 4，动点上，过 P 分别作圆 O，O1 的切线 ，切点分别为 A， B，若满足 PB＝2PA 的点

b 的取值范围是 ________．

P 在直线 x＋ 3y－ b＝ 0 P

有且只有两个 ，则实数

20

答案： (－ 3 ,4) (已知两圆切线长的关系，求参数取值范围 )

三、例题分析

例 1 已知圆 C 与直线 x＋ y＋3＝ 0 相切于点（－ 2，－ 1），且过点 P(0， 1)，求圆 C 的方程．

答案： (x＋ 1)2＋ y2＝ 2． 〖教学建议〗

主要问题归类与方法：

1．两点在圆上问题：①两点代入圆方程；②因为已知两点坐标，所以利用弦的垂直平分线过圆心．

2．直线与圆相切问题：① d＝ r；②因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直．

方法选择与优化建议：

对于问题 1，因为涉及圆上两点时优先想到弦，所以选择②．

对于问题 2，因为已知切点坐标，所以选择②．

例 2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l ： y＝ 2x－ 4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．

(1)若圆心 C 也在直线 y＝ x－ 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； y

(2)若圆 C 上存在点 M，使 MA ＝ 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围． l

答案： (1)y＝ 3 或 3x＋ 4y－ 12＝0 ； A

12

(2)a 的取值范围为 [0， 5 ] ． O x

〖教学建议〗

（ 1）主要问题归类与方法 ：

1．直线与圆相切问题： ① d＝r ；②因为已知切点坐标，所以利用圆心和切

点的连线与切线垂直．

方法选择与优化建议：

对于问题 1，因为没有切点坐标，所以选择方法①．

（ 2）主要问题归类与方法：

1．求轨迹方程问题： ①定义法；②直接法；③相关点法；④参数法．

2．两曲线交点问题： ①联立方程组消元判断解的个数（代数法） ；②结合两曲线图形分析（几何法） ．

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