浅析高等数学在中学数学解题中的应用

高观点下的中学数学

高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．

（一） 高观点下研究中学数学的必要性

新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为

（１） 教学过程中，创设问题情境的需要．

◆例１：等差数列求和

10012310010150SL

(1)(1)2123112(1)22nnnnnnSnnnnnL为奇数为奇数

2(1)nSnn

从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣．

例２ 数列的递推公式

◆河内塔问题

相传在越南的某寺庙中有一个用n个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）

ABC

1231,3,7,.aaaL

121,21nnnnaaa

教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力．

科技信息　０高校讲坛０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２０１１年第２９期　

浅谈高等数学教学中学生解题能力的培养　

蔺琳　

（东北财经大学津桥商学院基础部辽宁大连　１　１　６６００）　

【摘要】学生数学解题能力的培养不是一朝一夕的事情，它是一项复杂的系统工程，是在学习的过程中逐步形成的。本文阐述了在高等数　

学教学中培养学生解题能力的几种教学途径　

【关键词】高等数学；解题能力；培养　

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学．是一门严　

谨、抽象、逻辑性极强的自然科学。高等数学是高等学校各专业的重要　

基础理论课，在会计专业里，比如财务成本管理、审计、管理会计等科　

目里都有高等数学的影子：在经济学领域里更是如此．无论微观经济　

学还是宏观经济学的经典理论里都有高等数学的烙印　而高等数学的　学习又离不开解题，解题能力就是计算能力、思维能力、想象能力、分　

析能力、推理能力的综合表现。高等数学教学的重要任务．就是使学生　

具有正确、迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想象　能力．从而培养学生分析问题和解决问题的能力　

高等数学学科的特点是高度的抽象理论与严密的逻辑推理．学生　

解题能力的培养．必须与数学知识教学以及一般解题方法的教学紧密　

结合起来。那么．在高等数学的教学过程中．哪些教学途径才能有效地　

提高学生的解题能力呢？　

首先．重视基础教学．完善学生的认知结构　学生解题能力的高　

低，取决于学生的知识结构与智能结构　它们与解题能力的关系．好比　树根与大树、地基与高楼的关系　对于概念．不仅要讲清楚概念的内涵　

和外延．弄清概念与概念之间的区别与联系．还要引导学生从正反几　

方面提出问题来加深他们对概念的理解　在理解得准确、透彻的同时．　还要要求他们会讲．既能用正确的数学语言来叙述概念．又能用自己　

的话来通俗地解释概念　对于定理、公式、法则等，要求学生要做到理　

解、熟练，要求他们会用，运用得熟练，基础知识掌握好了．解题就有了　依赖的基础　

浅谈高等数学在初等数学中的应用

初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。

标签：初等数学;高等数学;联系;应用

数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

问题的提出

许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。

一、初等数学

初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。

二、高等数学

内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。

【标题】高等数学在中学数学中的应用

【作者】丁 海 云

【关键词】高等数学 中学数学 联系 应用

【指导老师】陈 强

【专业】数学与应用数学

【正文】

1 引言

近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．

2 初等数学与高等数学的联系

一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段 (萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期 (再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点 ．