第三章 例题
主要类型 : 1. 算符运算 ; 2. 力学量的平均值 ; 3. 力学量几率分布 .
一 . 有关算符的运算
1. 证明如下对易关系
(1.)
(2)
(3)
(4)
(5)
[ 证 ]
(1)
(2)
(3)
一般地 , 若算符 是任一标量算符 , 有
(4)
一般地 , 若算符 是任一矢量算符 , 可证明有
(5)
=0
同理： 。
2. 证明：厄米算符的本征值必为实数。
证：设 ， ，
由 之厄米性
有
由内积三公理
故有 。
3. 若 且 ， 为任一算符，证明在 态下， 的平均值为零。
证：
4. 证明厄米算符的平均值必定为实数
解：由 之厄米性有
故 厄米算符平均值为实数。
5. 坐标平移算符 ，证明
证：
将 在 处作泰勒级数展开为
故
6. 在轨道角动量 的共同本征态 中，求 ，
解：
且
故
同理
二 . 有关力学量平均值与几率分布方面
1. (1) 证明 是 的一个本征函数并求出相应的本征值； (2) 求 x 在 态中的平均值
[ 解 ]
即
是 的本征函数。本征值
2. 设 粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数
描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值
［解］
宽度为 a 的一维无限深势井的能量本征函数
注意 : 是否归一化波函数
能量本征值
出现 的几率 , 出现 的几率
量子力学 第三章 习题(2)
一、选择题（说明：共5分。多选、少选、错选，不给分）
1．下列说法正确的有
(a)如果量子态|ψ
1〉是算符Â和Ô的共同本征函数,则必有[Â,Ô]=0
(b)如果量子态|ψ
1〉不是算符Â和Ô的共同本征函数,则必有[Â,Ô]≠0
(c)如果[Â,Ô]=0，则算符Â和Ô可以有共同的本征函数系
(d)如果[Â,Ô]≠0，则算符Â和Ô不可能有共同的本征函数
(e)如果[Â,Ô]=0，且量子态|ψ〉是算符Ô的本征态，则|ψ〉也必是算符Â的本征态
二、填空题（说明：每空1分，共计40分。）
1．如果Fˆ
是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本证函数是)(x
nφ
，对应的本征值是λ
n，也就是说
厄米算符的本征方程可以写为 ，那么对于体系所处的任意量子态)(xψ
都可以按照)(x
nφ
展开为级
数：)()(xcx
n
nnφ=ψ∑
，本征函数)(x
nφ
的这种性质称为 ，或者说)}({x
nφ
组成完全系；其中
nc
与
x无关，通常称为 ，可以由)(xψ
和)(x
nφ
求得，即 ；如果)(xψ
是算符Fˆ
的某个本征函数，例
如)(x
iφ
，则有系数
nc
的取值是 ，此时测量力学量Fˆ
得到的值是 。（参考教材73页）
2．量子力学中表示可观测力学量的算符都是___算符；它们的本征函数构成_ __；当体系处于波函数)(xψ
所描写的状态时，测量力学量Fˆ
所得的数值必是_____，测得λ
n的概率是 ，力学量在)(xψ
态中的
平均值是 。（参考教材74页）
3．如果量子力学中的力学量Fˆ
在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符Fˆ
可以由经典表
示式),(prFrr
中将坐标和动量换为相应的算符而得到，即 。（参考教材50页）
4．假定算符Aˆ
,Bˆ
,Cˆ
,Dˆ
由一组共同的本征函数
nφ
，相对应的本征值分别是a
n,b
n,c
n,d
n，则有
nAφˆ= ；
nBφˆ= ；
nCφˆ= ；
nDφˆ= ；
nBAφˆˆ= ；
nABφˆˆ= ；
nCAφˆˆ= ；
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第三章 量子力学导论
一、学习要点
1．德布罗意假设：
(1)内容： hE , nkkhp2,
(2)实验验证：戴维孙—革末试验
电子 =1.2262ekkhmEE（nm）
2．测不准关系：2xpx , 2Et；
3．波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件
薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态
4．量子力学对氢原子的处理
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第三章自测
1．选择题
（1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：
A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二相性
(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：
A .E=h， p=h; B.E=，P=; C. E=h ，p=; D. E= ，p=
(4）基于德布罗意假设得出的公式1.226()EeVnm的适用条件是：
A.自由电子，非相对论近似； B.一切实物粒子，非相对论近似；
C.被电场束缚的电子，相对论结果； D带电的任何粒子，非相对论近似
(5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：
A．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30
2．简答题
（1）波恩对波函数作出什么样的解释？（长春光机所1999）
（2）请回答测不准关系的主要内容和物理实质.（长春光机所1998）
83 第三章 算符和力学量算符
3.1 算符概述
设某种运算把函数u变为函数v，用算符表示为：
ˆFuv （3.1-1）
ˆF称为算符。u与v中的变量可能相同，也可能不同。例如，11duvdx，22xuv，33uv，1(,)2xth，(,)xipxhxedxCpt，则ddx，x，，12dxh，xipxhe都是算符。
1．算符的一般运算
（1）算符的相等：对于任意函数u，若ˆˆFuGu，则ˆˆGF。
（2）算符的相加：对于任意函数u，若ˆˆˆFuGuMu，则ˆˆˆMFG。算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u，若ˆˆˆFFuMu，则ˆˆˆMGF。算符的相乘一般不满足交换律。如果ˆˆˆˆFGGF，则称ˆF与ˆG对易。
2．几种特殊算符
（1）单位算符
对于任意涵数u，若ˆIu=u，则称ˆI为单位算符。ˆI与1是等价的。
（2）线性算符
对于任意函数u与v，若**1212ˆˆˆ()FCuCvCFuCFv，则称ˆF为反线性算符。
（3）逆算符
对于任意函数u，若ˆˆˆˆFGuGFuu则称ˆF与ˆG互为逆算符。即1ˆˆGF，111ˆˆˆˆˆˆ,1FGFFFF。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fuxafx，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a为常数。其解u可表示为对应齐次方程的通解u。与非齐次方程的特解之和，即0uuv。因0ˆ0Fu，
83 所以不存在1ˆF使100ˆˆFFuu。一般说来，在特解中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，=0，则中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF使11ˆˆˆˆFFvFFvv，从而由ˆFvaf得：1ˆFaf。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。
