结构力学例题解析

结构力学—影响线

【例2-13】求图2-27b所求简支梁在中一活载作用下截面K的弯矩最大值。

图2-27

中一活载（图2-27a）是中华人民共和国铁路标准活荷载的简称，它是我国铁路桥涵设计使用的标准荷载。与前例吊车荷载不同的是要考虑左行、右行两种情况。

作出影响线如图2-27c所示，各段直线的坡度为

由式（2-7）确定临界位置。

1、列车由右向左开行时的情况

将轮4置于D点试算（图2-27d）：

荷载左移

荷载右移

不满足判别条件，故轮4处于D点不是临界位置。由于左移时，而，故，即荷载左移会使值增加。因此荷载应继续左移才会使达到最大值。

将轮2置于C点（图2-27e）试算，有

荷载左移

荷载右移

满足判别条件，轮2位于C点时是临界位置。在此位置算得值为

继续试算，没有其它临界位置。

2、列车从左向右开行情况

将轮4置于D点（图2-27f）试算，有

荷载左移

荷载右移

满足判别条件，故从左向右开行时轮4位于D点时是临界位置。相应的值为

继续试算，没有其它临界位置。

3、比较可得的最大值为

发生于从右向左开行，轮2处于C点时。

以上讨论的是如何求最大值，若求最小值，则把判别式中的大于号改成小于号，小于号改成大于即可。

如果影响线是直角三角形或竖标有突变，则前述判别式不适用。此时的最不利荷载位置可按前面提到的试算原则由试算确定。

【例2-14】求图2-28a所示简支梁K截面剪力的最大值和最小值。荷载运行方向不变。

图2-28

解：作出影响线如图2-28b所示。

使发生最大或最小值的荷载位置只有（图2-28c、d）两种可能性。

1、处于K点（图2-28c），有

2、FP2位于K点（图2-28d），有

3、经比较，得的最大值和最小值分别为

伸臂梁的影响线内力影响线的量纲影响线与内力图的区别影响线绘制举例

（1）伸臂梁跨中截面内力影响线

跨中截面是指两支座间的截面。在不动荷载作用下求这种截面内力时要先求支座反力，然后通过支座反力求内力。作影响线时也 是这样，先绘支座反力的影响线，然后通过它，绘内力影响线。

（2）伸臂梁挑臂截面内力影响线

求挑臂上内力与求悬臂梁上内力一样，无需先求支座反力，取自由端一侧作为截离体。求内力影响线时也是这样。

（3）内力影响线的量纲

影响线(图3)

由于任何值（支座反力、剪力、弯矩等）影响线的纵标均代表移动单位力P=I所产生的该量值的值，而P=I无量纲，所以该量值影 响线纵标的量纲为该量值的量纲与力的量纲的比值。弯矩影响线的量纲为（长度单位）}剪力、支座反力影响线的量纲为即为无名数。

（4）影响线与内力图的区别

内力图（M、Q、N图）是表示各个截面内力值的图。它所对应的荷载位置是不变的。内力图横标代表截面位置，纵标代表不同 截面内力之值。

影响线是表示P=1移动时指定截面内力值变化的图。这里是截面位置是不变的。横标代表P=1的位置，纵标代表p=1在不同位置上时 同一截面内力不同的值。

影响量的计算

利用某量值S（某支座反力、某截面弯矩、剪力等）的影响线，求位置一定的一组荷载产生的该量值S之值（叫S的影响量）。（图1）

图1 图2

作用在影响线同一直线线段上的各力的影响等于其合力的影响，即（图2）。其成立的条件是各力位于S影响线的同一直线线段上。据此， 不能将S影响线顶点B两侧之力以一个合力代替去计算S。

均布荷载产生的影响量S等于荷载集度口与荷载下面的S影响线的面积的乘积，即。注意；均布荷载下面的影响线纵标有正有负， 因此，面积也有正有负，这个结论，对于曲线型影响线（如静不定力影响线）也是成立的。对于位于影响线同一直线段上的分布荷载也可用其 合力代替去求影响量。

最不利荷载位置的确定

行列荷载在什么样的位置上量值s取得最大值，这个行列荷载位置为最不利荷载位置。得到极大值时行列荷载所处位置的特点 是；

（1）有一个集中力居于影响线顶点上。

（2）将行列荷载自此左移一点，（图3）

是正的，右移一点

图3

图4

（图4）是负的。满足这种条件（使取得极大值）的位于影响线顶点上的集中力叫临界荷 载（以表示），与此对应的行列荷载位置，称为临界位置。

（3）MK在行列荷载移动全过程中得到的极大值可能不止一个。

对于三角形影响线：多边形影响线，在由多个集中力组成的行列荷载作用下，都是适用的。S生极大值所对应的行列荷载位置，必 须具备以下两个条件：

①有一个集中力位于影响线的顶点上。

②自此位置向左移：自此位置向右移：。这两个公式称为临界条件，满足临界条件的集中力为临界荷载，相应的荷载位置为临界 位置。

把临界荷载算在影响线顶点的哪一边，哪一边单位长度上的平均荷载就大。

对于三角形影响线，求量值S最大值的步骤为：

①按前述方法估计能产生最大值的若干可能的临界荷载。

②逐个地把估出的力放在影响线顶点上，验算是否满足临界条件。

如果满足临界条件，则利用影响线求出相应的S，它是S一个极大值。比较这样求得的几个S极大值，其中最大的就是行列荷载移劫 过程中可能产生的最大S值。

根据临界条件的推导过程知：临界条件中的前一个不等式代表力在左方时后一个不等式代表力在右方时。若满足前一个不等式， 而不满足后一个不等式，就表明不论把力放在左面，还是放在右面，都有即越往右移S越大。因此应把行列荷载向右移。反之，若不满足前一个 不等式，而满足后一个不等式，则不论力在左、力在右都有即越往右移S越小，因此求S极大值耍向左移动行列荷载。对于桥梁要考虑车辆右行 ，左行两种情况，按最不利情况设计。工业厂房吊车荷载则不会改变方向。

超静定结构内力影响线的绘制

影响线(图4)

在思路上与静定结构内力影响线一样一是建立影响方程；二是建立影响方程的方法，与固定荷载作用下求内力的方法相同。即静 定结构用平衡方程建立影响方程，而超静定结构则用解超静定的方法——力法、位移法、力矩分配法等建立影响方程。

根据影响方程来绘制影响线的方法叫静力法。用绘制位移图的方法来得到影响线的方法叫机动法。机动法有一个很大的优点，就 是能很快地画出内力影响线的形状，以判定荷载的最不利分布，而这是计算最大内力值所需要的。

①欲绘制超静定结构支座反力R的影响线，则去掉相应联系（支杆），把支杆反力R暴露出来，沿反力R正向加一个力使与之相应的 广义位移（竖向位移）等于1，这样得到的位移图（挠度曲线）即为R的影响线。符号：轴线上面的纵标取正号。

②欲绘制超静定结构弯矩MK影响线形状，应把截面K切断，再用铰联结起来（把刚结变为铰结，丢掉了阻止相对转动的联系）。沿 弯矩正向（使下面受拉）加一对大小任意的力偶矩M。画出位移图的形状，轴线上方取为正，这就得到了影响线的形状。 ③欲绘制超静定结构剪力影响线形状，应把截面K切断，再用一对平行杆联结起来（去掉了阻止相对错动的联系）。采用这种方式 时，左右两部分只能相对错动，而不能相对转动（和沿轴向相对移动），因之体系变形后，左右两部分变形曲线于联结处的切线相互平行。沿 剪力正向加一对任意大小的剪力Q画出位移图，即得影响线的形状。上面取正号，下面取负号。

由于超静定结构去掉一个联系后仍为一几何不变体系，其位移图是曲线的，所以超静定结构内力的影响线是曲线的。由于静定结 构去掉一个联系后即成为机构（可变体系），其位移图是直线图形，因而静定结构内力影响线是直线图形。超静定结构中的静定内力（如挑臂

上的弯矩、剪力），其影响线也是直线图形。

连续梁内力影响线的形状

均布活荷载的最不利分布

①对于跨中载面，当活荷载作用于载面所在跨及每间隔一跨的各跨上时，出现最大正弯矩。

②对于支座截面，当活荷载作用于该支座左右两跨及每间隔一跨的各跨上时，出现最大负弯矩。

③在整个结构上都布满活荷载时，对于支座弯矩、跨中弯矩都不是最不利情况。

④一种内力出现最大（最小）值时，其他内力并不同时出现最大（最小）值。

与活荷载不同，恒荷载经常作用，永远要计算，没有最不利分布问题。