高一数学必修一 函数知识点总结
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3.
函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2nmxcbxaxxf的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
常针对根号，举例：
令 ，原式转化为： ，再利用配方法。
⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）
增函数：)()(],,[,x212121xfxfxxbax对任意的 减函数：)()(],,[,x212121xfxfxxbax对任意的
注：① 函数上的区间I且x1，x2∈I.若2121)()(xxxfxf＞0（x1≠x2），则函数f(x)在区间I上是增函数；
若2121)()(xxxfxf＜0（x1≠x2），则函数f(x)是在区间I上是减函数。
② 用定义证明单调性的步骤:
<1>设x1，x2∈M，且21xx；则
<2> )()(21xfxf作差整理；
<3>判断差的符号； <4>下结论；
③ 增+增=增 减+减=减
④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减 （内层）（外层）)(，则)(，)(（xfyxuufy
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法： u
O 1 2 x
○1 任取x1，x2∈D，且x1
○2 作差f(x1)－f(x2)；
○3 变形（通常是因式分解和配方）；
○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○2确定f(－x)与f(x)的关系；
○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）
f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.
如：若·为奇函数，则实数fxaaaxx()2221
（∵为奇函数，，又，∴fxxRRf()()000 即·，∴）aaa22210100
⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;
②若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。
1.定义 函数的周期性的定义及常用结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值．
若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；
若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期； 2．函数的周期性的定义及常用结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值．
若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；
若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期；
3．有关对称性的几个重要结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值．
若f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；
若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点(0, a＋b2)中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
4．对称性与周期性之间的关系
周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若f(x)的图象有两条对称轴x＝a和x＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|为它的一个周期；若f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则f(x)为周期函数，且4|b－a|是它的一个周期．
⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=2ba对称;( 即:‘一均二等’的原则)
②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=2ab对称.
③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点。
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○2 利用图象求函数的最大（小）值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴221533xxyx ⑵211()1xyx
2.设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为_ _
3.若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是
4.函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx ，若()3fx，则x= 5.求下列函数的值域：
⑴223yxx ()xR ⑵223yxx [1,2]x
(3)12yxx (4)245yxx
6.已知函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式
7.已知函数()fx满足2()()34fxfxx，则()fx= 。
8.设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时,3()(1)fxxx,则当(,0)x时()fx=
()fx在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ 223yxx ⑵223yxx ⑶ 261yxx
10.判断函数13xy的单调性并证明你的结论．
11.设函数2211)(xxxf判断它的奇偶性并且求证：)()1(xfxf．
