二次函数性质总结

二次函数图像性质总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其图像性质有很多，下面是对二次函数图像性质的总结：1. 首先，二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由二次项的系数决定。

当二次项的系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项的系数小于0时，抛物线开口向下。

而当二次项的系数等于0时，二次函数就变为一次函数，其图像是一条直线。

2. 二次函数的图像既有一个顶点，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中a、b、c是二次函数的系数。

顶点的横坐标就是二次函数的轴对称线的纵坐标，是图像的抛物线对称的中心点。

3. 二次函数的轴对称线是指通过二次函数的顶点且垂直于x轴的一条直线。

与轴对称线平行的直线上的点关于轴对称线是对称的，并且它们与轴对称线的距离是相等的。

4. 二次函数的图像关于轴对称线对称。

也就是说，如果某个点(x, y)在二次函数的图像上，那么它关于轴对称线的对称点(-x, y)也在图像上。

5. 二次函数的图像在轴对称线两侧是对称的。

也就是说，如果点A在图像的一侧，那么在其对称点A'在轴对称线的另一侧。

这种对称性是图像性质的一个重要特点。

6. 二次函数的图像与x轴的交点叫做二次函数的零点或者根。

二次函数有零点的情况分为以下三种情况：当a不等于0且二次项的判别式大于0时，二次函数有两个不等的实根；当二次项的判别式等于0时，二次函数有一个重根；当二次项的判别式小于0时，二次函数无实根，但在复数域中有两个共轭复根。

7. 二次函数的图像在顶点处取得极值。

当二次项的系数大于0时，抛物线的顶点是最小值点；当二次项的系数小于0时，抛物线的顶点是最大值点。

8. 二次函数的图像在顶点处的函数值等于c。

即f(-b/2a) = c。

9. 二次函数的图像呈现出对称轴附近的斜率较大，而离开对称轴越远，斜率越小。

这是因为离对称轴较远的两个点的坐标差较大，导致斜率的绝对值较小。

10. 二次函数的图像的开口程度由二次项系数a的绝对值的大小决定。

高一数学二次函数图像性质总结二次函数性质：a正号说明开口向上，负号说明开口向下;a的肯定值越大，抛物线开口越小;c表示抛物线与y轴的交点，图像过(0，c)点。

下面是给大家带来的（高一数学）二次函数图像性质（总结），希望能够帮助到大家!高一数学二次函数图像性质总结1二次函数图像2二次函数性质二次函数y=ax+bx+c(a0)，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax+bx+c=0(a0)此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax，y=ax+k，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a0)的图象形态相同，只是位置不同。

2.抛物线y=ax+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a).3.抛物线y=ax+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大。

若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax+bx+c(a0)的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b-4ac0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|(A为其中一点的横坐标)当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax+bx+c的最值(也就是极值)：假如a0(a0)，则当x=-b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a.顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(a0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0).7.二次函数学问很简单与（其它）学问综合应用，而形成较为困难的综合题目。

二次函数知识点 (第一讲 )一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y2ax bx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．22. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数，a是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐对称标性质轴x 0 时，y随x的增大而增大； x0 时，y随a 0向上0，0y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值 0 ．x 0 时，y随x的增大而减小； x0 时，y随a 0向下0，0y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y有最大值 0 ．2.2c 的性质：（上加下减）y axa 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时，y随x的增大而增大； x0 时，y随a0向上0，c y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值c．x0 时，y随x的增大而减小； x0 时，y随a0向下0，c y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y有最大值c．3. y a x h 2 的性质：（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐对称 性质标轴x h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0向上h ，0 X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．x h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下h ，0X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．4. y a x2k 的性质：ha 的符号开口方向顶点坐对称 性质标轴x h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0向上h ，k X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．x h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下 h ，kX=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 ( k>0)【或向下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 ( h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】 平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y ax 2bx c 沿y轴平移:向上（下）平移m 个单位， y ax2bx c 变成y ax2bx c m （或 y ax 2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax2bx c 变成y a(x m) 2b( x m) c （或 y a( x m) 2b(x m) c ）四、二次函数y a x h2k 与 y ax2bxc 的比较从解析式上看， y a x h 2k 与 y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2b2b，k4ac b2前者，即 y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a五、二次函数 y ax 2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a( x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0，c、以及 0，c关于对称轴对称的点2h ，c 、与x轴的交点x1，0 ，x2，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax2bx c 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．2a2a4a当 x b时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 随 x 的增大而增大；当xb时， y 有2a2a2a最小值4acb2．4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．当 x b时， y2a2a4a2a随 x 的增大而增大；当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 有最大值4acb2．2a2a4a 七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2 ax2.顶点式： y a( x3.两根式： y a(x bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；h) 2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a0 的前提下，当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵ 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定： 对称轴 xb在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab0 ，概括的说就2a是“左同右异” 总结：3. 常数项 c⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称2关于轴对称后，得到的解析式是y ax 2bx c；y a x b x c xy a x2y a2 hk 关于x轴对称后，得到的解析式是x hk ；2.关于 y 轴对称y2b x 关c于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；a xy a x2y a x h2hk 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；2关于原点对称后，得到的解析式是2；y a x h y a x h kk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y2 b x 关c于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx b2a x c；2ay a x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h2．h k5. 关于点m，n 对称22k y a x hk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0，B x2，0( x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2x1b24ac .a② 当0 时，图象与x轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2'当 a0 时，图象落在x轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c(a 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点负0抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根 .交点正二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2bx 1 的图像大致是（）y y y y110 x o-1 x0 x0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。

二次函数及其性质一、什么是二次函数二次函数是指数学中的一种特殊函数形式，它的表达式为f(x) = ax²+ bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。

它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

二、二次函数的性质1. 函数图像：二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 零点：二次函数的零点是指函数值等于零时的横坐标，也就是使得f(x) = 0的x的值。

二次函数的零点可以有0个、1个或2个。

根据判别式Δ=b²-4ac的值可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ>0时，有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，有两个相等的实根；- 当Δ<0时，没有实根，但有两个共轭复根。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是指函数图像关于某直线对称。

对称轴的方程为x = -b/2a。

对称轴与抛物线的顶点重合。

4. 顶点：二次函数的顶点是指抛物线的最高点或最低点。

顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为函数值。

5. 零点与系数关系：二次函数的零点与系数之间存在着一定的关系。

对于f(x) = ax² + bx + c：- 若x₁、x₂是二次函数的两个零点，则有x₁ + x₂ = -b/a，x₁ *x₂ = c/a。

6. 函数增减性：二次函数的增减性由系数a的正负决定。

当a>0时，二次函数在对称轴的左侧是递减的，在对称轴的右侧是递增的；当a<0时，二次函数在对称轴的左侧是递增的，在对称轴的右侧是递减的。

7. 最值：二次函数的最值即是抛物线的最高点（最大值）或最低点（最小值）。

当a>0时，最值为最低点；当a<0时，最值为最高点。

最值的纵坐标为顶点的纵坐标。

三、二次函数的应用由于二次函数在数学中具有重要的地位，它在各个领域有广泛的应用。

以下是二次函数的一些常见应用：1. 物体运动的模型：二次函数可以用来模拟抛物线轨迹的物体运动，比如抛体运动、自由落体运动等。

二次函数是中学数学中重要的一个章节，主要涉及到解析式、图像和性质等方面。

本文将对九年级数学中二次函数的知识点进行总结，包括定义、基本性质、图像及其变化规律、求解等方面，以及与实际生活中的应用。

一、定义：二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c都是实数，并且a的值决定了图像的开口方向。

二、基本性质：1.零点和轴对称：二次函数的零点是使得函数值等于0的x值，零点的个数取决于判别式的值。

二次函数关于y轴对称。

2.求导和凹凸性：二次函数的导数是一次函数，二次函数的凹凸性由二次项系数的符号决定。

当a>0时，函数的图像开口向上，二次函数是凹的；当a<0时，函数的图像开口向下，二次函数是凸的。

3.极值：二次函数的极值点是函数图像的最高点或者最低点，极值点的x坐标是二次函数的顶点。

当a>0时，函数的极值是最小值；当a<0时，函数的极值是最大值。

三、图像及其变化规律：1.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的符号决定。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

2.平移：二次函数的图像可以进行平移操作，平移后的函数图像仍然是一条二次曲线。

平移的规律是对原函数的输入x进行平移操作。

例如，y=(x-3)²平移到y=x²后，图像整体向右移动3个单位。

3.缩放：二次函数的图像也可以进行缩放操作，缩放后的函数图像仍然是一条二次曲线。

缩放的规律是对原函数的自变量x进行缩放操作。

例如，y=(2x)²相当于y=4x²，图像整体变窄。

四、求解：1. 二次函数的解析式：求解二次函数的关键是求出二次函数的零点，即令y=0，并解方程ax²+bx+c=0。

根据二次函数的解析式，可以根据判别式的值确定二次函数的零点个数，判别式D=b²-4ac。

-当D>0时，有两个不相等的实数根；-当D=0时，有两个相等的实数根；-当D<0时，没有实数根，但有两个共轭复数根。

探讨二次函数的对称性质，总结二次函数的特征。

探讨二次函数的对称性质，总结二次函数的特征1. 对称性质二次函数是指拥有二次项的函数，其一般表达式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是实数常数，$a \neq 0$。

1.1 关于 $y$ 轴对称二次函数关于 $y$ 轴对称意味着函数图像关于 $y$ 轴对称，即对于任意点 $(x, y)$，若 $(x, y)$ 在函数图像上，则点 $(-x, y)$ 也在函数图像上。

判断二次函数是否关于 $y$ 轴对称可以通过判断二次项的系数$a$ 的正负性，若 $a>0$，则二次函数关于 $y$ 轴对称；若 $a<0$，则二次函数不关于 $y$ 轴对称。

1.2 关于 $x$ 轴对称二次函数关于 $x$ 轴对称意味着函数图像关于 $x$ 轴对称，即对于任意点 $(x, y)$，若 $(x, y)$ 在函数图像上，则点 $(x, -y)$ 也在函数图像上。

二次函数关于$x$ 轴对称的充分必要条件是函数没有$bx$ 项，即 $b=0$。

1.3 关于原点对称二次函数关于原点对称意味着函数图像关于原点对称，即对于任意点 $(x, y)$，若 $(x, y)$ 在函数图像上，则点 $(-x, -y)$ 也在函数图像上。

二次函数关于原点对称的充分必要条件是函数的常数项为0，即 $c=0$。

2. 特征总结二次函数具有以下特征：- 若 $a>0$，则函数图像开口向上，称为上凸函数；若 $a<0$，则函数图像开口向下，称为下凸函数。

- 函数图像在 $x$ 轴两侧无穷远处趋近于直线 $y=0$，称为函数的水平渐近线。

- 函数图像的顶点为 $(h, k)$，其中 $h=-\frac{b}{2a}$，$k=f(h)$。

- 若 $a>0$，则函数图像的最小值为 $k$，且最小值点为顶点；若 $a<0$，则函数图像的最大值为 $k$，且最大值点为顶点。

二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在解决实际问题、解析几何和函数图像的分析等方面都有重要应用。

下面我将详细总结二次函数的知识点。

一、二次函数的定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

二、二次函数的图像：1.函数的对称轴：对称轴是函数图像关于其顶点对称的直线。

对称轴的方程为x=-b/(2a)。

如果a>0，则对称轴是向下开口的抛物线；如果a<0，则对称轴是向上开口的抛物线。

2.函数的顶点：顶点是函数图像的最高点或者最低点。

顶点的坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

3.函数的开口方向：如果a>0，则函数开口向下，图像是一个向下的抛物线；如果a<0，则函数开口向上，图像是一个向上的抛物线。

4.函数的图像关于对称轴对称，左侧和右侧的图像相同。

三、二次函数的常用形式：1. 标准型：y = ax^2 + bx + c。

2.顶点型：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

3.因式分解型：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为函数的零点。

四、二次函数的性质：1. 零点：也称为函数的根或者解，即使方程ax^2 + bx + c = 0的解。

二次函数的零点可以通过因式分解、求根公式或者配方法来求得。

2. 判别式：Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次方程的解的情况。

a.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根。

b.如果Δ=0，则方程有一个实数根。

c.如果Δ<0，则方程没有实数根，但可能有复数根。

3.对称性：抛物线在对称轴处对称，即f(x)=f(-x)。

4.单调性：对称轴两侧函数的增减情况是一样的，当a>0时，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增，当a<0时，函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。

5.最值：函数的最高点或最低点即为函数的最值，当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。

二次函数的性质证明二次函数是一种具有特殊性质的函数形式，由一项或多项二次幂的代数表达式组成。

它在数学和物理学中具有广泛的应用，因此对于二次函数的性质进行证明具有重要的意义。

在本文中，我们将证明二次函数的三个主要性质：顶点坐标、对称轴和开口方向。

首先，我们证明二次函数的顶点坐标。

二次函数的一般形式为f(x)= ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。

考虑二次函数的标准形式f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。

为了证明这个性质，我们可以通过两种方法：完全平方和和导数法。

首先，使用完全平方和法证明二次函数的顶点坐标。

将f(x) = ax^2+ bx + c转化为标准形式，我们需要将f(x)右移或左移，上移或下移。

通过完成平方，我们有f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c。

为了完成平方，我们需要加上一个恰当的常数，使得f(x)的第二项能够表示成一个平方。

在这种情况下，我们加上了(b/2a)^2，也就是(b/2a)^2 - (b/2a)^2。

将这个常数加到f(x)中，我们得到f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。

然后，我们可以将平方项进行提取和简化，得到f(x) = a((x + b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。

进一步化简后，我们得到f(x) = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2+ c。

化简后的形式可以进一步简化为f(x) = a(x + b/2a)^2 - (ab^2 -4ac)/4a^2。

比较这个形式和标准形式f(x) = a(x-h)^2 + k，我们可以得出结论h = -b/2a，k = (ab^2 - 4ac)/4a^2。

因此，顶点坐标为(h, k) = (-b/2a, (ab^2 - 4ac)/4a^2)。

其次，我们使用导数法证明二次函数的顶点坐标。

⼆次函数知识点汇总（全）⼆次函数知识点(第⼀讲)⼀、⼆次函数概念：1．⼆次函数的概念：⼀般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做⼆次函数。

，，是常数，0这⾥需要强调：和⼀元⼆次⽅程类似，⼆次项系数0a≠，⽽b c，可以为零．⼆次函数的定义域是全体实数．2. ⼆次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于⾃变量x的⼆次式，x的最⾼次数是2．⑵a b c，，是常数，a是⼆次项系数，b是⼀次项系数，c是常数项．⼆、⼆次函数的基本形式1. ⼆次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、⼆次函数图象的平移1. 平移步骤：⽅法⼀：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移⽅法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成⼋个字“左加右减，上加下减”．⽅法⼆：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、⼆次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的⽐较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配⽅可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -?=++，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、⼆次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利⽤配⽅法将⼆次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开⼝⽅向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.⼀般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下⼏点：开⼝⽅向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、⼆次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开⼝向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--，．当2b x a <-时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2b x a >-时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2bx a=-时，y 有最⼩值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开⼝向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--，．当2bx a <-时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2b x a >-时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2bx a =-时，y 有最⼤值244ac b a-．七、⼆次函数解析式的表⽰⽅法1. ⼀般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何⼆次函数的解析式都可以化成⼀般式或顶点式，但并⾮所有的⼆次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以⽤交点式表⽰．⼆次函数解析式的这三种形式可以互化.⼋、⼆次函数的图象与各项系数之间的关系1. ⼆次项系数a⼆次函数2y ax bx c =++中，a 作为⼆次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开⼝向上，a 的值越⼤，开⼝越⼩，反之a 的值越⼩，开⼝越⼤；⑵当0a <时，抛物线开⼝向下，a 的值越⼩，开⼝越⼩，反之a 的值越⼤，开⼝越⼤．总结起来，a 决定了抛物线开⼝的⼤⼩和⽅向，a 的正负决定开⼝⽅向，a 的⼤⼩决定开⼝的⼤⼩．2. ⼀次项系数b在⼆次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则03. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯⼀确定的．⼆次函数解析式的确定：根据已知条件确定⼆次函数解析式，通常利⽤待定系数法．⽤待定系数法求⼆次函数的解析式必须根据题⽬的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．⼀般来说，有如下⼏种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，⼀般选⽤⼀般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最⼤（⼩）值，⼀般选⽤顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，⼀般选⽤两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选⽤顶点式．九、⼆次函数图象的对称⼆次函数图象的对称⼀般有五种情况，可以⽤⼀般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然⽆论作何种对称变换，抛物线的形状⼀定不会发⽣变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或⽅便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开⼝⽅向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开⼝⽅向，然后再写出其对称抛物线的表达式．⼗、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程：1. ⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系（⼆次函数与x 轴交点情况）：⼀元⼆次⽅程20ax bx c ++=是⼆次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是⼀元⼆次⽅程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-②当0?=时，图象与x 轴只有⼀个交点；③当0?<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上⽅，⽆论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下⽅，⽆论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴⼀定相交，交点坐标为(0，)c ；3. ⼆次函数常⽤解题⽅法总结：⑴求⼆次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断⼆次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由⼆次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷⼆次函数的图象关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x 轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标. ⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式2(0)ax bx c a ++≠本⾝就是所含字母x 的⼆次函数；下⾯以0a >时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的内在联系：⼆次函数考查重点与常见题型1．考查⼆次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为⾃变量的⼆次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正⽐例、反⽐例、⼀次函数、⼆次函数的图像，习题的特点是在同⼀直⾓坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第⼀、⼆、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像⼤致是（）3．考查⽤待定系数法求⼆次函数的解析式，有关习题出现的频率很⾼，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知⼀条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的一章知识点，它是一种以二次方程为模型的函数。

在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及与实际问题的应用等方面的知识。

本文将对二次函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握二次函数。

一、二次函数的定义及一般式二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向（正负号决定开口的方向），b决定了二次函数的对称轴，c则表示二次函数的纵坐标的平移。

二、二次函数的图像二次函数的图像通常是抛物线形状的。

开口向上的抛物线表示a>0，则最低点为顶点；开口向下的抛物线表示a<0，则最高点为顶点。

顶点的坐标可通过求解二次函数的顶点公式得到：x=-b/2a，y=f(-b/2a)。

对于一般式的二次函数，纵坐标平移c对于顶点的影响为纵坐标上下平移。

三、二次函数的性质1. 定义域和值域：定义域是函数可以取到的所有实数，对于二次函数来说，定义域是整个实数集；而值域则取决于a的正负号，开口向上的二次函数值域的下界为顶点的纵坐标，开口向下的二次函数值域的上界为顶点的纵坐标。

2. 对称性：二次函数关于对称轴对称，其中对称轴的方程为x=-b/2a。

对称性使得我们可以通过研究对称轴两侧的取值来推导出整个函数的形态。

3. 零点与判别式：一般二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0的根公式求得。

判别式可以通过b²-4ac的计算获得，判别式的正负可以判断二次函数的零点个数与开口方向。

4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增，而当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。

5. 极值点：二次函数的最小值或最大值即为极值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的纵坐标。