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数学目录阅读材料：1）高中数学与初中数学的联系2）如何学好高中数学3）熟知高中数学特点是高一数学学习关键4）高中数学学习方法和特点5）怎样培养好对学习的良好的习惯？第一课: 绝对值第二课: 乘法公式第三课: 二次根式（1）第四课: 二次根式（2）第五课: 分式第六课: 分解因式（1）第七课: 分解因式（2）第八课:根的判别式第九课:根与系数的关系（韦达定理）（1）第十课:根与系数的关系（韦达定理）（2）第十一课:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质第十二课:二次函数的三种表示方式第十三课:二次函数的简单应用第十四课：分段函数第十五课: 二元二次方程组解法第十六课: 一元二次不等式解法（1）第十七课: 一元二次不等式解法（2）第十八课:国际数学大师陈省身第十九课: 中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族第二十课: 方差在实际生活中的应用第二十一课: 平行线分线段成比例定理第二十二课：相似形第二十三课：三角形的四心第二十四课：几种特殊的三角形第二十五课：圆第二十六课：点的轨迹1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。
在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。
这也是我们继续高中数学学习的基础。
良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。
高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。
高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。
1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。
《初高中衔接教材数学》第一讲：乘法公式一、知识要点（1）平方差公式:22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 : 222()2a b a ab b ±=±+．（3）立方和公式:2233()()a b a ab b a b +-+=+； （4）立方差公式:2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式:2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式:33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式:33223()33a b a a b ab b -=-+-．（8） ))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2222221=()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++----+-+-⎣⎦二、例题分析例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例3、计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)164)(2)(2(24++-+a a a a22(2)(24)m n m mn n -++（3） （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++例4、（1）已知16x x -=，求221x x +的值。
（2）已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
三、达标检测1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++)；（3）2222(2)4a b c a b c +-=+++ ．2．选择题：（1）若24x mx ++是一个完全平方式，则m 等于 （ ）（A ）2± （B ）4 （C ）4- （D ）4±（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数3、计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．4、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
(适用黑龙江)名师优秀教案](https://img.taocdn.com/s1/m/1adcd4cf6294dd88d0d26b36.png)
初高中数学衔接教材【学生版】{新课标人教A版}典型试题举一反三理解记忆成功衔接第一部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点第二部分分章节讲解第一部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:；或2 乘法公式：⑴平方差公式：⑵立方差公式：⑶立方和公式：⑷完全平方公式：，⑸完全立方公式：3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程解的讨论①当时，方程有唯一解；②当，时，方程无解③当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组（1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
职业中学数学初高中衔接教材（共4课时）第1课时 因式分解(1)课标导航：1.熟悉常见的乘法公式,会用乘法公式分解因式;2.了解方程的根与对应的代数式的因式分解之间的关系,体会因式分解的求根法和待定系数法 . 课堂实录：1.分解因式的方法主要有: 提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、解求根法及待定系数法.2.常见的乘法公式有:(1)平方差公式 :22a b -= ；(2)立方差公式: 33a b -= ;(3)立方和公式: 33a b += ;(4)完全平方公式:2()a b ±= ;(5) 完全立方公式:3()a b ±= .思维点击：【例1】分解因式:338x y -【例2】把下列关于x 的二次多项式分解因式：(1)221x x +- (2)2244x xy y +-【例3】解方程: (1) 61x = (2) 3223830x x x +-+=随堂训练：1.分解下列因式(1)223x x --(2) 2()2x y x y +++-(3) 26m -(4) 3223272791a a b ab b -+--2.解列三次方程:(1)329330x x x +++=(2) (1)(1)(2)240x x x x -⋅⋅++-=课后作业:1.分解下列因式:(1)253x x -+(2) 23x --(3)2234x xy y +-(4)222(2)7(2)12x x x x ---+(5)22244x z xy y --+(6)31a +(7)424139x x -+(8)2235294x xy y x y +-++-．2.解下列方程:(1)320x x ++=; (2)4310x x x --+=3. 已知331,3x y a b x y xy +=+=++且,求333a b ab ++的值.4.化简:3343341111()()[(1)()]a a a a a a a a+-÷++-5. 化简333211111x x x x x x x x -+-+-+++-,并求当28x =时,此式的值.第2课时 因式分解(2)课标导航：1.掌握十字相乘法、分组分解法;2.能根据问题,灵活运用各种方法分解因式.课堂实录：1.十字相乘法:设ax 2＋bx ＋c ＝(cx ＋d)(ex ＋f)，其中a ≠0．∵(cx ＋d)(ex ＋f)＝cex 2＋dex ＋cfx ＋df ＝cex 2＋(de ＋cf)x ＋df ，∴a ＝ce,b ＝de ＋cf,c ＝df;可以将以上三式表示为思维点击：【例1】 用十字相乘法分解下列各因式:(1) 2832--x x (2) 212176a a -+-(3) 2()2x y x y +++-【例2】分解因式(1) x y y x 2222--+ (2) x 2＋x －(a 2－a)c ed f(3) 22222a b ac bc ab ++++【例3】分解因式:222456x xy y x y +--+-【例4】已知23a b +=,求2224443a a b b ab ++++-的值.随堂训练：分解因式:(1)2310b b +-= ; (2)268y y -+= ；(3)256x x --= ;(4)2712a a -+-= ；(5)33bc bd += ;(6)2216x x+-= ;(7)()(3)2x y x y ---+= ;(8)22(33)(34)8x x x x +-++-=课后作业:1.分解因式：(1)x 2＋6x ＋8＝ ; (2)x 2－2x －1＝ ;(3)242025x x -+= ;(4)256x x -+-= ;(5)2232x xy y +-= ; (6)22710a b ab -+= ;(7)26(6)2x x -+= ;(8) 3245a b ab a b --= ；(9)2222x a a x ---= ;(10)4x 2－8x －12y －9y 2 ＝ ;2.分解因式:(1) a(a ＋3)2－a(a －b)2 (2) 2235294x xy y x y +-++-(3)4(1)(2)x y y y x -++- (4)4b 2－10b ＋c 2－5c ＋4bc ＋6(5)1322+-+-y x xy x (6)222222a c ab b d cd -++--3.已知210x y ++=，求222332x xy y x y +-+++的值.第3课时 一元二次方程课标导航：1.熟练掌握一元二次方程的求解方法;2.掌握一元二次方程根与系数的关系—韦达定理,能熟练应用韦达定理解决相关问题 . 课堂实录：1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求解方法：（1）公式法：判别式△＝若 ，则方程无实数根。
华师大一附中初高中数学衔接教材目 录引 入 乘法公式第一讲 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3分组分解法1. 4十字相乘法（重、难点）1. 5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲 三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得 x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。
2021-2022新高一初高中衔接辅导课程（解析版） 衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有122222b b b bx x a a a a -+---+=+==-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．3.一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =∴| x 1－x 2|＝=||a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 经典例题解析例1判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0； （3）x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x -=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 例2已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35．由（－35）＋2＝－5k ，得k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得m 2－16m －17＝0， 解得m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。
初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节”1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
第一讲：绝对值、二次根式、分式训练（2-4课时）【知识链接】：1.1.1绝对值；绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 【典型激活】：例1：（2014广东理科）不等式521≥++-x x 的解集为 。
正学中学级高一初高中数学衔接教材————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一部分 数与式的运算第一节 绝对值1.绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例、解不等式：13x x -+->４．解法一：由01=-x ,得1=x ;由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+>4，解得ｘ<0, 又x <１,∴x ＜0； ②若31<≤x ,不等式可变为(1)(3)4x x --->, 即1＞4，∴不存在满足条件的x ;③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4, 解得x ＞4． 又x ≥３， ∴ｘ＞４． 综上所述,原不等式的解为x <０，或x >４．解法二:如图1.1－１，1-x 表示ｘ轴上坐标为ｘ的点Ｐ到坐标为１的点A 之间的距离|ＰＡ|，即|P A |=|x －1|；｜x -3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|P Ｂ｜，即｜PB ｜＝|ｘ-3｜.所以，不等式13x x -+->4的几何意义即为:|P Ａ|＋｜PB ｜＞4． 由|AB |=2可知:点P 在点C (坐标为０) 的左侧、或点P 在点D (坐标为4) 的右侧.故x ＜0，或x ＞4. 练 习 1．填空题：(1)若5=x ，则ｘ=_＿＿＿＿_＿_＿;若4-=x ,则ｘ＝_＿__＿___＿.(2）如果5=+b a ，且1-=a ,则ｂ=____＿_＿_;若21=-c ，则ｃ=_＿__＿___． ２．选择题:下列叙述正确的是 ( ） (A)若a b =，则a b = (B)若a b >,则a b > (Ｃ)若a b <，则a b < （D ）若a b =,则a b =± ３．化简：｜x -５|-｜２x-１3|(x >５）.第二节 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; （2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式 33a b +＝22()()a b a ab b +-+； (2）立方差公式 33a b -=22()()a b a ab b -++；(3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (４)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； (5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明. 例１、计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -. 解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++＝33(1)(1)x x +-=61x -.例2、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值. 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.例3、已知2310x x -+=，求331xx +的值. 解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x .说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知,是明智之举.例4、已知0=++c b a ,求 111111()()()a b c b c c a ab+++++的值．解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0ﻩ∴原式＝abb ac ac c a b bc c b a +⋅++⋅++⋅333()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① ﻩabc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②， 把②代入①得原式＝33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用. 练 习 1．填空题：(1)221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ );(３ ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ).2．选择题: (1）若212x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于 （ )（A ）2m (Ｂ)214m （C)213m （D)2116m (2)不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ )（A ）总是正数 (B ）总是负数(Ｃ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 (３）若112x y-=，则33x xy y x xy y+---的值为( ) ﻩ (Ａ)35（Ｂ)35-（Ｃ)53-ﻩ (D)533． 计算：(1))416)(4(2m m m +-+ﻩ (２）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-(3))164)(2)(2(24++-+a a a a ﻩ （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值. 第三节 二次根式一般地,形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式,而22212x x ++，222x xy y ++,2a 等是有理式．1.二次根式的性质:(1）2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ (2）)0()(2≥=a a a .(３)(0,0)a b ab a b =≥≥ (4）)0,0(≥≥=b a ba ab说明:请注意性质2||a a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．2．分母（子）有理化：把分母(子)中的根号化去,叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2,3a 与a ，36+与36-,2332-与2332+,… 等等．一般地,a x 与x ,a x b y +与a xb y -,a x b +与a x b -互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程.在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．３. 最简根式：如果一个根式符合下列三个条件：1）被开方数的指数和根指数是互质数; ２）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； ３）被开方数不含分母． 那么，这个根式叫做最简根式.例１、将下列式子化为最简二次根式:（１)12b ； （２）11a b+; （3）64(0)x y x <; (4)22(1)(2) (1)x x x -+-≥. 解：(1)1223b b =；（２)原式=22a b a b ab ab ab++=; （3）633422(0)x y x y x y x ==-<；(4) 原式＝(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩.例2、计算:3(33)÷-. 解法一：3(33)÷-＝333-＝3(33)(33)(33)⋅+-+＝33393+-=3(31)6+=312+．解法二:3(33)÷-=333-=33(31)-=131-＝31(31)(31)+-+=312+．例3、试比较下列各组数的大小: (1）1211-和1110-； (2）264+和226－. 解:（１）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++,1110(1110)(1110)11110111101110--+-===++, 又12111110+>+, ∴1211-＜1110-. (2)∵226(226)(226)2226,1226226===－－+－++ 又 4＞2错误!， ∴错误!+４＞错误!＋２错误!，∴264+＜226－. 例4、化简：20042005(32)(32)+⋅-．解:20042005(32)(32)+⋅-＝20042004(32)(32)(32)+⋅-⋅-=2004(32)(32)(32)⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦=20041(32)⋅-=32-．例5、化简：（1）945-; (2)2212(01)x x x+-<<.解:(１）原式5454=++22(5)2252=+⨯⨯+2(25)=-25=-52=-．(2）原式=21()x x -1x x =-，∵01x <<, ∴11x x >>， 所以,原式=1x x -．例6、已知3232,3232x y -+==+-,求22353x xy y -+的值 . 解:∵223232(32)(32)103232x y -++=+=-++=+-，323213232xy -+=⋅=+-，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=.说明:二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时,先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如323+)或被开方数有分母（如2x ).这时可将其化为a b 形式(如2x可化为2x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．（如323+化为3(23)(23)(23)-+-，其中23+与23-叫做互为有理化因式)．例7、设2323,2323x y +-==-+,求33x y +的值.解：22(23)23743,74 3 14,12323x y x y xy ++===+=-⇒+==-- 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(２)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点，倒推几步,再代入条件，有时整体代入可简化计算量．练 习 1．填空题： (1)1313-+= ；(２)若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是 ； (3）4246543962150-+-= ; （4）若52x =,则11111111x x x x x x x x +--++-+=++-+-- ．２.选择题： 等式22xx x x =--成立的条件是( ）（Ａ)2x ≠ (B ）0x > (C)2x > （D ）02x <<3.若22111a ab a -+-=+,求a b +的值．4.比较大小:2－＼r （3） ＼r(5)－＼r(4)(填“>”，或“＜”）． ５． 化简或计算:(1) 113(184)2323-+÷-; (2） 22122(25)352⋅--++; (３) 2x x x y x xy y xy y x x y y+++---； （4）625-.6．设11,3232x y ==-+，求代数式22x xy y x y +++的值．7．设512x -=,求4221x x x ++-的值.第四节 分式1.分式的意义：形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠,则称A B 为分式.当M ≠0时,分式A B具有下列性质:A A M B B M ⨯=⨯; A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质. 2．繁分式:像ab c d+，2m n pm n p+++这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1、化简11xx x x x-+-． 解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅例2、若54(2)2x A Bx x x x +=+++,求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==.例3、(1）试证:111(1)1n n n n =-++(其中ｎ是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （３）证明:对任意大于１的正整数ｎ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （１)证明:∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++ ∴111(1)1n n n n =-++(其中n 是正整数)成立. （2)解:由（１)可知1111223910+++⨯⨯⨯11111(1)()()223910=-+-++-1110=-=910．(3)证明:∵1112334(1)n n +++⨯⨯+=111111()()()23341n n -+-++-+=1121n -+, 又ｎ ≥2，且ｎ是正整数, ∴＼f （1,n ＋１) 一定为正数,∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12．例4、设ce a=,且ｅ>1，2ｃ2－５a ｃ＋２ａ2＝0,求ｅ的值． 解：在2c ２－5ac +２a 2＝0两边同除以a ２,得 2ｅ2-5e +2＝0, ∴(2e －1)(e －２）＝0， ∴e ＝错误!<1,舍去, 或e =2. ∴ｅ=2．３. 多项式除以多项式:做竖式除法时,被除式、除式都要按同一字母的降幂排列,缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时,要同类项对齐),要特别注意,得到每个余式的运算都是减法。
250 初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题： （1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m251（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．－1 －2x x图1．1－1－1 －21 1图1．1－2－2 61 1图1．1－3 －ay －byx x图1．1－4252 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。
（2）=+-652x x __________________________________________________。
（3）=++652x x __________________________________________________。
（4）=--652x x __________________________________________________。
（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。
（6）=+-18112x x __________________________________________________。
（7）=++2762x x __________________________________________________。
（8）=+-91242m m __________________________________________________。
（9）=-+2675x x __________________________________________________。
（10）=-+22612y xy x __________________________________________________。
2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2） B 、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）－1 1x y图1．1－52532、分解因式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a aB 、()()b a b a 3 11-+C 、()()b a b a 3 11--D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ） A 、()()2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ，2=bB 、10=a ，2-=bC 、10-=a ，2-=bD 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式1、()()3211262+---p q q p 2、22365ab b a a +-3、6422--y y 4、8224--b b2．提取公因式法例2 分解因式：（1） ()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++ 解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a （2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++ 课堂练习：一、填空题：254 1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。
2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________。
3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________。
4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。
5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________。
6、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________。
7．计算99992+=二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x xx n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3 分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2) ()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++课堂练习一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是______________________________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x ………………………… （ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=- ………………………………… （ ） 3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ） 4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ） 5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ） 五、把下列各式分解1、()()229n m n m ++-- 2、3132-x2553、()22244+--x x 4、1224+-x x4．分组分解法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．256 解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a ²+b ²+c ²=，求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的257值.3.一元二次不等式的解法1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．258例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x 若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1例3 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，∴5,6b ca a-==， 即 5,6b ca a=-=． 由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变为20b cx x a a++< ，即 －2560,x x ++<整理，得2560,x x -->所以，不等式20bx ax c +->的解是259x ＜－1，或x ＞65．说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．练 习1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．作业：1.若0<a <1,则不等式(x －a )(x －a1)<0的解是 ( ) A.a <x <a 1 B. a 1<x <aC.x >a 1或x <aD.x <a1或x >a2.如果方程ax 2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x 1，x 2满足x 1＜x 2，那么不等式ax 2＋bx ＋b ＜0的解是______. 3．解下列不等式：（1）3x 2－2x ＋1＜0； （2）3x 2－4＜0；（3）2x －x 2≥－1； （4）4－x 2≤0．(5)4+3x －2x 2≥0; (6)9x 2－12x >－4;2604．解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质内心： 性质：外心： 性质：重心：261性质：垂心： 2.典型例题例1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DEAB ， GDE ∽GAB ，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE .设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合，AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.图3.2-3图3.2图3.2262 例2 已知ABC 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC 的内心，且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2bc aAE AF. 证明 作ABC 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，,AE AF 为圆的从同一点作的两条切线，AEAF ，同理，BD =BF ，CD =CE .22b c a AF BFAECEBD CDAF AEAFAE即2bc aAEAF. 例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形. 证明 如图，连AO 并延长交BC 于D .O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ， AB BDACDC（角平分线性质定理） O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即图3.2-6263BD =DC .1AB AC，即ABAC .同理可得，AB =BC .ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABC 中，,ADBC D BEAC E 于于，AD 与BE 交于H 点. 求证 CHAB .证明 以CH 为直径作圆，,,90,o ADBC BEAC HDCHECD E 、在以CH 为直径的圆上， FCBDEH .同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BEDBAD .BCHBAD ，图3.2-7图3.2-8图3.2-9264 又ABD 与CBF 有公共角B ，90o CFB ADB初高中数学衔接教材参考答案第一讲 数与式的运算例1. 解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x例2. 解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 例3. 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=例4. 解：0132=+-x x 0≠∴x 31=+∴xx 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x例5. 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅265abcc b a ab c c ac b b bc a a 333)()()(++-=-+-+-= ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc例6. 解：(1) 原式=2||1|211+-=-+-=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩例7. 解：(1) 原式623==--(2) 原式= (3) 原式=-+== 例8. 解：(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+(2) 原式+=+==例9.解：22(277 14,123x y x y xy +===+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=例10. 解法一：266 原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅例11. 解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x +-------===+-+-+练习1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3)331164a b - 4．2 12a b +-----5．267第二讲 因式分解例1. 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++例2. 解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+例3. 解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=-- 例4. 解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+例5. 解：22()()()()() x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+例6. 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z=+-=+++-例7. 解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x∴-+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x∴++=++例8. 解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x∴+-=+-+=-+(2) 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x∴--=+-+=-+例9. 解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y+-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x+-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x=+-+-例10. 解：(1) 21252(32)(41)x x x x--=-+32 4 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 2 54yy-⨯例11. 解：222222616233316(3)5 x x x x x+-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x=+++-=+-268269例12. 解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+-- 22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-练习1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+ (9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4.322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++270 第三讲 一元二次方程根与系数的关系例1. 解：(1)2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．例2. 解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 4-12k ≥0 ⇒k ≤31；(4) 4-12k ＜0 ⇒k ＞31．例3. 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：27122(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-． 综上知：1,0x y =-=例4. 解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====例5. 解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=；②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于272 302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去． 综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例6. 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <， 要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．练习2731． B 2． A 3．A 4． 3 5． 9或3- 6．1或47．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=-8．3(1) (2)22k k ≥=第四讲 不 等 式例1. 解：原不等式可以化为：(3)(2)0x x +->，于是：3020x x +<⎧⎨-<⎩或3020x x +>⎧⎨->⎩333222x x x x x x <->-⎧⎧⇒⇒<->⎨⎨<>⎩⎩或或所以，原不等式的解是32x x <->或．274 例2. 解：(1) 原不等式可化为：2120x x --<，即(3)(4)0x x +-<于是：3030344040x x x x x +>+<⎧⎧⇒-<<⎨⎨-<->⎩⎩或所以原不等式的解是34x -<<．(2) 原不等式可化为：240x x -+≤，即240(4)0x x x x -≥⇒-≥于是：00044040x x x x x x ≤≥⎧⎧⇒≤≥⎨⎨-≤-≥⎩⎩或或所以原不等式的解是04x x ≤≥或．例3. 解：(1) 不等式可化为(2)(4)0x x +-<∴ 不等式的解是24x -<<(2) 不等式可化为2(2)0x -≤∴ 不等式的解是2x =(3) 不等式可化为217()024x -+<． ∴ 不等式无解。
