高考数学人教版理科一轮复习课时作业：50 圆的方程 Word版含解析

课时作业49圆的方程
基础达标]
一、选择题
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()
，2，得
，
即所求圆的圆心坐标为
(1,0)，得其半径为1，
－1)2＋＝1.
答案：B
4．[2019·福州质检]设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0 0<a<1，则原点与圆的位置关系是()
A．原点在圆上B．原点在圆外
C．原点在圆内D．不确定
解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，
即(0＋a)2＋(0＋1)2>2a，所以原点在圆外．
答案：B
5．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，
＝
5E＋F，
＝
，
＝
，代入求得F
4
所以圆的方程为
标准方程为(x＋
1－0
因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是
y ＋11
2＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，
即x ＋y ＋5＝0.
圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＋5＝
x －y ＋1＝0
的解，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－
y ＝－2
，
所以圆心C 的坐标是(－3，－2)． 圆的半径长
2
2
，
＝4.。

课时分层训练(五十) 圆的方程(对应学生用书第页)组基础达标一、选择题．经过点()，且圆心是两直线＝与＋＝的交点的圆的方程为( ) ．(－)＋＝．(－)＋(－)＝．＋(－)＝．(－)＋(－)＝[由(\\(＝，＋＝，))得(\\(＝，＝，))即所求圆的圆心坐标为()，又由该圆过点()，得其半径为，故圆的方程为(－)＋(－)＝.]．方程＝表示的曲线是( )．上半圆．下半圆．圆．抛物线[由方程可得＋＝(≥)，即此曲线为圆＋＝的上半圆．]．点(，－)与圆＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝[设圆上任一点的坐标为(，)，则＋＝，设点与圆上任一点连线的中点的坐标为(，)，则(\\(＝＋，＝－))⇒(\\(＝－，＝＋，))代入＋＝，得(－)＋(＋)＝，故选.]．已知圆的圆心是直线－＋＝与轴的交点，且圆与直线＋＋＝相切，则圆的方程是( )．(＋)＋＝．(＋)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝[直线－＋＝与轴的交点(－)．根据题意，圆的圆心坐标为(－)．因为圆与直线＋＋＝相切，所以半径为圆心到切线的距离，即＝＝＝，则圆的方程为(＋)＋＝.故选.]．(·重庆四校模拟)设是圆(－)＋(＋)＝上的动点，是直线＝－上的动点，则的最小值为( )【导学号：】．．．．[如图所示，圆心(，－)与直线＝－的最短距离为＝－(－)＝，又圆的半径为，故所求最短距离为－＝.]二、填空题．(·郑州第二次质量预测)以点()，()为直径的圆的标准方程为．(－)＋(－)＝[圆心是的中点，即点()，半径＝＝，则以为直径的圆的标准方程为(－)＋(－)＝.]．已知点()是圆：＋－－＝内的一点，那么过点的最短弦所在直线的方程是．＋－＝[圆：＋－－＝的圆心为()，则＝＝.∵过点的最短弦与垂直，∴最短弦所在直线的方程为－＝－×(－)，即＋－＝.]．在平面直角坐标系中，以点()为圆心且与直线－－－＝(∈)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．(－)＋＝[因为直线－－－＝恒过定点(，－)，所以圆心()到直线－－－＝的最大距离为＝＝，所以半径最大时的半径＝，所以半径最大的圆的标准方程为(－)＋＝.]三、解答题．求适合下列条件的圆的方程．()圆心在直线＝－上，且与直线：＋－＝相切于点(，－)；()过三点()，()，(－).。

专题54：圆与方程精讲温故知新1、圆的方程（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E --(只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式) 注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

例1：1．（2022·全国·高考真题（文））过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭； 解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭； 2．（2022·全国·高考真题（文））设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________． 【答案】22(1)(1)5x y -++=解：∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ， 222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++= 举一反三1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22211x y ++-= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22211x y -++= D ．()()22214x y -++=【答案】B【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.2．（2022·全国·模拟预测）已知圆O 的方程为：224x y +=，定点()0A 1，，若B ，C 为圆O 上的两个动点，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为______；若弦BC 经过点A ，则BC 中点Q 的轨迹方程为______．【答案】 22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【详解】设()00,B x y ，(),P x y ，因为P 为线段AB 的中点，所以021x x =+，02y y =，又因为B 为圆O 上一点，所以22004x y +=，即()()222124x y -+=，所以P 点的轨迹方程为22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．因为BC 的中点为Q ，所以OQ BC ⊥，又因为BC 经过点A ， 所以OQ AQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以线段OA 为直径的圆，其轨迹方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．故答案为：22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.2、直线与圆的位置关系(1)直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l的距离d =①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0∆>②直线与圆相切，则d r =或方程组的0∆= ③直线与圆相离，则d r >或方程组的0∆<（2）直线与圆相交时，半径r ，圆心到弦的距离d ，弦长l，满足：l =（3）直线与圆相切时， ①切线的求法：（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直； （Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为y kx b =+，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值；（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0x x =，验证圆心到切线距离是否等于半径。

考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。

课时作业50 圆的方程一、选择题1．(2020·某某某某一中模拟)若k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0，即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15，又知该方程不表示圆，所以k 的取值X 围为15≤k ≤1，又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45，故选A ．2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( B )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25解析：圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B ．3．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( C )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C ．4．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( B ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( D ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D ．6．(2020·某某某某模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( A )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A ．7．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值X 围是( D )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]解析：圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值X 围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D ．8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：解法1：由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离d ＝|1＋b |1＋b 2＝1＋2b 1＋b 2≤1＋2b2b＝2，当且仅当b ＝1时取等号．所以半径最大的圆的半径r ＝2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B ．解法2：由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心为B (0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝(－1－0)2＋(2－1)2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B ．9．(2020·某某某某模拟)已知点M (－1,0)，N (1,0)．若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的取值X 围是( D )A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)B ．(－∞，－25]∪[25，＋∞)C ．[－25,25]D ．[－5,5]解析：由题意知，此题可转化为求直线3x －4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝1有交点时m 的取值X 围，则|m |32＋(－4)2≤1，解得－5≤m ≤5，故m 的取值X 围是[－5,5]．二、填空题10．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.解析：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．11．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝3π4.解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.12．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 13．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.三、解答题14．(2020·某某夏津一中月考)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＋1＝0上，半径为5，且圆C 经过点P (－2,0)和点Q (5,1)．(1)求圆C 的标准方程；(2)求过点A (－3,0)且与圆C 相切的切线方程．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝25，点C 在直线x ＋y ＋1＝0上，则有a ＋b ＋1＝0.圆C 经过点P (－2,0)和点Q (5,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧(－2－a )2＋(0－b )2＝25，(5－a )2＋(1－b )2＝25，解得a ＝2，b ＝－3.所以圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设所求直线为l .①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程是x ＝－3，与圆C 相切，符合题意．②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0.由题意知，圆心C (2，－3)到直线l 的距离等于半径5，即|2k ＋3＋3k |k 2＋1＝5，解得k ＝815，故切线方程是y＝815(x ＋3)．综上，所求切线方程是x ＝－3或y ＝815(x ＋3)． 15．(2020·某某西南大学附中检测)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0. (1)若直线l 过点(－2,0)且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，满足|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．解：(1)x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝－2，易求得直线l 与圆C 的交点为A (－2,1)，B (－2,3)，|AB |＝2，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(2)如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM ⊥PM ，所以△PMC 为直角三角形， 所以|PM |2＝|PC |2－|MC |2. 设P (x ，y )，由(1)知C (－1,2)， |MC |＝ 2. 因为|PM |＝|PO |，所以(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2， 化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.16．(2020·某某省七校联合体联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x 轴和y轴的非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，则(A)A．OA的最大值是42，最小值是4B．OA的最大值是8，最小值是4C．OA的最大值是42，最小值是2D．OA的最大值是8，最小值是2解析：因为∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，所以O，B，A，C四点共圆，且在以BC为直径的圆上．又AB＝AC＝4，所以BC＝4 2.因此当OA为圆的直径时，OA取得最大值，为42，如图1所示；当点B(或点C)与原点O重合时，OA取得最小值，为4，如图2所示．故选A．17．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|.连接MA ，由已知得|AO |＝2，又MO →⊥AO →，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4.故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1,0)，使得|MA |－|MP |为定值． 理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2.由于MO →⊥AO →，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x . 因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点， 以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .。

2019年高考数学一轮复习课时作业（四十四）第44讲圆的方程文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮复习课时作业（四十四）第44讲圆的方程文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业（四十四）第44讲圆的方程时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是（)A. 〈m〈1B. m〈或m〉1C. m〈D。

m>12.点P(5a+1,12a)在圆（x-1)2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是（）A. {a｜｜a｜<1}B.C。

D.3。

［2017·北京海淀区期中]圆心为（0，1)且与直线y=2相切的圆的方程为()A。

(x—1)2+y2=1 B。

（x+1）2+y2=1C。

x2+（y-1)2=1 D. x2+（y+1）2=14.[2017·武汉三模］若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心，则m的值为。

5.在平面直角坐标系xOy中,以点（1,0)为圆心且与直线mx—y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。

能力提升6.设P是圆(x—3）2+(y+1）2=4上的动点，Q是直线x=—3上的动点,则｜PQ｜的最小值为(）A。

6 B. 4C。

3 D。

27。

直线l1:y=2x和直线l2:y=kx+5都过圆C的圆心,且将圆C分为面积相等的四个部分，当圆C过原点时,圆C的方程为（）A。

（x+2)2+(y+4）2=20B. （x+4)2+(y+2)2=20C. (x—2)2+（y-4)2=20D. (x—4）2+（y—2)2=208。

课时作业55 曲线与方程一、选择题2－y2－1) x－y－1＝0 表示的曲线的大致形状是(图中1．方程(x实线部分)( B )解析：原方程等价于2－y2－1＝0，xx－y－1≥0或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1 位于直线x－y－1＝0 下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．2．动点P( x，y)满足5x－1 2＋y－2 2＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( D )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析：设定点F(1,2)，定直线l ：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝x－1| 3x＋4y－11|2＋y－2 2，点P到直线l 的距离d＝5 .由已知得|PF|d＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直线．选D.2＋y2－2x) x＋y－3＝0 表示的曲线是( D ) 3．方程(xA．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0 或②x＋y－3≥0，2＋y2－2x＝0. x 注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－32＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0 的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0 上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0.4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C 满足→→→OC＝λ1OA＋λ2OB(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( A )A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线→→→→ 解析：设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)．∵OC →→ ＝λ1OA＋λ2OB，x＝3λ1－λ2，∴得y 3＝λ＋λ，1 23x y＋λ＝，1103y－x λ2＝10 ，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B，过M，N 与圆C 相切的两直线相交于点P，则P 点的轨迹方程为( A )22－y＝1(x>1) B．x2－A．x82y＝1( x<－1) 82y2＋2－C．x ＝1(x>0) D．x82y＝1(x>1) 10解析：设另外两个切点为E，F，如图所示，则|P E|＝|PF |，|ME| ＝|MB |，|NF |＝|NB|.从而|PM |－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB |－|NB|＝4－2 ＝2<|MN |，∴P 点的轨迹是以M，N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的2y右支．又∵a＝1，c＝3，∴b2＝8.故P 点的轨迹方程为x2－8＝1(x>1)．2＝4y 的焦点作直线l 交抛物线于A，B 两点，分6．过抛物线x别过A，B 作抛物线的切线l1，l2，则l1 与l2 的交点P 的轨迹方程是( A )A．y＝－1 B．y＝－2C．y＝x－1 D．y＝－x－12＝4y 得解析：抛物线的焦点为F(0,1)，设l：y＝kx＋1，代入xx2＝4kx＋4，即x2－4kx－4＝0.设A( x1，y1)，B( x2，y2)，则x1＋x2＝4k，1 12 求导得y′＝x1x2＝－4.将y＝4x 2x，所以l1：y－y1＝l2：y－y2＝12x1 x－x1 ，12x2 x－x2 ，由x2＝4y 得2＝4y 得l1：y＋y1＝l2：y＋y2＝12x1x，12x2x，两方程相除得y＋y1y＋y2＝x1x2，变形整理x1y2－x2y1 x1x2 x2－x1＝得y＝x2－x1 4 x2－x1＝－1，所以交点P 的轨迹方程是y＝－1.二、填空题7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点→→→→C 满足O C＝OA＋t(OB－OA)，其中t∈R，则点 C 的轨迹方程是y＝2x－2.→→→→解析：设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t (OB－OA)＝(1＋t,2t )，x＝t＋1，所以消去参数t 得点C 的轨迹方程为y＝2x－2.y＝2t，8. 如图所示，正方体A BCD- A1B1C1D1 的棱长为1，点M 在AB上，且AM＝13AB，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A1D1 的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy2 1中，动点P 的轨迹方程是y3x－9.解析：如图，过P作PQ⊥AD 于Q，再过Q作QH⊥A1D1 于H，连接P H，PM，易证得PH⊥A1D1.设P(x，y)，由|PH |2－|PM |2＝1，得13 2＋1－x－2＋y2 ＝1，化简得y2＝23x－19.x9．P 是椭圆2 2x y2＋2＝1 上的任意一点，F1、F2 是它的两个焦点，a b→→→O 为坐标原点，OQ＝PF1＋PF2，则动点Q 的轨迹方程是2 2x y2＋2＝4a 4b2.→→→→→→→解析：如图，由OQ＝PF1＋PF2，又PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－→2OP，→设Q( x，y)，则OP＝－→1 1 x2OQ 2( x，y)＝－＝－2，－y2 ，即P 点坐标为－x2，－y2 ，又P 在椭圆上，则有x2－22 ＋y2－22 ＝1，即2 2x y2＋2＝1.a b 4a 4b三、解答题2＋y2＝4 的圆心，点A( 2，10. 如图所示，已知 C 为圆(x＋2) →→→→ 0)，P 是圆上的动点，点Q 在直线CP 上，且MQ·AP＝0，AP＝2AM.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．→→解：圆(x＋2)2＋y2＝4 的圆心为C(－2，0)，半径r＝2，∵MQ·AP →→＝0，AP＝2AM，∴MQ⊥AP，点M 是线段AP 的中点，即MQ 是AP 的垂直平分线，连接AQ，则|A Q|＝|Q P|，∴||QC|－|QA||＝| |Q C|－|QP|| ＝|C P|＝r＝2，又|A C|＝2 2>2，根据双曲线的定义，知点Q 的轨迹是以C(－2，0)，A( 2，0)为焦点，实轴长为 2 的双曲线，由c＝2，2 2 2a＝1，得b ＝1，因此点Q 的轨迹方程为x －y ＝1.a2，0 ，C 11．在△ABC 中，A 为动点，B，C 为定点，B －a 2，01( a>0)，且满足条件sinC－sinB＝2sinA，则动点A 的轨迹方程是2 16x2 －a216y a2 ＝1 x> 4 . 3a解析：由正弦定理得|A B| |AC| 1×2R －2R ＝2|BC|2R ，1即|A B|－|AC|＝2|B C|，a故动点 A 是以B，C 为焦点，2为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为216x2 －a216y a2 ＝1 x>4 .3a2＋y2＝4 上的动点，P 点在x 轴上的射影是D，12．如图，P 是圆x→点M 满足DM＝→12DP.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A，B，求以OA，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点 E 的轨迹方程．解：(1)设M(x，y)，则D(x,0)，→由DM＝→12DP，知P(x,2y)，∵点P 在圆x2＋y2＝4 上，∴x2＋4y2＝4，故动点M 的轨迹 C 的方程为2＋4y2＝4，故动点M 的轨迹 C 的方程为2x2＝1，且轨迹 C 4＋y是以(－3，0)，( 3，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆．(2)设E(x，y)，由题意知l 的斜率存在，设l：y＝k( x－3)，代入2x2＝1，4＋y2)x2－2 4k2x＋36k2－4＝0，得(1＋4k设A( x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2 24k2，1＋4k∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k＝324k2－6k＝1＋4k－6k2.1＋4k∵四边形OAEB 为平行四边形，→→→∴OE＝OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝2 －6k24k2， 2 ，1＋4k 1＋4k→224kx＝2，1＋4k又OE＝(x，y)，∴－6ky＝2，1＋4k消去k 得，x2＋4y2－6x＝0，1 82)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，得k2<由Δ＝(－24k 5，∴0<x<3.8∴顶点E 的轨迹方程为x 3 .2＋4y2－6x＝0 0<x<尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用13．(2019 ·昆明调研测试)已知直线l1：ax－y＋1＝0，直线l2：x ＋5ay＋5a＝0，直线l1 与l2 的交点为M，点M 的轨迹为曲线 C.(1)当a 变化时，求曲线 C 的方程；(2)已知点D(2,0)，过点E(－2,0)的直线l 与C 交于A，B 两点，求△ABD 面积的最大值．解：(1)由a x－y＋1＝0，x＋5ay＋5a＝02x消去a，得曲线C的方程为＋y2＝2＝53.(y≠－1，即点(0，－1)不在曲线C上，此步对考生不作要求)(2)设A(x1，y1)，B( x2，y2)，l：x＝my－2，x＝my－2，由 2x＋y2＝1，2＝1，5 得(m2＋5) y2－4my－1＝0，2＋5) y2－4my－1＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－m2＋52＋51，m2＋52＋5△ABD 的面积S＝2|y2－y1| ＝2 y2＋y12－4y2y1＝2216m 4＋＝2＋5 2 2＋5m m2＋14 5·m，2＋5m设t＝m2＋1，t∈[1，＋∞)，则S＝4 5t 4 5＝≤5，4tt2＋42＋4t＋4当t＝t (t∈[1，＋∞))，即t＝2，m＝±3时，△ABD 的面积取得5. 最大值。

课时分层训练(五十) 圆的方程(对应学生用书第299页)A 组 基础达标一、选择题1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B [由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.]2．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )A ．上半圆B ．下半圆C ．圆D ．抛物线 A [由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．]3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任一点的坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设点P 与圆上任一点连线的中点的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.] 4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8A [直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离， 即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2， 则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.]5．(2017·重庆四校模拟)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )【导学号：79140276】A ．6B ．4C ．3D ．2B [如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]二、填空题6．(2018·郑州第二次质量预测)以点M (2,0)，N (0,4)为直径的圆的标准方程为________．(x －1)2＋(y －2)2＝5 [圆心是MN 的中点，即点(1,2)，半径r ＝12MN ＝5，则以MN 为直径的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.]7．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．x ＋y －1＝0 [圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，则k CM ＝1－02－1＝1. ∵过点M 的最短弦与CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1×(x －1)，即x ＋y －1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2).【导学号：79140277】[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1) 2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎨⎧ 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A, B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．[解] (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC →1·MO →＝0.又∵MC →1＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53＜x ≤3.∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53＜x ≤3，其轨迹为一段圆弧．B 组 能力提升11．(2017·佛山模拟)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y＋4)2的最大值为( )A ．6B ．25C ．26D ．36D [(x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝(5－2)2＋(－4)2＝5.则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.]12．(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________．x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 [法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2， ∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.r 2＝9.故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9或(x －3)2＋(y －1)2＝9.法三：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F . 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22， 由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.③ 联立①②③，解得⎩⎨⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎨⎧ D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.]13．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程.【导学号：79140278】[解] (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－8. 若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾．∴⎩⎨⎧ x ＝－6，y ＝－8舍去． 即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3， ∴所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.。