2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词含解析

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，¬p：真假相反．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和¬p不可能都是真命题．(√)(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 p 和q 显然都是真命题，所以¬p ，¬q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠4．已知命题p ，q ，“¬p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由¬p 为真知，p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而¬p 为假，故“¬p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A.5．已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则( ) A ．(¬p )∨q 为真命题 B ．p ∨q 为真命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∧(¬q )为假命题答案 B解析 由函数y ＝2x 是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当x ＋1≥0，即x ≥－1时，|x ＋1|＝x ＋1>x ；当x ＋1<0，即x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，由－x －1≤x ，得x ≥－12，无解，因此命题q 是假命题．所以(¬p )∨q 为假命题，A 错误；p ∨q 为真命题，B 正确；p ∧q 为假命题，C 错误；p ∧(¬q )为真命题，D 错误．6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．q D ．¬p 答案 B解析 取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．2．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．p ∧(¬q ) D ．¬q 答案 B解析 函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x>0，得0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(¬q)为假命题，¬q为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(¬p)∨(¬q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p∨q”“p∧q”“¬p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“¬p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、存在性命题的真假例1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2<nD．∀n∈R，n2<n答案 B解析对于选项A，令n＝12，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2答案 B解析当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定例2 (1)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则¬p 为( ) A ．∃x ∈R ，e x －x －1≥0 B ．∃x ∈R ，e x －x －1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案 C解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得¬p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. (2)(2018·福州质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则¬p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 答案 C解析 已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则¬p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B.(2)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 答案 B解析 因为3x >0，所以3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，所以p 是假命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0.故选B.题型三 命题中参数的取值范围例3 (1)(2018·包头质检)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 答案 [e,4]解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. (2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0；②∀x ∈R ，|x |>x ；③∀x ，y ∈Z,2x －5y ≠12；④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝12x 是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∨(¬q ) B ．p ∧q C ．(¬p )∨q D ．(¬p )∧(¬q )答案 A解析 命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此¬p 为假命题；命题q ：y ＝12x 在定义域上是增函数，故命题q 是假命题，¬q 是真命题．因此选项A 是真命题，选项B ，C ，D 是假命题，故选A. 二、充要条件的判断例2 (1)(2018·北京)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |.所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充要条件． 故选C.(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r <3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围例3 (1)(2018·周口模拟)若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.(2)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1， 由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2， 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题， 当p 真q 假时，m ≤－2； 当p 假q 真时，－1<m <2； 当p 假q 假时，m ≥2， 所以m ≤－2或m >－1.1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．¬q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.2．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x >2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．3．设命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋1x >3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( ) A ．p ∧(¬q ) B ．(¬p )∧q C ．p ∧q D ．(¬p )∨q答案 A解析 命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋1x >3，当x ＝3时，x ＋1x ＝103>3，命题p 为真；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，42＝24，命题q 为假．所以p ∧(¬q )为真，故选A. 4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N ＋，使得n ≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N ＋，使得n >x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N ＋，使得n >x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N ＋，使得n >x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N ＋，使得n >x 2 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N ＋，使得n >x 2”．故选D.5．若∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，22] B ．(22，3] C.⎣⎡⎦⎤22，92 D ．{3}解析 因为∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎦⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫22＝22，则λ≤2 2.6．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 A解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0； 当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0， 解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.7．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，e x ≤0 B ．∀x ∈R ,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x >0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“ab ＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．8．(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是( ) A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧(¬q )是真命题C ．命题(¬p )∧q 是真命题D ．命题(¬p )∨(¬q )是假命题 答案 C解析 因为对任意x ∈R ，都有cos x ≤1成立，而54>1，所以命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54是假命题；因为对任意的x ∈R ，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 所以命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0是真命题． 由此对照各个选项，可知命题(¬p )∧q 是真命题．9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为_____________________． 答案 ∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋1解析 因为p 是¬p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]． 11．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.12．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4解析 因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以命题p 2是假命题，¬p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(¬p 2)是真命题．13．(2018·鞍山模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}．现有以下结论： ①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且¬q ”是假命题； ③命题“¬p 或q ”是真命题； ④命题“¬p 或¬q ”是假命题． 其中正确结论的序号为____________． 答案 ①②③④解析 ∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且¬q ”是假命题，“¬p 或q ”是真命题，“¬p 或¬q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 若p ∨(¬q )为假命题，则p 假q 真． 由e x－mx ＝0，可得m ＝e xx，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(¬q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3. 16．已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫817，1解析 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立，当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max＝174，∴⎝⎛⎭⎫2x x 2＋1min ＝817， ∴由p 真得m <817.设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1. 又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1.故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1.。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断p2.3.p p1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：(1)p∨q：有真则真．(2)p∧q：有假则假．(3)p与p：真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．()(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()[解析](1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q 中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4B[p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1D．∃x∈R，tan x＝2B[对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]4．命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＜0”的否定为________．∀x∈R，x2－ax＋1≥0[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x20－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]5．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立． 当a ≠0时，依题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0， 解得－8≤a ＜0. 综上可知－8≤a ≤0.]定范围．q ：乙降落在指定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧qA [p ：甲没有降落在指定范围，q ：乙没有降落在指定范围．则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(p )∨(q )，故选A.]2．若命题“p ∨q ”是真命题，“p ”为真命题，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假D ．p 假，q 假B [命题“p ∨q ”是真命题，则p 或q 至少有一个真命题，又“p ”是真命题，则p 是假命题，从而q 一定是真命题，故选B.]3．(2019·泰安模拟)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(q )C ．(p )∧qD ．(p )∧(q )B [∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2<b 2， ∴命题q 为假命题，∴q 为真命题． ∴p ∧q 为假命题，p ∧q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∧q 为假命题．故选B.]p【例1】 (1)(2019·武汉模拟)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1＞0 C ．∃x 0∈N ，sin π2x 0＝1 D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2(1)A (2)D [(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.(2)当x ∈R 时，x 2≥0且2x －1＞0，故A 、B 是真命题． 当x 0＝1时，sin π2x 0＝1，故C 是真命题．由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故D 是假命题．]000A ．∀x ＞0，使2x (x －a )＞1 B ．∀x ＞0，使2x (x －a )≤1 C ．∀x ≤0，使2x (x －a )≤1 D ．∀x ≤0，使2x (x －a )＞1(2)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β(1)B (2)D [(1)命题的否定为∀x ＞0，使2x (x －a )≤1，故选B.(2)因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.]【例2】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3，故选B.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2，故选A.]实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋4＝0；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)[－12，－4]∪[4，＋∞) [(1)p 是假命题，则p 是真命题，当x∈[1,2]时，e≤e x≤e2，由题意知a≤(e x)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.(2)若p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4或a≥4.若q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.由p∧q是真命题知，命题p、q均是真命题．因此a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．]。

考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1、已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是____．【答案】[－8，＋∞)【解析】原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值范围是a<－8的补集，即a≥－8，故a 的取值范围是[－8，＋∞)．2、若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－22，22]【解析】因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.3、已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m 的取值范围为_______.【答案】[1，2)【解析】命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞m ，解得：m ＜1；命题q ：指数函数f （x ）=（3-m ）x 是增函数，则3-m ＞1，解得：m ＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p ，q 一真一假，p 真q 假时：无解， p 假q 真时： ，解得：1≤m＜2， 故答案为：[1，2）．4、现有下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”；②若集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则A ∩(∁R B )＝A ；③函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝k π＋π2(k ∈Z)； ④若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则b 与a －b 的夹角为60°.其中为真命题的是________．【答案】②③【解析】命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B ＝(－1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝A ；命题③真，若φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则f (x )＝sin(ωx ＋k π＋π2)＝±cos ωx 为偶数；命题④假，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以由三角形法则可得|a |， |b |的夹角为60°，b 与(a －b )的夹角为120°.所以填写答案为②③.5、已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[－1,2]【解析】依题意，cos 2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上恒成立，即cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．6、已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题： ①(綈p 1)∧(綈p 2)；②p 1∨(綈p 2)；③(綈p 1)∧p 2；④p 1∧p 2.其中为真命题的是________(填序号)．【答案】③【解析】∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题． 7、设命题p ：函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 【解析】因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52； 若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52， 所以52≤a ≤4. 综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 8、已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p ：若α∥β，n ⊂α，m ⊂β，则m ∥n ；命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨綈q ；④綈p ∧q .【答案】①④【解析】∵命题p 是假命题，命题q 是真命题．∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨綈q 是假命题，綈p ∧q 是真命题．9、写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x 0∈R ，x 20－4＝0；(2)∀T ＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，∃A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .【解析】它们的否定及其真假分别为：(1)∀x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，∀A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．10、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．【答案】1≤a <2，或a ≤－2.【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.11、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围．【答案】0<a ≤12或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a 不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值范围是0<a ≤12或a ≥1. 12、已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】{m |m <12或m ＝32} 【解析】若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3，所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32， 所以当p 为真时，12≤m ≤32； 若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立，所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x成立． 设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x， 易知g (x )在区间[1，2]上是增函数，所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32， 所以当q 为真时，m <32. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <12或m ＝32}. 13、已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】【解析】命题p ：函数f （x ）=2ax 2﹣x ﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f （0）f （1）=﹣（2a ﹣2）＜0，解得a ＞1；命题q ：函数y=x 2﹣a 在（0，+∞）上是减函数，2﹣a ＜0，解得a ＞2．∴￢q ：a ∈（﹣∞，2]．∵p 且￢q 为真命题，∴p 与￢q 都为真命题，∴ 解得1＜a≤2．则实数a 的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．14、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．【答案】(0，1]∪[4，＋∞).【解析】因为函数y ＝a x在R 上单调递增，所以命题p ：a >1.因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4，所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).15、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．【答案】1≤a <2，或a ≤－2【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.16、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围．【答案】0<a ≤12或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a 不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值范围是0<a ≤12或a ≥1. 17、已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(－∞，0)∪[1，4)【解析】命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4， 所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．18、设：实数x 满足，：实数x 满足.（1）若，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若且是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】 (1)由得，当时,，即为真时，.由,得,得，即q 为真时，.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.(2)由得,，.由,得,得.设, ,若p 是q 的充分不必要条件，则是的真子集，故，所以实数的取值范围为.19、已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线. (1) 若命题p 为真命题，求k 的取值范围；(2) 若命题“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求k 的取值范围．【答案】(1) (1，＋∞) (2) (－∞，1]∪[3，＋∞)【解析】(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k－1，解得k>1，即k 的取值范围是(1，＋∞)．(2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3.因为“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，k≥3，解得k≥3； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k≤1，k<3，解得k≤1.综上所述，k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．。

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识整合1．全称量词和存在量词01∀”表示；存在量词有：(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□02∃”表示．存在一个，至少有一个，有些，用符号“□(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号03∀x∈M，p(x)．简记为：□(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定2．“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．3．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．1．(2019·福建模拟)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0，x 0x 0－1≤0C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0，xx －1≤0答案 B解析 易知命题的否定是∃x 0>0，x 0x 0－1≤0，故选B.2．(2018·河南周口月考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝ (a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.3．(2017·山东高考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )答案 B解析 ∵一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 为真命题，綈p 为假命题．∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，綈q 为真命题．根据真值表可知p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.4．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是( )A ．命题“若|x |＝5，则x ＝5”的否命题为“若|x |＝5，则x ≠5”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R,3x 20＋2x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R,3x 2＋2x －1<0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 答案 D解析 A 中，命题“若|x |＝5，则x ＝5”的否命题为“若|x |≠5，则x ≠5”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x 0∈R,3x 20＋2x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R,3x 2＋2x －1≤0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确，故选D.5．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5答案 C解析 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.6．(2019·广东深圳三校联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0,4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4，综上，可得实数a ∈[0,4)，因此p 是假命题，则綈p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(綈p )∧q 是真命题．故选D.核心考向突破考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断例1 (1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p 是“甲试驾成功”，q 是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析 命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；命题q ：∃x 0∈N *,2x 0＋21－x 0＝22，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析 根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x0＋21－x＝22，得22x0－22·2x 0＋2＝，解得2x＝2，即x 0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫或2x 0＋21－x 0≥22x 0·21－x 0＝22，当且仅当2x 0＝21－x 0，即x 0＝12时等号成立，命题q 为假命题．所以只有p ∧(綈q )为真命题．故选C.触类旁通判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)判断复合命题的结构．2判断构成这个命题的每个简单命题的真假.3依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可.即时训练 1.已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题为真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∨qC．p∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y ＝0，xy＝0，故q是真命题，则p∨q是真命题，故选B.2．已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，log4x<log8x，命题q：∃x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．p∧(綈q) D．(綈p)∧q答案 D解析对于命题p：当x＝1时，log4x＝log8x＝0，所以命题p是假命题；对于命题q：当x＝0时，tan x＝1－3x＝0，所以命题q是真命题．由于綈p是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，故选D.考向二全称命题、特称命题角度1 全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2019·贵州联考)已知命题p：∀x >0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( ) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1的否定为∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1，故选B.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B解析 根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．触类旁通一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定.即时训练 3.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方不是奇数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 答案 C解析 全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”． 4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20 答案 D解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.角度2 全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.触类旁通全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．即时训练 5.下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题 答案 B解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以A 错误；ab ≠0等价于a ≠0且b ≠0，所以“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件，B 正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，C 错误；若“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，D 错误．故选B.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.(2)(2019·金华联考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2]∪[3，＋∞)解析 p 为真命题，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2.q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ≥3；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得1<m ≤2.综上，实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 触类旁通根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况；本例(2)中有两种情况)．2然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围. (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．即时训练 6.已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知 不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．。

课时跟踪检测（三） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．(2019·河南教学质量监测)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( )A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8xB ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8xC ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0D ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16<8x 0解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0.故选C.2．(2019·太原一模)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1b .则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：选B 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，所以p 为真命题，则綈p 为假命题；当a ＝－2，b ＝1时，1a <1b ，所以q 为假命题，则綈q 为真命题．故p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.3．(2019·惠州调研)已知命题p ，q ，则“綈p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 充分性：若綈p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题．必要性：p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则綈p 为假命题．所以“綈p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的必要不充分条件．故选B.4．如果命题“(綈q )∨p ”与“(綈p )∨q ”都是真命题，则下列结论中一定不成立的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∨q ”是假命题C ．命题“(綈p )∧q ”是假命题D ．命题“(綈p )∧q ”是真命题解析：选D 若命题“(綈q )∨p ”与“(綈p )∨q ”都是真命题，则p ，q 全为真命题或全为假命题，所以命题“(綈p )∧q ”一定为假命题，故选D.5．(2018·渭南尚德中学一模)如果命题“p 且q ”的否定为假命题，则( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 中至少有一个为真命题C ．p ，q 均为假命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题解析：选A 若“p 且q ”的否定是假命题，则“p 且q ”是真命题，故p ，q 均是真命题．故选A.6．(2018·益阳市、湘潭高三调考)已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i 1＋2i的虚部为－15i ，则下面为真命题的是( ) A ．(綈p )∧(綈q ) B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．p ∧q解析：选C 由已知可得，复数z 满足(z －i)(－i)＝5，所以z ＝5－i ＋i ＝6i ，所以命题p 为真命题；复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－i 5，其虚部为－15，故命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )为真命题，故选C.7．(2018·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．(－∞，1]D ．[e,4]解析：选D 命题p 等价于ln a ≥x 对x ∈[0,1]恒成立，所以ln a ≥1，解得a ≥e ；命题q 等价于关于x 的方程x 2＋4x ＋a ＝0有实根，则Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.因为命题“p ∧q ”是真命题，所以命题p 真，命题q 真，所以实数a 的取值范围是[e,4]，故选D.8．(2019·武汉部分学校调研)给出下列四个说法：①命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，3x 0≤x 30”；②“若θ＝π3，则cos θ＝12”的否命题是“若θ≠π3，则cos θ≠12”； ③p ∨q 是真命题，则命题p ，q 一真一假；④“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 对于①，根据全称命题的否定，可知①正确；对于②，原命题的否命题为“若θ≠π3，则cos θ≠12”，所以②正确；对于③，若p ∨q 是真命题，则命题p ，q 至少有一个是真命题，故③错误；对于④，由函数y ＝2x ＋m －1有零点，得1－m ＝2x >0，解得m <1，若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数，则0<m <1，所以④错误．综上，正确说法的个数为2，故选B.9．(2019·宜昌葛洲坝中学月考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：选A “至少有一位学员没有降落在指定范围”表示学员甲、乙两人中有人没有降落在指定范围，所以应该是(綈p )∨(綈q )．故选A.10．(2018·汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x －a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析：选C 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2；∀x >0,2x －a >0等价于a <2x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因为“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又“p∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C.11．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋112．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“綈q ”同时为假命题，则x ＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“綈q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3<x <－1，由题意，得x ＝－2.答案：－213．若命题p ：存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a <－2x 2＋1是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题p ：存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a <－2x 2＋1是假命题，则綈p ：任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即(2＋a )x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，当a ＝－2时不成立，舍去，则有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a >0，16－4(2＋a )(a －1)≤0，解得a ≥2. 答案：[2，＋∞)14．(2019·济南模拟)给定命题p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0成立；命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，若p ∧q 为真，则a 的取值范围是________．解析：当p 为真命题时，对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0， ∴0≤a <4.当q 为真命题时，关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.p ∧q 为真时，0≤a ≤14. 答案：⎣⎡⎦⎤0，14 15．已知p ：－1<log 2x <2，q ：⎝⎛⎭⎫23x ＋a >1，綈q 是綈p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由－1<log 2x <2，得12<x <4，所以綈p ：x ≤12或x ≥4，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥4；由⎝⎛⎭⎫23x ＋a >1，得x ＋a <0，解得x <－a ，所以綈q ：x ≥－a ，设集合B ＝{x |x ≥－a }．又綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以B A ，所以－a ≥4，解得a ≤－4，所以实数a 的取值范围是(－∞，－4]．。

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题p:“∀x ∈N *,(12)x≤12”的否定为( )A.∀x ∈N *,(12)x >12 B.∀x ∉N *,(12)x >12 C.∃x ∉N *,(12)x >12 D.∃x ∈N *,(12)x >12答案 D ∵命题p:“∀x ∈N *,(12)x≤12”是全称命题,∴“∀x ∈N *,(12)x≤12”的否定是“∃x ∈N *,(12)x >12”,故选D.2.下列四个命题中的真命题为( ) A.∃x 0∈Z,1<4x 0<3B.∃x 0∈Z,5x 0+1=0C.∀x ∈R,x 2-1=0 D.∀x ∈R,x 2+x+2>0答案 D 选项A 中,14<x 0<34且x 0∈Z,不成立;选项B 中,x 0=-15,与x 0∈Z 矛盾;选项C 中,x ≠±1时,x 2-1≠0;选项D 正确.3.如果命题“p 且q ”是假命题,“非p ”是真命题,那么( ) A.命题p 一定是真命题 B.命题q 一定是真命题 C.命题q 一定是假命题D.命题q 可以是真命题也可以是假命题答案 D “非p ”是真命题,那么p 一定是假命题,故A 错;“p 且q ”是假命题,且p 是假命题,所以q 可能是真命题也可能是假命题,故选D.4.命题p:甲的数学成绩不低于100分,命题q:乙的数学成绩低于100分,则p ∨(¬q)表示( ) A.甲、乙两人数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C.甲、乙两人数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分答案 D 因为命题q:乙的数学成绩低于100分,所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分,所以命题p ∨(¬q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分.故选D.5.已知命题p:方程x 2-2ax-1=0有两个实数根;命题q:函数f(x)=x+4x 的最小值为4.给出下列命题:①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨(¬q).则真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 C 由于Δ=(-2a)2-4×1×(-1)=4a2+4>0,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,所以命题p是真命题;当x<0时,f(x)=x+4x<0,所以命题q为假命题,所以p∨q,p∧(¬q),(¬p)∨(¬q)是真命题,故选C.6.下列说法正确的是( )A.命题“存在x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“任意x∈R,使得x2+x+1≥0”B.实数x>y是1x <1x成立的充要条件C.设p,q为简单命题,若“p或q”为假命题,则“¬p或¬q”也为假命题D.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为假命题答案 D 命题“存在x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“任意x∈R,使得x2+x+1<0”,故A说法错误.当实数x>0>y时,1x >1x,此时1x<1x不成立,故B说法错误.“p或q”为假命题,则命题p和q都是假命题,则¬p是真命题,¬q是真命题,所以“¬p或¬q”为真命题,故C说法错误.若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,D说法正确.故选D.7.(2018河南师范大学附属中学开学考)已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥e x”,命题q:“∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )A.(4,+∞)B.[1,4]C.(-∞,1)D.[e,4]答案 D 命题p等价于lna≥x对x∈[0,1]恒成立,所以lna≥1,解得a≥e;命题q等价于关于x的方程x2+4x+a=0有实根,则Δ=16-4a≥0,所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题,所以命题p真,命题q真,所以实数a的取值范围是[e,4],故选D.8.下列命题是真命题的是( )A.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数B.∃α,β∈R,使得cos(α+β)=cosα+cosβC.向量a=(2,1),b=(-1,0),则a在b方向上的投影是2D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分也不必要条件答案 B 当φ=π2+kπ(k∈Z)时,f(x)=±cos2x 为偶函数,故A 为假命题;当α=-π2,β=π4时,cos(α+β)=cosα+cosβ,故B 为真命题;a 在b 方向上的投影是|a|·cos<a,b>=|a|×x ·x |x ||x |=x ·x|x |=-2,故C 为假命题;因为{x||x|≤1}包含于{x|x ≤1},所以“|x|≤1”是“x ≤1”的充分不必要条件,故D 为假命题.故选B.9.命题p 的否定是“对所有正数x,√x >x+1”,则命题p 是 . 答案 ∃x 0∈(0,+∞),√x 0≤x 0+1解析 因为¬p 是p 的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论进行否定即可. 10.已知命题p:x 2+4x+3≥0,q:x ∈Z,且“p ∧q ”与“¬q”同时为假命题,则x= . 答案 -2解析 若p 为真,则x ≥-1或x ≤-3, 因为“¬q”为假,所以q 为真,即x ∈Z, 又因为“p ∧q ”为假,所以p 为假,故-3<x<-1, 由题意,得x=-2.11.(2019湖南湘潭模拟)已知命题p:a 2≥0(a ∈R),命题q:函数f(x)=x 2-x 在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题:①p ∨q;②p ∧q;③(¬p)∧(¬q);④(¬p)∨q. 其中假命题的序号为 . 答案 ②③④解析 显然命题p 为真命题,¬p 为假命题. ∵f(x)=x 2-x=(x -12)2-14,∴函数f(x)在区间[12,+∞)上单调递增.∴命题q 为假命题,¬q 为真命题.∴p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,(¬p)∧(¬q)为假命题,(¬p)∨q 为假命题.12.已知命题“∀x ∈R,x 2-5x+152a>0”的否定为假命题,则实数a 的取值范围是 .答案 (56,+∞)解析 由“∀x ∈R,x 2-5x+152a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x 2-5x+152a>0对任意实数x 恒成立.设f(x)=x 2-5x+152a,则由题意知其图象恒在x 轴的上方. 故Δ=25-4×152a<0,解得a>56,即实数a 的取值范围是(56,+∞).13.设命题p:函数y=log a (x+1)在区间(-1,+∞)内单调递减,q:曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴有两个不同的交点.若p ∧(¬q)为真命题,求实数a 的取值范围.解析 函数y=log a (x+1)在区间(-1,+∞)内单调递减⇔0<a<1,曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴有两个不同的交点⇔Δ=(2a -3)2-4>0⇔a<12或a>52.所以若p 为真命题,则0<a<1;若q 为真命题,则a<12或a>52. 因为p ∧(¬q)为真命题, 所以p 为真命题,q 为假命题. 由{0<x <1,12≤a ≤52,得12≤a<1,所以实数a 的取值范围是[12,1).。